Introdução à Análise de Estabilidade em Sistemas de Controle: Routh-Hurwitz e Aplicações

Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Aula 6 Analise de estabilidade ECA602 Sistemas de Controle Prof Fernando Henrique UNIFEI Universidade Federal de Itajuba Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 1 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Topicos 1 Implementacoes de controladores e caracterısticas de sistemas em malha fechada 2 Analise e projeto via lugar das raızes 3 Analise e projeto via resposta em frequˆencia 4 Analise e projeto no espaco de estados Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Topicos 1 Implementacoes de controladores e caracterısticas de sistemas em malha fechada 2 Analise e projeto via lugar das raızes 3 Analise e projeto via resposta em frequˆencia 4 Analise e projeto no espaco de estados Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 3 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Topicos 1 Implementacoes de controladores e caracterısticas de sistemas em malha fechada Estabilidade Erros em regime permanente Perturbacoes Sensibilidade Desempenho 2 Analise e projeto via lugar das raızes 3 Analise e projeto via resposta em frequˆencia 4 Analise e projeto no espaco de estados Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 4 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Definicao Estabilidade especificacao mais importante para um sistema de controle Para sistemas lineares e invariantes no tempo LIT utiliza se o conceito de estabilidade BIBO Bounded Input Bounded Output Estabilidade BIBO Um sistema e dito ser BIBO estavel se para toda entrada limitada em magnitude sua saıda tambem permanece limitada em magnitude por todo o tempo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 5 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Definicao A estabilidade BIBO de um sistema LIT pode ser determinada pela localizacao de seus polos no plano s Estabilidade BIBO e localizacao no plano s Estavel Todos os polos possuem parte real negativa ou seja situamse no semiplano esquerdo do plano s Instavel Pelo menos um polo nao possui parte real negativa Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 6 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Definicao Sistemas que possuem polos de multiplicidade 1 nao repetidos no eixo imaginario sao chamados de marginalmente estaveis Produzem respostas limitadas para todas as entradas com excecao daquelas que contenham senoides na frequˆencia dos polos em questao ressonˆancia Nao sao BIBO estaveis Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 7 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Definicao Exemplo Y s Us 1 s2 1 ω 1rads Resposta do sistema a entrada ut sint Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 8 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Analise em malha fechada Nosso interesse maior e analisar a estabilidade do sistema em malha fechada Ts Y s Rs CsGs 1 CsGsHs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 9 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Analise em malha fechada Nosso interesse maior e analisar a estabilidade do sistema em malha fechada Ts Y s Rs CsGs 1 CsGsHs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 9 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Analise em malha fechada Funcao de transferˆencia do ramo direto CsGs Funcao de transferˆencia da malha aberta CsGsHs Funcao de transferˆencia da malha fechada CsGs 1 CsGsHs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 10 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Criterio de RouthHurwitz A localizacao exata dos polos nao necessita ser conhecida para se concluir a respeito da estabilidade BIBO do sistema O Criterio de RouthHurwitz e um procedimento analıtico para determinar se todas as raızes de um determinado polinˆomio possuem parte real negativa Por que nos interessa ja que ferramentas computacionais nos fornecem essa resposta de maneira mais pratica e exata MATLABOctave roots Permite definir faixas de ganhos que resultam em estabilidade Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 11 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Criterio de RouthHurwitz O criterio se aplica a um polinˆomio do tipo Qs ansn an1sn1 a1s a0 em que a0 0 Caso a0 0 o polinˆomio pode ser expresso como uma potˆencia de s multiplicada por um polinˆomio que satisfaz a0 0 Exemplo Q1s s3 4s2 8s ss2 4s 8 O grau da potˆencia de s indica o numero de polos na origem Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 12 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Criterio de RouthHurwitz Para estudar a estabilidade do sistema em malha fechada de vemos analisar as raızes da equacao 1 CsGsHs 0 conhecida como equacao caracterıstica Portanto em nossas analises Qs e o polinˆomio da equacao caracterıstica ou equivalentemente o polinˆomio no denomina dor de Ts Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 13 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Criterio de RouthHurwitz A partir dos coeficientes de Qs constroise a tabela de Routh sn an an2 an4 an6 sn1 an1 an3 an5 an7 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4 s2 k1 k2 s1 l1 s0 m1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 14 32 Definicado Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Pat Ket 1Xo Critério de RouthHurwitz Os coeficientes sdo calculados da seguinte maneira b 1 an An2 b 1 an anA a An1 Gn1 OGn3 An1 Gn1 OGn5 Cc s An1 4n3 C2 s An1 4n5 cee by bi be by by b3 e assim por diante Ou seja e O determinante na expressdo do iésimo coeficiente em uma linha é formado pela primeira coluna e pela coluna 7 1 das duas linhas anteriores O termo que divide o determinante é o elemento na primeira coluna da linha anterior Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Criterio de RouthHurwitz Criterio de RouthHurwitz Com a tabela de Routh calculada da maneira definida no slide an terior o numero de raızes do polinˆomio Qs com parte real positiva ou seja no semiplano direito e igual ao numero de mu dancas de sinal na primeira coluna da tabela O sistema e estavel apenas se todos os termos de Qs e da primeira coluna da tabela de Routh forem positivos Nao ha informacao sobre a localizacao exata dos polos Obs por conveniˆencia podese multiplicar qualquer linha da tabela de Routh por uma constante positiva sem alterar os valores das linhas abaixo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 16 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Criterio de RouthHurwitz Exemplo Construa a tabela de Routh e analise a estabilidade do sistema em malha fechada representado abaixo Ts 1000 s3 10s2 31s 1030 s3 1 31 s2 10 1030 s1 72 s0 1030 Duas mudancas de sinal O sistema tem dois polos com parte real positiva O sistema e instavel Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 17 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Zero apenas na primeira coluna Um valor ϵ e designado para substituir o zero na primeira coluna evitando a divisao por zero no calculo dos elementos da linha seguinte O valor ϵ e feito tender a zero pelo lado positivo ou pelo lado negativo determinando entao os sinais dos elementos da pri meira coluna Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 18 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Exemplo Determine o numero de polos no semiplano a direita da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts 10 s5 2s4 3s3 6s2 5s 3 s5 1 3 5 s4 2 6 3 s3 ϵ 7 2 0 s2 6ϵ7 ϵ 3 0 s1 42ϵ496ϵ2 12ϵ14 0 0 s0 3 0 0 Duas mudancas de sinal O sistema tem dois polos no semiplano da direita O sistema e instavel Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 19 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Uma alternativa e analisar o polinˆomio com as raızes recıprocas que e obtido ao inverterse a ordem dos coeficientes do po linˆomio original Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 20 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Exemplo Determine o numero de polos no semiplano a direita da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts 10 s5 2s4 3s3 6s2 5s 3 Q1s s5 2s4 3s3 6s2 5s 3 s5 1 3 5 s4 2 6 3 s3 0 7 2 0 s2 s1 s0 Q2s 3s5 5s4 6s3 3s2 2s 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 21 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Linha inteira de zeros Indica a presenca de um polinˆomio par que e fator do polinˆomio original Polinˆomios pares sempre possuem raızes simetricas com relacao a origem podendo acontecer em trˆes casos 1 Raızes simetricas e reais 2 Raızes simetricas e imaginarias 3 Raızes quadrantais Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 22 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Nesse caso substituise os elementos da linha composta de ze ros pelos coeficientes do polinˆomio formado a partir da derivada em s do polinˆomio par que e formado pelos coeficientes da li nha imediatamente acima a linha de zeros Obs se uma linha so contem um elemento e ele e zero a linha inteira e de zeros Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 23 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Exemplo Determine o numero de polos no semiplano a direita da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts 10 s5 7s4 6s3 42s2 8s 56 s5 1 6 8 s4 7 42 56 s3 s2 s1 s0 Multiplicando a segunda linha por 1 7 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Exemplo Determine o numero de polos no semiplano a direita da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts 10 s5 7s4 6s3 42s2 8s 56 s5 1 6 8 s4 1 6 8 s3 0 0 0 s2 s1 s0 O polinˆomio par Ps s4 6s2 8 e fator do polinˆomio caracterıstico do sistema em malha fechada Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Exemplo Determine o numero de polos no semiplano a direita da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts 10 s5 7s4 6s3 42s2 8s 56 s5 1 6 8 s4 1 6 8 s3 4 12 0 s2 s1 s0 A linha nula e substituıda por dP s ds 4s3 12s 0 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Exemplo Determine o numero de polos no semiplano a direita da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts 10 s5 7s4 6s3 42s2 8s 56 s5 1 6 8 s4 1 6 8 s3 1 3 0 s2 s1 s0 Multiplicando a linha por 1 4 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Exemplo Determine o numero de polos no semiplano a direita da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts 10 s5 7s4 6s3 42s2 8s 56 s5 1 6 8 s4 1 6 8 s3 1 3 0 s2 3 8 0 s1 1 3 0 0 s0 8 0 0 Todos os elementos na primeira coluna sao positivos Nao existem polos no semiplano da direita Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Nao existem polos no semiplano da direita O sistema e BIBO estavel Resposta nao Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 25 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Raızes do polinˆomio par Ps s4 6s2 8 simetricas e imaginarias Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 26 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Casos especiais Raızes de Q1s s5 7s4 6s3 42s2 8s 56 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 27 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Exemplos de aplicacoes Exemplo 1 Considere o sistema em malha fechada mostrado na figura abaixo Determine os valores de KP para os quais o sistema e estavel Equacao caracterıstica 1 KP s 1 ss 1s 6 0 Hs 1 s3 5s2 KP 6s KP 0 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 28 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Exemplos de aplicacoes Tabela de Routh s3 1 KP 6 s2 5 KP s1 4KP 30 5 0 s0 KP 0 Para o sistema ser estavel 4KP 30 5 0 KP 0 ou KP 7 5 KP 0 Portanto para o sistema ser estavel o ganho proporcional deve ser maior que 75 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 29 32 Definicado Malha fechada RouthHurwitz OE Som to Aplicacées Exemplos de aplicacoes e Exemplo 2 Encontre os valores possiveis para os ganhos do controlador tal que o sistema em malha fechada mostrado na figura abaixo seja estavel com um controlador PI ea teil OE tes s s1s2 e Equacao caracteristica Ky 1 1 Kp 0 s s1s42 s 43s 4 24 Kps K 0 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Exemplos de aplicacoes Tabela de Routh s3 1 2 KP s2 3 KI s1 63KP KI 3 0 s0 KI 0 Para o sistema ser estavel KI 0 KP 1 3KI 2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 31 32 Definicao Malha fechada RouthHurwitz Casos especiais Aplicacoes Exemplos de aplicacoes Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 32 32