Aula 06: Projeto de Controladores por Resposta em Frequência - ECA602

ECA602 Sistemas de Controle Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 06 Projeto de Controladores por Resposta em Frequˆencia Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2º Semestre de 2023 1 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia Na compensacao por resposta em frequˆencia as duas especificacoes principais no domınio da frequˆencia sao a margem de fase geral mente denotada por φm e a frequˆencia de cruzamento de ganho geralmente denotada por ωu Considere a malha de controle padrao Temos entao que a equacao caracterıstica e 1 GCsGPsHs 0 2 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia De forma a entender o conceito da compensacao por resposta em frequˆencia vamos supor a princıpio que o controlador e a realimentacao sao unitarios GCs 1 e Hs 1 Vamos ainda considerar que a planta possui a seguinte funcao de transferˆencia GPs ω2 n ss 2ζωn Esta ultima consideracao e feita principalmente por dois motivos A funcao de transferˆencia em malha fechada Ts sera Ts Y s Rs ω2 n s2 2ζωns ω2n e relacoes entre os parˆametros ζ e ωn com o desempenho da resposta temporal overshoot e tempo de acomodacao sao conhecidos A maior parte dos sistemas servomecanismos de controle de posicao podem ser modelados ou aproximados por esta estrutura de GPs especıfica um polo na origem um polo real e finito e sem zeros 3 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequéncia Voltando entao 4 equacao caracteristica temos que 1 Gps 0 Gps 1 Tomandose entdo a resposta em frequéncia temos 2 iw 1Z180 n 4 180 Coliw 7 jw Gea 2G O médulo de Gpjw é 2 Ww Gpjw GrJw uta enquanto que a fase é Gpjw 90 tan 26Wn Na frequéncia de cruzamento de ganho temos que o médulo é unitario Gejwu 1 ea fase é igual a 180 mais a margem de fase ZGPjwu 180 bm 4112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequéncia Logo a equacao de modulo se traduz em Ww 4 wu rl 4C2we wii a qual pode ser rearranjada para wy AC umWly Wy 0 que é uma equacao biquadrada A Unica soluao que gera wy positivo é Wy Wn 404 1 27 A equacao de fase se traduz em an 1 Wu 90 1 Wu dm 90 tan 90 tan x tan m tan oo tan cot an cot cot 26m Wu Wy 5112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequéncia Finalmente temos que dm tan 2 tan 26 wu y4C4 1 22 De maneira geral se a malha aberta GcsGpsHs é ou pode ser suficientemente aproximada para 2 Ww G GpsHs 2 csGosMs aa vimos entdo como correlacionar estes pardmetros do sistema com as especificacdes no dominio da frequéncia dm wu Entretanto sabemos que em malha fechada isto gera um sistema de segunda ordem padrao 2 wW Ts Wn s s2 2Cwns wh o qual possui o seguinte desempenho na resposta temporal ao degrau re M e vi t Cwn 6112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia Logo a ideia central da compensacao via resposta em frequˆencia e projetar o con trolador GCs de modo a atingir as especificacoes de margem de fase e frequˆencia de cruzamento de ganho sendo que estas duas podem ser retiradas dos requisitos de desempenho no domınio do tempo overshoot e tempo de acomodacao da resposta ao degrau A equacao da margem de fase pode ser aproximada para φm 100ζ quando 0 ζ 0 65 Esta e uma expressao mais simples para calcular a margem de fase com base no fator de amortecimento Vimos que tan φm 2ζωn ωu Entretanto temos que ζωn 4ts e entao ωu 8 ts tan φm que em geral e uma expressao tambem mais simples para calcular a frequˆencia de cruzamento de ganho 7 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequéncia e Sendo assim um procedimento geral para o projeto de compensadores via resposta em frequéncia é 1 A partir da requisiao do overshoot M calculase o fator de amortecimento a partir de C In Mp In Mp 72 2 A partir de calculamos a margem de fase a partir de 2 bm tan 26 444 1 22 ou de m 100 Se é desejado um overshoot menor devese escolher uma margem de fase maior que m encontrado 8112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia 3 A partir da margem de fase e da requisicao de tempo de acomodacao ts calculamos entao a frequˆencia de cruzamento de ganho ωu a partir de ωu 8 ts tan φm Sendo assim se e desejado um tempo de acomodacao menor devese escolher uma frequˆencia de cruzamento maior que ωu encontrado 4 A partir das especificacoes no domınio da frequˆencia desejadas φm e ωu procedese o calculo dos ganhos do compensador desejado conforme veremos a seguir 9 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia Na frequˆencia de cruzamento de ganho ωu temos que o modulo da malha aberta deve ser igual a unidade GCjωuGPjωuHjωu 1 e a fase deve ser igual a 180 φm GCjωuGPjωuHjωu 180 φm Desta forma temos que GCjωu 1 GPjωuHjωu GCjωu 180 φm GPjωuHjωu Desta maneira a partir da estrutura base de um controlador AvancoAtraso de Fase iremos calcular os parˆametros do compensador atraves das duas equacoes anteriores 10 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia Da mesma forma que foi feito para o Lugar das Raızes de maneira a compreender a acao dos compensadores sobre o diagrama de Bode da resposta em frequˆencia iremos verificar qual o efeito da inclusao de um zero finito e da inclusao de um polo finito Vamos comecar pelo zero Sabese que um zero faz a curva de modulo subir a 20 dBdec a partir da frequˆencia do zero ωz e principal mente faz a curva de fase avancar de 0 em 0 1ωz ate 90 em 10ωz Desta forma concluise que o efeito da adicao de um zero no sistema e o de diminuir a taxa de decaimento da curva de modulo que em geral resulta em frequˆencias de cruzamento de ganho maiores e avancar a curva de fase que resulta num aumento da margem de fase Logo o efeito da inclusao do zero e positivo na resposta transitoria 11 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia Comparacao entre o diagrama de Bode de dois sistemas G1s 100 s 1s 32 G2s 50s 2 s 1s 32 80 60 40 20 0 20 40 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 270 225 180 135 90 45 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rads G1s G2s Margens relativas de estabilidade e frequˆencias φm 1 28 ωu 3 95 rads Mg 0 355 dB ω180 3 87 rads φm 41 ωu 6 53 rads Mg dB 12 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia Vamos analisar agora o polo Sabese que um polo faz a curva de modulo descer a 20 dBdec a partir da frequˆencia do polo ωp e principalmente faz a curva de fase atrasar de 0 em 0 1ωp ate 90 em 10ωp Desta forma concluise que o efeito da adicao de um polo no sistema e o de aumentar a taxa de decaimento da curva de modulo que em geral resulta em frequˆencias de cruzamento de ganho menores e atrasar a curva de fase que resulta numa diminuicao da margem de fase Logo o efeito da inclusao do polo e negativo na resposta transitoria 13 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia Comparacao entre o diagrama de Bode de dois sistemas G1s 10 s 1s 3 G2s 20 s 1s 2s 3 100 80 60 40 20 0 20 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 270 225 180 135 90 45 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rads G1s G2s Margens relativas de estabilidade e frequˆencias φm 73 9 ωu 2 4 rads Mg dB φm 44 5 ωu 1 84 rads Mg 9 54 dB ω180 3 32 rads 14 112 Conceito da Compensacao via Resposta em Frequˆencia Mas atencao se for inserido um zero no SPD o efeito e o oposto do esperado como a curva de fase diminui ate 90 o efeito e de diminuir a margem de fase Alem disso o sistema sera de fase nao mınima impossibilitando a utilizacao da margem de fase para analisar estabilidade e desempenho De maneira similar a inclusao de um polo no SPD trara um avanco de fase de ate 90 na curva de fase mas o sistema sera instavel em malha aberta 15 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Vamos comecar com o controlador AvancoAtraso de Fase LeadLag Temos que a equacao do controlador no planos em funcao do valor do polo do zero e do ganho e GCs Ks s0 s sp onde s0 e o valor do zero do controlador e sp e o valor do polo Observe que de modo que o controlador seja estavel o que e necessario sp deve ser positivo de modo que o polo esteja sobre o eixo real negativo Tambem vimos que por questao de estabilidade nao e recomendado inserir zeros no SPD o que implica que s0 tambem deve ser positivo o zero tambem estara sobre o eixo real negativo Tambem reescrevendose a equacao do controlador AvancoAtraso de Fase em funcao dos fatores temse GCs Ks0 sp s s0 1 s sp 1 16 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Primeiro vamos forcar o sistema em malha fechada a atingir a margem de fase Isto e feito a partir da equacao de fase Logo temos que GCjωu 180 φm GPjωuHjωu ou seja a equacao anterior mostra a deficiˆencia de fase do sistema para que a margem de fase seja atingida ou seja o tanto de fase que o controlador GCs tomado na resposta em frequˆencia na frequˆencia de cruzamento de ganho precisa contribuir para se atingir a margem de fase desejada Uma vez que para um controlador LeadLag a fase e GCjω K jω s0 jω sp jω s0 jω sp entao na frequˆencia de cruzamento de ganho temos GCjωu jωu s0 jωu sp ϕC0 ϕCp Isto os diz que ao se escolher a localizacao do polo ou do zero do controlador e possıvel calcular o outro 17 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia No projeto LeadLag e comum escolhermos o zero do controlador de maneira a cancelar com um polo da planta Mas atencao na pratica nunca sera possıvel o cancelamento de polos e zeros entre planta e controlador e nunca devemos cancelar polos e zeros entre planta e controlador que estao no SPD Tambem e indesejavel cancelar um polo da planta na origem ja que reduziria o tipo do sistema e seria prejudicial a resposta estacionaria Se o zero do controlador esta mais proximo da origem que o polo ou seja o zero esta a direita do polo no eixo real negativo ou ainda s0 sp entao o controlador e dito Avanco de Fase Se o polo do controlador esta mais proximo da origem que o zero ou seja o polo esta a direita do zero no eixo real negativo ou ainda sp s0 entao o controlador e dito Atraso de Fase 18 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Se o zero do controlador esta mais proximo da origem que o polo ou seja o zero esta a direita do polo no eixo real negativo ou ainda s0 sp entao o controlador e dito Avanco de Fase Para compreender este fato lembrese que GCs K s s0 s sp Ks0 sp s s0 1 s sp 1 e entao como s0 sp num controlador Avanco de Fase temse o esboco da curva de fase do diagrama de Bode 19 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia A curva de fase do controlador sempre estara acima da linha de 0 entre 0 e 90 e entao concluımos que a contribuicao do fase ou a defasagem de fase de um controlador Avanco de Fase sempre sera positiva 20 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Se o polo do controlador esta mais proximo da origem que o zero ou seja o polo esta a direita do zero no eixo real negativo ou ainda sp s0 entao o controlador e dito Atraso de Fase Para compreender este fato lembrese que GCs K s s0 s sp Ks0 sp s s0 1 s sp 1 e entao como sp s0 num controlador Atraso de Fase temse o esboco da curva de fase do diagrama de Bode 21 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia A curva de fase do controlador sempre estara abaixo da linha de 0 entre 0 e 90 e entao concluımos que a contribuicao do fase ou a defasagem de fase de um controlador Atraso de Fase sempre sera negativa 22 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequéncia Determinados o pdlo e zero do controlador aplicamos a equaao de moddulo para efetivamente fazer com que o médulo na frequéncia de cruzamento de ganho seja unitdrio Logo 1 Gc jy 777 INS NT ecUee TE Gis Han Uma vez que para um controlador LeadLag o médulo é Ket 8 K jw so Gcjw 1G Ue JW Sp jw Spl entdo na frequéncia de cruzamento de ganho temos Kljwu S0 Kre G Wu TS SS 2 Gciwu inv 51 te logo K jw Spl jwu 0GewuAGwu rc9GeGwuHGwu e entao temos o ganho K do controlador 23112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Um resumo do procedimento geral 1 A partir dos requisitos da resposta transitoria calcule as especificacoes na frequˆencia margem de fase φm e frequˆencia de cruzamento de ganho ωu Se as especificacoes na frequˆencia forem dadas calcular o desempenho esperado para a resposta no tempo 2 Calcular a fase GPjωuHjωu 3 Calcular a deficiˆencia de fase fase do controlador GCjωu 4 Escolher o zero ou polo do controlador e entao pela equacao de fase calcular o polo ou zero do controlador GCjωu jωu s0 jωu sp GCjωu ϕC0 ϕCp 5 Calcular o modulo GPjωuHjωu 6 Pela equacao de modulo calcular K K jωu sp jωu s0GPjωuHjωu K rCp rC0GPjωuHjωu 24 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Se o polo e o zero do controlador estiverem fora do eixo real negativo ou seja sp 0 e s0 0 entao o controlador encontrado nao pode ser utilizado pois isso acarretaria problemas de estabilidade O procedimento garante que sera atingida a margem de fase e frequˆencia de cruzamento de ganho desejados Entretanto o procedimento nao garante estabilidade se o sistema nao for de fase mınima Logo e ne cessario checar estabilidade em malha fechada o que pode ser feito de maneira definitiva pelo criterio de Nyquist Novamente nunca devemos cancelar polos e zeros entre planta e con trolador no SPD pois mesmo que na pratica isso fosse possıvel ou seja que tivessemos um modelo 100 exato da planta isto fere um conceito chamado de estabilidade interna 25 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Exemplo 61 Considere um sistema de controle a tempo contınuo cuja funcao de transferˆencia da planta e GPs 1 ss 1 e a realimentacao e unitaria ou seja Hs 1 Vus Desejase que o sistema em malha fechada possua um overshoot igual a 20 e um tempo de acomodacao igual a 6 s Dado o diagrama de Bode de GPsHs a seguir a Utilizandose somente um controlador proporcional ou seja GC s KP qual e o tempo de acomodacao possıvel de ser atingido se for desejado compensar o sistema para atingir o fator de amortecimento desejado b Faca o projeto de um controlador LeadLag via resposta em frequˆencia com as especi ficacoes desejadas O controlador encontrado e Avanco ou Atraso de Fase Justifiquese c Calcule o erro em regime permanente em unidades da saıda para entrada rampa unitaria em tensao com o controlador projetado no item anterior 26 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia 80 60 40 20 0 20 40 60 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads 27 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequéncia Resolugao Exemplo 61a Calculandose o fator de amortecimento a partir do overshoot especificado InM In0 2 C in p in 02 0456 InMp 7 In0 2 7 Calculandose entao a margem de fase temos dm tan ed 48 148 444 1 202 Como o controlador proporcional altera apenas a curva de mddulo e nao a de fase para se ter a margem de fase desejada é necessdrio que a fase de GpjwHjw na frequéncia de cruzamento de ganho seja LGpjwuHGwu 180 bm 13185 Pelo diagrama de Bode de GpsHs temos que esta fase sé pode ser atingida na frequéncia de cruzamento de ganho igual a aproximadamente 09 rads e consequentemente o tempo de acomodacao sera 8 8 t 7 9621 wutandn 09tan48 1487 9022 Isl que esta além dos 6 s desejados 28112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 61b Pelo item anterior viuse que para atingir os 20 de overshoot desejados e necessario uma margem de fase igual a 48 148 Logo φm 48 148 Para se ter um tempo de acomodacao igual a 6 s a frequˆencia de cruzamento de ganho deve ser ωu 8 ts tanφm 8 6 tan48 148 1 1943 rads Portanto as duas especificacoes no domınio da frequˆencia sao φm 48 148 e ωu 1 1943 rads Vamos calcular o modulo e a fase de GPjωuHjωu A funcao de transferˆencia GPsHs e GPsHs 1 ss 1 1 1 ss 1 Tomandose a resposta em frequˆencia s jω temse a figura a seguir 29 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 61b Os angulos sao Pp 90 p tan 22 50 06 Logo Gp jwuHUjwu 0 Yr po 140 06 Os médulos sao fo 11943 1 1943 lp 15577 sin px Logo GpjwuHjeoy 05375 pi pp Sendo assim a fase do controlador na frequéncia de cruzamento de ganho sera Gcjwu 180 bm LGeUwuHjwu LGcjwu 180 48 148 140 06 8 208 30112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 61b Como 0 LGcjwu 90 entao o controlador é Avanco de Fase Posicionando o zero do controlador em s 1 de forma a cancelar com o poélo da planta temos que so 1 Sendo assim tomandose a resposta em frequéncia do controlador temse a figura a seguir jo O48 11943 Za Sp x 0 A fase do zero do controlador é 1 1943 qQ tan 5006 Portanto a fase do pdlo do controlador é LGcjwu ye LC PGp C LGcjwu Pc 50 06 8 208 41 852 31112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 61b Portanto a localizagao do pdlo é 11943 tan c Sp 1194 1194 gp 4S 1B 3333 tan c tan 41 852 Calculandose os médulos do zero e do polo do controlador 11943 11943 15577 ri Ce a SS Os sinq sin 50 06 1 1943 1 1943 179 r Ss os 1 oo Sin vc sin 41 8526 Finalmente temos entao que o ganho K do controlador K Gp GwuHGwu 179 K 2 1379 1 55770 5375 32112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 61b Temos entao que a funcao de transferˆencia do controlador e GC s Ks s0 s sp 2 1379s 1 s 1 3333 A figura a seguir ilustra o Diagrama de Bode da malha aberta GC sGPsHs mostrando que a margem de fase φm 48 148 e a frequˆencia de cruzamento de ganho ωu 1 1943 rads foram atingidas 101 100 101 102 60 40 20 0 20 GM Inf dB at NaN rads PM 481477 deg at 119433 rads Magnitude dB 101 100 101 102 180 160 140 120 100 Phase deg Frequency rads 33 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 61b A figura a seguir ilustra a resposta ao degrau unitario da malha fechada mostrando que os requisitos no tempo overshoot Mp 0 2 e tempo de acomodacao ts 6 s foram alcancados 0 2 4 6 8 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo s Amplitude us yt rut 34 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 61c A constante de erro de velocidade é k Jim sGcsGpsHs 2137sety 1 Ke lim 7 3333 dsty Ky 1 6035 s A amplitude da rampa em tensao é 1 Vs Como H 1 Vus entao a amplitude na unidade da saida é 1 1 us uy Az 1 Vs 1 A A 1 Vus Vs s Portanto o erro em regime permanente em unidades da saida é Au 1 uss 2 s es 76035 iq 0 es 35 112 Projeto AvancoAtraso via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 61c A figura a seguir ilustra a resposta a rampa unitaria da malha fechada mostrando que o erro em regime permanente tende a aproximadamente 0 62 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Tempo s Amplitude us yt rut 36 112 Projeto PID e variacoes via Resposta em Frequˆencia Relembrandose a equacao do controlador PID no planos temos GCs KP KI s KDs O controlador PI e obtido zerandose a parte derivativa ou seja KD 0 gerando GCs KP KI s enquanto que o controlador PD e obtido zerandose a parte integradora ou seja KI 0 resultando em GCs KP KDs 37 112 Projeto PI via Resposta em Frequéncia O controlador PI é na realidade um caso particular de um controlador Lag Atraso de Fase no qual o pdlo do controlador estd localizado tao 4 direita do zero que esté numa das extremidades possiveis ou seja exatamente na origem s 0 Para vermos isso considere fi Kp Ss Kps kK K Gs PS FA A Bes s s Se compararmos com um controlador Lag padrao Ks 50 Ges KES SSp claramente vemos que o controlador Pl é um Lag cujo pdlo esta na origem sp 0 e K Kp so Kp Logo no projeto PI aproveitamos o procedimento do projeto Lag tomandose o cuidado de posicionar o pdlo do controlador em sp 0 Sendo assim teremos o controlador Pl definido como K S 50 Gcs s 38 112 Projeto PI via Resposta em Frequˆencia Um resumo do procedimento geral para PI 1 A partir dos requisitos da resposta transitoria calcule as especificacoes na frequˆencia mar gem de fase φm e frequˆencia de cruzamento de ganho ωu Se as especificacoes na frequˆencia forem dadas calcular o desempenho esperado para a resposta no tempo 2 Calcular a fase GPjωuHjωu 3 Calcular a deficiˆencia de fase fase do controlador GC jωu Observe que por se tratar de um controlador PI pelo fato do polo estar mais a direita do que o zero entao a fase do controlador deve ser sempre negativa entre 0 e 90 4 Calcular o zero do controlador atraves da equacao de fase jωu s0 GC jωu jωu ϕC0 GC jωu 90 5 Calcular o modulo GPjωuHjωu 6 Pela equacao de modulo calcular K K jωu jωu s0GPjωuHjωu ωu rC0GPjωuHjωu 7 Calcular KP e KI a partir de s0 e K 39 112 Projeto PD via Resposta em Frequéncia Ja o controlador PD 6 na realidade um caso particular de um controlador Lead Avanco de Fase no qual o polo do controlador estd localizado tao 4 esquerda do zero que esta na outra extremidade possivel ou seja exatamente no infinito s oo Para vermos isso considere K Gcs Kp Kps Kp s i Kp Se compararmos com um controlador Lead padrao Ks 50 Ges KES SSp claramente vemos que o controlador PD é um Lead cujo polo esta no infinito sp oo e KKp Logo no projeto PD aproveitamos o procedimento do projeto Lead tomandose o cuidado de posicionar o pdlo do controlador em sp oo ou seja ignorar o pdlo Sendo assim teremos o controlador PD definido como Gcs Ks 50 40 112 Projeto PD via Resposta em Frequˆencia Um resumo do procedimento geral para PD 1 A partir dos requisitos da resposta transitoria calcule as especificacoes na frequˆencia margem de fase φm e frequˆencia de cruzamento de ganho ωu Se as especificacoes na frequˆencia forem dadas calcular o desempenho esperado para a resposta no tempo 2 Calcular a fase GPjωuHjωu 3 Calcular a deficiˆencia de fase fase do controlador GCjωu Observe que por se tratar de um controlador PD pelo fato do polo estar mais a esquerda do que o zero entao a fase do controlador deve ser sempre positiva entre 0 e 90 4 Calcular o zero do controlador atraves da equacao de fase jωu s0 GCjωu ϕC0 GCjωu 5 Calcular o modulo GPjωuHjωu 6 Pela equacao de modulo calcular K K 1 jωu s0GPjωuHjωu 1 rC0GPjωuHjωu 7 Calcular KP e KD a partir de s0 e K 41 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Vamos mostrar agora que o controlador PID é na realidade um caso particular de con trolador Avango e Atraso de Fase ou seja uma cascata de um Avano de Fase com um Atraso de Fase Considerando a estrutura de um controlador Avango e Atraso de Fase Ks S 5 Gcs 0 7 s Sp 5 Spo onde os zeros do controlador devem estar entre os pdlos ou seja Sp 90 S02 Spy considerando que os zeros do controlador Avanco e Atraso sao reais o que ndo é necessario Desenvolvendo a equaao do controlador PID temse Kp kK Kp s s a Kps Kpsk p Kp Kp Gcs Se Y s s 42112 as Projeto PID via Resposta em Frequéncia Desenvolvendose a equacdo do controlador Avancgo e Atraso de Fase K s 50 025 0 502 Gcs s e comparandose com a do PID fica claro que o controlador PID é um caso particular do controlador Avanco e Atraso de Fase de maneira que os polos estado nos extremos ou seja um esta em s 0 0 outroem s coe Kp K Kp Kp 50 Kp K 50 50 Ki 0 S02 kK K50 505 Kp Logo no projeto PID posicionamos um dos pédlos do controlador Avanco e Atraso na origem e o outro em oo gerando Ks 0 0 Ges Kis s 5 s e entdo posicionamos um dos zeros do controlador também cancelandoo com um pélo da planta nos casos onde é possivel calculamos 0 outro zero do controlador pelo critério de Angulo e o ganho K pelo critério de mddulo 43 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Um resumo do procedimento geral para PID 1 A partir dos requisitos da resposta transitoria calcule as especificacoes na frequˆencia mar gem de fase φm e frequˆencia de cruzamento de ganho ωu Se as especificacoes na frequˆencia forem dadas calcular o desempenho esperado para a resposta no tempo 2 Calcular a fase GPjωuHjωu 3 Calcular a deficiˆencia de fase fase do controlador GC jωu Observe que por se tratar de um controlador PID a fase do controlador deve estar entre 90 e 90 4 Posicionar o zero do controlador s01 e entao calcular o zero do controlador s02 atraves da equacao de fase jωu s02 GC jωu jωu jωu s01 ϕC02 GC jωu 90 ϕC01 5 Calcular o modulo GPjωuHjωu 6 Pela equacao de modulo calcular K K jωu jωu s01jωu s02GPjωuHjωu ωu rC01 rC02 GPjωuHjωu 7 Calcular KP KI e KD a partir de s01 s02 e K 44 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Exemplo 62 Considere o sistema de controle de velocidade de um servomotor cuja fundo de transferéncia da planta e atuador é dada por Ys 5929 rads Gps V6 8929 ee Us 5s 698s 1512 Vv ea funcdo de transferéncia do sensor é dada por V Hs 05 rads R L A A Lz e e 5 B Jy w 45 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Exemplo 62 Continuacao Desejase fazer o projeto de um controlador PID via resposta em frequˆencia de forma que o sistema de controle em malha fechada possua as seguintes caracterısticas i Erro nulo para entrada degrau ii Velocidade do eixo do servomotor em regime permanente igual a 10 rads iii Overshoot igual a 20 iv Tempo de acomodacao igual a 1 s Sendo assim responda a Qual deve ser o sinal de referˆencia de entrada em tensao b Quais sao as especificacoes na frequˆencia c Quais os parˆametros deste controlador d Qual o erro em regime permanente em rads para uma entrada rampa de amplitude 2 5 Vs 46 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolugao Exemplo 62a A funao GpsHs sera 5929 29 645 GpsH8 Sa 9 8 ae s 6985 1512 s 698s 1512 Analisandose GpsHs vése que é Tipo 0 enquanto analisandose Gcs que é um controlador PID verificase que é Tipo 1 Logo GcsGpsHs é Tipo 1 e portanto o erro em regime permanente para degrau é nulo Logo a referncia na mesma unidade da saida deverd ser um degrau de amplitude 10 rads ou seja 1 Rus 10 rads s Sendo assim Vv 10 5 Rs HRus 05 Fa rads VY rads s s ou seja a referéncia em tensdo deve ser um degrau de amplitude igual a 5 V 47 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolugao Exemplo 62b Calculandose o fator de amortecimento a partir do overshoot especificado InM In0 2 C ln Mp p ke 02 9 456 InM 1 In02 1 Calculandose entao a margem de fase temos dm tan ed 48 148 444 1 22 Para se ter um tempo de acomoda4o igual a 1 s a frequéncia de cruzamento de ganho deve ser 8 8 y 7 1659 rads Yu ttandm 1 tan48 148 rads Portanto as duas especificagdes no dominio da frequéncia sdo m 48148 e wy 7 1659 rads 48 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 62c Vamos calcular o modulo e a fase de GPjωuHjωu A funcao de transferˆencia GPsHs e GPsHs 59 29 s2 6 98s 15 12 0 5 29 645 s2 6 98s 15 12 As raızes de s2 6 98s 15 12 0 sao s12 3 49 j1 7146 Logo GPsHs 29 645 s 3 49 j1 7146s 3 49 1 7146 Tomandose a resposta em frequˆencia s jω temse a figura a seguir 49 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 62c Os angulos sao 1 71659 1 7146 Pr tan 1 a 57 372 1 71659 1 7146 Pr tan 1 ea 68545 Logo GpjwuHjwu 9 Yp Pp 12592 Os méddulos sao 3 49 tp 6 4728 cosYp 349 fp 2 95415 cosp Logo Gr ju Hjor 22248 0 48 1 pp Sendo assim a fase do controlador na frequéncia de cruzamento de ganho sera Gcjwu 180 dm ZGeiwuHjwu LGcjwu 180 48 148 125 92 5 932 50 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 62c Como a planta possui apenas dois polos complexoconjugados nao e possıvel escolher um dos zeros do controlador para cancelar com um dos polos da planta sendo necessario uma analise adicional para posicionalo No controlador PID temos que na frequˆencia de cruzamento de ganho jωu s01 jωu s02 jωu GC jωu jωu s01 jωu s02 5 932 90 84 068 ϕC01 ϕC02 84 068 E conveniente lembrar que cada zero pode contribuir com ate 90 na curva de fase Idealmente gostarıamos que os zeros estivessem bem a esquerda no planos de modo que nao interferissem na resposta no tempo do sistema em malha fechada lembrese que os zeros da malha fechada sao iguais aos da malha aberta Se um dos zeros for posicionado muito a esquerda frequˆencias posteriores a uma decada apos a frequˆencia de cruzamento de ganho no planos entao sua contribuicao de fase sera muito pequena Isto faria que a contribuicao de fase do outro zero fosse muito grande frequˆencias anteriores a uma decada antes da frequˆencia de cruzamento de ga nho colocandoo mais proximo do eixojω o que e indesejado Sendo assim vamos posicionar um dos zeros proximo a frequˆencia de cruzamento de ga nho de modo que sua contribuicao seja proxima de 45 e o outro tambem estaria pelas redondezas Sendo assim s01 8 ja que ωu 7 1659 51 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 62c Sendo assim tomandose a resposta em frequéncia do controlador sem o zero em s s0 temse a figura a seguir jo Qu 71659 zk 8 0 Sol A fase do zero em s 59 do controlador é 7 1659 O tan 2 41852 Portanto a fase do pdlo do controlador é yc 90 Logo O PQ 84 068 PO 84 068 PO C 42216 52112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 62c Uma vez que Pa PO isto implica que 0 zero em s esta a direita de sp Sendo assim tomandose a resposta em frequéncia do controlador com o zero em s 59 temse a figura a seguir jo Qu 71659 Lh o 8 S02 Spl S01 Portanto a localizagao do zero em s s9 do controlador é 71659 tan c So 7 1659 7 1659 509 rey 7 8985 tan ec tan 42 216 53112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 62c Calculandose os médulos dos zero e do polo do controlador 71659 7 1659 lO 1074 sin c sin 41 852 7 1659 7 1659 Co oF sin42 216 10 665 sin ec sin 42 Cp Wu 71659 Finalmente temos entdo que o ganho K do controlador k Co Coy GpjwuHGwu 1 K 21089 9 1303 10 7410 6650 48 54112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 62c Temos entao que a funcao de transferˆencia do controlador e GC s Ks s01s s02 s 0 1303s 8s 7 8985 s GC s 0 1303s2 2 0716s 8 2334 s GC s 2 0716 8 2334 s 0 1303s Sendo assim KP 2 0716 KI 8 2334 KD 0 1303 55 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 62c A figura a seguir ilustra o Diagrama de Bode da malha aberta GC sGPsHs mostrando que a margem de fase φm 48 148 e a frequˆencia de cruzamento de ganho ωu 7 1659 rads foram atingidas 101 100 101 102 20 0 20 40 GM Inf dB at NaN rads PM 481477 deg at 716597 rads Magnitude dB 101 100 101 102 130 120 110 100 90 Phase deg Frequency rads 56 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 62c A figura a seguir ilustra a resposta ao degrau de amplitude 10 rads da malha fechada mostrando que os requisitos no tempo overshoot Mp 0 2 e tempo de acomodacao ts 1 s foram proximos de serem alcancados 0 05 1 15 2 0 2 4 6 8 10 12 14 Tempo s Amplitude us yt rut 57 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 62c A figura a seguir ilustra a resposta ao degrau de amplitude 10 rads da malha fechada quando comparada ao controlador encontrado usando o metodo de Lugar das Raızes com as mesmas especificacoes na Aula 04 0 05 1 15 2 0 2 4 6 8 10 12 14 Tempo s Amplitude us Resposta em Frequencia Lugar das Raizes Percebese que o metodo de Lugar das Raızes gerou uma resposta ligeiramente melhor que o de Resposta em Frequˆencia 58 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 62d A constante de erro de velocidade é Ky dim sGcsGpsHs 0 1303s 2 0716s 8 2334 29645 K lim 3 50 s2 6985 1512 Ky 16 143 B s A amplitude da rampa em tensdo é 25 Vs Como Hy 05 Vrads entao a amplitude na unidade da saida é 1 1 Ay A 25 Vs 5 ne Hy 05 Vrads s Portanto o erro em regime permanente em unidades da saida é Au es 5 radss 031 rads K 16143 1s 59112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 62d A figura a seguir ilustra a resposta a rampa de amplitude 5 Vs da malha fechada mostrando que o erro em regime permanente tende a aproximadamente 0 31 0 1 2 3 4 5 0 5 10 15 20 25 Tempo s Amplitude us yt rut 60 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Exemplo 63 Considere o sistema de controle de atitude de um satélite cuja fundo de transferéncia da planta e atuador é dada por Ys 1 Gps 2 ps Us s Vv ea funcdo de transferéncia do sensor é dada por V Hs2 s x S 61112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Exemplo 63 Continuacao Desejase fazer o projeto de um controlador PD via resposta em frequˆencia de forma que em malha fechada o sistema tenha margem de fase igual a 45 e frequˆencia de cruzamento de ganho igual a 2 rads Sendo assim responda a Qual o desempenho esperado para este sistema de controle b Quais sao os parˆametros do compensador c Qual deve ser o sinal de referˆencia de entrada em tensao se e desejado que em regime permanente a posicao angular do satelite seja 0 5 rad 62 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolugao Exemplo 63a Como dm 45 entao gm 100 ou seja 001ldm 045 Logo TC 7045 Mp e ViG e V1045 9 2054 ou seja esperase um overshoot de 2054 Também temos que 8 8 t wytandm 2tan45 entdo esperase um tempo de acomodacdo de 4 s 63112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolucao Exemplo 63b Precisaremos para o restante dos cdlculos do Angulo e do médulo de GpsHs no ponto de compensaao jw Temos entao 1 2 GpsHs 525 s s Logo Gp isu Hi ay PUwu Wy a OF mmr iw 2 42 Portanto Gpjwu Hw yWl 25 pee wr 2 72 22 LGpjvruHjeeu 2 412 42 0 90 90 180 Observe que devido ao fato de GpsHs possuir dois pélos na origem e cada um deles contribuir com 90 independentemente da frequéncia a fase deve ser 180 e nado 180 64112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 63b Utilizando o controlador PD definido por GCs Ks s0 temos que GCjωu jωu s0 ϕC0 Sendo assim GCjωu 180 φm GPjωuHjωu GCjωu 180 45 180 e entao ϕC0 45 Pela interpretacao grafica da resposta em frequˆencia do controlador chegase a s0 ωu tanϕC0 2 tan45 2 e tambem a rC0 ωu sinϕC0 2 sin45 2 8284 65 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resolucao Exemplo 63b Pela equacao de modulo devemos ter K 1 jωu s0GPjωuHjωu 1 rC0GPjωuHjωu K 1 2 82840 25 0 7071 Finalmente entao temos que o controlador PD e GCs Ks s0 0 7071s 2 1 4142 0 7071s e entao KP 1 4142 e KD 0 7071 66 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Diagrama de Bode do Sistema Compensado Exemplo 63 101 100 101 102 40 20 0 20 40 GM Inf dB at NaN rads PM 45 deg at 2 rads Magnitude dB 101 100 101 102 180 160 140 120 100 Phase deg Frequency rads 67 112 Projeto PID via Resposta em Frequéncia Resolugao Exemplo 63c e Como a fundo GcsGpsHs tem dois pdlos na origem entdo o erro para degrau é nulo Logo a referéncia na mesma unidade da saida deverd ser um degrau de amplitude 05 rad ou seja 05 Rs rad s Sendo assim V 05 1 Rs HRys 2 rad V 5 MeRas 2 G 22 trad 2 ou seja a referéncia em tensdo deve ser um degrau de amplitude igual a 1 V 68 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Resposta ao Degrau de Amplitude 1 V 0 5 rad em Malha Fechada do Sistema Com pensado Exemplo 63 0 2 4 6 8 0 01 02 03 04 05 06 07 Tempo s Amplitude rut yt Obtido Mp 0 3472 e ts 4 556 s 69 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Convem investigar por que o overshoot do Exemplo 63 ter sido tao diferente do esperado Vamos calcular a funcao de transferˆencia em malha fechada Ts GC sGPs 1 GC sGPsHs Ts 0 7071s 2 1 s2 1 0 7071s 2 2 s2 0 7071s 2 s2 1 1 4142s 2 s2 Ts 0 7071s 2 s2 s2 1 4142s 2 8284 s2 0 7071s 2 s2 1 4142s 2 8284 Os polos em malha fechada sao as raızes de s2 1 4142s 2 8284 0 ou seja s12 0 7071 j1 5259 Estes polos correspondem a parˆametros do sistema de segundaordem ζ 0 42045 e ωn 1 6818 rads que por sua vez correspondem a Mp 0 2332 e ts 5 6568 s Como os zeros da malha fechada sao iguais aos zeros da malha aberta vemos que o sistema possui um zero em malha fechada em s 2 razoavelmente proximo dos polos dominantes Este zero proximo dos polos dominantes ira alterar ligeiramente a resposta do sistema quando comparado ao do sistema de segunda ordem subamortecido o que era esperado Lembrar de Sistemas Dinˆamicos que zeros proximos dos polos dominantes fazem com que o tempo de subida seja reduzido e o overshoot seja aumentado 70 112 Projeto PID via Resposta em Frequˆencia Como o zero vem do controlador poderıamos pensar em utilizar um controlador Avanco de Fase posicionando o zero longe a esquerda no SPE e entao calcular sp e K Pela equacao de fase entao terıamos que GCjωu ϕC0 ϕCp o que implica ϕCp ϕC0 45 Se o zero esta longe a esquerda no SPE entao ϕC0 e pequeno e ϕCp seria negativo o que nao e possıvel Na realidade para que ϕCp seja positivo o que e necessario pela interpretacao grafica e necessario que θC0 45 ou seja o zero tem que estar a direita de s 2 mais proximo do eixojω Isto piorara ainda mais o overshoot da resposta transitoria Para obtermos um menor overshoot terıamos que relaxar a especificacao de tempo de acomodacao aumentando ts e deixando o sistema mais lento 71 112 Projeto para Resposta Estacionaria Conforme vimos o controlador Atraso de Fase tem como objetivo diminuir o erro em regime permanente para um determinado tipo de entrada porem sem elimina lo Entretanto em algumas situacoes a diminuicao do erro em regime permanente obtida pelo controlador ao se projetar levando em consideracao os requisitos da resposta transitoria nao e suficiente Nestes casos podemos projetar um controlador Atraso de Fase com o unico proposito de diminuir o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitoria No metodo de Resposta em Frequˆencia isso e obtido ao se fazer o polo e o zero do controlador muito proximos da origem e um do outro de forma que nas redon dezas da frequˆencia de cruzamento de ganho o diagrama de Bode da resposta em frequˆencia da malha aberta nao se altere significativamente Portanto a margem de fase e a frequˆencia de cruzamento de ganho devem ser possıveis de serem obtidas a partir da resposta em frequˆencia de GPsHs Se as especificacoes na frequˆencia nao podem ser obtidas entao projetase um con trolador Avanco de Fase para que sejam atingidas e depois projetase um Atraso de Fase para atingir a especificacao da resposta estacionaria erro em regime per manente dando origem entao a um controlador Avanco e Atraso de Fase 72 112 Projeto para Resposta Estacionaria Seja um controlador Atraso de Fase GCs Ks s0 s sp Temos pela equacao de fase que GCjωu GPjωuHjωu 180 φm Como a margem de fase φm e possıvel de ser atingida com a frequˆencia de cru zamento de ganho ωu entao φm 180 GPjωuHjωu Portanto terıamos GCjωu 0 o que configuraria um controlador proporcional Entretanto como GCjωu jωu s0 jωu sp se o zero do controlador e o polo estiverem muito proximos entao jωu s0 jωu sp e entao GCjωu 0 e assim a curva de fase do diagrama de Bode da malha aberta sera ligeiramente deslocada para baixo o que configura um atraso de fase adicional pois sp e ligeiramente menor que s0 Na pratica um atraso de fase de ate 5 e toleravel Temos pela equacao de modulo que K jωu sp jωu s0 GPjωuHjωu 73 112 Projeto para Resposta Estacionaria Como o zero e o polo do controlador estao proximos um do outro e considerando que suas frequˆencias estao distantes a esquerda de ωu entao jωu sp jωu s0 e entao K 1 GPjωuHjωu A partir da especificacao de erro em regime permanente e possıvel calcular a cons tante de erro para a entrada desejada Kp Kv ou Ka e entao posicionandose o zero do controlador de modo que sua frequˆencia seja muito menor que ωu e tendo se o valor de K s0 e da constante de erro calculase sp Por exemplo para um sistema de controle Tipo 1 o erro limitado e para rampa logo Kv lim s0 sGCsGPsHs Kv lim s0 s Ks s0 s sp GPsHs Kv Ks0 sp lim s0 sGPsHs e finalmente sp Ks0 lim s0 sGPsHs Kv 74 112 Projeto para Resposta Estacionaria Como o controlador posiciona um polo e um zero muito proximos da origem entao pode ser que exista um modo extremamente lento no sistema em malha fechada o que fara que a resposta seja excessivamente mais lenta do que se espera Se a frequˆencia do zero nao for escolhida suficientemente longe a esquerda de ωu entao o atraso de fase adicional sera muito grande e a compensacao podera nao ser efetiva Se isso ocorrer afastase ainda mais a frequˆencia do zero do controlador de ωu e tentase novamente Um bom ponto de partida e fazer a frequˆencia do zero ser 10 vezes menor que ωu ou seja s0 0 1ωu Com isso esperase que no entorno na frequˆencia de cruzamento de ganho o atraso de fase adicional gerado pelo controlador Atraso de Fase seja pequeno o suficiente para nao interferir na resposta esperada Este processo pode necessitar de algumas iteracoes para se encontrar uma resposta satisfatoria 75 112 Projeto para Resposta Estacionaria Um resumo do procedimento geral 1 A partir das especificacoes da resposta transitoria calcule as especificacoes na frequˆencia φm e ωu Se as especificacoes na frequˆencia forem dadas calcular o desempenho esperado compensando neste ponto 2 Determinados φm e ωu calcular a fase GPjωuHjωu Se φm GPjωuHjωu 180 entao projetar um controlador Avanco de Fase ou ate mesmo Atraso de Fase para atingir tal especificacao 3 Pela equacao de modulo calcular K K 1 GPjωuHjωu 4 Posicionar o zero do controlador Atraso de Fase de modo que sua frequˆencia seja menor que ωu 5 A partir da especificacao do erro em regime permanente calcular a constante de erro desejada 6 A partir da constante de erro desejada de K e s0 calcular a localizacao do polo do controlador 76 112 Projeto para Resposta Estacionaria Vamos voltar ao sistema de controle do Exemplo 61 Suponha que seja desejado compensar o sistema atraves de um controlador Atraso de Fase de modo que as especificacoes na frequˆencia sejam φm 48 e ωu 0 9 rads e que o erro em regime permanente para rampa seja reduzido em 10 vezes Observe que pelo grafico fornecido junto ao exercıcio para atingir a margem de fase igual a 48 a frequˆencia de cruzamento de ganho deve ser 0 9 rads ou seja as especificacoes na frequˆencia ja sao naturais do proprio sistema As especificacoes na frequˆencia correspondem aproximadamente a um overshoot de 20 e um tempo de acomodacao de 8 s Na frequˆencia de cruzamento de ganho ωu 0 9 rads temos GPjωuHjωu 1 jωujωu 1 1 j0 9j0 9 1 0 8259 131 99 Observe que φm GPjωuHjωu 180 131 99 180 48 01 comprovando que as especificacoes na frequˆencia podem ser atingidas Pelo criterio de modulo o ganho K necessario para impor estes polos em malha fechada e K 1 GPjωuHjωu 1 0 8259 1 2108 77 112 Projeto para Resposta Estacionaria Como ωu 0 9 rads vamos escolher inicialmente posicionar o zero do controlador de modo que sua frequˆencia seja 10 vezes menor que ωu Logo s0 0 09 A constante de erro de velocidade atual sem o controlador e Kv lim s0 sGPsHs lim s0 s 1 ss 1 1 Logo o erro pra rampa atual e ess A Kv A Como e desejado que o erro seja reduzido em 10 vezes entao 0 1A A Kv Kv 10 ou seja a constante de erro de velocidade deve ser aumentada em 10 vezes 78 112 Projeto para Resposta Estacionaria Logo Kv lim s0 sGCsGPsHs Kv lim s0 s Ks s0 s sp 1 ss 1 Kv Ks0 sp 1 Como K 1 2108 s0 0 09 e Kv 10 sp Ks0 Kv 1 21080 09 10 0 0109 Portanto GCs 1 2108s 0 09 s 0 0109 79 112 Projeto para Resposta Estacionaria Diagrama de Bode com o controlador Atraso de Fase projetado 104 103 102 101 100 101 102 100 50 0 50 100 Modulo dB Frequencia Sem Atraso de Fase Com Atraso de Fase 104 103 102 101 100 101 102 180 160 140 120 100 80 Fase graus Frequencia Sem Atraso de Fase Com Atraso de Fase Note o deslocamento da curva de fase do diagrama de Bode para baixo nas redondezas da frequˆencia de cruzamento de ganho quando comparado ao sistema compensado com controlador proporcional Especificacoes atingidas φm 42 92 e ωu 0 903 rads 80 112 Projeto para Resposta Estacionaria Resposta ao degrau unitario do sistema compensado com o controlador Atraso de Fase projetado e sem Atraso de Fase somente com um controlador proporcional KP 1 2108 0 5 10 15 20 25 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo s Amplitude Sem Atraso de Fase Com Atraso de Fase Zeros em malha fechada s1 0 09 Polos em malha fechada s12 0 4574 j0 9616 e s3 0 0961 81 112 Projeto para Resposta Estacionaria Resposta a rampa unitaria do sistema compensado com o controlador Atraso de Fase projetado 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 Tempo s Amplitude Referencia Sem Atraso de Fase Com Atraso de Fase 82 112 Projeto para Resposta Estacionaria Se tivessemos feito o projeto posicionando a frequˆencia do zero do controlador 20 vezes menor que a frequˆencia de cruzamento de ganho s0 0 045 e 5 vezes menor que a frequˆencia de cruzamento de ganho s0 0 18 104 103 102 101 100 101 102 100 50 0 50 100 Modulo dB Frequencia s0 009 s0 0045 s0 018 104 103 102 101 100 101 102 180 160 140 120 100 80 Fase graus Frequencia s0 009 s0 0045 s0 018 83 112 Projeto para Resposta Estacionaria Resposta ao degrau unitario do sistema compensado com o controlador os trˆes controla dores Atraso de Fase 0 5 10 15 20 25 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo s Amplitude s0 009 s0 0045 s0 018 84 112 Projeto para Resposta Estacionaria Resposta ao degrau unitario do sistema compensado com os controladores Atraso de Fase projetados a partir do Lugar das Raızes Aula 04 e Resposta em Frequˆencia com as mesmas especificacoes 0 5 10 15 20 25 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo s Amplitude Resposta em Frequencia Lugar das Raizes 85 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Vimos na aula anterior tecnicas de analise de estabilidade de sistemas em malha fechada a partir da resposta em frequˆencia do sistema em malha aberta Entretanto as caracterısticas sao determinadas pela resposta em frequˆencia da malha fechada Veremos entao como correlacionar graficamente a resposta em frequˆencia da malha fechada a partir da resposta em frequˆencia em malha aberta Considere a princıpio que o sistema de controle possui realimentacao unitaria conforme ilustrado na figura abaixo Veremos posteriormente como tratar o caso em que a realimentacao nao e unitaria 86 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Tomandose a resposta em frequˆencia da malha fechada teremos Y jω Rjω Tjω Gjω 1 Gjω Em geral para um sistema cujo comportamento e o de um de segundaordem su bamortecido a curva de modulo da resposta em frequˆencia de Tjω e dada pela seguinte figura 87 112 Resposta em Frequéncia da Malha Fechada O ponto de maior médulo M é conhecido como pico de ressonancia e esta inti mamente ligado ao overshoot maximo pico que a resposta ao degrau do sistema apresenta quanto maior M maior sera o overshoot A frequéncia na qual ocorre pico de ressonancia é conhecida como frequéncia de ressonancia Se Ts é exatamente igual ao modelo de um sistema de segundaordem padrao a relacdo entre M e o maximo pico Mp é exata pois M pode ser determinado a partir de O mddulo de Tjw é 1 TGe w w 253 5 Wn Wn E evidente que Tjw apresentard um maximo quando a fun3o uw 2 w 2 fw 1 26 122 5 apresentar um minimo 88 112 Resposta em Frequéncia da Malha Fechada Para encontrar o minimo precisamos derivar a funcdo fw e igualdla a zero A derivada é df Aw Aw 2 1 a dw wn Igualando a equacao anterior a zero temos dw wr 27 1 0 A Unica soluao postiva e nao nula é Wr WnV12 Substituindose a frequéncia w w na equado do méddulo temos entdo que o pico de ressonancia sera M 1 V1 Perceba que sé ha ressonancia see0 we 89112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Vamos agora derivar a transformacao grafica da resposta em frequˆencia da malha aberta para a resposta em frequˆencia da malha fechada Suponha que o diagrama polar realimaginario da resposta em frequˆencia da malha aberta diagrama de Ny quist seja ilustrado pela figura abaixo Conforme mostra o ponto ω ωa na figura anterior podemos reescrever a equacao da malha fechada como Y jω Rjω Gjω ejθ 1 Gjω ejβ Mejθβ Mejφ Vemos entao que M e o modulo da resposta em frequˆencia da malha fechada e φ e a fase 90 112 Resposta em Frequéncia da Malha Fechada Os lugares geométricos no planoGjw nos quais o médulo M é constante sdo conhecidos como lugares geométricos de mddulo constante e sao circulos Para ver isto considere GYjw X iY Logo temos que uy MEY V1 X Y M2 xX 4 1 xX2 Y2 M 2MX 4 M2X 4 MY xX 4 Y 1 MX 2MX 41 MY M Se M 1 podemos dividir a equac3o anterior por 1 M Caso M 1 a equacio serd a de uma reta em X 3 Dividindo a equacdo anterior por 1 M2 teremos M M X 2 xy 1 M2 1 M2 91112 Resposta em Frequéncia da Malha Fechada Para vermos que a equacao anterior é a equacao de uma circunferéncia basta somarmos o termo M1 M em ambos os membros M2 M4 M2 M xX 2 X 4 4 y 4 se 1me Gmpt 1Mm Gmyp M2 2 M2 y a Gm M2 2 M2 X y eo 7 we 1p Sendo assim dado que a equacao geral de uma circunferéncia de raio igual a r e centro em C x0 yo 5 x x0 y yo r vemos ent4o que de fato o lugar geométrico de M constante sao circulos de raio M r M21 e centro em 5 M c wo 0 M21 92112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada O diagrama polar realimaginario formado pelos lugares geometricos de modulo constante Mconstante para diversos M e chamado de grafico de cırculosM ou grafico de modulo constante 93 112 Resposta em Frequéncia da Malha Fechada Os lugares geométricos no planoGjw nos quais a fase é constante sao conhecidos como lugares geométricos de fase constante e também sAo circulos Para ver isto considere N tan tan6 B Pela identidade trigonométrica tangente da diferenca entre dois Angulos temse que N tan tan8 1tantanB Y Y tan tan tan tan YY wat AXJ LNA XJ LX 1X 1tan tan1 tan tan2 Y 147 an tan an tan rf x 1xX X14xX Y1 xX YX X1X Y N W X14XY X24x4Y2 X1X NX NX NY Y 0 94112 Resposta em Frequéncia da Malha Fechada Se N 0 podemos dividir a equacdo anterior por N Caso N 0 lugar geométrico de fase 0 constante a equado serd a de uma reta em Y 0 Dividindo a equacdo anterior por N teremos 1 X4XY2Y0 N Para ver que a equacao anterior é a equacdo de uma circunferéncia somase o termo jtap em ambos os membros da equaao anterior e teremos 1 1 1 1 1 Xe4eXo4YLy4 4 at N Ne 4 ane 1 1 101 x Y xF Yan a ae Sendo assim dado que a equac4o geral de uma circunferéncia de raio igual a r e centro em C x0 yo vemos ento que de fato o lugar geométrico de N constante sdo circulos de raio 1 4 1 r 4 4N2 e centro em 1 1 c 2 2N 95 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada O diagrama polar realimaginario formado pelos lugares geometricos de fase cons tante Nconstante para diversos N e chamado de grafico de cırculosN ou grafico de fase constante 96 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Na faixa de frequˆencias onde Gjω 1 em geral em baixas frequˆencias temos que Tjω 1 Ou seja a saıda rastreia a entrada muito bem Observe que se Gs possui integradores polos na origem o modulo de Gjω e grande em baixas frequˆencias e isto reforca a importˆancia do uso de integradores para rastrear sinais de referˆencia em regime permanente Na faixa de frequˆencias onde Gjω 1 em geral em altas frequˆencias temos que Tjω Gjω Ou seja a saıda sera fortemente atenuada e portanto na realidade o modulo e fase Gjω nao importa Vemos entao que ruıdos de alta frequˆencia tendem a ser atenuados Porem nas frequˆencias intermediarias onde Gjω 1 podem ocorrer duas situacoes Se 1Gjω e grande entao o diagrama de Nyquist passa longe do ponto 1 Logo indica margens de estabilidade relativa boas Alem disso uma vez que Gjω 1 e 1 Gjω 1 entao ma curvaM correspondente e menor que 1 indicando que nao ha pico de ressonˆancia Entretanto se 1 Gjω e pequeno entao o diagrama de Nyquist passa perto do ponto 1 Logo indica margens de estabilidade relativa pobres Alem disso uma vez que Gjω 1 e 1 Gjω 1 entao ma curvaM correspondente e maior que 1 indicando que ha pico de ressonˆancia Logo um sistema em malha fechada somente sera ressonante se possuir margens de estabilidade relativa pequenas 97 112 a c Resposta em Frequéncia da Malha Fechada Sendo assim o Diagrama de Bode da resposta em frequéncia da malha fechada pode ser construido a partir do Diagrama de Nyquist da resposta em frequéncia em malha aberta analisandose em cada frequéncia w qual curvaM e curvaN o diagrama de Nyquist cruza Observe que este procedimento também possibilita determinar o valor do pico de ressonancia M ea frequéncia de ressonancia w bastando ver qual é 0 valor de curvaM que o Diagrama de Nyquist tangencia para conhecer M e a frequéncia correspondente a este ponto para determinar w A banda passante de sistema de controle é a faixa de frequéncias entre a frequéncia zero e frequéncia na qual o mddulo da resposta em frequéncia em malha fechada é igual a 3 dB Sendo assim para conhecer a banda passante é necessdrio checar em qual frequéncia o Diagrama de Nyquist tangencia a curvaM correspondente a J22 aproximadamente M 071 Em muitos casos prdticos a banda passante é aproximada para a frequéncia de cruzamento de ganho Infelizmente o desenho das curvasM e N tem exatidao muito pequena prdoximo ao ponto 1 Por esta razao em geral os lugares geométricos de mddulo constante e fase constante sao plotados no grafico mddulo x fase Este diagrama é conhecido como Carta de Nichols Sendo assim o grafico da resposta em frequéncia em malha aberta de mddulo x fase é chamado de Diagrama de Nichols Para sistemas de fase minima é possivel analisar a estabilidade via critério de Bode através do Diagrama de Nichols 98 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Carta de Nichols 99 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Exemplo 64 Considere um sistema de controle no qual a funcao de transferˆencia do ramo direto e Gs 5 s2 9s 8 Considerando a realimentacao unitaria e dado o Diagrama de Nichols en contre as margens de fase e de ganho determine se o sistema e ressonante em malha fechada e caso afirmativo encontre o pico de ressonˆancia Mr 100 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Diagrama de Nichols de Gs Exemplo 64 360 315 270 225 180 135 90 45 0 100 80 60 40 20 0 20 40 6 dB 3 dB 1 dB 05 dB 025 dB 0 dB 1 dB 3 dB 6 dB 12 dB 20 dB 40 dB 60 dB 80 dB 100 dB Diagrama de Nichols Exemplo 73 OpenLoop Phase deg OpenLoop Gain dB 101 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Resolucao do Exemplo 64 Primeiro observase que o sistema em malha aberta e de fase mınima o que torna possıvel a analise via criterio de Bode O ganho nunca e maior que 0 dB e a fase nunca e menor que 180 Logo a margem de fase e positiva e a margem de ganho e infinita e portanto o sistema e estavel em malha fechada segundo o criterio de estabilidade de Bode Uma vez que o diagrama tangencia alguma curvaM entre 6 dB e 12 dB o sistema nao e ressonante em malha fechada 102 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Exemplo 65 Considere um sistema de controle no qual a funcao de transferˆencia do ramo direto e Gs 25 ss 3 Considerando a realimentacao unitaria e dado o Diagramas de Nichols en contre as margens de fase e de ganho determine se o sistema e ressonante em malha fechada e caso afirmativo encontre o pico de ressonˆancia Mr 103 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Diagrama de Nichols de Gs Exemplo 65 360 315 270 225 180 135 90 45 0 60 40 20 0 20 40 60 6 dB 3 dB 1 dB 05 dB 025 dB 0 dB 1 dB 3 dB 6 dB 12 dB 20 dB 40 dB 60 dB Diagrama de Nichols Exemplo 74 OpenLoop Phase deg OpenLoop Gain dB 104 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Resolucao do Exemplo 65 Primeiro observase que o sistema em malha aberta e de fase mınima o que torna possıvel a analise via criterio de Bode A fase nunca e menor que 180 logo a margem de ganho e infinita A margem de fase e aproximadamente igual a 35 Como ambas as margens de estabilidade relativa sao positivas o sistema em malha fechada e estavel segundo o criterio de estabilidade de Bode Uma vez que o Diagrama de Nichols tangencia alguma curvaM entre 6 dB e 3 dB o sistema e ressonante em malha fechada Com as curvasM apresentadas nao e possıvel determinar com precisao qual e o pico de ressonˆancia Porem com o auxılio do diagrama de Bode da malha fechada nao fornecido verificase que Mr 1 7478 4 85 dB 105 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Exemplo 66 Considere um sistema de controle no qual a funcao de transferˆencia do ramo direto e Gs 400 ss2 10s 20 Considerando a realimentacao unitaria e dado o Diagramas de Nichols en contre as margens de fase e de ganho determine se o sistema e ressonante em malha fechada e caso afirmativo encontre o pico de ressonˆancia Mr 106 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Diagrama de Nichols de Gs Exemplo 66 360 315 270 225 180 135 90 45 0 120 100 80 60 40 20 0 20 40 60 6 dB 3 dB 1 dB 05 dB 025 dB 0 dB 1 dB 3 dB 6 dB 12 dB 20 dB 40 dB 60 dB 80 dB 100 dB 120 dB Diagrama de Nichols Exemplo 75 OpenLoop Phase deg OpenLoop Gain dB 107 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Resolucao do Exemplo 66 Primeiro observase que o sistema em malha aberta e de fase mınima o que torna possıvel a analise via criterio de Bode A margem de fase e negativa aproximadamente 15 e a margem de ganho tambem e aproximadamente 7 dB Como ambas as margens de estabilidade relativa sao negativas o sistema em malha fechada e instavel segundo o criterio de estabilidade de Bode Uma vez que o sistema em malha fechada e instavel nao ha sentido em falar de ressonˆancia 108 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Exemplo 67 Considere um sistema de controle no qual a funcao de transferˆencia do ramo direto e Gs 0 75 ss 12 Considerando a realimentacao unitaria e dado o Diagramas de Nichols en contre as margens de fase e de ganho determine se o sistema e ressonante em malha fechada e caso afirmativo encontre o pico de ressonˆancia Mr 109 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Diagrama de Nichols de Gs Exemplo 67 360 315 270 225 180 135 90 45 0 120 100 80 60 40 20 0 20 40 6 dB 3 dB 1 dB 05 dB 025 dB 0 dB 1 dB 3 dB 6 dB 12 dB 20 dB 40 dB 60 dB 80 dB 100 dB 120 dB Diagrama de Nichols Exemplo 76 OpenLoop Phase deg OpenLoop Gain dB 110 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Resolucao do Exemplo 67 Primeiro observase que o sistema em malha aberta e de fase mınima o que torna possıvel a analise via criterio de Bode A margem de fase e positiva aproximadamente 30 e a margem de ganho tambem e aproximadamente 10 dB Como ambas as margens de estabilidade relativa sao positivas o sistema em malha fechada e estavel segundo o criterio de estabilidade de Bode O Diagrama de Nichols tangencia a curvaM de 6 dB Portanto o sistema em malha fechada e ressonante e o pico de ressonˆancia e Mr 2 111 112 Resposta em Frequˆencia da Malha Fechada Quando a realimentacao nao e unitaria e considerando a funcao de transferˆencia do ramo direto Gs e da realimentacao Hs temse que a funcao de transferˆencia em malha fechada e Ts Y s Rs Gs 1 GsHs e que pode ser reescrita como Ts 1 Hs GsHs 1 GsHs Desta forma o Diagrama de Bode da resposta em frequˆencia da malha fechada pode ser construıdo a partir do Diagrama de Nyquist da malha aberta GsHs subtraindose na curva de modulo em dB e de fase de GjωHjω1 GjωHjω a curva de modulo e fase de Hjω Nao e um procedimento simples principalmente quando Hs nao pode ser modelado como um ganho dc ou seja quando sua largura de banda nao e muito maior que a do sistema Em geral tambem sao utilizados softwares para o tracado exato da curva 112 112