Introdução ao Projeto de Controladores e Lugar das Raízes em Sistemas de Controle

Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Aula 13 Lugar das Raızes Compensacao avanco e atraso de fase ECA602 Sistemas de Controle Prof Fernando Henrique UNIFEI Universidade Federal de Itajuba Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 1 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Introducao Vimos que o lugar das raızes mostra graficamente tanto in formacoes sobre a resposta transitoria quanto informacoes so bre a estabilidade Ele pode ser esbocado rapidamente e fornece uma ideia geral das mudancas na resposta transitoria geradas por variacoes no ganho O lugar das raızes nos permite entao escolher o ganho de ma lha adequado para atender uma especificacao de resposta tran sitoria A medida que o ganho e variado nos movemos atraves de diferentes regioes de resposta Ajustando o ganho em um valor particular produzse a resposta transitoria ditada pelos polos no ponto sobre o lugar das raızes Entretanto estamos limitados as respostas que existem ao longo do lugar das raızes Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Introducao A flexibilidade no projeto poderia ser aumentada se pudessemos especificar respostas transitorias que nao estao no lugar das raızes do sistema original Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 3 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Introducao Uma maneira nao sensata de resolver o problema e substituir o processo existente por um outro cujo lugar geometrico das raızes intercepte o ponto de projeto desejado Ao inves de substituir o sistema existente modificamos ou compensamos o sistema com polos e zeros adicionais de modo que o sistema compensado tenha um lugar das raızes que passe pela posicao desejada para algum valor de ganho Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 4 39 Introducdo Projeto de controladores edge iKeMeTAEV 1a ere Método 1 Método 2 Introducao e Assumimos que o sistema em malha fechada pode ser suficien temente bem representado por um sistema de segunda ordem padrdo cujos polos sao 12 CW Jn V1 e Em geral no dominio do tempo as especificacdes para o desem penho do sistema sao dadas pelas caracteristicas da resposta ao degrau 1 2 4 overshoot eV S x 100 T4 Cun e Com essas especificagdes podese encontrar qual a posiao dos polos dominantes para que o sistema tenha as caracteristicas desejadas em malha fechada Introducdo Projeto de controladores edge iKeMeTAEV 1a ere Método 1 Método 2 Introducao A partir da especificacdo do overshoot é possivel encontrar um fator de amortecimento critico para atingir a especificacao O valor de deve ser escolhido tal que In2 overshoot 1CG 100 In2 overshoot 4 r2 100 Tendo escolhido podese encontrar uma frequéncia natural critica we para que a especificacdo do tempo de acomodacao seja satisfeita O valor de w deve ser escolhido tal que s 4 Wn 2 We n Cc CT Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Projeto de controladores Os controladores de avanco ou de atraso de fase assumem a forma Cs Kc τzs 1 τps 1 Cs a1s a0 b1s 1 Cs KC s sz s sp De maneira geral restringese que os polos e zeros adicionados ao sistema pelo controlador estejam no semiplano esquerdo Assim os coeficientes devem ser todos positivos Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 7 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Projeto de controladores Se o zero do controlador esta mais proximo da origem do que o polo do controlador ou seja se τz τp ou a1a0 b1 ou sz sp temse um controlador avanco de fase O ˆangulo θz e sempre maior do que θp Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 8 39 Introducado Proieto de controladores edge iKeMeTAEV 1a ere Método 1 Método 2 Projeto de controladores Lembrando que o critério de Angulo pode ser escrito como S Angulo dos zeros finitos S angulo dos polos finitos r180 o controlador avanco de fase contribui de maneira positiva para 0 critério de angulo e Essa contribuiao positiva faz com que o lugar das raizes do sistema compensado seja deslocado para a esquerda no plano complexo e Assim o controlador avanco de fase melhora a resposta tran sitoria do sistema melhorando sua estabilidade e a veloci dade da resposta do sistema Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Projeto de controladores Se o polo do controlador esta mais proximo da origem do que o zero do controlador ou seja se τz τp ou a1a0 b1 ou sz sp temse um controlador atraso de fase O controlador atraso de fase contribui de maneira negativa para o criterio de ˆangulo fazendo com que o lugar das raızes do sis tema compensado seja deslocado para a direita no plano com plexo Os controladores atraso de fase melhoram as caracterısticas de resposta estacionaria do sistema compensado ou seja o erro em regime permanente mas tendem a levar o sistema a instabilidade Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 10 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Projeto de controladores Dado um determinado polo dominante desejado s1 existem varios controladores que fazem que o lugar das raızes do sistema compensado passe pelo polo especificado O projeto pode ser feito de maneira iterativa por tentativa e erro escolhendose a posicao dos polos e zeros dos compensa dores e verificando seu efeito sobre o lugar das raızes do sistema Entretanto podemos buscar tambem uma solucao analıtica para esse problema Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 11 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Projeto analıtico Considere o sistema em malha fechada A equacao caracterıstica do sistema e 1 CsGsHs 0 Para que o polo dominante desejado s1 faca parte do lugar das raızes temos que satisfazer KCsGsHsss1 1 para algum valor de K Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 12 39 Introducado Projeto de controladores Proieto analitico Método 1 Método 2 Projeto analitico Fazendo arbitrariamente AK 1 temos 81 Sz CsGsHss Ko GsiHs1 1 1 Sp Em termos de mddulo e angulo devemos ter Si Sz Ko Gs1Hs1 1 KoA as1 Hs 1 8 Z Ke ZGs1Hs1 180 81 Sp Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Projeto analıtico Assim devemos escolher os parˆametros do controlador de modo que essas duas restricoes sejam satisfeitas duas equacoes e trˆes incognitas Partindo dessas duas equacoes apresentaremos duas dentre varias maneiras de se resolver o problema a primeira base ada em uma abordagem geometrica fixando um polo ou zero do controlador e a segunda baseada na obtencao de equacoes fechadas fixando o ganho estatico para a sintonia dos contro ladores Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 14 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 1 Projeto Considere um sistema cuja funcao de transferˆencia e Gs 1 ss 1 com realimentacao unitaria Faca o projeto de um controlador AvancoAtraso de Fase de modo que em malha fechada o sistema tenha overshoot igual a 20 e tempo de acomodacao de 6 s Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 15 39 Introducdo Projeto de controladores Projeto analitico Método 1 Método 2 Método 1 Passo 1 Para que o overshoot seja de 20 In 0 2 0 4559 In 02 12 Para que o tempo de acomodacao seja 6 s 4 1 4623 wn 04559x6 e Assim calculamos 51 Cwy jwn1 C2 06667 713015 Introducado Projeto de controladores Proieto analitico Método 1 Método 2 Método 1 Passo 2 Esse ponto faz parte do lugar das raizes jo S 4 13015 Ln x 0 1 06667 0 Z Gs1Hs1 Ss Ozeros S Polos Op Ino Introducado Projeto de controladores edge iKeMeTAEV 1a ere Método 1 Método 2 Método 1 e Calculando os angulos temos 1 3015 6 180 tan 117 124 PA G aT 1 3015 Oy tan 75 6359 pa nen 0 sasT e Logo Z Gs1Hs1 192 7599 concluindo que s nao faz parte do Lugar das Raizes de Gs Hs Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 1 Passo 3 Para que o criterio de ˆangulo seja satisfeito temos que inserir um compensador que contribui com um ˆangulo Cs1 180 Gs1Hs1 180 192 7599 12 7599 Portanto sera necessario adicionar um controlador Avanco de Fase Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 19 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 1 Passo 4 Precisamos fixar um dos parˆametros do controlador Uma pos sibilidade e escolher o zero do controlador de modo a cance lar um polo da planta cuidado nao tentar cancelar polos instaveis Escolhendo posicionar o zero do controlador para cancelar com o polo da planta em 1 temos sz 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 20 39 Introducado Projeto de controladores edge iKeMeTAEV 1a ere Método 1 Método 2 Método 1 e Pela figura o Angulo do zero do controlador é dado por 1 3015 Oc tan 75 6359 C2 han Canc Sabese entao que o polo deve contribuir com o seguinte angulo 9c 9c ZCs1 75 6359 12 7599 62 876 Pela figura o Angulo do polo é calculado através de 13015 6c tan 2 Cp Nee 0 saa Introducado Projeto de controladores Proieto analitico Método 1 Método 2 Método 1 Tomando a tangente dos dois lados 1 3015 1 tan9c tan tan rae 13015 tan62 876 5 0 6667 13015 19522 22 sp 0 6667 Logo temos que s 1 3334 Introducdo Projeto de controladores Projeto analitico Método 1 Método 2 Método 1 Passo 5 Calculando o médulo de GsHs no ponto s1 jo S 4 13015 Ln x 6 l 06667 0 II 51 zi 1 G Sq A sy sat A8 Tr 5 py Js Olle 1 ete Proieto de controladores Se eene ee Método 1 Neeer Calculandose os médulos temos ls 0 1 30152 0 66672 1 4623 ls 1 y1 3015 1 0 6667 1 3435 Logo Gs1Hs1 0 5089 e Calculando o médulo dos vetores do polo e zero do controlador s1 s 13435 s1 sp 1 4623 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 1 Passo 6 Calculando KC KC s1 sp s1 sz Gs1Hs1 1 4623 1 3435 0 5089 2 1388 Finalmente temos entao que o controlador Avanco de Fase desejado e Cs 2 1388s 1 s 1 3334 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 25 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 26 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 27 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 28 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 1 Um resumo do procedimento 1 A partir das especificacoes da resposta transitoria encontrar a loca lizacao do polo desejado s1 2 Determinado s1 calcular o ˆangulo Gs1Hs1 3 Calcular o ˆangulo do controlador Cs1 4 Escolher o zero ou polo do controlador e entao pelo criterio de ˆangulo calcular o polo ou zero do controlador Cs1 s1 sz s1 sp 5 Calcular o modulo Gs1Hs1 6 Pelo criterio de modulo calcular KC KC s1 sp s1 sz Gs1Hs1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 29 39 Introducado Projeto de controladores edge iKeMeTAEV 1a ere Método 1 Método 2 a Método 2 e Voltando as equacdes as1 ao Gs1 Hs1 1 bjs 1 ais ag Z ZGs1Hs1 180 bjs 1 Temos entdo duas equacoes e trés incdégnitas ag a e by Dessa forma podemos escolher um valor de ao a priori e encontrar os outros dois parametros em funao de ao O ganho ag pode ser sintonizado de maneira a satisfazer alguma especificacao de projeto tais como especificacdes de erro em regime permanente rejeicdo de perturbacées sensibilidade en tre outras Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 2 Em geral e comum escolhermos a0 com base na especificacao do erro em regime permanente em que temos a0 1 ess lims0 sNGsHs onde N e o tipo numero de polos na origem da planta A entrada a qual o erro se refere depende do tipo da planta Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 31 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 2 Escolhendose a0 a priori podese resolver as duas equacoes para encontrar a1 a0Gs1Hs1 sins1 Gs1Hs1 sins1 Gs1Hs1s1 sinGs1Hs1 b1 a0Gs1Hs1 sins1 sins1 Gs1Hs1 s1 sinGs1Hs1 Lembrese que todos os parˆametros devem ser positivos Caso sejam encontrados valores negativos as especificacoes deseja das nao podem ser alcancadas utilizandose esse metodo Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 32 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 2 Controle de velocidade de um motor DC A funcao de transferˆencia e dada por Gs Ωs Es 59 29 s2 6 98s 15 12 Encontre o controlador avanco ou atraso de fase de modo que o sistema apresente um overshoot de no maximo 20 um tempo de acomodacao de no maximo 2 segundos e um erro em regime permanente de no maximo 5 para uma entrada em degrau Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 33 39 Introducdo Projeto de controladores Proieto analitico Método 1 Método 2 Método 2 e Calculando In02 0 4559 be In 02 1 Calculando w 4 4 3864 Wp W 04559x 2 e Especificacao do polo desejado 8 24 739040 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 2 Calculando a0 a0 1 0 05 lims0 Gs 5 1004 Calculando a1 e b1 a1 1 3572 b1 5 2021 Controlador Cs 1 3572s 5 1004 5 2021s 1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 35 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 36 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 37 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 38 39 Introducao Projeto de controladores Projeto analıtico Metodo 1 Metodo 2 Metodo 2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 39 39