Aula 07: Análise de Sistemas no Espaço de Estados

ECA602 Sistemas de Controle Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 07 Analise de Sistemas no Espaco de Estados Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2 Semestre de 2023 1 139 Introducao Nas aulas anteriores a analise e o projeto e sistemas de controle teve como modelo basico para a representacao matematica dos sistemas dinˆamicos a funcao de trans ferˆencia Logo a abordagem utilizada esta centrada essencialmente no domınio da frequˆencia Estas tecnicas entao sao historicamente denominadas Sistemas de Con trole Classicos Conforme a complexidade dos modelos aumentou as tecnicas classicas se mostraram inumeras vezes incapazes de resolver os problemas encontrados Com isso uma nova forma de representacao matematica de sistemas dinˆamicos chamadas de variaveis de estado ou espaco de estados foi desenvolvida embora o conceito de estado per si nao fosse novo As tecnicas desenvolvidas para modelos baseados em variaveis de estado entao fica ram conhecidas como Modernas e a diferenca basica e que esta abordagem esta centrada no domınio do tempo O modelo no espaco de estados preserva a ideia de um sistema no que diz respeito a relacao entradasaıda mas no entanto possui variaveis internas ao sistema as variaveis de estado e a ferramenta basica de modelagem e a equacao diferencial expressa atraves de n equacoes diferenciais de 1ª ordem acopladas 2 139 Introducao Algumas vantagens da utilizacao das tecnicas modernas sao A analise e projeto de sistemas com o auxılio do computador para sistemas de ordem muito elevada sao feitas de maneira facil e possuem melhor convergˆencia numerica A analise e projeto de sistemas sao essencialmente iguais tanto para sis temas monovariaveis quanto multivariaveis A abordagem por funcoes de transferˆencia necessita na maioria das vezes complexas adaptacoes e suposicoes nem sempre realısticas Nos procedimentos de projeto de sistemas de controle via espaco de estados ha a retroacao de mais informacoes e nao somente da saıda o que implica intuitivamente em um controle melhor Em geral modelos no espaco de estados sao requeridos para simulacao digital resolucao numerica via computador das equacoes diferenciais 3 139 Introducao Definicao Estado O estado de um sistema dinˆamico e o menor conjunto de valores de variaveis internas ao sistema de modo que o conhecimento destes valores no instante t t0 junto com o conhecimento dos valores do sinal de entrada para t t0 determina completamente o comportamento deste sistema para qualquer instante t t0 Observe que o conceito de estado nao esta limitado a sistemas fısicos compreendendo sistemas biologicos econˆomicos sociais etc Definicao Variaveis de Estado As variaveis de estado de um sistema sao o conjunto de grandezas cujos valores determinam o estado de um sistema podendo possuir interpretacao fısica ou nao A ordem mınima de um sistema e o numero mınimo de variaveis de estado que num determinado estado no instante t t0 determina completamente a dinˆamica comportamento deste sistema para t t0 e conhecido os valores do sinal de entrada Definicao Espaco de Estados E o espaco ndimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos formados pelas n variaveis de estado Logo qualquer estado em um instante de tempo t qualquer pode ser representado como um ponto no espaco de estados 4 139 Introducao Uma vez que um modelo no espaco de estados e formado por n equacoes diferenciais de 1ª ordem acopladas para um sistema dinˆamico linear e invariante no tempo as equacoes gerais que modelam um sistema sao xt Axt But yt Cxt Dut onde x Rn e o vetor de variaveis de estado u Rr e o vetor de entradas y Rp e o vetor de saıdas A Rnn e a matriz de sistema B Rnr e a matriz de entrada C Rpn e a matriz de saıda D Rpr e a matriz de transferˆencia direta 5 139 Introducao As matrizes A B C e D que essencialmente determinam um modelo do sistema no espaco de estados tambem sao conhecidas como matrizes de estado A equacao vetormatricial xt Axt But que essencialmente define a dinˆamica do sistema e conhecida como equacao de estado A equacao vetormatricial yt Cxt Dut que essencialmente define como as saıdas do sistema se configuram a partir das variaveis de estado e das entradas e conhecida como equacao de saıda Para um sistema dinˆamico LIT SISO unica entrada e unica saıda ou seja mono variavel temse que r 1 e p 1 ou seja u e y sao escalares Sendo assim as equacoes gerais que modelam o sistema podem ser reescritas como xt Axt But yt Cxt Dut 6 139 Introducao Na modelagem conceitual de sistemas dinˆamicos atraves de variaveis de estado procurase designar significado fısico para as variaveis de estado Existem entao outras trˆes formas de se obter um modelo no espaco de estados alem da modelagem conceitual A partir do modelo em equacao diferencial A partir do modelo em funcao de transferˆencia A partir de outro modelo no espaco de estados Veremos mais adiante uma importante propriedade que relaciona o modelo em variaveis de estado com o modelo em funcao de trans ferˆencia 7 139 Modelagem Conceitual no Espaco de Estados Na modelagem conceitual no espaco de estados e necessario designar significado fısico pras variaveis de estado No caso de circuitos eletricos consideramos sempre a tensao no capacitor e a corrente no indutor No caso de sistemas mecˆanicos consideramos o deslocamento e a velocidade linear ou angular Tendo em mente a definicao das variaveis de estado do sistema procurase ob ter equacoes que relacionem a derivada de uma variavel de estado em funcao das variaveis de estado em si e das entradas a partir das leis fısicas que conhecemos sobre o sistema A equacao de saıda sempre ficara em funcao de qual variavel de estado desejamos ver na saıda ou ate mesmo qual combinacao das variaveis e desejado Observe que no caso de circuitos eletricos a ordem do modelo numero de variaveis de estado e equacoes de estado e sempre igual ao numero de armazenadores de energia independentes e no caso de sistemas mecˆanicos cada massa ou inercia aumenta a ordem em 2 deslocamento e velocidade de cada massa 8 139 Modelagem Conceitual no Espaco de Estados Como exemplo vamos rever o circuito eletrico RLC serie Neste circuito temos dois armazenadores de energia independentes o capacitor e o indutor Portanto as variaveis de estado sao a tensao no capacitor vCt e a corrente no indutor iLt Observe que a entrada e a tensao da fonte vt 9 139 Modelagem Conceitual no Espaco de Estados Aplicando a LKT na unica malha do circuito fornece vt RiLt LiLt vCt 0 Observe que a equacao anterior caracteriza a derivada de uma variavel de estado em funcao de variaveis de estado e da entrada Logo isolandose a derivada de iLt temos iLt R L iLt 1 LvCt 1 Lvt e entao temos a 1ª equacao de estado Falta entao acharmos a 2ª equacao de estado Analisando o capacitor temos iLt C vCt e entao isolando a derivada da tensao no capacitor teremos a 2ª equacao de estado vCt 1 C iLt 10 139 Modelagem Conceitual no Espaco de Estados Supondo que desejamos como saida a tensdo no capacitor temse que yt vct Finalmente entao temos que o modelo deste sistema no espaco de estados é it LL Lf ae it TP OTT it vct ig vct 0 c irt yt 0 1 0 vt vct Observe que se desejdssemos como saida a corrente no indutor a equacdo de estado ndo mudaria Vimos que no caso da funcao de transferéncia os pélos nao se alterariam com a mudana na varidvel de saida Veremos adiante que os dois fatos estado correlacionados e nao sao coincidéncia 11139 Modelagem Conceitual no Espaco de Estados Como exemplo vamos rever agora o sistema mecˆanico massamolaamortecedor Neste circuito temos apenas uma massa M e entao as variaveis de estado sao o deslocamento linear xt e a velocidade linear vt desta massa Observe que a entrada e a forca externa f t aplicada sobre a massa 12 139 Modelagem Conceitual no Espaco de Estados Aplicando a 2ª Lei de Newton na massa M temos Mxt f t Kxt B xt Entretanto sabemos de fısica basica que a velocidade e a derivada do deslocamento Logo vt xt e entao temos a 1ª equacao de estado Derivando a equacao anterior temos vt xt e com isso voltando a equacao da 2ª Lei de Newton temos M vt f t Kxt Bvt e entao isolandose a derivada da velocidade temos vt K M xt B M vt 1 M f t que resulta na 2ª equacao de estado 13 139 Modelagem Conceitual no Espaco de Estados Supondo que desejamos como saida o deslocamento linear temse que yt xt Finalmente entao temos que o modelo deste sistema no espaco de estados é Xt 9 FTP xe wt 2 lf ey fo 2 ph M M M xt yt1 0 0 Ft vt Observe que se desejdssemos como saida a velocidade linear a equacdo de estado nao mudaria Assim como no caso do circuito elétrico os pdlos sAo os mesmos e os dois fatos estao correlacionados e nao sao coincidéncia 14139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Na obtencao de um modelo no espaco de estados a partir da equacao diferencial e necessario designar de maneira conveniente as variaveis de estado de modo a facilitar a modelagem Dependendo da escolha das variaveis de estado o proce dimento pode se tornar excessivamente complicado Entretanto ha uma maneira sistematica para isto que pode ser divididida em dois casos o mais simples que ocorre quando nao ha derivadas do sinal de entrada e o mais complexo quando ha derivadas do sinal de entrada Com relacao ao primeiro caso vamos considerar um sistema dinˆamico LIT modelado pela seguinte equacao diferencial geral n y t an1 n1 y t a1 yt a0yt b0ut onde yt e a saıda ut e a entrada e n y t representa a nesima derivada de y 15 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Escolhemos que a primeira variavel de estado e a propria saıda ou seja x1t yt Em seguida escolhemos que a segunda variavel de estado e a derivada da primeira ou seja x2t x1t yt Observe que a equacao anterior e a primeira equacao de estado Fazemos o proce dimento sucessivamente ate a nesima variavel de estado x3t x2t yt xnt xn1t n1 y t Desta forma isolando o termo de maior derivada na equacao diferencial obtemse a ultima equacao de estado xnt an1xnt an2xn1t a1x2t a0x1t b0ut 16 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO De forma matricial temse x1t 0 1 ee 0 X1t 0 Xot ut Xn1t 0 0 ee 1 0 Xnt ap a an1 Xnt bo x1t x2t yt1 0 0 0 ut Xnt Este procedimento pode ser aplicado sempre que nado houver derivadas do sinal de entrada Quando isso acontece necessdrio incluir a entrada na escolha das varidveis de estado para que aparecam sucessivamente derivadas da entrada na lei de formaao 17139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Exemplo 71 Dada a equacao diferencial y t 6yt 11 yt 6yt ut obtenha um modelo em variaveis de estado 18 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Resolucao Exemplo 71 Temos um sistema de terceira ordem n 3 Logo Xt 0 1 0 xt 0 pao 0 fae fe fac X3t a a1 a2 x3t bo x1t yt1 0 Oj xt 0 jut x3t Da equacao diferencial temos que ao 6 a11 a6 b1 Portanto X1t 0 1 0 xt 0 Xt 0 0 1 xt 0 ut 2 2 i H x1t yt1 0 O xt 0 ue X3t 19 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Vamos partir da equacao diferencial em sua forma mais generica n y t an1 n1 y t a1 yt a0yt bn n u bn1 n1 u b1 ut b0ut Na lei de formacao precisase incluir o sinal de entrada ut Escolhemos a primeira variavel de estado x1t como x1t yt βnut Derivando a equacao anterior teremos x1t yt βn ut Vamos escolher agora a segunda variavel de estado De maneira semelhante teremos x2t yt βn ut βn1ut de maneira que x2t x1t βn1ut e entao teremos a primeira equacao de estado 20 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Derivando a equacao de x2t teremos x2t yt βn ut βn1 ut Escolhendo a terceira variavel de estado teremos x3t yt βn ut βn1 ut βn2ut de maneira que x3t x2t βn2ut A nesima variavel de estado sera xnt n1 y t βn n1 u t β2 ut β1ut de modo que xnt xn1t β1ut A nesima equacao de estado sera obtida derivandose a equacao de xnt para obter o termo n y t e entao isolando este termo da equacao diferencial possibilitara tambem calcular os coeficientes β 21 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO De maneira geral a lei de formacao das equacoes de estado e x1t x2t βn1ut x2t x3t βn2ut xn1t xnt β1ut xnt a0x1t a1x2t an1xnt β0ut Ja os coeficientes β sao calculados atraves da seguinte lei de formacao βn bn βn1 bn1 an1βn βn2 bn2 an1βn1 an2βn βn3 bn3 an1βn2 an2βn1 an3βn β0 b0 an1β1 an2β2 a1βn1 a0βn 22 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO De forma matricial temse x1t 0 1 see 0 x1t Bn1 x2t ut Xn1t 0 0 ee 1 By Xnt ag at e an1 Xnt Bo x1t x2t yt1 0 0 Bn J ut Xnt Lembrese que esta é uma maneira de encontrar uma representaao no espaco de estados valida Entretanto na presena de derivadas do sinal de entrada as substituides impositivas tendem a dificultar muito a obtencdo do modelo sem este procedimento sistematico 23 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Exemplo 72 Considere um sistema dinˆamico representado atraves da seguinte equacao diferencial y t 7yt 17 yt 15yt u t ut ut 15ut Encontre um modelo no espaco de estados para este sistema 24 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Resolucao Exemplo 72 Temos um sistema de terceira ordem n 3 Logo x1t 0 1 0 xt Bo Xt 0 0 1 x2t Br ut X3t a a1 ap x3t Bo x1t yt1 0 Of xt Bn J ut x3t Da equacao diferencial temos que ao 15 bo 15 a17 by 1 a 7 bo l1 b31 25 139 Modelagem no Espaco de Estados a Partir da EDO Resolucao Exemplo 72 Calculandose os coeficientes 3 63 b3 1 Bo bo ao83 171 8 By by a2 Bo a3 l 78 171 38 Bo bo a2 aro ao93 15 738 178 151 160 Portanto xt 0 1 0 xit 8 xt 0 0 1 x2t 38 ut Xt 15 17 7 x3t 160 x1t yt1 0 Of xt 1 ut x3t 26 139 Diagramas de Fluxo Um diagrama de fluxo ou diagrama de simulacao e a representacao de um sistema no espaco de estados vista por meio de um diagrama de blocos O elemento central de um diagrama de fluxo e o integrador e o diagrama de fluxo de um sistema de nesima ordem tera n integradores Cada saıda de um integrador representara uma variavel de estado e a entrada do integrador e a derivada da variavel de estado Dada a representacao geral de um sistema no espaco de estados xt Axt But yt Cxt Dut o diagrama de fluxo geral e 27 139 Diagramas de Fluxo Exemplo 73 Construa o diagrama de fluxo do sistema do Exemplo 72 28 139 Diagramas de Fluxo Resolucao Exemplo 73 As equacoes de estado do sistema do Exemplo 72 sao x1t x2t 8ut x2t x3t 38ut x3t 15x1t 17x2t 7x3t 160ut Ja a equacao de saıda e yt x1t ut Como o sistema e de ordem 3 devera existir 3 integradores no diagrama um para cada variavel de estado 29 139 Diagramas de Fluxo Resolucao Exemplo 73 30 139 Diagramas de Fluxo Ha muitos anos atrads o diagrama de fluxo era importante pois era uma maneira de se simular 0 comportamento de um sistema sem resolvélo analiticamente pois o diagrama pode ser facilmente reconstruido através de computadores analdgicos compostos de circuitos eletrdnicos Outra importancia é que a partir dele podemos definir uma maneira de se obter a representacdo em varidveis de estado a partir da funcdo de transferéncia Para ver isto sabemos que da propriedade da integracao no tempo da Transformada de Laplace 1 cf xeyae 1xs s Desta forma ao se aplicar a Transformada de Laplace em um diagrama de simulaao podemos substituir os blocos integradores por ganhos 1s Com isto ao se tormar a relacdo existente entre a saida Ys e a entrada Us poderiamos obter a fundo de transferéncia deste sistema a partir do diagrama de fluxo Entretanto 0 processo que queremos é 0 inverso ou seja dada a funao de trans feréncia construir um diagrama de fluxo pois assim terfamos imediatamente o mo delo no espaco de estados 31139 Diagramas de Fluxo Para exemplificar o procedimento considere um sistema dinˆamico LIT com a seguinte funcao de transferˆencia Gs Y s Us b0 s2 a1s a0 Vamos verificar se o diagrama de blocos implementa a funcao de trans ferˆencia 32 139 Diagramas de Fluxo Equacionando o diagrama temse que sX2s b0Us a1X2s a0X1s Mas X2s sX1s logo s2X1s a1sX1s a0X1s b0Us Temse que X1s Y s logo s2 a1s a0Y s b0Us Y s Us b0 s2 a1s a0 33 139 Diagramas de Fluxo Portanto vimos que o diagrama realmente implementa a funcdo de transferéncia Colocando o diagrama no dominio do tempo ut C aM LF eer nO wa Or A partir do diagrama concluimos imediatamente que um modelo em espaco de estados é X1t 0 1 x1t 0 t Pata a 2G 8 o xt yt1 0 219 f 0 Jue 34 139 Formas Canˆonicas O exemplo anterior mostra que seria possıvel obter um modelo no espaco de estados a partir dos coeficientes da funcao de transferˆencia diretamente Entretanto esta limitado pela estrutura fixa da funcao de transferˆencia com dois polos e nenhum zero Existem alguns diagramas para sistemas gerais de bastante interesse que sao co nhecidos como formas canˆonicas Estes modelos carregam propriedades que serao de interesse no projeto de sistemas de controle no espaco de estados a ser estudado na proxima aula O modelo geral da funcao de transferˆencia e Gs Y s Us bnsn bn1sn1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0 bn r1 s p1 rn s pn e e assumido que nao haja cancelamento de polos e zeros esta suposicao nao e realmente necessaria mas garante duas propriedades fundamentais ao sistema a controlabilidade e observabilidade que serao estudadas ao final desta aula 35 139 Formas Canˆonicas E possıvel provar que o seguinte diagrama implementa a funcao de transferˆencia geral definida anteriormente Figura Forma Canˆonica Controlavel 36 139 Formas Candnicas Odiagrama anterior é conhecido como forma canGénica controlavel e a partir dele concluise que 0 seu modelo em espaco de estados é Xt 0 1 OO 0 x1t 0 X2t 0 0 1 0 X2t 0 Do xat 4 ut Xn1t 0 oO oO 1 0 Xnt ay ay a an1 Xnt 1 bo aobn r x1t bi ab Xt yt P2 azbn at 4 b J ut bp1 an1bn Xnt 37139 Formas Canˆonicas Tambem e possıvel provar que o seguinte diagrama implementa a funcao de transferˆencia geral definida anteriormente Figura Forma Canˆonica Observavel 38 139 Formas Candénicas O diagrama anterior é conhecido como forma canGnica observavel e a partir dele concluise que 0 seu modelo em espaco de estados é x1t 00 0 ao x1t bo aobn X2t 1 0 0 a X2t by aibn xt O 1 O a bp aobn ut Popo dG xnat Xnt 0 0 Lo api Xnt bn1 an1bn x1t x2t yt0 0 0 1 bn ut Xn1t Xnt 39 139 Formas Canˆonicas Tambem e possıvel provar que o seguinte diagrama implementa a funcao de transferˆencia geral definida anteriormente em termos da expansao em fracoes parciais Figura Forma Canˆonica Diagonal 40 139 Formas Candnicas O diagrama anterior é conhecido como forma canénica diagonal e a partir dele concluise que o seu modelo em espaco de estados é x1t Pi 0 wee 0 x1t 1 X2t 0 P2 0 x2t 1 oo ut 1 Xnt 0 0 Pr Xnt 1 x1t X2t ytn m ml E bn jut Xnt Observe que o sistema sé admite representado na forma can6énica diagonal se os polos da funao de transferéncia forem reais e distintos Para polos repetidos ou complexoconjugados podese utilizar uma generalizacao conhecida como Forma CanGénica de Jordan 41139 Formas Canˆonicas Exemplo 74 Considere o seguinte sistema dinˆamico LIT representado atraves de sua funcao de trans ferˆencia Gs s3 4s2 8s 9 s3 6s2 11s 6 1 2 s 1 1 s 2 3 s 3 Determine os modelos no espaco de estados da forma canˆonica controlavel observavel e diagonal 42 139 Formas Canˆonicas Resolucao Exemplo 74 Da funcao de transferˆencia temos que a0 6 b0 9 a1 11 b1 8 a2 6 b2 4 b3 1 Portanto b0 a0b3 9 61 3 b1 a1b3 8 111 3 b2 a2b3 4 61 2 43 139 Resolucao Exemplo 74 Para n 3 a Forma CanGnica Controlavel é Xt 0 1 0 x1t 0 Pao fs 0 a6 2 foo X3t a a a2 x3t 1 x1t yt boaobs biaib3 by arbs et bs ut x3t Logo x1t 0 1 0 x1t 0 Pao 0 fet fe aoc Xt 6 ll 6 x3t 1 x1t yt 3 3 2 t 1 J ut x3t 44 139 Resolucao Exemplo 74 Para n 3 a Forma CanGnica Observavel é eFL Sq TES Xt 1 0 a X2t b ai bg ut X3t 0 1 a x3t bo aob3 x1t yt0 0 1 xt 43 Jut x3t Logo Xt 0 0 6 xit 3 Pao 3 0 fa fon X3t 0 1 6 x3t 2 x1t yt0 0 1 xt 1 ut x3t 45 139 Formas Candnicas Resolucao Exemplo 74 Para n 3 a Forma CanGnica Diagonal é X1t pi OO 0 x1t 1 Xt 0 p2 O x2t 1 ut Xt 0 0 ps xt 1 x1t yt n hh X2t b3 J ut x3t O residuo associado ao pdlo s 1 é 2 0 residuo associado ao polo s 2 é 1 o residuo associado ao pdlo s 3 é 3 Logo Logo X1t 1 0 0 x1t 1 Xt 0 2 0 x2t 1 ut X3t 0 0 3 x3t 1 x1t yt 2 1 3 t 1 Jue x3t 46 139 Estabilidade Vamos agora ver como analisar a estabilidade de um sistema dinˆamico LIT repre sentado no espaco de estados Para isto veremos como obter o modelo em funcao de transferˆencia a partir do espaco de estados Para isto considere a equacao de estados xt Axt But Aplicandose a Transformada de Laplace na equacao de estados teremos sXs x0 AXs BUs Uma vez que queremos a funcao de transferˆencia as condicoes iniciais sao nulas ou seja x0 0 Rescrevendo a equacao anterior teremos sXs AXs BUs sI A Xs BUs Xs sI A1 BUs Considere agora a equacao de saıda yt Cxt Dut Aplicandose a Transformada de Laplace na equacao de saıda temse Ys CXs DUs 47 139 Estabilidade Finalmente substituindose Xs na equado de saida no dominios teremos Ys Csl A BUs DUs Ys ec s A B D Us Tomando para efeito de simplicidade o caso monovariavel teremos Ys 1 Gs CslA BD 5 Gy CI AY B Na equaao anterior fica claro como converter um modelo representado no espaco de estados através das matrizes de estado A B C e D para a representacdo em funcado de transferéncia Caso o sistema seja multivariavel teremos uma matriz x p de funcoes de trans ferncia avaliadas de Ujs com j 12 p para Yijs comi12 Neste caso chamamos a matriz formada pelas funcdes de transferéncia individuais Gjs de matriz de transferncia 48 139 Estabilidade Entretanto e conveniente relembrar que dada uma matriz quadrada M sua inversa se existir sera dada por M1 adjM detM onde adj indica a matriz adjunta matriz de cofatores transposta Desta forma aplicandose esta propriedade na funcao de transferˆencia Gs terase Gs C adj sI A det sI AB D Gs Cadj sI A B det sI A D Vemos claramente que o polinˆomio de polos de Gs e o determinante de sI A que por sua vez e o polinˆomio caracterıstico da matriz A Logo os polos da funcao de transferˆencia sao os autovalores raızes da equacao caracterıstica da matriz de sistema se o sistema e de representacao mınima ou seja nao ha cancelamento de polos e zeros na funcao de transferˆencia do sistema 49 139 Estabilidade Sendo assim Se todos os autovalores de A estiverem no SPE excluindo o eixo imaginario ou seja todos os autovalores possuem parte real ne gativa o sistema sera estavel Neste caso dizse que A e estavel ou A e uma matriz de estabilidade ou ainda que A e uma matriz de Hurwitz Caso contrario o sistema sera instavel Tambem e possıvel notar que se o sistema e estritamente proprio caracterıstica de sistemas reais entao a matriz D deve ser nula Tomandose o caso monovariavel os zeros da funcao de transferˆencia sao as raızes do polinˆomio Cadj sI A B Caso D seja naonula entao o sistema sera semiproprio Sistemas improprios nao tem representacao no espaco de estados 50 139 Transformacoes de Similaridade Vimos ate entao como obter um modelo no espaco de estados atraves de diversas maneiras modelando fisicamente o sistema e a partir das representacoes em equacao diferencial e funcao de transferˆencia Tambem ja sabemos que o modelo no espaco de estados nao e unico embora a relacao entradasaıda seja Veremos entao o conceito que une estas ideias ou seja como obter um modelo no espaco de estados a partir de outro modelo no espaco de estados a transformacao de similaridade Considere um sistema descrito no espaco de estados xt Axt But yt Cxt Dut Considere uma transformacao linear xt Tzt Derivando a equacao anterior em relacao ao tempo teremos xt Tzt 51 139 Transformacoes de Similaridade Sendo assim Tzt ATzt But yt CTzt Dut Multiplicando a equacao de estados por T1 finalmente temos zt T1ATzt T1But yt CTzt Dut Considerando uma outra representacao do sistema no espaco de estados zt Azt But yt Czt Dut e possıvel concluir que A T1AT B T1B C CT D D 52 139 Transformacoes de Similaridade Ou seja a partir de um modelo qualquer no espaco de estados A B C D e possıvel encontrar um outro modelo a partir de qualquer matriz de transformacao linear T que possua inversa Logo um mesmo sistema pode possuir infinitas representacoes no espaco de estados algumas mais importantes e convenientes que outras Neste contexto de analise de sistemas dinˆamicos damos o nome de transformacao de similaridade a esta transformacao linear Na realidade dada a definicao de espaco de estados podemos ver a transformacao de similaridade simplesmente como uma mudanca de base Isto e a relacao entradasaıda e unica mas a escolha das variaveis internas variaveis de estado evidencia um aspecto desejado do com portamento do sistema como por exemplo determinar a escolha das variaveis de estado com interpretacao fısica 53 139 Transformacoes de Similaridade Propriedade Invariancia dos Autovalores Numa transforma4o de similaridade os autovalores da matriz de sistema na nova repre sentaao no espaco de estados nado mudam ou seja sao invariantes Matematicamente det sl A det st A Prova det sl A det st TAT det sl A det T sl A T det st A detT det s A detT det st A 1 det st A detT detT det st A detslA 54139 Transformacoes de Similaridade Propriedade Invariancia da Funcao de Transferéncia Numa transformacao de similaridade a fundo de transferéncia do sistema ndo muda ou seja é invariante Matematicamente l Csl A BDCstA Bb Prova Esboco l 1 1 1 siA BcTsiT7AT TB Utlizando o lema da matriz inversa dado que Xi e X4 sdo matrizes quadradas e invertiveis 1 1 1 1 1 1 1 X1 X2X3X4 X1 Xr Ke Xs X4X1 Xo X4X1 é possivel chegar a 16 1 1 1 siA BcTT slay T TB 1 siA BCslAB 55 139 Transformacoes de Similaridade Outras Propriedades Uma vez que sob uma transformacao de similaridade os autovalores sao invariantes temse que detA det A ou seja o produto dos autovalores determinante deve se manter o mesmo e trA tr A ou seja a soma dos autovalores trao deve se manter a mesma 56 139 Transformacoes de Similaridade De todas as transformacoes de similaridade que podem ser aplicadas a um sistema uma é de particular interesse a que diagonaliza a matriz de sistema Dado que 4 é um autovalor de A e v é 0 autovetor a direita associado a esse autovalor por definicdo temos que Av AN Tomandose todos os autovalores de A dei 1 n temse a seguinte equaao vetormatricial A O O 0 nr O A vu Vo ve J vu Vo Vn 0 O An 57 139 Transformacoes de Similaridade De forma simplificada a equacao anterior pode ser reescrita como AV VΛ onde Λ e conhecida como matriz de autovalores e V como matriz de autovetores a direita Multiplicando a equacao anterior por V1 pela esquerda temse Λ V1AV Notandose a semelhanca com a transformacao de similaridade e possıvel entao chegar a uma representacao em espaco de estados na qual a matriz de sistema e diagonal bastando entao utilizar como matriz de transformacao linear a matriz de autovetores ou seja T V Entretanto e necessario que a inversa da matriz de transformacao linear T exista Neste caso especıfico equivale a dizer que os vetores v1 v2 vn sao linearmente independentes Isto sempre sera verdadeiro se todos os autovalores λi forem reais e distintos Se todos os autovalores λi nao forem reais e distintos a diagonalizacao nao e possıvel Entretanto e possıvel deixar a matriz de sistema na forma quasidiagonal blocodiagonal na realidade atraves da Forma Canˆonica de Jordan 58 139 Transformacoes de Similaridade A um sistema no qual foi aplicada a transformacao de similaridade com T V dase o nome de Forma Canˆonica Modal uma vez que as raızes caracterısticas e a ser visto posteriormente os modos caracterısticos sao evidentes no diagrama de simulacao Ao processo de diagonalizacao de A dase o nome de decomposicao modal A diferenca entre a forma canˆonica diagonal e a forma canˆonica modal e meramente o arranjo entre os elementos de B e C de forma que na primeira os resıduos da funcao de transferˆencia ficam evidentes no diagrama de simulacao A forma canˆonica modal ou diagonal sera importante mais adiante para explicar conceitos de controlabilidade observabilidade e realizacao 59 139 Transformacoes de Similaridade Se utilizassemos a definicao de autovetores a esquerda wi TA λiwi T terıamos Λ WAW1 Neste caso a matriz de transformacao linear e a inversa da matriz de autovetores a esquerda T W1 w1T w2T wnT 1 Observe que a representacao e a mesma uma vez que a matriz de autovetores a direita e a inversa da matriz de autovetores a esquerda e viceversa 60 139 Transformacoes de Similaridade Dado o sistema dinamico representado através do seguinte modelo no espaco de estados xt 0 1 xt 0 ee 34 es pe xit yt2 1 2B J Lo 1a Encontre a forma canG6nica modal deste sistema 61139 Transformacoes de Similaridade Resolucao Exemplo 75 As matrizes de estado deste sistema sao 0 1 0 a 2 4 B c2 1 D0 Primeiro iremos determinar os autovalores Sendo assim det Al A 0 A 0 0 1 o 0 Xx 3 4 A 1 3 yea 9 NW 44430 e entdo os autovalores sdo Ai 1 e Ax 3 Perceba que os autovalores sao reais e distintos permitindo a decomposiao modal diagonalizacdo da matriz de sistema A 62139 Transformacoes de Similaridade Resolucao Exemplo 75 Para o calculo dos autovetores temos por definicao Av AiNi Av AN 0 A Alvi 0 Logo 0 1 A 0 Vv 0 3 4 0 Xj is ri 1 vi 0 3 A4 vo O Sendo assim para Ay 1 1 1 Vi1 0 3 3 V21 0 e entao a equacao para o calculo de vi é V1 v1 0 63139 Transformacoes de Similaridade Resolucao Exemplo 75 Escolhendose v2 1 entao vii 1 Logo vr Vi 1 V21 1 Lembrese que o que importa na definicdo dos autovetores é o sentido e ndo o comprimento do vetor Logo poderiamos ter escolhido qualquer valor para vii ou V21 pois o outro sairia pela relagao viz Vva1 Para A2 3 3 1 vi2 0 3 1 vo 0 e entao a equacao para o calculo de v2 é 3v12 v22 0 Escolhendose v22 3 entao vi2 1 Logo w V2 1 2 V22 3 64 139 Transformacoes de Similaridade Resolucao Exemplo 75 Logo 1 1 Vu wl 5 3 Por definicdo 1 v1 f 1 1 wv 1 3 pA 4 1 1 15 05 We 371 05 05 Observe que tr Wi 15 05 w m7 05 05 e entdo os autovetores 4 esquerda sao f 15 05 m 05 mre 105 65 139 Transformacoes de Similaridade Resolucao Exemplo 75 Sendo assim aplicando a decomposic3o modal T V e T We ent3o x 15 05 0 1 1 1 A wav 05 05 3 al 1 3 A 15 05 1 1 1 0O 15 15 1 3 7 0 3 Na realidade nem precisarfamos ter calculado A pois sabemos que Ar O 1 O ama9 xu o 4 e entao o calculo foi feito somente para confirmar que a decomposiao esta correta calculo de V e W As outras matrizes de estado serao a 15 05 0 05 BT Bwe 5 05 i os CCTCV2 1 ot ot 1 1 1 3 DD0 66 139 Transformacoes de Similaridade Resolucao Exemplo 75 Sendo assim um modelo na Forma CanGnica Modal é xt 1 0 x1t 05 xot 0 3 wt 05 MC fT xt yt1 1 1f 28 J t 0 ut Perceba que o residuo associado ao pdlo s 1 64 nba 0 51 05 o residuo associado ao pdlo s 3 é rh bm05105 Sendo assim a funcdo de transferéncia do sistema é 05 05 05s 3 05s1 s2 syateaat s 1s 3 s 1s 3 67 139 Transformacoes de Similaridade Quando a matriz de sistema possui autovalores repetidos nao e possıvel diagonalizar a matriz de sistema Entretanto mesmo assim e possıvel colocala sob uma forma quasidiagonal ou melhor blocodiagonal Os blocos sao conhecidos como blocos de Jordan AJ A matriz de sistema e entao dada por A AJ1 0 0 0 0 AJ2 0 0 0 0 AJn1 0 0 0 0 AJn No caso de autovalores repetidos λi de multiplicidade r os blocos de Jordan AJi Rrr sao dados por AJi λi 1 0 0 0 0 λi 1 0 0 0 0 0 λi 1 0 0 0 0 λi 68 139 Transformacoes de Similaridade A fatorizacao termo empregado ja que a diagonalizacao nao e possıvel tambem pode ser feita por meio de uma transformacao de similaridade com a matriz de autovetores No caso de autovalores repetidos utiliza se o conceito de autovetores generalizados Para um autovalor re petido λi de multiplicidade r os autovetores generalizados sao A λiI vi 0 A λiI2 vi1 0 A λiIr vir1 0 69 139 Solucao das Equacoes de Estado O objetivo agora é o seguinte dada a equado de estados xt Axt But sujeito a condiao inicial x0 encontrar xt ou seja resolver a equacdo de estado Observe que estamos assumindo inicialmente até para efeito de simplicidade que o instante inicial 6 t O Vamos utilizar a abordagem via Transformada de Laplace Aplicandoa na equaao de estados teremos sXsx0 AXs BUs Reorganizando os termos na equaao acima temse sl A Xs x0 BUs Xs st Ax0 sl A BUs Aplicandose a Transformada de Laplace Inversa teremos xt 71 s1 ay x0 272 s1 A BUs 70139 Solucao das Equacoes de Estado A matriz t 1 st ay é conhecida como Maitriz de Transiao de Estados ou matriz fundamental Este nome deriva do fato de que conforme veremos adiante esta matriz mostra como chegar a um estado final xt a partir de um estado inicial xto conhecidos os vetores de entrada u para t to Sendo assim a soludo da equacao de estado é xt tx0 7 st A BUs Definindo s sI A temos xt tx0 L sBUs Pelas propriedades da Transformada de Laplace sabemos que multiplicacdo no dominio de Laplace é convoluao no tempo Logo t xt txO7 t TBU7d7 o t tx0 f 7BUt 7d7 0 71139 Solucao das Equacoes de Estado Sabemos que a resposta de um sistema é composta de dois termos uma parcela que depende das condicGes iniciais e outra que depende da entrada Ao termo tx0 damos o nome de resposta de entrada nula pois depende além do sistema por meio de t das condides iniciais Ao termo t rBUrdr o damos o nome de resposta de estado nulo pois depende também além do sistema da entrada ut A resposta total é entao naturalmente a soma das duas componentes O vetor de saidas sera t yt Ctx0 f Ct 7BUrd7 Dut o t Ctx0 C7BUt 7d7 Dut o 72139 Solucao das Equacoes de Estado Uma outra maneira de resolver a equacdo de estados é através de uma série de poténcia infinita Neste caso assumimos que a solugao da equacdo de estados é uma série infinita cujos coeficientes sao desconhecidos A série infinita é entao substituida da equacao diferencial para encontrar os coeficientes Vamos inicialmente considerar a equacdo homogénea xt Axt cuja soluao sabemos que é xt tx0 Uma vez que estamos assumindo que a soluao é uma série infinita temos xt Ko 4Kit Kot x0 Kitx0 i0 Observe que em t0 KoI 73139 Solucao das Equacoes de Estado Derivando a equaao anterior com relaao ao tempo teremos xt Ki 2Kot 3K3t x0 Substituindo a equaao anterior na equaao de estados teremos Ki 2Kot 3K3t x0 A Ko KitKot x0 Na sequéncia avaliamos a equaao anterior em t 0 Derivamos entdo e ava liamos novamente em t 0 Derivamos novamente e avaliamos novamente em t 0 Isto equivale a igualar os termos da equado anterior em t As equacdes resultantes serdo Ki AKo 2K AKi 3K3 AK 74139 Solucao das Equacoes de Estado Uma vez que Kg I calculamos entdo os coeficientes K KiA 1 A Ko AA 2 2 1A AS K3 A 3 2 3 Finalmente substituindose os coeficientes na soluao da equacdo de estados teremos At A3t3 SC ANt t 1 At 4 l TAtt 2 3 il Dada a semelhancga da equaao anterior com a expansdo em série de Taylor para a expo nencial escalar at 14 at at at e 1a top tgp te denotamos a matriz de transido de estados também como exponencial matricial co ns At At e t1 a i1 75 139 Solucao das Equacoes de Estado Desta maneira também podemos escrever a solucdo da equacdo de estado total como t xt ex07 eI BUrdr o t ex0 f eBUt rdr o consequentemente a equaao de saida t yt Cex0 CeMBUrdr o t Cex07 f CeBUt rdr o Observe que a resposta ao impulso gt é dada por gt CtB Ddt CeB Ddt onde 6t é a fundo impulso unitdrio Delta de Dirac 76 139 Solucao das Equacoes de Estado Propriedades da Matriz de Transicao de Estados Φ0 I Φ1t Φt Φt1 t2 Φt1Φt2 Φt2Φt1 Φtn Φnt Φt2 t1Φt1 t0 Φt2 t0 dn dtn Φt AnΦt 77 139 Solucao das Equacoes de Estado Caso o instante inicial nado seja zero ou seja to 4 0 t xt eM tp eM BUrdr to t eM xt f eBUt rdr to consequentemente a equaao de saida t yt Ce xt CeM BUrdr to t CoM tp Ce BUt rd7 to 78 139 Solucao das Equacoes de Estado Uma ultima maneira de se calcular a matriz de transicao de estados e atraves da diagonalizacao Seja T a matriz que diagonaliza A tal que Λ T1AT A expo nencial matricial de Λ e eΛt eλ1t 0 0 0 eλ2t 0 0 0 eλnt A solucao da equacao de estado nesta representacao e zt eΛtz0 Aplicando a Transformacao de Similaridade x Tz temse T1xt eΛtT1x0 xt TeΛtT1x0 Portanto Φt eAt TeΛtT1 79 139 Solucao das Equacoes de Estado Exemplo 76 Dado um modelo no espaco de estados do posicionamento angular de um satélite xt 0 1 x1t 0 Lay Lo o awe i xt yt1 0 ee J 0 ut onde x é a posiao angular e x2 é a velocidade angular calcular a matriz de transiao de estados através da Transformada de Laplace e da série infinita Obtenha entdo a resposta de entrada nula parax0 1 0 e a resposta de estado nulo para ut uit degrau unitdrio e consequentemente a resposta total do sistema 80 139 Solucao das Equacoes de Estado Resolucao Exemplo 76 As matrizes de estado do sistema sao 0 1 0 a Calculandose t por meio da Transformada de Laplace temos por definicdo t 7 sl a Calculandose sl A s 0 0 1 s 1 at A 5 elo o6 s s 1 1 1 0 S62 sl A ss s 1 Qo s 81139 Solucao das Equacoes de Estado Resolucao Exemplo 76 Logo toi pl ss 1it oi e I3 cy 0 s Calculandose t por meio da Série Infinita temos AP APt Ot IAt S at Perceba que n 1 0 10 0 10 0 0 0 0 0 e entio A 0 para i 2 Logo a Série Infinita neste caso particular é 1 0 0 t 1 t or 14ar 4 rl 6 o i 82139 Solucao das Equacoes de Estado Resolucao Exemplo 76 A resposta de entrada nula é 1 1 1 wit otemo2 2 2 A resposta de estado nulo é dada por t rBut rdr o No intervalo O07 7 t temos que ut rT 1 pois a entrada u é um degrau unitdrio e seu argumento sera positivo Calculandose 1 of 0 T eoeo 7 21 e entado t t T 7But rdr dr o o Lt t rButrdr 2 2 o 2 o T JI t t 83 139 Solucao das Equacoes de Estado Resolucao Exemplo 76 A resposta total é entao dada por t xt xot 7But rdr o t wo 3 2 t t 14 xt 2 t ou seja o estado x é dado por t xit1 7 eo estado x2 é dado por X2t t 84139 Solucao das Equacoes de Estado Resolucao Exemplo 76 A figura a seguir ilustra o diagrama do espaco de estados para 0 t 10 0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 x2 x1 85 139 Controlabilidade e Observabilidade Definicao Controlabilidade Um sistema é dito completamente controlavel ou de estados completamente controldveis se e somente se é possivel por meio de um vetor de controle irrestrito ut transferir o estado inicial do sistema no instante t to para qualquer outro estado final em um intervalo de tempo ft finito Vamos entdo derivar a condicdo de controlabilidade de um sistema Comegamos com a equacao de estado xt Axt But Sabemos que a solucdo geral da equacdo de estado é t xt txto f t 7Burdr to Vamos sem perda de generalidade considerar que o estado inicial é no instante t 07 e o estado final é a origem Logo temos que t 0 0tx0 f t rBurdr o 86 139 Controlabilidade e Observabilidade Sabemos que a matriz de transic3o de estados é a exponencial matricial e Logo t 0 ex0 f eA Bur dr o t 0 ex0 f eAteA7 Bur dr o t 0 ex0 ff eA7Burdr o Logo temos que t x0 eA Burdr o A exponencial matricial pode ser calculada pela formula da interpolacdo de Sylvestre n1 Mt So atA k0 onde at é um escalar 87 139 Controlabilidade e Observabilidade Logo temos que tol x07 So ax 7 ABu7 dr 07 K0 n1 t al x0 date So ax rur dr k0 0 K0 Considerando B I agrurdr podemos escrever n1 x0 ABB k0 que matricialmente é Bo Ar x0B AB AB Bn1 88 139 Controlabilidade e Observabilidade Desta maneira se o sistema é controldvel dado o estado inicial xO para que a equacdo acima seja satisfeita é necessdrio que a matriz McB AB AB tenha posto completo ou seja que seu posto seja igual a n possua n linhas linearmente independentes A matriz Mc nos diz entao como chegar a um determinado estado a partir do estado inicial Pela sua importancia a matriz Mc é conhecida como matriz de controlabilidade Para sistemas SISO a matriz Mc tem dimensdo n x n Sendo assim a condido de posto completo postoMc n se reflete em detMc 0 Desta maneira temos que para que um sistema seja controlavel ou de estados controlaveis é necessario e suficiente que o determinante de Mc seja diferente de zero ou seja que Mc seja ndosingular 89 139 Controlabilidade e Observabilidade Determine se o seguinte sistema x1 t 1 0 0 x1t 1 0 2 fa 2 foo x3t 4 3 1 X3t 5 x1t yt0 0 1 xt 0 Jut X3t é controlavel computando sua matriz de controlabilidade 90 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 77 As matrizes de estado necessdrias para o calculo da matriz de controlabilidade sao 1 0 0 1 A 0 2 O B 1 4 3 1 5 Para um sistema de ordem 3 n 3 a matriz de controlabilidade é McB AB AB Calculandose AB 1 0 0 1 1 AB 0 2 0 1j 2 4 3 1 5 2 Calculandose AB 1 0 0 1 1 ABAAB 0 2 0 2 4 4 3 1 2 8 91139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 77 Portanto 1 1 1 Mc 1 2 4 5 2 8 Para que o sistema seja controlavel é necessdrio que detMc 4 0 Como 1 1 1 detMc 1 2 4 12 5 2 8 entao podemos concluir que este sistema é controlavel 92139 Controlabilidade e Observabilidade Considere agora que o sistema dinˆamico esta representado no espaco de estados na forma canˆonica modal Se o sistema e controlavel isto significa que todos os seus modos sao excitados pela entrada ut Se um dos modos nao e excitado pela entrada isto significa que nao e possıvel controlalo Portanto se o sistema estiver representado na forma canˆonica modal a condicao para controlabilidade e a de que nenhum elemento da matriz B seja nulo Para cada elemento da matriz B que for nulo seu modo correspondente nao e controlavel Para a representacao na forma canˆonica de Jordan para autovalores repetidos e necessario que nao haja dois ou mais blocos de Jordan correspondentes ao mesmo autovalor e que o elemento de B da ultima linha correspondente a cada bloco de Jordan nao seja nulo 93 139 Controlabilidade e Observabilidade Considere que o sistema esta na forma canénica modal zt T1ATzt T1But yt CTzt Dut A matriz de transformagao linear é formada pela matriz de autovetores a direita de A Tu Von va e a inversa é formada pela matriz de autovetores a esquerda de A wi r Ti w Temos entao que w wB wo wB T B B whl wB Sendo assim se wB 0 0 modo et é n3ocontrolavel 94139 Controlabilidade e Observabilidade Exemplo 78 Determine se os seguintes sistemas sao controlaveis por inspeao a Xt 1 0 0 xt 1 Xt 0 2 0 xt 2 ut a 0 0 2 xt yt 2 1 1 t 0 Jut x3t b xit 1 0 0 xt 1 Pao 2 0 0 Jets x3t 0 oO 1 x3t 1 x1t yt5 3 7 t 0 ue x3t 95 139 Controlabilidade e Observabilidade Exemplo 78 c xt 1 0 0 xt 6 3 0 2 O a0 1 X3t 0 0 1 x3t 10 x1t yt0 3 2 t 0 Jut x3t 96 139 Controlabilidade e Observabilidade Exemplo 78 d X1t 1 1 0 0 0 x1t 0 Xt 0 1 10 0 xt 0 xt 0 O 10 0 x3t 3 ut a 0 0 022 T xat H 6t 0 0 O00 2 x5t 1 x1t X2t yt1 3 8 1 2 xt 0 J ut xat X5t 97 139 Controlabilidade e Observabilidade Exemplo 78 e x1t 1 1 00 00 xit 2 X2t 0 1 110 010 x2t 1 Xt 0 0 10 0O0 x3t 0 E Hea ta e 0 ue X5t 0 0 00 2 0 x5t 2 Xt 0 0 010 0 3 xt le x1t x2t yy0 5 67 26 294 0 Jute x5t x6t 98 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 78 a O sistema esta na forma canénica modal pois a matriz A é diagonal e seus auto valores sao reais e distintos Como nenhum elemento de B é nulo entao o sistema sera controlavel b O sistema estd na forma canénica modal pois a matriz A é diagonal e seus autovalo res sdo reais e distintos Como o segundo elemento de B é nulo conforme indicado abaixo o sistema sera ndocontrolavel pois o modo e é naocontrolavel x1t 1 0 0 x1t 1 Xt 0 2 O xt 0 ut X3t 0 0 1 x3t 1 x1t yt5 3 7 xt 0 Jut x3t c O sistema nao esta na forma canénica modal pois apesar de A ser diagonal ha um autovalor repetido AX 1 Portanto ndo ha como analisar a controlabilidade por inspecdo 99 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 78 d O sistema esta na forma canénica de Jordan pois os autovalores repetidos estao organizados corretamente em blocos de Jordan na matriz de sistema A Como nenhum ultimo elemento de B correspondente a cada bloco de Jordan é nulo entao o sistema é controlavel e O sistema estdé na forma candénica de Jordan pois os autovalores repetidos estao organizados corretamente em blocos de Jordan na matriz de sistema A Como o ultimo elemento de B correspondente ao primeiro bloco de Jordan é nulo conforme indicado abaixo entao o sistema é naocontrolavel x1t 1 1 00 070 x1t 2 Xt 0 1 10 00 xot 1 xt 9 0 1 0 0 1 0 xt o wt 070 012 110 at to fe 6t 9 0 0 O 2 O xst 2 Xt 0 0 0060 013 xt 2 x1t x2t Do 1 x3t yt0 5 67 26 xat 0 jut x5t x6t 100 139 eE importante ressaltar que se o sistema estiver na forma canénica controldvel da maneira que vimos o determinante de Mc sera sempre igual a 1 Entretanto é possivel obter uma transformacao de similaridade de maneira que Mc Ie por consequéncia o determinante sera igual a 1 Para isto considere o sistema xt Axt But yt Cxt Dut e sua matriz de controlabilidade McB AB AB Considere agora o sistema com a transformaao de similaridade zt Azt But yt xt Bult e sua matriz de controlabilidade Mc6 AB AB Reescrevendo a matriz de controlabilidade do sistema transformado temos Mc 7T7B TATT1B TIATT1ATT1B McT 1B TAB T1ABT1B AB A7B 101 139 Controlabilidade e Observabilidade Logo temos que McTMc Se desejamos que a matriz de controlabilidade do sistema transformado seja igual a iden tidade a matriz de transformac4o linear deve ser igual a 1T Mc TMc Aplicando entdo esta transformacado de similaridade ao sistema original o sistema transfor mado tera representaao no espaco de estados da seguinte forma 21t 0 oO O ao zt 1 22t 10 O a1 22t 0 23t 0 1 O ag 0 ut Dott Zn1t Znt 0 0 Lo apy Znt 0 zt 22t yt a Cra Cn Out Zn1t Znt que também é conhecida como uma forma canGnica controlavel FCC 2 102 139 Controlabilidade e Observabilidade Ainda assim e possıvel obter uma transformacao de similaridade que converta a repre sentacao do sistema dinˆamico no espaco de estados na forma canˆonica controlavel como conhecemos Vamos comecar com A T1AT AT1 T1A Sem perda de generalidade vamos considerar o caso de dimensao 3 Sabemos que A esta na forma canˆonica controlavel entao 0 1 0 0 0 1 a0 a1 a2 t1 t2 t3 t1A t2A t3A Da equacao anterior concluımos que t2 t1A e t3 t2A t1A2 103 139 Controlabilidade e Observabilidade Temos também que BTB e B também est4 na forma canénica controlavel Logo 0 tiB 0 toB 1 t3B Da ultima equaao concluimos que tiB 0 tB tAB 0 t3B tAB 1 Combinando as ultimas equades temos tiB AB AB0 0 1 Logo temos que ti 0 0 1 Mctq onde entao q é a Ultima linha da inversa de Mc 104 139 Controlabilidade e Observabilidade Portanto temos que a inversa de T deve ser T1 q qA qA2 De maneira geral T1 q qA qAn1 onde q e novamente sempre a ultima linha da inversa de MC Basta entao inverter a matriz T1 para obter T e entao aplicar a transformacao de similaridade para chegar de volta a forma canˆonica controlavel 105 139 Controlabilidade e Observabilidade Exemplo 79 Determine a matriz de transformagao linear que coloca o sistema xt 1 2 xt 2 Ht 0 3 xot F 1 4 xit yt 05 0 at J 0 jut sob a forma canGnica controlavel 106 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 79 Precisamos primeiro determinar a matriz de controlabilidade Mc Logo para um sistema de segunda ordem McB AB Calculandose AB 1 2 2 4 vef 0 3 la3 Logo 2 4 me 7 3 e Ee 1 2 15 2 1 Mc 05 1 Sendo assim a ultima linha da inversa de Mc é q05 1 107 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 79 Calculandose qA 1 2 qA 05 1 0 jl o 2 e entdo 1 q 05 1 qT Ss Calculandose finalmente T 2 1 tf 058 Wl 05 05 fa 2 05 2 7 05 yo1if Verificando iar 05 1f 1 2 4 2 AT ar OS 2 0 hi Aa 705 2 42 0 1 05 5 11 3 4 108 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 79 Continuacdo da verificacdo si 05 1 2 0 pre se fi2 cT 05 a 1 fl2 1 DD0 Logo o modelo do sistema na forma canGnica controlavel é xt 0 1 x1t 0 Pa lf Ss S188 o eo xt yt2 1 1f 8 f 0 J ut e sua funcdo de transferéncia é s2 Gs s4543 0 109 139 Controlabilidade e Observabilidade Definicado Observabilidade Um sistema é dito completamente observavel ou de estados completamente observaveis se e somente se é possivel determinar qualquer estado inicial xto a partir da observado da saida yt e conhecendose a entrada ut em um intervalo de tempo t finito Vamos entdo derivar a condido de observabilidade de um sistema Comecgamos com a equacao de estado xt Axt But Sabemos que a solucdo geral da equacdo de estado é t xt txto f t 7Burdr to Temos entdo que a saida é t yt COtxto Ct rBurdr Dut to 110 139 Controlabilidade e Observabilidade Como as matrizes A B C e D 0 vetor de controle ut sao conhecidos os dois ultimos termos da equaao sao conhecidos Sendo assim podemos subtrailos da saida observada yt Consequentemente temos yt Ctxto Sem perda de generalidade vamos considerar que o estado é 0 inicial é t 0 Logo yt Ctx0 Isto equivale a definir o sistema como xt Axt yt Cxt Reescrevendose a equaao de saida yt CeAx07 Novamente calculando a exponencial matricial pela férmula da interpolado de Sylvestre n1 yt Sax tCAx0 k0 111139 Controlabilidade e Observabilidade Matricialmente a Ultima equado pode ser reescrita como Cc CA yt aot ait oxat x0 car Desta maneira se o sistema é observavel dado a saida observada yt o estado inicial x0 sé pode ser univocamente determinado se a matriz Cc CA Mo car tenha posto completo ou seja que seu posto seja igual a n n colunas linearmente inde pendentes A matriz Mo nos diz entao como observar um determinado estado a partir da saida yt Pela sua importancia a matriz Mo é conhecida como matriz de observabilidade 112139 Controlabilidade e Observabilidade Para sistemas SISO a matriz MO tem dimensao n n Sendo assim a condicao de posto completo postoMO n se reflete em detMO 0 Desta maneira temos que para que um sistema seja observavel ou de estados observaveis e necessario e suficiente que o determinante de MO seja diferente de zero ou seja que MO seja naosingular 113 139 Controlabilidade e Observabilidade Exemplo 710 Determine se o seguinte sistema xt 1 0 0 xt 1 xt 0 2 0 xt 1 ut x3t 4 3 1 X3t 5 x1t yt0 0 1 xt 0 ut X3t é observavel computando sua matriz de observabilidade 114139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 710 As matrizes de estado necessdrias para o calculo da matriz de observabilidade sao 1 0 0 A 0 2 0 c0 01 4 3 1 Para um sistema de ordem 3 n 3 a matriz de observabilidade é Cc Moj CA CA Calculandose CA 1 0 0 CA0 0 1 0 2 O4 3 1 4 3 1 Calculandose CA 1 0 0 CACAA4 3 1 0 2 O0 3 1 4 3 1 115 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 710 Portanto 0 oOo 1 Mo 4 3 1 0 3 1 Para que o sistema seja controlavel é necessdrio que detMo 0 Como 0 oOo 1 detMo4 3 112 0 3 1 entao podemos concluir que este sistema é observavel 116 139 Controlabilidade e Observabilidade Considere agora que o sistema dinˆamico esta representado no espaco de estados na forma canˆonica modal Se o sistema e observavel isto significa que todos os seus modos devem estar presentes na saıda yt Se um dos modos nao esta presente na saıda isto significa que nao e possıvel detectalo Portanto se o sistema estiver representado na forma canˆonica modal a condicao para observabilidade e a de que nenhum elemento da matriz C seja nulo Para cada elemento da matriz C que for nulo seu modo correspondente nao e observavel Para a representacao na forma canˆonica de Jordan para autovalores repetidos e necessario que nao haja dois ou mais blocos de Jordan correspondentes ao mesmo autovalor e que o elemento de C da primeira coluna correspondente a cada bloco de Jordan nao seja nulo 117 139 Controlabilidade e Observabilidade Considere que o sistema esta na forma canénica modal zt TATzt TBut yt CTzt Dut A matriz de transformagao linear é formada pela matriz de autovetores a direita de A TvM w wa ea inversa é formada pela matriz de autovetores a esquerda de A wil wo Ti whl Temos entao que CTC wu w we Cu Cv Cun Sendo assim se Cv 0 0 modo eit é ndoobservavel 118 139 Controlabilidade e Observabilidade Determine se os seguintes sistemas sao observaveis por inspeao a Xt 1 0 0 xt 1 fan S feel 2 feo X3t 0 0 3 x3t 1 xt yt0 1 1 t 0 Jut x3t b X1t 1 0 0 x1t 1 Pao 2 0 0 Jets X3t 0 oO 1 x3t 1 x1t yt5 3 7 t 0 ue x3t 119 139 Controlabilidade e Observabilidade c xt 1 0 0 xt 6 3 0 2 O a0 1 X3t 0 0 1 x3t 10 x1t yt0 3 2 t 0 Jut x3t 120 139 Controlabilidade e Observabilidade d X1t 1 1 0 0 0 x1t 0 Xt 0 1 10 0 xt 0 t 0 O 110 0 x3t 3 ut a 0 0 O02 1 xat H 6t 0 0 O00 2 x5t 1 x1t X2t yt1 3 8 0 2 xt 0 ut xat X5t 121139 Controlabilidade e Observabilidade e xt 1 1 00 00 x1t 2 X2t 0 1 110 010 x2t 1 Xt 0 0 10 0O0 x3t 0 E Hea ta e 0 ue X5t 0 0 00 2 0 x5t 2 Xt 0 0 010 0 3 xt le x1t x2t yt6 0 67 06 oe 0 Jut x5t x6t 122139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 711 a O sistema esta na forma canénica modal pois a matriz A é diagonal e seus autovalo res sdo reais e distintos Como o primeiro elemento de C é nulo conforme indicado abaixo o sistema sera ndoobservavel pois o modo e é n3oobservavel x1t 1 0 0 x1t 1 t 0 2 0O x2t 2 ut X3t 0 0 3 x3t 1 x1t yt 0 1 1 xt 0 Jut x3t b O sistema esta na forma canénica modal pois a matriz A é diagonal e seus auto valores sao reais e distintos Como nenhum elemento de C é nulo entado o sistema sera observavel c O sistema nao esta na forma canénica modal pois apesar de A ser diagonal ha um autovalor repetido A 1 Portanto ndo ha como analisar a observabilidade por inspecdo 123139 Controlabilidade e Observabilidade Resolugao Exemplo 711 d O sistema esta na forma canénica de Jordan pois os autovalores repetidos estao organizados corretamente em blocos de Jordan na matriz de sistema A Como o primeiro elemento de C correspondente ao segundo bloco de Jordan é nulo conforme indicado abaixo entao o sistema é naoobservavel Xt 1 1 0 0 60 xt 0 Xt 0 1 10 0 xt 0 x3t 9 0 10 0 x3t 3 ut xat 0 0 0 72 4 xat 2 X5t 0 0 00 2 x5 t 1 2G xot yt 1 3 80O 2 x3t 0 Jut x4t x5t e O sistema esta na forma can6nica de Jordan pois os autovalores repetidos est4o organizados corretamente em blocos de Jordan na matriz de sistema A Como nenhum primeiro elemento de C correspondente a cada bloco de Jordan é nulo entao o sistema é observavel 124 139 Controlabilidade e Observabilidade E importante ressaltar que se o sistema estiver na forma canˆonica observavel da maneira que vimos o determinante de MO sera sempre igual a 1 Entretanto e possıvel obter uma transformacao de similaridade de maneira que MO I e por consequˆencia o determinante sera igual a 1 Para isto considere o sistema xt Axt But yt Cxt Dut e sua matriz de observabilidade MO C CA CAn1 Considere agora o sistema com a transformacao de similaridade zt Azt But yt Czt Dut 125 139 Controlabilidade e Observabilidade A matriz de observabilidade do sistema transformado e MO C CA CAn1 Reescrevendo a matriz de observabilidade do sistema transformado temos MO CT CTT1AT CTT1ATT1AT MO CT CAT CA2T C CA CA2 T 126 139 Controlabilidade e Observabilidade Logo temos que Mo MoT Se desejamos que a matriz de observabilidade do sistema transformado seja igual a identi dade a matriz de transformac4o linear deve ser igual a 1MoT TMo 4 Aplicando entdo esta transformacado de similaridade ao sistema original o sistema transfor mado tera representaao no espaco de estados da seguinte forma Zt 0 1 0 tae 0 21t Cy 22t 0 0 1 ee 0 22t 2 Bf Sf al J 4 3 ue Zn1t 0 0 ve 0 1 Zt a a a an1 Znt Cn zt Zt yt1 0 0 of BH foqucey 2nt que também é conhecida como uma forma canGnica observavel FCO 2 127 139 Controlabilidade e Observabilidade Ainda assim é possivel obter uma transformacdo de similaridade que converta a repre sentacdo do sistema dindmico no espaco de estados na forma canénica observavel como conhecemos Vamos comecar com ATAT TAAT Sem perda de generalidade vamos considerar o caso de dimensdo 3 Sabemos que A esté na forma canGnica observavel entao 0 O a9 ti to t3 1 0 a At Ato At3 0 1 a2 Da equacao anterior concluimos que to At e t3 Ato At 128 139 Controlabilidade e Observabilidade Temos também que CCT e também estd na forma canénica observavel Logo 0 0 1 Ct Ct2 Cts Da ultima equaao concluimos que Ct 0 Ctp CAt 0 Ct CAti 1 Combinando as ultimas equagdes temos Cc 0 CA ti 0 CA 1 Logo temos que 0 ti Mo 0 p 1 onde entao p é a Ultima coluna da inversa de Mo 129 139 Controlabilidade e Observabilidade Portanto temos que T deve ser Tp Ap Ap De maneira geral Tp Ap Ap onde p é novamente sempre a ultima coluna da inversa de Mo Basta entio inverter a matriz T para obter T e ent3o aplicar a transformac3o de similaridade para chegar de volta a forma candnica observavel 130139 Controlabilidade e Observabilidade Determine a matriz de transformagao linear que coloca o sistema xt 1 2 xt 2 Ht 0 3 xot F 1 4 xit yt 05 01 at J Lo lus sob a forma canGnica observavel 131 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 712 Precisamos primeiro determinar a matriz de observabilidade Mo Logo para um sistema de segunda ordem Cc mo Calculandose CA 1 2 05 CA 05 0 0 3 4 Logo 05 0 Mo 05 1 e Los as 05 05 2 0 1 Mo 05 2 I Sendo assim a ultima coluna da inversa de Mo é 0 132139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 712 Calculandose Ap 1 2 0 2 melo 3 4 3 e entdo 0 2 Tp ap 2 3 Calculandose finalmente T lio pif 2 a 10 715 1 1 3 2 05 O Verificando i7 15 11 2 0 2 srar oe oil o os fo 3 a15 0 0 2 0 3 05 1 1 3 1 4 133 139 Controlabilidade e Observabilidade Resolucao Exemplo 712 Continuacdo da verificacdo ip 15 1f22 pre oso i7 0 2 écT05 oj 2 5 l 1 DD0 Logo o modelo do sistema na forma canGnica observavel é xt 0 3 xt 2 Pa f 9 a 2 J a oe xit vey0 1 9 Jao jue e sua funcdo de transferéncia é s2 Gs s453 0 134139 Controlabilidade e Observabilidade E possivel provar que toda vez que houver um cancelamento entre polos e zeros na funcado de transferéncia de um sistema ele serd nado controlavel ou nao observavel ou ambos se houver mais de um cancelamento e dependendo de outras condiées Logo a condicao para controlabilidade e observabilidade no dominios é que nao haja cancelamento de polos e zeros na funcao de transferéncia Na realidade cada cancelamento de pdlo e zero fara com que a matriz de controla bilidade ou a de observabilidade perca uma ordem do posto Podemos provar que se o sistema tem um zero em A com direcao Hn modo e é ndocontrolavel e fara com que a matriz de controlabilidade perca uma ordem em seu posto V1 Podemos provar que se o sistema tem um zero em 4 com direcdo 9 modo ei 6 ndoobservavel e fara com que a matriz de observabilidade perca uma ordem em seu posto 135 139 Controlabilidade e Observabilidade Considere o sistema na forma candénica modal xt Ar O O xit wi7B 0 rd O wB Sfp tb on ut Xnt 0 0 An Xnt wB x1t x2t yt Cv Cv Cvn Out Xnt 136 139 Controlabilidade e Observabilidade A funcao de transferéncia do sistema é l Gs slA B b 1 0 Lee 0 s1 1 wiB 0 0 w2B Cv Cv Cv s2 r 1 w B 0 0 eee sAn yr CuiwiTB Gs a yy Desta forma se o sistema é ndocontrolavel wB 0 eou naoobservavel Cv 0 isto implica em residuo nulo ou seja um cancelamento de zeros e polos na funcdo de transferéncia 137139 Controlabilidade e Observabilidade A B C D e dito uma realizacao em espaco de estados de um sistema dinˆamico LIT com funcao de transferˆencia Gs se Gs C sI A1 B D Conforme vimos se ha um cancelamento de polos e zeros na funcao de transferˆencia o sistema sera naocontrolavel eou naoobservavel Isto implica que o grau de detsIA ou seja o polinˆomio caracterıstico do sistema e menor que a dimensao de A pois ha um cancelamento de polos e zeros Entao isto nos diz que nesta representacao ha mais estados do que o necessario para representar o sistema Logo dizemos que a realizacao em espaco de estados A B C D e dita mınima se o sistema e controlavel e observavel Em outras palavras a representacao em espaco de estados utiliza o numero mınimo de estados necessarios para representar o sistema 138 139 Controlabilidade e Observabilidade Em geral os sistemas fısicos sao controlaveis e observaveis O que ocorre e que os modelos utilizados para descrever o comportamento do sistema podem ser nao controlaveis eou naoobservaveis Entretanto mesmo que o sistema seja controlavel e observavel o que pode ocorrer e que alguns modos podem ser fracamente controlaveis eou fracamente observaveis Um bom exemplo para explicar esta situacao e o controle de aeronaves o movimento de arfagem e primariamente influenciado pelo profundor e fracamente influenciado pelo aileron Ja o movimento de rolagem e essencialmente influenciado pelo aileron Um teste de controlabilidade indicaria que o modo correspondente ao movimento de arfagem e controlavel tanto pelo profundor quanto pelo aileron Entretanto e impraticavel tentar controlar o movimento de arfagem altitude somente rolando a aeronave com os ailerons Outro ponto importante e o princıpio da dualidade Dado um sistema com repre sentacao no espaco de estados com matrizes A B C D o par A B somente e controlavel se o par AT BT for observavel Similarmente o par A C somente e observavel se o par AT CT for controlavel 139 139