Prova de Vibrações Mecânicas 2

Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 2a Prova de EME608 Término 9 h 45 min Data 21112023 Observações Esta prova contém 3 páginas e 4 questões totalizando 10 pontos Escreva as equações literalmente e depois substitua os valores com letra legível Comprove as resposta através de cálculos Destaque os resultados finais a caneta juntamente com as respectivas unidades A interpretação faz parte da prova 1 1 ponto A massa recíproca o raio da manivela e o comprimento da biela de cada um dos cilindros de um motor de dois cilindros em linha são dados por m r e l respectivamente Os ângulos das manivelas dos 2 cilindros estão seprados por 180º Podese afirmas que as forças primárias e os momentos primários são desbalanceados 1 O Verdadeiro Falso Solução j Dados y l2 l2 xp mp m mc 0 a1 0º a2 180º ii Forças de Inércia Forças primárias Fxp mpmc r w2 coswt a1 mpmc r w2 coswt a2 Para t0 Fxp mrw2 cos a1 cos a2 mrw2 1 1 Fxp 0 resp N Forças secundárias Fxs mp r2 w2 cos2wt 2a1 mp r2 w2 cos2wt 2a2 Para t0 Fxs m r2 w2 cos 2x0º cos 2x180º m r2 w2 1 1 Fxs 2 m r2 w2 resp l N iii Momentos Momentos com relação ao plano central M3p Fx1 x L2 Fx2 x L2 mpmc 12 r w2 coswt a1 x L2 mpmc r w2 coswt a2 x L2 Para t0 M3p L m r w2 cos 0º L m r w2 cos 180º M3p L m r w2 Nm 2 2 M3s Fx1 x L2 Fx2 x L2 mpmc 12 r w2 coswt 2a1 x L2 mpmc r w2 coswt 2a2 x L2 Para t0 M3s L m r w2 cos 0º L m r w2 cos 360º M3s 0 Nm 2 2 2 1 ponto Ao analisar o espectro de frequência de um conjunto motorventilador rotor do ventilador biapoiado com transmissão direta do torque observouse que apareceram picos de frequência 1xRMP e 2xRPM nas direções radial e axial com ângulo de fase 180º fora de fase nas direções radial e axial Podese afirmar que o defeito apresentado é O Desbalanceamento O Eixo torto Desalinhamento combinado O Desalinhamento paralelo O Desalinhamento angular O Rotor excêntrico 3 2 pontos O rolamento SKF 62012Z tem seu anel interno fixado em um eixo que gira a 3420 rpm Podese afirmar que os valores de frequência apresentados na tabela estão corretos Tabela 1 Diagnóstico de Defeitos Tipos Equipamento freq Hz Rolamento 6201 BPFO 1451 BPFI 2539 FTF 207 BSF 1935 9673 O Verdadeiro Falso Solução i Relação entre D e d k Dd 02727 Estimado ii Número de elementos rolantes nBall 7 Estimado iii Frequência BPFO fBPFO nBall2 fr 1 Dd coss fr fpc fpI rotação do eixo n 3420 rpm ou fr 57 Hz Logo fr fe fc 0 57 fr 57 Hz Assim fBPFO nBall2 fr 1 Dd cosx 72 x 57 1 012727 x cos0º fBPFO 1451 Hz iv Frequência BPFI fBPFI nBall2 fr 1 Dd cosx fr fpc fpI fBPFI 72 x 57 1 012727 x cos0º fBPFI 2539 Hz v Frequência rotacional gaiola FTF fFTF fr2 1 Dd cosx 572 1 012727 x cos0º fFTF 297 Hz vi Frequência de giro da esfera BSF fBSF fr dD 1 Dd cos a2 572 102727 1 02727 x cos0º2 fBSF 9617 Hz 4 6 pontos O eixo mostrado na figura faz parte de um redutor de velocidade À esquerda na posição da chaveta é posicionado uma engrenagem de largura de 15 in diâmetro primitivo de 12 in e peso de 50 lbf À direita na segunda chaveta é posicionada uma engrenagem de largura 2 in diâmetro primitivo de 267 in e peso de 5 lbf Considere que o material do eixo possui Módulo de Young igual a 30 MPsi e massa específica de 02840 lbmin3 A rotação de operação é de 1750 rpm Considerando a velocidade crítica do sistema usando o Método de Rayleigh sem considerar o diâmetro equivalente responda se o sistema pode operar nesta velocidade Apresente de forma detalhada todos os cálculos 2 Solução i Dados P1 50 lbf P2 5 lbf E 30 MPsi ρ 012840 lbmin³ n 1750 rpm ii Principais medidas do eixo iii Reações de apoio Fy0 RA P1 P2 RB 0 RA P1 P2 RB 1 MH0 7 5 2P1 3775P2 10RB 0 RB 012P1 01375P2 2 2 em 1 vem RA P1 P2 012P1 0375P2 RA 08P1 0625P2 3 iii Momentos M1 RAx M1 08P1 0625P2x M2 RAx M2 M1 M3 RAx M3 M2 M4 RAx P1x 2 M4 M3 P1x 2 M5 RAx P1x 2 M5 M4 M6 RAx P1x 2 M6 M5 M7 RAx P1x 2 P2x 775 M7 M6 P2x 775 M8 RBx P1x 2 P2x 775 M8 M7 M9 RAx P1x 2 P2x 775 M9 M8 r Derivadas dos Momentos M1P1 45 x M1P2 58 x M2P1 45 x M2P2 58 x M3P1 45 x M3P2 58 x M4P1 2 x5 M4P2 58 x M5P1 2 x5 M5P2 58 x M6P1 2 x5 M6P2 58 x M7P1 2 x5 M7P2 314 38 x M8P1 2 x5 M8P2 314 38 x M9P1 2 x5 M9P2 314 38 x vi Inércias I₁ π d₁⁴64 π 1⁴64 I₁ 00491 in⁴ I₂ π d₂⁴64 π 135⁴64 I₂ 01630 in⁴ I₃ π d₃⁴64 π 1625⁴64 I₃ 03423 in⁴ I₄ I₃ I₅ π d₅⁴64 π 2⁴64 I₅ 07854 in⁴ I₆ I₃ I₇ I₃ I₈ π d₈⁴64 π 15⁴64 I₈ 02485 in⁴ I₉ π d₉⁴64 π 1183⁴64 I₉ 00961 in⁴ vii Teorema de Castigliano δφ₁ 025 to 275 M₁EI₁ M₁φ₁ dx 10 to 675 M₂EI₂ M₂φ₁ dx 20 to 775 M₃EI₃ M₃φ₁ dx 20 to 50 M₄EI₄ M₄φ₁ dx 275 to 95 M₅EI₅ M₅φ₁ dx 675 to 1010 M₆EI₆ M₆φ₁ dx 775 to 90 M₇EI₇ M₇φ₁ dx 90 to 95 M₈EI₈ M₈φ₁ dx 95 to 1010 M₉EI₉ M₉φ₁ dx δφ₂ 025 to 275 M₁EI₁ M₁φ₂ dx 10 to 675 M₂EI₂ M₂φ₂ dx 20 to 775 M₃EI₃ M₃φ₂ dx 20 to 50 M₄EI₄ M₄φ₂ dx 275 to 95 M₅EI₅ M₅φ₂ dx 675 to 1010 M₆EI₆ M₆φ₂ dx 775 to 90 M₇EI₇ M₇φ₂ dx 90 to 95 M₈EI₈ M₈φ₂ dx 95 to 1010 M₉EI₉ M₉φ₂ dx Assim δφ₁ 00367 10³ in δφ₂ 01189 10³ in viii Frequência crítica ωcrit θ P₁ δφ₁ P₂ δφ₂ P₁ δφ₁² P₂ δφ₂² 3860950 00367 10³² 5 01189 10³² ωcrit 26068 rads ix Rotação Crítica ωcrit Π ncrit 30 ncrit 30Π ωcrit 30Π 26068 ncrit 248934 rpm x Rotação de Operação Para rotores rígidos temse n op 07 ncrit n of 07 248934 n op 174254 rpm Como a rotação de operação i 1750 rpm 174254 rpm O motor pode trabalhar na rotação de 1750 rpm sem problemas Programa Matlab Solução da questão 4 da 2a Prova de EME608 2o semestre de 2023 rotação crítica de um eixo biapoiado com seção variável Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Professor Prof Dr José Juliano de Lima Jr preparação ambiente clearvars variável simbólica syms P1 P2 x dados do eixo d11 in d2135 in d31625 in d4d3 in d52 in d6d3 in d7d3 in d815 in d91183 in L10 in dados do material E30e6 psi rho02840 lbmin3 g38609 ins2 reações de apoio RA08P10625P2 RBP1P2RA momentos de inércia de área I1pid1464 I2pid2464 I3pid3464 I4I3 I5pid5464 I6I3 I7I3 I8pid8464 I9pid9464 Momentos M1RAx M2M1 M3M2 M4M3P1x2 M5M4 M6M5 M7M6P2x775 M8M7 M9M8 derivadas dos momentos PP1 P2 for i12 dM1diffM1Pi dM2diffM2Pi dM3diffM3Pi dM4diffM4Pi dM5diffM5Pi dM6diffM6Pi dM7diffM7Pi dM8diffM8Pi dM9diffM9Pi deflexão DpiintM1EI1dM1x0025intM2EI2dM2x0251intM3EI3dM3 x12 intM4EI4dM4x2275intM5EI5dM5x275675intM6EI6dM6x 675775 intM7EI7dM7x7759intM8EI8dM8x995intM9EI9dM9x95 10 end sem massa do eixo DpsubsDpP1P2505 format long doubleDp in rotação crítica Rayleigh PsubsPP1 P250 5 NP1Dp1P2Dp2 DP1Dp12P2Dp22 wcritsqrtgND rads doublewcrit ncrit30piwcrit rpm doublencrit rotação de operação nop07ncrit rpm doublenop Referências 1 Rao S S 2008 Vibrações Mecânicas 4a Edição Prentice Hall São Paulo 445p 2 Budynas R G Nisbett K J 2011 Shigleys Mechanical Engineering Design 9 th edition McGrawHill Higher Education Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 2a Prova de EME608 Término 9 h 45 min Data 17062024 Observações Esta prova contém 6 páginas e 5 questões totalizando 10 pontos Escreva as equações literalmente e depois substitua os valores com letra legível Comprove as resposta através de cálculos Destaque os resultados finais a caneta juntamente com as respectivas unidades A interpretação faz parte da prova 1 1 ponto O espectro de frequência de vibração do mancal de rolamento 6200ZZ com 8 esferas relação Dd igual a 02380 e com rotação da pista interna igual a 1740 rpm é mostrado na figura Analisandose a figura podese afirmar que tratase de um espectro de frequência mostrando que o rolamento apresenta defeito graph with handwritten markings o na pista interna selected o na pista externa o na gaiola o no elemento rolante o Nenhuma das opções solução i frequência de rotação fr n 60 f r 1740 60 fr 29 Hz ii frequência de defeito da pista externa f BPFO n ball 2 fr 1 D d cos α f BPFO 8 2 x 29 x 1 02380 cos 0 f BPFO 88392 Hz iii frequência de defeito da pista interna f BPFI n ball 2 fr 1 D d cos α 8 2 x 29 x 1 0238 x cos 0 f BPFI 143608 Hz iv frequência rotacional da gaiola f FTF fr 2 1 D d cos α 29 2 1 02380 x cos 0 f FTF 11049 Hz v frequência de giro dos elementos rolantes f BSF d D fr 2 1 D d cos α2 1 02380 x 29 2 x 1 02380 x cos 02 f BSF 57473 Hz vi frequência de defeito do elemento rolante f DER 2 f BSF 2 x 57473 f DER 114947 Hz vii análise do espectro de frequência 29 Hz fr 88392 Hz f BPFO defeito pista externa 17678 Hz 2x f BPFO 26518 Hz 3x f BPFO 2 1 ponto Ao medir o nível de vibração no mancal de um redutor de velocidade obtevese o espectro de frequência mostrado na figura O pinhão gira a 1740 rpm possui 18 dentes e a coroa possui 65 dentes Podese afirmar que o espectro de frequência se refere a graph with handwritten markings sem defeito desgaste dos dentes sobrecarga nos dentes excentricidade da engrenagem desalinhamento das engrenagens Nenhuma das opções Solução i Frequências de rotação do pinhão e coroa pinhão f1 n160 174060 f1 29 Hz coroa f2 f1 n1n2 29 x 1865 f2 8 Hz ii Frequência de engrenamento GMF f1 x n1 f2 x n2 29 x 18 GMF 522 Hz iii Defeito de desalinhamento No espectro de frequência aparecerá 1 x GMF e níveis altos a 2 x GMF ou 3 x GMF com bandas laterais sinal FM Do espectro de frequência 8 Hz f2 29 Hz f1 58 Hz 2 f1 464 Hz GMF 2 x f1 493 Hz GMF f1 522 Hz GMF 551 Hz GMF f1 580 Hz GMF 2 f1 986 Hz 2 GMF 2 f1 1015 Hz 2 GMF f1 1044 Hz 2 GMF 1073 Hz 2 GMF f1 1102 Hz 2 GMF 2 f1 3 1 ponto A vibração overall na faixa de frequência de 10 a 2000 Hz em velocidade em um redutor montado em uma base de concreto resultou no valor de 18 mms rms Na frequência de engrenamento que é de 522 Hz foi encontrado 15 mms rms Segundo a norma ISO 2372VDI 2056 ou ISO 10816 podese afirmar que o nível de vibração é Bom Satisfatório Insatisfatório Inaceitável Nenhuma das opções Solução Consultando a ISO 2372 temse Inaceitável 4 1 ponto O desbalanceamento original do rotor de uma bomba hidráulica é de 5 mils a 45º no sentido horário da marca de fase Uma massa de teste 8 oz é acrescentada a 90º no sentido antihorário em relação a marca de fase a uma distância radial de 59 in em relação ao centro de rotação Observase que a amplitude e a fase da vibração são de 15 mil a 120º Determine a magnitude e a posição angular do peso de balanceamento se este estiver localizado a 59 in em relação ao centro de rotação 033 oz 10 graus 147 oz 253 graus 275 oz 3556 graus 576 oz 473 graus 8 oz 120 graus Nenhuma das opções Solução i Dados V0 5 mils L45º mt 8 oz L 90º r 59 in V1 15 mils L 120º mc ii Cálculo pelo coeficiente de influência Vef V1 V0 15 e j120º 5 e j 45º 75 1295 j 354 354 j 1104 946 j Logo Vef 1453 e j 13341º 1453 oz L 13941º A massa de correção é mc mt V0 Vef 8 e j270 j180 45 1453 e j 13541º mc 275 e j 3556º mc 275 oz L 3356º iii Método Gráfico O ângulo β é β L V1 L V0 120º 45º β 75º O módulo de Vef é Vef V12 V02 2 V1 V0 cosL V1 L V0 152 52 2 x 15 x 5 x cos 75º Vef 145 mil α 878º Massa de correção mc mt V0 Vef 8 x 5145 mc 275 8oz 5 MC mt 0 2 4 6 8 0 18 356 878 120 139 45 75 27 180 90 5 6 pontos O eixo mostrado na figura é de um exaustor de grande porte de 400 CV e com rotação de 590 rpm O rotor pesa 63 kgf e o ponto de aplicação do peso do rotor está a 2718 mm da extremidade esquerda O mancal da esquerda está a 124 mm da ponta de eixo esquerda e o mancal da direita está a 155 mm da ponta de eixo da direita Considere que o material do eixo possui Módulo de Young igual a 207 GPa e massa específica de 7850 kgm³ Considerando a velocidade crítica do sistema usando o Método de Rayleigh sem considerar o diâmetro equivalente responda se o ventilador pode operar nesta velocidade Apresente de forma detalhada todos os cálculos 1 i Reações de apoio Solução mm zFy0 RA RB P 1 ΣMA0 G D 3146RB 2594P 0 RB 2594 P RB 0824P 2 2 em 1 tem RA P RB P 0824P RA 0176P ii Momentos em relação ao ponto A M1 x RA 0176 Px M2 x RA 0176 Px M3 x RA 0176 Px M4 x RA x 2594 P M4 0176Px x 2594 P M5 x RA x 2594 P M5 0176Px x 2594P iii Derivadas M1P 0176 x M2P 0176 x M3P 0176 x M4P 0176 x x2594 2594 0824 x M5P 0176 x x2594 2594 0824 x iv Momento de Inércia I1 π d464 π x 0125464 I1 11984 x 105 m4 I2 π d464 π x 0180464 I2 51530 x 105 m4 I3 π d464 π x 0175464 I3 46035 x 105 m4 I4 I3 I5 I1 v Teorema de Castigliano δP M1EI1 M1P dx M2EI2 M2P dx M3EI3 M3P dx M4EI4 M4P dx 0565 2010 01285 9565 0124 0155 M5 EI5 M5P dx 0565 2010 01285 0124 δP 00441 0176 Px 207 x 109 x 11984 x 105 x 0176 x dx 04412451 0176 Px 207 x 109 x 51530 x 105 x 0176 x dx 24512594 0176 Px 207 x 109 x 46035 x 105 x 0176 x dx 24512594 0176 Px x 2594 207 x 109 x 11984 x 105 x 2594 0824 x dx Logo para P63 kgf 981 N 1 kgf 61803 N δP 16090 x 105 m vi Rotação Crítica ωn gδP 98116090 x 105 ωn 78082 rads Então ncrit 30 ωn π 30 x 78082 π ncrit 74563 rpm vii Faixa de operação nop 071 ncrit e nop 141 ncrit nop 071 x 74563 e nop 141 x 74563 nop 52729 rpm e nop 105450 rpm logo o exaustor pode trabalhar com a rotação de 650 rpm Referências 1 Pasquali G 2022 ANÁLISE DE FALHA E VIDA EM FADIGA DE UM EIXO DE ACIONAMENTO DE VENTILADOR CENTRÍFUGO Acessado em 17062024 httpswwwnucleodoconhecimentocombrengenhariamecanicaventiladorcentrifugo Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 2a Prova de EME608 Término 9h 45 min Data 06122022 Observações Esta prova contém 3 páginas e 5 questões totalizando 10 pontos Escreva as equações literalmente e depois substitua os valores com letra legível Comprove as resposta através de cálculos Destaque os resultados finais a caneta juntamente com as respectivas unidades A interpretação faz parte da prova 1 1 ponto No diagnóstico de defeitos de máquinas usando o espectro de frequência a frequência do desalinhamento paralelo ocorre a 1xN e 2xN na direção radial sendo que 2xN se apresenta com maior amplitude com N sendo a rotação em rpm Verdadeiro Falso 2 1 ponto No diagnóstico de falhas desgaste dos dentes de um sistema de engrenagens a frequência da portadora é a frequência de rotação versus o número de dentes e a frequência da moduladora é a frequência de rotação da engrenagem Verdadeiro Falso 3 2 pontos Seja um sistema eixorotor Quando esse sistema não é considerado ter comportamento rígido nop ncrit ncrit nop 07nop ncrit 14nop nop 07ncrit Nenhuma das opções 4 Seja o sistema eixo e rotor mostrado na figura Considere que o material do eixo possui Módulo de Young igual a 207 GPa e massa específica de 7850 kgm3 a 3 pontos Determine a velocidade crítica do sistema eixorotor usando os Método de Rayleigh não utilizando o diâmetro equivalente b 1 ponto Qual deve ser a velocidade de operação recomenda para o sistema eixorotor Justifique a sua resposta Solução i configuração ii Reações de apoio Σ Fy0 R1 P R2 0 R1 P R2 1 Σ MA0 8P 20 R2 0 R2 820 P 2 2 em 1 vem R1 P 820 P R1 1220 P ii Momentos M1 R1 x M1 35 Px M2 R1 x M2 M1 M3 R1 x x 8 P M3 35 Px x 8 P 25 Px 8P M4 R1 x x 8 P M4 M3 M5 R1 x x 8 P M5 M3 iii Derivadas dos Momentos M1P P R1 x P 1220 Px M1P 35 x M2P P M2 P 35 x M3P P R1 x 8P P 25 Px 8P M3P 25 x 8 19 M4P M3P M4 25 x M5P M3P M5 23 x 8 iv Momento de Inércia de Área I1 π d1⁴64 π x 1⁴64 I1 4908 x 10³ in⁴ I2 π d2⁴64 π x 15⁴64 I2 24850 x 10³ in⁴ I3 I2 I3 24850 x 10³ in⁴ I4 π d4⁴64 π x 175⁴64 I4 46039 x 10³ in⁴ I5 I1 I5 4908 x 10³ in⁴ v Módulo de Elasticidade Longitudinal E 207 x 10⁹ gm² x 1 m²10³ m²² x 254 mm²1in² x 1 kgf981N x 1 lbf04537 p⁶ E 3090 x 10⁹ lbfin² Ec 30 Mpsi vi Teorema de Castigliano 05⁸0 M1E1 M1P dx 80195 M2E2 M2P dx 85²⁰ M3E3 M3P dx 85195 M4E4 M4P dx 195²⁰ M5E5 M5 P dx δp 61115 x 10⁶ 00049 68905 x 10⁴ 00035 27162 x 10⁶ δp 0009365 ln vii Rotação Crítica Por Rayleigh wcrit δδp 386230009365 ωcrit 20308 rads ωcrit π ncrit30 ncrit 30π ωcrit 30π x 20308 ncrit 19393 rpm respa viii Rotação de Operação Para rotores rígidos temse nop 07 ncrit nop 07 x 19393 nop 13575 rpm respb x Programa Solução da questão 4 da 2a Prova de EME608 2o semestre de 2022 rotação crítica de um eixo biapoiado com seção variável Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Professor Prof Dr José Juliano de Lima Jr preparação ambiente clearvars variável simbólica syms P x dados do eixo d11 in d215 in d3d2 in d4175 in d5d1 in L195 in dados do material E3e7 lbfin2207e9 Nm2 rho028396 lbfin37850 kgm3 g38623 ins2 reações de apoio R28P20 R1PR2 momentos de inércia de área I1pid1464 I2pid2464 I3I2 I4pid4464 I5I1 Momentos M1R1x M2M1 M3M2x8P M4M3 M5M4 derivadas dos momentos dM1diffM1P dM2diffM2P dM3diffM3P dM4diffM4P dM5diffM5P deflexão DpintM1EI1dM1x005intM2EI2dM2x058intM3EI3dM3x885 intM4EI4dM4x85LintM5EI5dM5xL20 DpsubsDpP600 doubleDp in rotação crítica Rayleigh wcritsqrtgDp rads doublewcrit ncrit30piwcrit rpm doublencrit 2 pontos Um motor de 3 cilindros em linha é mostrado na Figura As posições angulares das manivelas são dadas por α₁ 0 α₂ 120 e α₃ 240 Se o comprimento da manivela o comprimento da biela e a massa recíproca de cada cilindro forem r ℓ e m respectivamente determine as forças e momentos primários e secundários não equilibrados em relação ao primeiro cilindro em um motor cuja velocidade é de 1500 rpm Solução i Dados r 3 in ℓ 1 in mpg 3 lbf mc 0 n 1500 rpm ii massa recíproca mpg 3 lbf g 38623 ins² mp 338623 mp 7767 lbm iii rotação ω πn30 π150030 ω 15708 rads iv Tabela dos ângulos Cilindro vi di cos αi cos 2αi sen αi di sen αi di cos 2αi di sen αi 1 0 0 1 0 0 0 0 2 120 a 05 05 0866 05a 05a 0866a 3 240 2a 05 05 0866 15a 15a 1732a soma 0 0 0 15a 15a 0866a v Forças Primárias Fxₚ Σ mp mci r ω² cosωt αi Fxₚ 0 Fyₚ Σ mci r ω² senωt αi Fyₚ 0 vi Forças secundárias Fxₛ Σ mpi r² ω² ℓi cos2ωt 2αi Fxₛ 0 vii Momentos primários e secundários M₃ₚ Σ Fxₚi di Σ mp mci r ω² di cosωt αi 3mp r ω² 15a 3 7767 10³ 3 15708² 15a M₃ₚ 25848 a lbf in M₃ₛ Σ mp r² ω²ℓ di cos 2ωt 2αi 3mp r² ω²ℓ 15a 3 7767 10³ 3² 15708²1 15a M₃ₛ 77546 a lbf in Mₓₚ Σ mc r ω² di senωt αi i Mₓₚ 0 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 2a Prova de EME608 Término 9 h 45 min Data 12112024 Observações Esta prova contém 5 páginas e 3 questões totalizando 10 pontos Escreva as equações literalmente e depois substitua os valores com letra legível Comprove as resposta através de cálculos Destaque os resultados finais à caneta juntamente com as respectivas unidades A interpretação faz parte da prova 1 2 pontos A figura mostra o espectro de frequência na faixa de frequência de 0 a 100 Hz medido na direção radial referente a um exaustor com potência de 21 CV e rotação de 2520 rpm Podese afirmar que o espectro de frequência é referente ao desalinhamento e F desbalanço e o que o nível de vibração é inaceitável F insatisfatória 45 42 Hz 84 Hz O VV O VF O FV FF solução i Frequência de rotação f n 60 2520 60 f42 Hz ii Frequências do desalinhamento Paralelo 1xf e 2xf sendo que a amplitude 2xf é maior do que 1xf1 com o sinal radial preponderante 1xf42 2xf84 Angular 1xf na direção axial Para desalinhamento severo 2xf 3xf Combinado Na direção radial 1xf e 2xf Na direção axial 1xf e 2xf iii Desbalanamento 1xf42Hz na direção radial iv Nível da vibração Segundo a ISO 2372VDI 2056 temse A vibração é insatisfatória 2 4 pontos O rotor de um ventilador com três pás de raio 1 m é mostrado na figura O eixo de diâmetro 80 mm e de comprimento 1 m possui massa desprezível e é montado em uma máquina de balancear de mancais rígidos e posto para girar a 955 rpm obtendose o gráfico mostrado na figura para as forças nos mancais A e B em função da posição angular do eixo Determine as massas e suas posições angulares a serem retiradas nas pás para balancear o rotor do ventilador solução i Frequência η955rpm ω πD 30 πx955 30 ω1000 rad s ii Força Resultante F0 FA FB F1 F2 F30 FAsen30x FAsen30y FBsen30x FBsen30y m1rω²x m2rω²sen30x m2rω²cos30y m3rω²sen30x m3rω²cos30y0 m1rω² m2rω²sen30 m3rω²sen30x m2rω²cos30 m3rω²cos30y Fq FBsen30x FA FDcos30y m1r x 1000² m2r x 1000 x 05 m3 x 1 x 1000² x 05x m2 x 1 x 1000 x 0866 m3 x 1 x 1000 x 0866 y 2 2 x 05 x 2 2 x 0866 y 1000 m1 500 m2 500 m3 2 1 8666 m2 8666 m3 3464 2 iii Momento resultante MA 0 r1 x F1 F2 F3 r2 x FB 0 1 2 3 L 1 2 3 FBsen30x FBcos30y 0 Substituindo os valores vem 90 2 m1 x 1 x 1000² m2 x 1 x 1000 x 05 m3 x 1 x 1000² x 015 y 10 2 m2 x 1 x 1000 x 0866 m3 x 1 x 1000 x 0866 x 2 x 05 y 2 x 0866 x 0 500 m1 250 m2 250 m3 1 3 433 m2 433 m3 1732 4 iv Determinação de m1 m2 e m3 A equação 1 é uma combinação linear da equação 2 1 2 x 2 0 A equação 3 é uma combinação linear da equação 4 3 2 x 4 0 Logo existe apenas 2 equações para 3 incógnitas 1000 m1 500 m2 500 m3 2 1 8666 m2 8666 m3 3464 2 Assim fazendo m1 0 m2 0 e m3 40g m2 0 m1 0 e m3 40g m3 0 m2 40g e m3 40g retirar massas resp 3 4 pontos A figura mostra um agitador industrial cujo o eixo e a hélice são feitos de aço inox 316L Cada hélice tem um peso de 952 g O eixo está sustentado por um mancal monobloco cuja distância entre os mancalis de rolamento é B Considere que o material do eixo possui Módulo de Young igual a 207 GPa e massa específica de 7850 kgm3 Determine a velocidade crítica do agitador usando o Método de Rayleigh considerando que a rotação de operação é de 457 rpm Apresente de forma detalhada todos os cálculos Dados H760 mm h254 mm d254 mm B180 mm Figura 2 Agitador 2 i Dados P1P2952 g B180 mm h254 mm H760 mm d254 mm Solução E207 GPa ρ7850 kgm3 n457 rpm ncrit ii Força peso P1952 g0952 kgf x 981 N1kgf P19339 N Como P2P1 P29335 N iii Reações de Apoio ΣFy0 RARBP1P20 RARBP1P2 1 ΣMA0 A B B RB BHh P1 BH P2 0 RB BHh P1 BH P2 B RB 0180 0760 0254 x P1 0180 0760 x P2 0180 RB 381 P1 522 P2 2 Substituindo 2 em 1 tem RA381 P1 522 P2 P1 P2 RA281 P1 422 P2 iii Momentos de cada trecho G M1 x RA 281 x P1 422 x P2 M2 M1 xB RB M2 x RA xB RB M2 0686 P1 0940 P2 P1 x P2 x M3 M2 xBHh P1 M3 094 P2 x P2 v Derivadas dos momentos M1P1 281 x M2P1 0686 x M3P1 0 M1P2 422 x M2P2 094 x M3P2 094 x vi Momento de inércia I1I2I3π x d4 64 π x 002544 64 I1I2I320432 x 109 m4 v2 Teorema de Castigliano Deflexão para a carga P1 δp1 0B M1EI1 M1P1 dx BBhh M2EI2 M2P1 dx BhhBh M3EI3 M3P1 dx δp1 0 0180 281 x P1 422 x P2 207x109 x 20432x109 x 281 x dx 0686 0180 0686 P1 0940 P2 P1 x P2 x 207 x 109 x 20432 x 109 x 0686 x dx 0940 0686 094 P2 x P2 207 x 109 x 20432 x 109 x 0 dx δp1 03474 x 103 m Deflexão para a carga P2 δp1 0B M1EI1 M1P2 dx BBhh M2EI2 M2P2 dx BhhBh M3EI3 M3P2 dx δp1 0 0180 281 x P1 422 x P2 207x109 x 20432x109 x 422 x dx 0686 0180 0686 P1 0940 P2 P1 x P2 x 207 x 109 x 20432 x 109 x 0940 x dx 0940 0686 094 P2 x P2 207 x 109 x 20432 x 109 x 094 x dx δp2 06177 x 103 m viii Rotação Crítica ωn g P1 δp1 P2 δp2 P1 δp12 P2 δp22 981 9335 x 03474 x 103 9335 x 06177 x 103 9335 x 03474 x 1032 9335 x 06177 x 1032 wn 13729 rads Mas ncrit 30wnpi 30x13729pi ncrit 13111 rpm rotação de operação recomendada nop 07ncrit nop 07x13111 nop 9177 rpm Como a rotação de operação é 457 rpm 9177 rpm Não existe ressonância cx Programa Matlab Solução da questão 3 da 2a Prova de EME608 2o semestre de 2024 rotação crítica de um eixo conforme figura Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Professor Prof Dr José Juliano de Lima Jr preparação ambiente clearvars variável simbólica syms P1 P2 x dados do material E207e9 Nm2 rho7850 kgm3 g981 ms2 dados do eixo B0180 m H0760 m h0254 m P110952 kgf P220952 kgf P11P11981 N P22P22981 N d100254 m impar reações de apoio NBHhP1BHP2 RBNB RARBP1P2 momento de inércia de área I1pid1464 I2I1 I3I2 Momentos M1RAx M2M1RBxB M3M2P1xBHh derivadas dos momentos PP1 P2 for i12 dM1diffM1Pi dM2diffM2Pi dM3diffM3Pi deflexão DpiintM1EI1dM1x0BintM2EI2dM2xBBHhintM3EI3dM3xBhhBH end sem massa do eixo DpsubsDpP1P2P11 P22 doubleDp m rotação crítica Rayleigh PsubsPP1 P2P11 P22 NP1Dp1P2Dp2 DP1Dp12P2Dp22 wcritsqrtgND rads doublewcrit ncrit30piwcrit rpm doublencrit rotação de operação nop07ncrit rpm doublenop Referências 1 Nigro F E B and Profito F J 2023 PME3400 Vibrações Universidade de São Paulo Acessado em 12112024 httpsedisciplinasuspbrcourseviewphpid108809 2 Kauvin 2024 Kauvin Agitadores Acessado em 14112024 httpswwwkauvincombragitadordealtavelocidadepneumatico Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome No Nota 2a Prova de EME608 Término 18 h 30 min Data 27062023 Observações Esta prova contém 3 páginas e 5 questões totalizando 10 pontos Escreva as equações literalmente e depois substitua os valores com letra legível Comprove as resposta através de cálculos Destaque os resultados finais a caneta juntamente com as respectivas unidades A interpretação faz parte da prova 1 1 ponto O motor de 4 cilindros em linha é o motor mais balanceado pois o somatório dos momentos e forças primários e secundários produzidos são iguais a zero O Verdadeiro Falso o motor de 6 cilindros em linha tem o somatório dos momentos primários e secundários iguais a zero 2 1 ponto Considere o espectro de frequência de um redutor Podese afirmar que o espectro de frequência mostrado na figura representa o desgaste dos dentes das engrenagens do redutor fpc38 dentes x 1725 rpm fpc 65550 rpm pm 1725 rpm sinal AM Desgaste dos dentes da engrenagem Verdadeiro O Falso 3 1 ponto Definese que um sistema eixo rotor é flexível quando opera a uma velocidade de rotação maior 70 da primeira frequência natural Verdadeiro O Falso região subcritica logo ω 07 ωn 4 1 ponto Para fazer o balanceamento de uma roda automotiva esta foi colocada na rotação crítica Verificouse que o deslocamento máximo ocorre a 210º na direção da rotação A posição angular da massa de correção para reduzir o desbalanceamento é 300º 120º 330º 150º Nenhuma das opções 5 Seja o sistema eixo e rotor mostrado na figura cotado em mm Considere que o material do eixo possui Módulo de Young igual a 207 GPa e massa específica de 7850 kgm³ a 4 pontos Determine a velocidade crítica do sistema eixorotor usando os Método de Rayleigh não utilizando o diâmetro equivalente b 2 pontos Qual deve ser a velocidade de operação recomenda para o sistema eixorotor Justifique a sua resposta ii Reações de apoio F Y 0 R R P R P R 1 M 0 1 5 14627 P 234 R 0 R 14627P R 0625 P 2 2 em 1 vem R P 0625 P R 0375 P 3 iii Momentos M R x M 0375 Rx M Rx M 0375 Rx M M M Rx M 0375 Px M M x 14627P M 0375 Px x 14627 P M M x 14627P M Rx x 14627P M M M Rx x 14627P M M iv Derivada dos Momentos M P 0375 x M P 0375 x M P 0375 x M P 0375 x x 14627 M P 0375 x x 14627 v Momento de inércia de área I π d 64 π 28 64 I 30172 10 mm I π d 64 π 30 64 I 39761 10 mm I π d 64 π 38 64 I 10235 10 mm I π d 64 π 38 64 I 10235 10 mm I π d 64 π 30 64 I 39761 10 mm vi Módulo de elasticidade longitudinal E 207 10 N m 1 m 10 mm E 20710 N mm vii Teorema de Castigliano Sp M E I M P dx M E I M P dx M E I M P dx M E I M P dx M E I M P dx Sp 23106 10 mm 23106 10 m viii Rotação Crítica por Rayleigh ωcrit g sp 981 23106 ωcrit 65137 rad s mas ncrit 30 ωcrit π 30 65137 π ncrit 622013 rpm ix Rotação de Operação Para rotores rígidos temse nop 07 ncrit nop 07 622217 nop 435409 rpm x Programa Solução da questão 1 da 2a Prova de EME608 1o semestre de 2023 rotação crítica de um eixo biapoiado com seção variável Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Professor Prof Dr José Juliano de Lima Jr preparação ambiente clearvars variável simbólica syms P x dados do eixo d128 mm d230 mm d338 mm d438 mm d530 mm L234 dados do meterial E207e3 Nmm2 G207e9 Nm2 rho7850e9 kgmm2 7850 kgm3 g981e3 mms2 massa do eixo lbm mrhopid12436pid22438pid324125pid52435 reações de apoio R20625P R1PR2 momentos de inércia de área I1pid1464 I2pid2464 I3pid3464 I4I3 I5pid5464 Momentos M1R1x M2M1 M3M2 M4M3x14624P M5M4 derivadas dos momentos dM1diffM1P dM2diffM2P dM3diffM3P dM4diffM4P dM5diffM5P deflexão DpintM1EI1dM1x036intM2EI2dM2x3674intM3EI3dM3x7414627 intM4EI4dM4x14627199intM5EI5dM5x199L com massa do eixo como ha variação da seção não se pode utilizar 05 da massa do eixo sem massa do eixo DpsubsDpP178 format long doubleDp mm rotação crítica Rayleigh wcritsqrtgP rads doublewcrit ncrit30piwcrit rpm doublencrit rotação de operação nop07ncrit rpm doublenop