Resistencia dos Materiais I - Aula 9 - Deflexao em Elementos Lineares

GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares INTRODUÇÃO Todo projeto de estruturas tem como premissas essenciais condições de segurança e de serviço Elemento estrutural em serviço seu deslocamento gera desconforto ou impede o bom funcionamento da peça Você se sentiria seguro dentro desta edificação ao lado Como medir estes deslocamentos para saber se eles atendem os limites estipulados GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA Linha elástica 1 y y Da aula 6 deduzimos que a deformação axial em um ponto a uma distância y do centro da seção é determinada em função do raio de curvatura da peça como segue q GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA Da aula 6 deduzimos que a deformação axial em um ponto a uma distância y do centro da seção é determinada em função do raio de curvatura da peça como segue rearranjando M y M y e E I E I 1 M E I 1 y y De cálculos anteriores Substituindo na equação da curvatura temos Note que o eixo de flexão deve ser avaliado também uma vez que o momento de inércia a ser considerado na equação anterior influenciará o resultado da análise Considerando que dvdx2 é suficientemente pequeno ou seja praticamente nulo GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO A equação da linha elástica ou seja a linha centroidal do elemento que representa sua condição deformada mostrada em azul na figura abaixo será encontrada em função de uma posição x qualquer 2 2 3 2 2 1 1 d v dx dv dx Do cálculo diferencial e integral temse q Considerando que dvdx2 é suficientemente pequeno ou seja praticamente nulo GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO A equação da linha elástica ou seja a linha centroidal do elemento que representa sua condição deformada mostrada em azul na figura abaixo será encontrada em função de uma posição x qualquer 2 2 3 2 2 1 1 d v dx dv dx Do cálculo diferencial e integral temse 2 2 2 3 2 2 2 1 1 d v dx M d v M E I dx E I dv dx q Em que v é a função que descreve a deformada do elemento x ponto ao longo do eixo horizontal onde se quer saber o deslocamento M momento fletor E módulo de elasticidade do material considerado I momento de inércia no eixo de flexão Equação da linha elástica GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO Considerando as relações diferenciais em barras retas 2 2 d v M dx E I Em que v é a função que descreve a deformada do elemento x ponto ao longo do eixo horizontal onde se quer saber o deslocamento qx função que descreve a carga ao longo do comprimento do elemento Vx função da força cortante ao longo do comprimento do elemento Mx função do momento fletor ao longo do comprimento do elemento E módulo de elasticidade do material considerado I momento de inércia no eixo de flexão 2 2 d M x dV x q x dx dx Associando tal equação com a linha elástica 4 4 EI d v q x dx 3 3 EI d v V x dx 2 2 EI d v M x dx Adicionalmente se v é a função que descrever o deslocamento sua derivada descreve a rotação dv dx GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO Considerando as relações diferenciais em barras retas 2 2 d v M dx E I Em que v é a função que descreve a deformada do elemento x ponto ao longo do eixo horizontal onde se quer saber o deslocamento qx função que descreve a carga ao longo do comprimento do elemento Vx função da força cortante ao longo do comprimento do elemento Mx função do momento fletor ao longo do comprimento do elemento E módulo de elasticidade do material considerado I momento de inércia no eixo de flexão 2 2 d M x dV x q x dx dx Associando tal equação com a linha elástica 4 4 EI d v q x dx 3 3 EI d v V x dx 2 2 EI d v M x dx Note que ao resolver as equações diferenciais constantes aparecerão e devem ser determinadas em função das condições de contorno ou de continuidade do problema estudado GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares CONDIÇÕES DE CONTORNO E CONTINUIDADE Apoios que impedem translações 0 v Apoio que impede translações e rotação 0 0 v As condições de contorno são definidas em função dos tipos de apoio As condições de continuidade devem ser estudadas conforme o problema GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares CONDIÇÕES DE CONTORNO E CONTINUIDADE As condições de contorno são definidas em função dos tipos de apoio Apoios que impedem translações 0 v Apoio que impede translações e rotação 0 0 v As condições de continuidade devem ser estudadas conforme o problema EXEMPLO 1 Para a viga ilustrada a seguir determine a equação da linha elástica v o deslocamento vertical máximo e a rotação máxima Considere todas as variáveis como incógnitas GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares Simply Supported Beam Slopes and Deflections Beam Slope Deflection Elastic Curve θmax PL2 16EI vmax PL3 48EI v P x 48EI 3L2 4x2 0 x L2 θ1 P a b L b 6EI L θ2 P a b L a 6EI L v x a P b a 6EIL L2 b2 a2 v P b x 6EIL L2 b2 x2 0 x a θ1 M0L 6EI θ2 M0L 3EI vmax M0L2 243EI at x 05774L v M0 x 6EIL L2 x2 θmax wL3 24EI vmax 5wL4 384EI v w x 24EI x2 2L x2 L3 θ1 3wL3 128EI θ2 7wL3 384EI v x L2 5wL4 768EI vmax 0006563 wL4 EI at x 04598L v wL 384EI 16x3 24L x2 9L2 x 0 x L2 v wL 384EI 8 x3 24L x2 17 L2 x L3 L2 x L θ1 7 w0L3 360EI θ2 w0 L3 45 EI vmax 000632 w0 L4 EI at x 05193L v w0 x 360EIL 3 x4 10 L x2 7 L4 Cantilevered Beam Slopes and Deflections Beam Slope Deflection Elastic Curve θmax PL22EI vmax PL33EI v P x2 6EI 3L x θmax PL2 8EI vmax 5PL3 48EI v P x2 6EI 3L x 0 x L2 v PL2 24EI 3x 12 L L2 x L θmax wL3 6EI vmax wL4 8EI v w x2 24EI x2 4Lx 6L2 θmax M0L EI vmax M0L2 2EI v M0 x2 2EI θmax wL3 48EI vmax 7wL4 384EI v w x2 24EI x2 2Lx 32 L2 0 x L2 v wL3 192EI 4x L2 L2 x L θmax w0L3 24EI vmax w0L4 30EI v w0 x2 120EI 10L3 10L2 x 5L x2 x3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS UTILIZADAS NESTE CONTEÚDO Nash WA Potter MC Resistência dos materiais 5 ed Porto Alegre RS Bookman 2014 Hibbeler RC Resistência dos materiais 10 ed Pearson 2018 Beer FP Johnston ER Dewolf JT Resistência dos materiais 3 ed São Paulo SP Pearson 2008 GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares GNE273 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 9 Deflexão em elementos lineares