Torcao Resistencia dos Materiais - Teoria e Formulas

1 Torção Prof LAÉRCIO MESQUITA JÚNIOR Email laerciomjrgmailcom LavrasMG 2024 GNE292 Resistência dos Materiais 2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ferreira LET Solicitações normais e tangenciais Notas de aula 2022 Hibbeler RC Resistência dos materiais 10 ed Pearson 2018 Nash WA Potter MC Resistência dos materiais 5 ed Porto Alegre RS Bookman 2014 Beer FP Johnston ER Dewolf JT Resistência dos materiais 3 ed São Paulo SP Pearson 2008 Momento de torção ou torque O plano de ação do conjugado plano da seção transversal Os conjugados são chamados de momentos de torção momentos torcionais ou torque T T e que têm a mesma intensidade T e sentidos opostos Nash1982 Eixo de torção Centro de torção CENTRO DE TORÇÃO o é o ponto em torno do qual a seção transversal gira Para seções simétricas coincide como o centro de gravidade EIXO DE TORÇÃO é o lugar geométrico dos centros de torção Definição É um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal Momento de torção ou torque Seu efeito é uma preocupação primária no projeto de eixos de transmissão usados em veículos e máquinas Momento de torção ou torque Momento de torção ou torque É um dos principais fatores que influenciam o dimensionamento de vigas e pilares em projetos estruturais Prova 1 25 pontos Prova 2 25 pontos Prova 3 25 pontos Trabalho máximo 3 20 pontos Lista 5 pontos DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Antes da deformação DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR Após deformação DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM ELEMENTO COM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR As deformação por cisalhamento em pontos da seção aumenta linearmente com r máx c r deformação por cisalhamento em um ponto r máx deformação por cisalhamento máxima na extremidade c raio da seção r distância radial qualquer A EQUAÇÃO DA TORÇÃO t tensão de cisalhamento G módulo de elasticidade A EQUAÇÃO DA TORÇÃO máx máx G c G c t t r r t t Considerando a Lei de Hooke no cisalhamento G G t t Correlacionando as duas últimas equações temse Concluise que há uma variação linear de tensão cisalhante sendo nula no centro da seção transversal e máxima no contorno t tensão de cisalhamento G módulo de elasticidade transversal A EQUAÇÃO DA TORÇÃO máx máx G c G c t t r r t t Considerando a Lei de Hooke no cisalhamento G G t t Correlacionando as duas últimas equações temse Concluise que há uma variação linear de tensão cisalhante sendo nula no centro da seção transversal e máxima no contorno t tensão de cisalhamento G módulo de elasticidade transversal Agora partindo de uma força dF oriunda da atuação de τ em uma área dA chegase a dF τ dA Como a linha de ação do diferencial de força dF tem uma distância perpendicular ρ em relação ao centro da seção o diferencial de momentos torçoes dT é dado por dT ρ dF dT ρ τ dA Com isso determinase o momento torçor torque total fazendo T A ρ τ dA sendo τ ρ c τ máx Escrevendo a tensão cisalhante máxima como função do momento torçor τ máx Tc J Considerando o cálculo da tensão cisalhante τ em um ponto radial qualquer τ T ρ J τ tensão de cisalhamento em um ponto ρ J momento polar de inércia c raio da seção ρ distância radial qualquer Se o elemento tiver uma seção transversal circular maciça o momento polar de inércia J pode ser determinado usando um elemento de área diferencial com espessura dρ e circunferência 2πρ Assim dA 2πρ dρ J A ρ² dA J 0c ρ² 2πρ dρ J 2π0c ρ³ dρ 2π ρ⁴ 40c J π c⁴ 2 Considerando agora a seção transversal circular vazada o momento polar de inércia J pode ser definido pela equação anterior porém descontando a parte interna vazio J π co⁴ ci⁴ 2 A EQUAÇÃO DA TORÇÃO DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO O torque interno T desenvolve uma distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada linha radial no plano da área da seção transversal e também uma distribuição de tensão de cisalhamento associada é desenvolvida ao longo de um plano axial As deformação por cisalhamento em pontos da seção aumenta linearmente com ρ EXEMPLO 1 EXEMPLO 1 A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias como mostra a Figura 510a Determine o torque interno resultante na seção EXEMPLO 2 51 Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm 84 MPa Se o diâmetro do eixo for 375 mm determine o torque máximo T que pode ser transmitido Qual seria o torque máximo T se fosse feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso EXEMPLO 3 O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção aa do eixo ÂNGULO DE TORÇÃO Restrições de rotações ou torque que o eixo é submetido ÂNGULO DE TORÇÃO Ângulo de torção de membros circulares Expressão geral para o ângulo de Torção Quando temos o torque e a seção transversal constante ao longo do comprimento do eixo temse ø φ TL JG ø ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra medido em radianos T torque interno determinado pelo método das seções e pela equação do momento na condição de equilíbrio aplicada em torno da linha de centro do eixo L comprimento J momento de inércia polar do eixo G módulo de elasticidade ao cisalhamento do material ÂNGULO DE TORÇÃO CONVENÇÃO DE SINAIS Convenção positiva de sinais EXEMPLO 1 As extremidades estriadas e engrenagens acopladas ao eixo de aço inoxidável estão sujeitas aos torques mostrados GInox 304 75 GPa Sendo T1 320 Nm e T2 270 Nm eixo maciço de diâmetro externo de 50 mm e x 500 mm o ângulo de torção da engrenagem C em relação à engrenagem D é de EXEMPLO 2 Que valor de momento de torção deve ser aplicado à extremidade do eixo circular do Ex 31 de modo que o ângulo de torção produzido seja de 2 Adotar para o módulo de elasticidade G o valor 80 GPa para o aço ÂNGULO DE TORÇÃO Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento φ Σ Ti Li Ipi Gi ÂNGULO DE TORÇÃO Engrenagens acopladas ao eixo de aço com a extremidade E fixa sujeitas aos torques mostrados Adote G 80 GPa e diâmetro de 14 mm Determinar a máxima tensão cisalhante da estrutura e a rotação do eixo em A O eixo gira livremente dentro do mancal B ϕ Σ TiLi JiGi i 40 Nm 280 Nm 150 Nm 05 m 03 m 04 m A B C D E