Exercícios - Séries e Função de Transferência - 2023-2

1. Considere um sistema com função de transferência G(s), de terceira ordem, com um polo real e um par de polos complexos e conjugados. Com base nos diagramas de Bode parciais, apresentados abaixo, defina a função de transferência G(s). 2. Obtenha a série Trigonométrica de Fourier do sinal apresentado na Figura 2. 3. Obtenha a série exponencial de Fourier da corrente senoidal retificada de meia onda, mostrada na Figura 3. 4. Encontre a resposta ao degrau para o seguinte sistema, G(s) = 1/(s^2 + √2s + 1) 5. O sistema a seguir, quando sujeito a uma entrada do tipo degrau unitário, tem resposta forçada (ou resposta em regime permanente) igual a 2. Assim pede-se, obtenha o valor de a que garanta essa resposta. F(s) = (s + a)/((s + 2)(s + 4)) 1. Termo de Ganho 1 - K1/(2jw1) 20 lg K1 = 14, K1 ≈ 5,01 (5) Termo de Ganho 2 - K2/(0 + jw2)^2 20 lg K2 = -3,01, K2 ≈ √2/2 G(s) = 5 9,707 1(6(s)1 = 3,535 2 + j3,98 (0 + j2)^2 --- 0 + 7,98i^2 + 19,92i + 15,92 2. --- T = 4 a0 = 1/T ∫ l(t) dt = 1/4 [5(1-0) + 10(2-1)] = 45/4 ak = 2/T ∫ l(t) cos kw0t dt = 1/2 [∫ 0 to 1 5 cos kπt/2 dt + ∫ 1 to 2 10 cos kπt/4 dt] = 5/2 sin 2kπ/4 + 10/2 sin kπ/4 = 5/kπ sin kπ/2 + 10/kπ sin kπ/2 - 10/kπ sin kπ/2 bk = 2/T ∫ l(t) sin kw0t dt = 1/2 [∫ 0 to 1 5 sin kπ/2 dt + ∫ 1 to 2 10 sin kπ/4 dt] = 5/2kπ cos(2kπt/4 - 4) = (-10 cos kπ + 5 cos kπ/2 + 5 l(t) = 15/4 + Σ from k=1 to ∞ [(-5/kπ) sin kπt/2 + Σ from k=1 to ∞ [(-10 cos kπ + 5 cos kπ/2 + 5) sin kπt/2 3. T = 2π ck = 1/T ∫ 0 to T f(t) e^-jkω0t dt a_{n} = \frac{1}{j4\pi} \left[\frac{1}{j(1-k)} \left(e^{j(n-k)\pi} - 1\right)\right] - \frac{1}{j4\pi} \left[-\frac{1}{j(1+k)} \left(e^{-j(n+k)\pi} - 1\right)\right] h(x) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{n} e^{-jkx} (4) G(s) = \frac{1}{s^{2} + (2s + 1)} U(s) = \frac{1}{s} Y(s) = G(s) \cdot U(s) = \frac{1}{s(s^{2} + (2s + 1))} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}j}{2}} + \frac{C}{s + \frac{\sqrt{2}j}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}} A = Y(s)_{s = 0} \Bigg|_{s=0} = 1 B = Y(s)_{s = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}j}{2}} = -\frac{1}{2} - \frac{j}{2} C = Y(s)_{s = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}j}{2}} = -\frac{1}{2} + \frac{j}{2} y(t) = 1 - \left(\frac{1}{2} + j\frac{1}{2}\right) e^{-\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + j\frac{\sqrt{2}}{2}\right)t} - \left(\frac{1}{2} - j\frac{1}{2}\right)e^{-\left(\frac{\sqrt{2}j}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)t} , \ t \geq 0 F(s) = \frac{s+a}{(s+2)(s+4)} UTILIZANDO O TEOREMA DO VALOR FINAL: Y(s) = F(s) \cdot U(s) = \frac{s+a}{s(s+2)(s+4)} \lim_{t \to \infty} h(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) = 2 \lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0}\frac{s+a}{(s+2)(s+4)} = 2 \frac{a}{8} = 2 \Rightarrow a=16