Lista - Diagrama de Bode - 2023-2

O enunciado cita um sistema de terceira ordem, com um par de polos complexos conjugados e um polo real, cujas funções de transferências são respectivamente G1 (s) e G2 (s). Tais sistemas tem forma conhecidas, dadas por: G1 (s)= K 1 ( s wn) 2 +2ζ( s wn)+1 G2 (s)= K 2 ( s wn)+1 Logo a função de transferência do sistema é dada por: G (s)= K 1 ( s wn) 2 +2ζ( s wn)+1 . K 2 ( s wn)+1 Aplicando a definição das expressões do diagrama de Bode: 20.logG (s)=20.log K 1 ( s wn) 2 +2ζ( s wn)+1 . K 2 ( s wn)+1 20.logG (s)=20.log K 1−20.log[( s wn) 2 +2ζ( s wn)+1]+20.log K 2−20.log[( s wn)+1] Separando os sistemas: 20.logG1 (s)=20.log K 1−20.log[( s wn) 2 +2ζ( s wn)+1] 20.logG2 (s)=20.log K 2−20.log[( s wn)+1] Análise do sistema 1: - Para w = 0: 20.logG1 (0)=20.log K 1−20.log[( 0 wn) 2 +2ζ( 0 wn)+1]=0 20.log K 1−20.log1=0 20.log K 1−0=0 log K 1=0 K 1=1 - Obtendo o fator de amortecimento: ζ=0,1 - Para w = 3,98 rad/s: 20.logG1 (3,98)=20.log1−20.log[( 3,98 wn ) 2 +2.0,1.( 3,98 wn )+1]=14 20.0−20.log[( 3,98 wn ) 2 +0,2.( 3,98 wn )+1]=14 −20.log[( 3,98 wn ) 2 +0,2.( 3,98 wn )+1]=14 log[( 3,98 wn ) 2 +0,2.( 3,98 wn )+1]=−0,7 ( 3,98 wn ) 2 +0,2.( 3,98 wn )+1=10 −0,7 ( 3,98 wn ) 2 +0,2.( 3,98 wn )+1=0,199526 ( 3,98 wn ) 2 +0,2.( 3,98 wn )−0,800474=0 3,98 wn =−0,2±√0,2 2−4. (−0,800474 ) 2 3,98 wn =−0,2±1,800527 2 3,98 wn =−0,2+1,800527 2 3,98 wn =0,800263 wn1= 3,98 0,800263 wn1=4,973 Logo: G1 (s)= 1 ( s 4,973) 2 +2.0,1.( s 4,973)+1 G1 (s)= 1 s 2 24,730729 +0,04022.s+1 G1 (s)= 24,730729 s 2+0,9946.s+24,730729 Análise do sistema 2: - Para w = 0: 20.logG2 (0)=20.log K 2−20.log[( 0 wn)+1]=0 20.log K 2−20.log1=0 20.log K 2−0=0 log K 2=0 K 2=1 - Para w = 2 rad/s: 20.logG2 (2)=20.log1−20.log[( 2 wn)+1]=−3,01 20.0−20.log[( 2 wn)+1]=−3,01 −20.log[( 2 wn)+1]=−3,01 log[( 2 wn)+1]=0,1505 ( 2 wn)+1=10 0,1505 ( 2 wn)+1=1,4141647 ( 2 wn)=0,4141647 wn2= 2 0,4141647 wn2=4,859rad/s - Logo: G2 (s)= 1 ( s 4,859)+1 G2 (s)= 4,859 s+4,859 Função de transferência do sistema: G (s)=G1 (s).G2(s) G (s)=[ 24,730729 s 2+0,9946.s+24,730729].[ 4,859 s+4,859] G (s)= 120,1666 (s+4,859).(s 2+0,9946.s+24,730729) 1. Considere um sistema com função de transferência G(s), de terceira ordem, com um polo real e um par de polos complexos e conjugados. Com base nos diagramas de Bode parciais, apresentados abaixo, defina a função de transferência G(s). Fig. 1: Exercício 1. Bode Diag System: G1 Frequency (rad/s): 3.98 Magnitude (dB): 14 System: G2 Frequency (rad/s): 2 Magnitude (dB): -3.01 Separando os sistemas: 20. log 𝐺1(𝑠) = 20. log 𝐾1 − 20. log [( 𝑠 𝑤𝑛 ) 2 + 2𝜁 ( 𝑠 𝑤𝑛 ) + 1] 20. log 𝐺2(𝑠) = 20. log 𝐾2 − 20. log [( 𝑠 𝑤𝑛 ) + 1] Análise do sistema 1: - Para w = 0: 20. log 𝐺1(0) = 20. log 𝐾1 − 20. log [( 0 𝑤𝑛 ) 2 + 2𝜁 ( 0 𝑤𝑛 ) + 1] = 0 20. log 𝐾1 − 20. log 1 = 0 20. log 𝐾1 − 0 = 0 log 𝐾1 = 0 𝐾1 = 1 - Obtendo o fator de amortecimento: 𝜁 = 0,1 - Para w = 3,98 rad/s: 20. log 𝐺1(3,98) = 20. log 1 − 20. log [(3,98 𝑤𝑛 ) 2 + 2.0,1. (3,98 𝑤𝑛 ) + 1] = 14 20.0 − 20. log [(3,98 𝑤𝑛 ) 2 + 0,2. (3,98 𝑤𝑛 ) + 1] = 14 −20. log [(3,98 𝑤𝑛 ) 2 + 0,2. (3,98 𝑤𝑛 ) + 1] = 14 log [(3,98 𝑤𝑛 ) 2 + 0,2. (3,98 𝑤𝑛 ) + 1] = −0,7 (3,98 𝑤𝑛 ) 2 + 0,2. (3,98 𝑤𝑛 ) + 1 = 10−0,7 (3,98 𝑤𝑛 ) 2 + 0,2. (3,98 𝑤𝑛 ) + 1 = 0,199526 (3,98 𝑤𝑛 ) 2 + 0,2. (3,98 𝑤𝑛 ) − 0,800474 = 0 3,98 𝑤𝑛 = −0,2 ± √0,22 − 4. (−0,800474) 2 3,98 𝑤𝑛 = −0,2 ± 1,800527 2 3,98 𝑤𝑛 = −0,2 + 1,800527 2 3,98 𝑤𝑛 = 0,800263 𝑤𝑛1 = 3,98 0,800263 𝑤𝑛1 = 4,973 Logo: 𝐺1(𝑠) = 1 ( 𝑠 4,973) 2 + 2.0,1. ( 𝑠 4,973 ) + 1 𝐺1(𝑠) = 1 𝑠2 24,730729 + 0,04022. 𝑠 + 1 𝐺1(𝑠) = 24,730729 𝑠2 + 0,9946. 𝑠 + 24,730729 Análise do sistema 2: - Para w = 0: 20. log 𝐺2(0) = 20. log 𝐾2 − 20. log [( 0 𝑤𝑛 ) + 1] = 0 20. log 𝐾2 − 20. log 1 = 0 20. log 𝐾2 − 0 = 0 log 𝐾2 = 0 𝐾2 = 1 - Para w = 2 rad/s: 20. log 𝐺2(2) = 20. log 1 − 20. log [( 2 𝑤𝑛 ) + 1] = −3,01 20.0 − 20. log [( 2 𝑤𝑛 ) + 1] = −3,01 −20. log [( 2 𝑤𝑛 ) + 1] = −3,01 log [( 2 𝑤𝑛 ) + 1] = 0,1505 ( 2 𝑤𝑛 ) + 1 = 100,1505 ( 2 𝑤𝑛 ) + 1 = 1,4141647 ( 2 𝑤𝑛 ) = 0,4141647 𝑤𝑛2 = 2 0,4141647 𝑤𝑛2 = 4,859 𝑟𝑎𝑑/𝑠 - Logo: 𝐺2(𝑠) = 1 ( 𝑠 4,859) + 1 𝐺2(𝑠) = 4,859 𝑠 + 4,859 Função de transferência do sistema: 𝐺(𝑠) = 𝐺1(𝑠). 𝐺2(𝑠) 𝐺(𝑠) = [ 24,730729 𝑠2 + 0,9946. 𝑠 + 24,730729] . [ 4,859 𝑠 + 4,859] 𝑮(𝒔) = 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟔 (𝒔 + 𝟒, 𝟖𝟓𝟗). (𝒔𝟐 + 𝟎, 𝟗𝟗𝟒𝟔. 𝒔 + 𝟐𝟒, 𝟕𝟑𝟎𝟕𝟐𝟗)