Eletrostatica - Lei de Coulomb e Campo Elétrico - Resumo Completo

Capítulo 22 Eletrostática LEI COULOMB A força F exercida entre duas cargas elétricas q e q é diretamente proporcional ao produto de ambas e inversamente proporcional ao quadrado da distância r que as separa F k qq r² onde k é o coeficiente de proporcionalidade que depende do sistema de unidades adotado na medida da carga distância e força No sistema MKS onde F é medida em newton N q e q em coulombs C e r em metros m o valor da constante k no vácuo é k 9 x 10⁹ N m² C² Nos sistemas de unidades racionalizados k 14 πε₀ F 1 4 πε₀ qq r² onde ε₀ 14 πk 885 x 10¹² C²N m² Quando o meio em que se encontram imersas as cargas não for o vácuo as forças devidas a cargas induzidas no meio reduzem a força resultante entre as cargas livres q e q esta força nessas condições será F 14 πε qq r² Quando o meio fór o ar ε é aproximadamente igual a ε₀ e para a maioria das aplicações tomase εε₀ Para outros meios ε é expresso na forma ε Kε₀ onde K é uma constante adimensional denominada de constante dielétrica relativa ou capacidade indutiva específica do meio ε Kε₀ é a permissividade do meio ou constante dielétrica absoluta ε₀ é a permissividade do vácuo ou espaço livre No vácuo portanto K1 e εε₀ O coulomb cujo símbolo é C é a unidade de carga no sistema MKS e pode ser definido como a carga elétrica que situada a uma distância de 1 m de outra igual e de mesmo sinal no vácuo dá origem a uma força de repulsão de 9 x 10⁹ N Os submúltiplos mais utilizados do coulomb são 1 μC 1 microcoulomb 10⁶ C 1 pC 1 picocoulomb 10¹² C 205 206 ELETROSTÁTICA CAP 22 A carga elétrica transportada por um elétron e ou por um próton e é em valor absoluto e 1602 x 10¹⁹ C Massa do elétron 911 x 10³¹ kg Massa do próton 1836 x massa do elétron 167 x 10²⁷ kg CAMPO ELÉTRICO Dizse que existe um campo elétrico em todo ponto do espaço onde uma carga elétrica fica sujeita a uma força de natureza elétrica A intensidade do campo elétrico num dado ponto é numericamente igual à força exercida na unidade de carga elétrica positiva nele colocada A unidade de intensidade de campo elétrico é o newton por coulomb NC A intensidade E do campo elétrico é uma grandeza física vetorial Por exemplo quando uma carga positiva de 1 coulomb colocada num certo ponto sofre a ação elétrica de uma força de 90 N orientada para oeste então a intensidade do campo elétrico nesse ponto é de 90 NC orientada para oeste ENC F N q C Donde se deduz que a força F em newtons que atua numa dada carga q expressa em coulombs e situada num dado ponto onde a intensidade E de campo elétrico é dada em NC vale F N E N C x q C INTENSIDADE DO CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGA Seja a carga q colocada num ponto P a uma distância r de outra carga pontual q De acordo com a lei de Coulomb a força em q é F kqq r² portanto a intensidade E do campo elétrico em P será E F q k q r² A intensidade do campo elétrico num ponto P devida a várias cargas é a soma vetorial das intensidades vetoriais correspondentes a cada carga isoladamente POTENCIAL ELÉTRICO Potencial elétrico num dado ponto é o trabalho necessário para transportar a unidade de carga elétrica positiva do infinito a esse ponto em oposição às forças elétricas do campo Diferença de potencial entre dois pontos de um campo elétrico é o trabalho necessário para transportar a unidade de carga positiva de um a outro ponto O potencial elétrico é uma grandeza física escalar e suas dimensões são a de um trabalho por unidade de carga Sua unidade recebe o nome de volt V e representa o trabalho de 1 joule J por coulomb C ie 1 V 1 JC CAP 22 ELETROSTÁTICA 207 O potencial V de uma carga q num ponto a uma distância r da mesma será expresso em volts V quando q é dada em coulombs C e r em metros m e sua expressão é V k q r W F e d r O trabalho W para transportar uma carga q entre dois pontos cuja diferença de potencial seja V é W joules q coulombs x V volts Quando o campo elétrico é uniforme como o que existe entre duas placas planas paralelas condutoras carregadas com cargas de sinais opostos então W qV Fr onde F é a força elétrica sobre a carga q e r é a distância entre os pontos Portanto Vr Fq ou Vr E ie a intensidade E de um campo elétrico uniforme é o gradiente do potencial Vr em Vm Nota Como IV 1 JC 1 Vm 1 JC m 1 NC CAPACITOR é um elemento constituído de dois condutores separados por um isolante ou dielétrico igualmente carregados mas que possuem cargas de sinais opostos Capacidade de um capacitor carga q de um dos condutores diferença de potencial V entre os condutores C farads q Coulombs V Volts Um capacitor possui uma capacidade de 1 farad 1 F se ele requer a carga de 1 C para que se estabeleça entre suas armaduras uma diferença de potencial de 1 volt 1 V O farad é uma unidade muito grande razão pela qual se empregam normalmente seus submúltiplos 1 μF 1 microfarad 10⁶ F 1 pF 1 picofarad 10¹² F Observação 10¹² F 1 pF é também denominado de micromicrofarad e representado por μμF CAPACIDADE DE UM CAPACITOR PLANO A capacidade de um capacitor de placas planas paralelas de área Am² distanciados de dm é dada por C Kε₀ A d onde K adimensional é a constante dielétrica relativa ou capacidade indutiva específica do meio isolante ou dielétrico interposto entre as armaduras e ε₀ 885 x 10¹² C²N m² Quando o meio dielétrico é o vácuo K 1 208 ELETROSTÁTICA CAP 22 ASSOCIAÇÃO EM PARALELO E EM SÉRIE DE CAPACITORES q q1 q2 q3 V V1 V2 V3 C C1 C2 C3 Capacitores em Paralelo A capacidade C equivalente de uma associação paralela de um conjunto de capacitores é a soma de suas capacidades individuais O recíproco de capacidade equivalente de uma associação em série de um conjunto de capacitores é a soma dos recíprocos das capacidades individuais q q1 q2 q3 V V1 V2 V3 1 C 1 C1 1 C2 1 C3 Capacitores em Série ENERGIA ARMAZENADA NUM CAPACITOR A diferença de potencial entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional à carga de uma delas V q C No processo de carga o capacitor começa descarregado q 0 e termina com valor q A diferença de potência V entre as placas varia portanto de zero a V e seu valor médio é 12 V então o trabalho W necessário para transportar a carga total q através de uma diferença de potencial média 12 V é W q12 V por conseguinte a energia elétrica W armazenada num capacitor carregado é dada por W 12 qV 12 CV2 12 q2 C onde q CV sendo W expressa em J q em C V em V volts e C em F CAP 22 ELETROSTÁTICA Problemas Resolvidos 1 O núcleo do átomo de He tem uma carga 2e e o de Ne 10e onde e 160 10 19 C Determinar a força de repulsão entre ambos os núcleos situados no vácuo a uma distância de 3 milimicras 1 milimicra 1 mμ 109 m Solução F k qq r2 9 109 Nm2 C2 2 160 10 19 C 10 160 10 19 C 3 109 m2 512 10 10 N 2 O átomo de hidrogênio tem um próton em seu núcleo e um elétron em sua órbita cada uma destas partículas elementares possui carga de módulo e 160 10 19 C Supondose que a órbita do elétron seja circular e que a distância entre as partículas seja 53 10 11 m determinar a a força elétrica de atração entre elétron e próton b a velocidade linear do elétron A massa do elétron é m 911 10 31 kg Solução a F k qq r2 9 109 Nm2 C2 160 10 19 C2 53 10 11 m2 82 10 8 N b F é a força centrípeta que atua no elétron mantendoo em órbita Portanto F mv2 r e v Frm 82 10 8 N53 10 11 m 911 10 31 kg 22 106 ms 3 Determinar a relação entre a força elétrica Fe e a gravitacional Fg entre dois elétrons Solução Fe Fg kq2 r2 Gm2 r2 kq2 Gm2 9 109 Nm2 C2160 10 19 C2 667 10 11 Nm2 kg2911 10 31 kg2 416 1042 ie Fe 416 1042 Fg 4 Duas pequenas esferas iguais e de mesma carga têm 01 g de massa cada uma e pendem de um mesmo ponto através de fios de comprimento 13 cm Determinar a carga q em cada uma delas sabendose que estão separadas de 10 cm devido a forças elétricas mútuas de repulsão Solução Sejam P e P1 as esferas separadas de 10 cm A esfera P está em equilíbrio sob a ação de três forças 1 a tensão T do fio 2 o peso da bola w mg 10 4 kg 98 ms2 98 10 4 N 3 a força horizontal F de repulsão entre as cargas A tensão T é igual e oposta à resultante R de mg e F AB 13 cm2 5 cm2 12 cm O triângulo PCD é semelhante ao APB então F mg PB AB F 98 10 4 N 5 cm 12 cm F 41 10 4 N F k qq r2 41 10 4 N 9 109 Nm2 C2 qq 101 m2 q 21 108 C 5 Três cargas pontuais de 2 3 e 4 microcoulombs achamse nos vértices de um triângulo equilátero ABP de 10 cm de lado Determinar a força resultante R que atua na carga de 4μC Solução Força devida a 2μC 9 109 2 1064 106 0102 72 N repulsão de P a D Força devida a 3 μC 9 109 3 1064 106 0102 108 N repulsão de P a S APB SPD 60 PDC 180 60 120 No triângulo PCD da lei dos cosenos R2 722 1082 272108 cos 120 e R 157 N orientada de P para C 6 Determinar a a intensidade E do campo elétrico no ar a uma distância de 30 cm da carga q1 5 109 C b a força F que atua numa carga q2 4 1010 C situada a 30 cm de q1 Solução a E k q1 r2 9 109 Nm2 C2 5 109 C 3 101 m2 5 102 NC b F Eq2 5 102 NC4 1010 C 2 107 N 7 a Determinar a intensidade do campo elétrico no ar entre duas cargas pontuais de 20 108 C e 5 108 C distantes de 10 cm Calcular a seguir a força que atua sobre uma carga de 4 108 C situada no ponto médio do segmento que une as cargas dadas b Se em lugar da carga de 5 108 C se coloca outra de 5 108 C calcular a intensidade do campo e a força resultante sobre a carga de 4 108 C CAP 22 ELETROSTÁTICA 211 Solução a Uma carga em P é repelida para a direita pela de 20 x 108 C e atraída para a direita pela de 5 x 108 C A intensidade do campo elétrico resultante E em P é pois o vetor soma das intensidades correspondentes devidas a cada uma das cargas em separado E k q1r2 k q2r2 kr2 q1 q2 9 x 1090052 20 5 x 108 9 x 105 NC para a direita F Eq 9 x 105 NC 4 x 108 C 36 x 102 N para a direita b Uma carga em P é repelida para a direita pela de 20 x 108 C e repelida para a esquerda pela de 5 x 108 C A intensidade E do campo resultante em P é E k q1r2 k q2r2 kr2 q1 q2 9 x 1090052 20 5 108 54 x 104 NC para a direita F Eq 54 x 104 NC 4 x 108 C 22 x 102 N para a direita 8 Um elétron de massa m kg e carga e C é lançado com uma velocidade inicial v ms segundo o eixo entre duas placas planas paralelas e horizontais cada qual de comprimento l m A intensidade do campo elétrico entre as placas é E NC vertical e orientada para baixo A uma distância d m do extremo das placas colocase um anteparo fluorescente Deduzir as expressões a do deslocamento vertical v do elétron ao abandonar as placas defletoras b do ângulo entre a trajetória do elétron depois que deixa as placas com o eixo das mesmas c a distância vertical Y do eixo ao ponto que o elétron toca o anteparo Solução a Força elétrica orientada para cima que atua no elétron massa x aceleração do elétron orientada para cima Ee may donde ay Eem Tempo de trânsito do elétron entre as placas t 1v 212 ELETROSTÁTICA CAP 22 Deslocamento orientado para cima quando abandona as placas y 12 ay t2 12 Eem 1v2 b tg θ y12 l Eelmv2 c y 12 d tg θ 12 d Eelmv2 9 Um núcleo atômico possui carga 50e Determinar o potencial V de um ponto situado a 1012 m desse núcleo e a energia potencial W de um próton nesse mesmo ponto A carga do próton é e 160 x 1019 C Solução V k qr 9 x 109 Nm2C2 x 50160 x 1019 C1012 m 72 x 104 JC ou V W qpV 160 x 1019 C 12 x 1014 J 10 Calcular o trabalho W necessário para transportar uma carga de 5 x 108 C no ar de um ponto a 50 cm da carga 2 x 106 C a outro a 10 cm dela Solução W carga x diferença de potencial entre os dois pontos qV 5 x 108 C x 9 x 109 2 x 10601 2 x 10605 V 72 x 103 J 11 Num dos vértices de um retângulo de 3 x 4 cm colocase uma carga de 20 pC e nos dois outros vértices adjacentes colocamse cargas iguais de 10 pC Calcule o potencial no quarto vértice Solução O potencial num ponto depende apenas de sua distância às várias cargas e não das direções PC V Vp k Σ qr 9 x 109 x 10 x 1012004 10 x 1012003 20 x 1012005 165 V 12 Colocamse cargas elétricas de 200 pC e 100 pC respectivamente nos pontos A e B distantes de 100 cm sendo ar o meio existente a Calcular o trabalho necessário para transportar uma carga de 5 x 104 C de um ponto C a 80 cm de A até um ponto D a 20 cm de A ambos os pontos entre A e B b Determinar em qual dos pontos o potencial é maior CAP 22 ELETROSTÁTICA 200 A D C B 100 20 cm 60 cm 20 cm Solução a Potencial de C 9 x 109 Nm2C2 x 200 x 1012080 100 x 1012080 Cm 225 V Potencial de D 9 x 109 Nm2C2 x 200 x 1012020 Cm 788 V Diferença de potencial V entre D e C 788 225 1013 V Trabalho necessário qV 5 x 1041013 V 506 x 103 J b O ponto D está a um potencial maior que o de C Por conseguinte a carga de 5 x 104 C adquire uma energia de 506 x 103 J que se soma à energia potencial correspondente ao passar de C a D 13 Os dois elétrodos planos paralelos e horizontais de uma válvula a vácuo distam entre si 2 cm e a diferença de potencial entre eles é 120 V Determinar a a intensidade E do campo elétrico suposto uniforme no espaço entre as placas b a força constante F que atua num elétron situado entre os elétrodos c a energia W adquirido por um elétron que partindo do cátodo atinge o anodo situado a 2 cm deste d a razão entre a força elétrica e a gravitacional ou peso para um elétron situado no campo entre os elétrodos Solução a E Fq Vr 120 V002 m 6 x 103 Vm 6 x 103 NC b F Eq 6 x 103 NC 160 x 1019 C 96 x 1016 N c W Fr 96 x 1016 N 002 m 192 x 1017 Nm ou J qV 160 x 1019 C120 V 192 x 1017 J d Força elétricaForça gravitacional Eqmg 96 x 1016 N91 x 1031 kg98 ms2 108 x 1014 A força gravitacional é desprezível frente a elétrica 14 Uma partícula permanece em repouso num campo elétrico vertical e dirigido para cima produzido entre duas placas carregadas paralelas e horizontais igualmente carregadas com cargas de sinais opostos e distantes de 2 cm Calcular a diferença de potencial V entre ambas as placas se a partícula em questão possui massa de 4 x 1013 kg e de carga 24 x 1018 C Pêso da partícula para baixo força elétrica para cima mg Eq Vrq Portanto V mgrq 4 x 1013 kg98 ms22 x 102 m 24 x 1018 C 33 x 104 kgm2s2 C 33 x 104 J C ou V 15 Elétrons são acelerados a partir do repouso através de uma diferença de potencial de 1 500 V Qual é sua velocidade final A massa de um elétron é 911 x 1031 kg e sua carga é 160 x 1019 C Solução Energia cinética adquirida pelo elétron trabalho realizado pelo campo sôbre o elétron 12 mv² qV₂ V₁ Portanto v sqrt2qV₂ V₁ m sqrt2 160 x 1019 C1 500 V 911 x 1031 kg 23 x 107 ms 16 Um capacitor cujo dielétrico entre as placas é o ar possui uma capacitância de 8 μF Calcular a capacitância que teria se ao invés de ar fôsse vidro o dielétrico A constante dielétrica do vidro é K 6 Solução A capacitância é diretamente proporcional a K Para o ar K 1 A capacitância resultante quando o dielétrico é o vidro 6 x 8 μF 48 μF 17 A capacitância de um capacitor é 300 pF 300 x 1012 F e a diferença de potência entre suas armaduras é de 1 000 V Determinar a carga de cada placa Solução q CV 3 x 1010 F103 V 3 x 107 C 18 Um condutor se encontra a um potencial de 200 V e tem uma carga de 6 x 109 C Determinar a capacitância do capacitor formado pelo condutor e o meio em que se encontra Solução Capacitância C carga q potencial V 6 x 109 C 200 V 3 x 1011 F 19 Um capacitor de um circuito de televisão tem uma capacitância de 12 μF sendo a diferença de potencial entre seus terminais de 3 000 V Calcular a energia que o mesmo armazena Solução W 12 CV2 12 12 x 106 F3 x 103 V2 54 J 20 Dois capacitores de capacitâncias C₁ 3 pF e C₂ 6 pF estão ligados em série e a associação é conectada a uma fonte de tensão de 1 000 V Determinar a a capacitância equivalente da associação b a carga total na associação e em cada capacitor c a diferença de potencial nos terminais de cada capacitor d a energia armazenada na associação Solução a 1C 1C₁ 1C₂ 13 pF 16 pF 12 pF C 2 pF b q CV 2 x 1012 F103 V 2 x 109 C A carga em cada um é de 2 x 109 C c V₁ através de C₁ qC₁ 2 x 109 C 3 x 1012 F 667 V V₂ através de C₂ qC₂ 2 x 109 C 6 x 1012 F 333 V d W 12 qV 12 2 x 109 C103 V 106 J 21 Dois capacitores de capacitâncias C₁ 200 pF e C₂ 600 pF são associados em paralelo e carregados através de uma diferença de potencial de 120 V Determinar a carga que adquire cada um dês e a da associação Solução No caso da associação paralela a diferença de potencial em cada capacitor e na associação é a mesma q₁ C₁ V 200 x 1012 F120 V 24 x 108 C q₂ C₂ V 600 x 1012 F120 V 72 x 108 C Carga total do sistema q q₁ q₂ 96 x 108 C Capacitância equivalente C C₁ C₂ 800 pF 8 x 1010 F 22 Considere o capacitor constituído de duas placas condutoras paralelas separadas por uma camada de ar de espessura 04 cm e que possui 202 cm² de área para cada armadura a Calcule sua capacitância b Calcule a carga q a energia W armazenada e a intensidade E do campo elétrico do capacitor supondoo ligado a uma fonte de tensão de 500 V c Se entre as placas condutoras se introduz uma lâmina de mica de 04 cm de espessura e constante dielétrica 6 determinar a carga adicional e a energia total armazenada no capacitor Solução a C Kε₀ Ad 1885 x 1012 C2 Nm2202 x 104 m2 4 x 103 m 447 pF 447 pF 447 μμF b q CV 447 x 1012 F500 V 224 x 108 C W 12 qV 12 224 x 108 C500 V 56 x 106 J E Vd 500 V 4 x 1013 m 125 x 105 Vm ou 125 x 105 NC c Desde que V é a mesma e C é K 6 vezes maior a carga total será 6 vezes a inicial Portanto a carga adicional será 5 vezes a inicial ou 5 x 224 x 108 C 112 x 108 C A energia total será 6 vezes maior do que a inicial ou 336 x 105 J Problemas Propostos 23 Quantos elétrons estão contidos na carga de 1 C Determinar massa e pêso total Resp 62 x 1018 elétrons 57 x 1012 kg 56 x 1011 N 24 Determinar a força que atua entre duas cargas iguais a 1 C no ar separadas de 1 km entre sí Resp 9 000 N de repulsão 25 Determinar a força entre dois elétrons livres separadamente de 1Å 1010 m entre sí Resp 23 x 108 N de repulsão 26 Determinar a força de repulsão entre dois núcleos atômicos de argônio separados entre si no ar de uma distância de 1 mμ 1 milimicron 109 m A carga elétrica do núcleo do argônio é de 18e Resp 75 x 103 N 27 Duas esferinhas igualmente carregadas achamse separadas entre si de 3 cm no ar e se repelem com uma força de 4 x 105 N Calcular a carga de cada esferinha Resp 2 x 109 C 36 Calcular o trabalho realizado pelo campo elétrico para deslocar um elétron através de uma diferença de potencial de 6 V Resp 96 10¹⁹ J 37 As cargas de 2 μC e 3 μC respectivamente achamse nos pontos A e B no ar e distantes entre si de 1 m Determinar um ponto sobre a reta AB em que se anule a a intensidade do campo elétrico b o potencial Resp a 445 m de A e 545 m de B b 40 cm de A e 60 cm de B ainda 2 m de A e 3 m de B 38 No problema 37 anterior calcule o trabalho necessário para transportar uma carga de 5 μC de um ponto a 10 cm de A a outro a 10 cm de B ambos situados entre A e B Qual deles é o maior potencial Resp 20 J O ponto a 10 cm de A está a um potencial mais elevado e a carga de 5 μC adquire uma energia potencial adicional de 20 J ao ser levada até o ponto a 10 cm de B 39 Uma válvula a vácuo possui dois elétrados paralelos separados entre si de 4 cm com uma diferença de potencial de 300 V Calcular a a intensidade do campo elétrico entre ambos os elétrados b a força que atua num elétron abandonado no campo entre as placas c a energia adquirida pelo elétron ao percorrer os 4 cm que separam o cátodo do anodo bem como a velocidade com que o mesmo chocase com este último supondo que abandonou o cátodo com velocidade nula Resp a 75 10⁴ NC b 12 10¹⁴ N 48 10¹⁷ J 103 10⁷ ms 40 Aplicase uma diferença de potencial de 24 10⁴ V a dois elétrados horizontais planos e paralelos e separados entre si de 18 cm estabelecendose um campo elétrico orientado para baixo Determinar a carga elétrica de uma gotícula de óleo de massa 22 10¹⁰ g que permanece em repouso nesse campo Resp 16 10¹⁸ C 41 Calcular a energia cinética e velocidade de um próton acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial de 10⁶ V A massa e carga do próton são 167 10²⁷ kg e 160 10¹⁹ C respectivamente Resp 16 10¹³ J e 14 10⁷ ms 42 Um filamento incandescente emite elétrons que são acelerados em direção ao anodo por uma diferença de potencial de 500 V existente entre filamento e anodo Determinar a energia cinética e velocidade que o elétron adquire quando alcança o anodo Resp 80 10¹⁷ J 13 10⁷ ms 43 Qual a distância percorrida por um elétron num campo elétrico uniforme cujo gradiente de potencial é de 200 Vcm para que adquira uma energia cinética de 32 10¹⁸ J Resp 10³ m 44 Um capacitor cujo dielétrico entre as placas é o ar tem uma capacitância de 3 μF Achar a capacitância do mesmo quando se substitui o ar por um dielétrico de constante dielétrica K 28 Resp 84 μF 28 Duas esferinhas iguais distam entre si no ar de 3 cm e suas cargas elétricas são respectivamente de 3 10⁹ C e 12 10⁹ C Determinar a força de atração elétrica entre elas Põese as esferinhas em contato e se as solta imediatamente sendo a nova distância entre elas de 3 cm Qual a força exercida neste último caso Resp 36 10⁴ N atração 20 10⁴ N repulsão 29 Colocamse nos vértices de um triângulo equilátero de 10 cm de lado cargas de 2 μC 3 μC e 8 μC Determinar a força exercida na carga de 8 μC pelas demais supondo ser o ar o meio em que estão Resp 314 N 30 Determinar a intensidade do campo elétrico e o potencial num ponto do ar situado a 3 cm da carga de 5 10⁸ C Resp 5 10⁵ NC 15 10⁴ V 31 Calcular a intensidade do campo elétrico e o potencial num ponto no ar situado a 1 m 10⁹ m de um núcleo atômico de He cuja carga vale 2e Determinar a energia potencial de um próton situado nesse ponto Resp 288 10⁹ NC 288 V 461 10¹⁹ J 32 Determinar a aceleração de um próton num campo elétrico cuja intensidade é de 500 NC Quantas vezes é esta aceleração maior do que a devida à gravidade A massa do próton é 167 10²⁷ kg Resp 48 10¹⁰ ms² 49 10⁹ 33 Um elétron de massa mkg e carga eC é atirado horizontalmente com velocidade inicial vms num campo elétrico de intensidade ENC vertical e orientado para cima Determinar a as componentes horizontal e vertical aₓ e ay de sua aceleração b os deslocamentos horizontal e vertical x e Y decorridos t segundos c a equação de sua trajetória Resp a aₓ 0 ay Eem b x vt y ½ ay t² ½ Eemt² c y ½ Eemxv² ½ Eemv² x² parábola 34 Calcular a intensidade do campo elétrico e o potencial no ponto médio entre duas cargas situadas no ar e separadas entre si de 6 m quando as cargas forem a 10⁸ C e 10⁸ C b 10⁸ C e 10⁸ C c 10⁸ C e 10⁹ C Determinar a força exercida pelas cargas do item a sobre uma carga de 10⁶ C situada no ponto médio entre elas Resp a 20 NC 0 V b 0 NC 60 V 11 NC 27 V e 2 10⁵ NC na direção da carga de 10⁸ C 35 Calcular o trabalho necessário para transportar uma carga de 2 10⁷ C de um ponto a 30 cm de uma carga de 3 10⁶ C a outro a 12 cm da mesma supondose que o meio seja o vácuo Resp 27 10² J Achar a capacitância do mesmo quando se substitui o ar por um dielétrico de constante dielétrica K 28 Resp 84 μF 45 Qual a carga em cada placa de um capacitor de 005 μF se a diferença de potencial entre seus terminais é de 200 V Resp 10 μC 46 Carregase um capacitor com 96 10⁹ C quando se aplica aos seus terminais uma diferença de potencial de 120 V Determine sua capacitância e energia armazenada Resp 80 pF 576 10⁷ J 47 Calcule a energia armazenada num capacitor de 60 pF a quando se o carrega através de uma diferença de potencial de 2 000 V b quando a carga em cada placa é 3 10⁸ C Resp a 12 10⁴ J b 75 10⁶ J 48 Três capacitores de 120 pF de capacitância cada são carregados a 500 V e imediatamente ligados em série Determinar a a capacitância da associação b a diferença de potencial entre as placas extremas da associação c a carga de cada capacitor d a energia armazenada no sistema Resp a 40 pF b 1 500 V c 6 10⁸ C d 45 10⁵ J 49 Dois capacitores de 03 e 05 μF são associados em paralelo e posteriormente carregados com 200 μC Determinar a a capacitância e potencial da associação b a carga em cada capacitor Resp a 08 μF 250 V b 75 μC 125 μC 50 Um capacitor de 2 μF é carregado através de uma diferença de potencial de 50 V e então é ligado em paralelo a um outro de 4 μF carregado através de uma diferença de potencial de 100 V Determine a a carga e diferença de potencial da associação b a carga em cada capacitor da associação c a energia armazenada na associação d a energia total armazenada nos capacitores antes de se os associarem em paralelo Resp a 500 μC 833 V b 167 μC 333 μC c 208 10² J d 225 10² J 51 a Calcule a capacitância de um capacitor constituído de duas placas planas e paralelas separadas por uma camada de parafina de 05 cm de espessura a área de cada placa é de 80 cm² e a constante dielétrica da parafina é 2 b Calcule a carga e a energia armazenadas no capacitor quando ligado a uma fonte de tensão de 100 V Resp a 28 pF b 2 800 pC ou 28 10⁹ C 14 10⁷ J Capítulo 23 Lei de Ohm CORRENTE ELÉTRICA I Sempre que haja deslocamento de carga elétrica de um ponto a outro de um condutor dizse que por esse condutor circula uma corrente elétrica Denominase intensidade de corrente elétrica e se a representa por I a carga que atravessa uma secção normal do condutor por unidade de tempo A unidade de corrente elétrica é o ampère A que corresponde ao fluxo de cargas de um coulomb por segundo 1A 1Cs I intensidade q carga que atravessa uma secção normal do condutor t tempo que leva a carga para atravessála I ampère q coulombs t segundos DIFERENÇA DE POTENCIAL V entre dois pontos de um condutor é o trabalho W necessário para deslocar a unidade de carga elétrica de um a outro ponto A unidade de diferença de potencial abreviadamente ddp é o volt V se para deslocar 1C de carga de um ponto a outro num condutor for necessário realizar 1J de trabalho a ddp entre ambos é 1V V ddp W trabalho para deslocar uma carga q carga deslocada V volt W joules q coulombs Se há um ddp V entre dois pontos de um circuito elétrico é necessário realizar um trabalho W qV para deslocar uma carga q entre eles o movimento de cargas elétricas positivas tem o sentido do campo elétrico e o das negativas tem sentido oposto ao do campo elétrico FORÇA ELETROMOTRIZ ε Um gerador elétrico pilha bateria acumulador etc é caracterizado por sua força eletromotriz fem definida como a energia fornecida por unidade de carga elétrica positiva para fazêla circular de um ponto de menor potencial a um ponto de maior potencial em seu interior A fem ε de um gerador é determinada medindose a ddp entre seus terminais em circuito aberto isto é enquanto o gerador não fornece corrente A unidade de fem energiacarga é a mesma que a da ddp trabalhocarga No sistema MKS a unidade correspondente é o volt 1V 1 JC 220 CAP 23 LEI DE OHM 221 RESISTÊNCIA ELÉTRICA R Todo condutor opõe uma resistência ao movimento de cargas elétricas por ele tal propriedade recebe o nome de resistência elétrica e depende das dimensões geométricas do condutor material que o constitui e temperatura em que ele se encontra a resistência elétrica de um condutor limita a corrente elétrica que por ele pode circular sob a ação de uma dada diferença de potencial nele aplicada A unidade de resistência elétrica no sistema MKS é o ohm Ω e representa a resistência de um condutor pelo qual circula uma corrente de 1 A quando se lhe aplica uma ddp de 1 V R resistência V ddp I intensidade R ohms V volts I ampères LEI DE OHM A intensidade de corrente elétrica I permanente num condutor a temperatura constante é igual à diferença de potencial V entre seus extremos dividida pela resistência R do condutor I intensidade V ddp R resistência I ampères V volts R ohms A lei de Ohm aplicase a uma parte ou a todo circuito A ddp ou queda de tensão são através de qualquer elemento de um condutor é igual ao produto da resistência pela intensidade da corrente que circula por ele isto é V RI A lei de Ohm aplicada a um circuito contendo um gerador de fem diz Fem ε total resistência R total intensidade I que circula ou ε RI MEDIDA DE UMA RESISTÊNCIA COM AMPERÍMETRO E VOLTÍMETRO Para medir a intensidade de corrente que circula por um elemento de circuito ligase em série com o mesmo um amperímetro resistência interna baixa Medese diferença de potencial entre dois pontos de um circuito através de um voltímetro resistência interna alta ligado em paralelo com o elemento de circuito entre tais pontos Calculase a resistência de um dado elemento do circuito dividindo a ddp V através dele pela corrente I que por ele circula de acordo com a lei de Ohm isto é R VI para um cálculo mais preciso de R é necessário que se considerem as resistências internas do voltímetro e amperímetro como partes do circuito A TENSÃO NOS TERMINAIS de saída de um gerador elétrico que fornece uma corrente elétrica I a uma resistência de carga R é igual a fem ε menos a queda de tensão na resistência interna r do gerador 1 Quando fornece corrente numa descarga Tensão nos terminais fem queda de tensão na resistência interna do gerador ε rI 2 Quando recebe corrente numa carga 221 222 LEI DE OHM CAP 23 Tensão nos terminais fem queda de tensão na resistência interna do gerador ε rI 3 Quando não há corrente circuito aberto Tensão nos terminais fem do gerador Problemas Resolvidos 1 Uma corrente permanente de 5 A circula por um condutor durante 1 minuto Determinar a carga transportada Solução q It 5 A 60 s 300 C 2 O elétron de um átomo de hidrogênio descreve uma órbita circular de raio 53 1011 m com uma velocidade de 22 106 ms Determine sua frequência f e corrente I na órbita 1 revoluçãosegundo 1 cps 1 Hz Solução f v 2πr 22 106 ms 2π 53 1011 mrev 66 1015 Hz Carga que passa por qualquer ponto da órbita 66 1015 vezes por segundo I qt q1f qf 160 1019 C 66 1015 s1 106 103 A 3 Num fio de cobre de secção normal 005 cm2 circula uma corrente de 20 A Determine a velocidade de deslocamento médio dos elétrons de condução no fio pressupondo que cada átomo do metal contribui com um elétron no processo de condução Densidade do cobre 892 gcm3 e sua massa atômica é 635 Solução Massa de 1 cm de fio volume densidade 005 cm3 892 gcm3 0446 g A massa de 635 g de Cu contém 602 1023 átomos e 602 1023 elétrons livres Número de elétrons livrescm de fio 0446 gcm 635 g 602 1023 elétrons 423 1021 elétronscm 20 A 20 Cs 20 624 1018 elétronss 125 1020 elétronss que passam através de uma dada seção do fio Velocidade média dos elétrons de condução 125 1020 elétronss 423 1021 elétronscm 296 102 cms CAP 23 LEI DE OHM 223 4 Um fio de ferro aquecido de 22 ohms de resistência é ligado à tensão de 110 V da linha de alimentação Determinar a corrente por ele Solução I VR 110 V22 Ω 5 A 5 Um aquecedor elétrico consome 5 A quando ligado à tensão da linha de 110 V Determine sua resistência Solução R V I 110 V 5 A 22 ohms 6 Determine a tensão da linha que alimenta o elemento aquecedor de uma chapa elétrica de resistência 240 ohms e que puxa 5 A da linha Solução V IR 5 A x 24 ohms 120 volts 7 Uma pilha seca tem fem de 152 V Determine sua resistência interna r se a corrente de curtocircuito for de 25 A Solução r ε I 152 volts 25 A 0061 A 8 Utilizase o método do voltímetro e amperímetro para medir uma resistência desconhecida R Ligase o amperímetro A em série com a resistência e lêse 03 A o voltímetro V ligado em paralelo com o resistor R lê 15 V Calcule o valor de R desprezando as perdas devidas aos instrumentos Solução R V I 15 V 03 A 5 ohms 9 Ligase um resistor de resistência R 4 ohms a uma bateria de fem 10 V e resistência interna 1 ohm Calcular a a corrente no circuito b a queda de tensão na resistência interna e em R c a tensão nos terminais da bateria d a indicação de um voltímetro ligado aos terminais da bateria para esta em circuito aberto Solução a I ε r R 10 V 1 4 Ω 2 A 224 LEI DE OHM CAP 23 b VI rl 1 Ω x 2 A 2 V V4 RI 4Ω x 2 A 8 V c Tensão nos terminais ε rl 10 V 1 x 2 8 V A tensão de saída é evidentemente igual à queda de tensão no circuito externo resistência de carga R neste problema d Supondo que o voltímetro possua uma resistência interna muito grande a corrente que por ele circula é desprezível e a leitura que indicaria em circuito aberto bateria não fornecendo corrente é o valor da fem isto é 10 V 10 Um gerador CD corrente direta ou contínua em circuito aberto tem uma fem de 120 V quando ligado a uma carga que puxa 20 A a ddp em seus terminais é de 115 V a Determinar a resistência interna r do gerador b Supondoo ligado a uma carga que puxe 40 A calcule a ddp nos terminais do mesmo Solução a Fem tensão nos terminais rl queda de tensão na resistência interna 120 V 115 V r x 20 A r 025 ohms b Tensão nos terminais fem rl 120 V 025 x 40 A 110 V 11 Carregase uma bateria de fem 20 V e resistência interna r 01Ω ligandoa à tensão da linha de 110 V através de um resistor R em série Calcule o valor de R que limite a corrente pela bateria ao valor máximo de 15 A que a mesma pode suportar Solução Queda de tensão total no circuito de a a c 110 V Queda de tensão rl queda de tensão devida à fem em oposição queda de tensão RI 110 V 01 x 15 20 15 x R 110 V R 59Ω 12 Considere uma bateria de fem 15 V e resistência interna de 005Ω Calcule a tensão em seus terminais a quando ela fornece 10 A b quando ela consome ao carregarse 10 A Solução a Tensão nos terminais fem queda de tensão rl na bateria 15 V 005 x 10 V 145 V b Tensão nos terminais queda de tensão rl queda de tensão devida à fem em oposição 005 x 10 V 15 V 155 V 13 Ligamse em série com uma resistência de carga 25Ω conforme fig a a seguir duas bateriais uma de fem 25 V e resistência interna 04Ω e outra de fem 10 V e resistência interna 01Ω CAP 23 LEI DE OHM 225 a Determinar a corrente I que circula no circuito b Escolha arbitrariamente como nulo o potencial no ponto a e determine os potenciais relativos dos pontos b e c relativos a Va OV c Determine a ddp entre os pontos a e b b e c e c e a Solução a Como ε1 ε 2 o sentido da corrente é horário I Σε ΣR 25 10 V 04 01 25 Ω 5 A b Va OV escolhido arbitrariamente Vb Va ε1 r1 I 0 25 04 x 5 23 V Vc Vb ε2 r2 I 23 10 01 x 5 125 V c Vab Va Vb 0 23 23 V O sinal menos indica que o ponto b está a um potencial maior do que o de a isto é seu potencial é positivo relativamente ao de a Um voltímetro colocado entre os pontos a e b indicaria 23 V Vbc Vb Vc 23 125 105 V o potencial de b é mais elevado que o de c Vca Vc Va 125 0 125 V c está a um potencial mais elevado do que o de a Verificação No circuito fechado Vab Vbc Vca 23 105 125 0 V Fig a Problema 13 14 Ligamse em série com uma resistência de carga de 53Ω duas baterias uma de fem 20 V e resistência interna 05Ω e outra de fem 8 V e 02Ω de resistência interna conforme fig b Fig b Problema 14 Qual a ddp aplicada a um fio condutor de resistência 5 ohms se por uma sua secção normal atravessam 720 C em 1 min Resp 60 V Determine a resistência por metro de um fio de cobre que apresenta uma queda de tensão de 12 mV por 50 cm de comprimento deixando circular uma corrente de 1 200 A Resp 2 x 10⁶ Ωm milli 10³ Ligase em série com uma resistência desconhecida um amperímetro e em paralelos um voltímetro sendo suas leituras 12 A e 18 V respectivamente Determinar o valor da resistência Resp 15Ω da bateria b a leitura de um voltímetro de resistência interna elevada ligado aos terminais da bateria em cada uma das ligações feitas Resp a Resolvendo um sistema de equações deduzse que 601 V r 201 b 350 V 565 V 38 Determinar a corrente e ddp Vab Vbc e Vca em cada um dos circuitos das figs a e b Resp fig a I 4 A Vab 17 V Vbc 108 V Vca 62 V fig b I 2 A Vab 134 V Vbc 25 V Vca 116 V 39 Determinar a intensidade de corrente que circula no circuito da fig c e a tensão nos terminais de cada uma de suas bateriais Resp I 4 A V1 16 V V2 12 V V3 24 V 40 No circuito da fig d o ponto c está à terra isto é Vc 0 Determinar os potenciais dos pontos a e b relativos à terra e as ddp Vab Vbc Vca Resp Va 10 V Vb 6 V Vab 16 V Vbc 6 V Vca 10 V