Lista 4 - Potencial Elétrico - Física 3 2021 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE ENGENHARIA / CAMPUS V´ARZEA GRANDE Disciplina: F´ısica III Professor: Jo˜ao Bosco de Siqueira Quarta Lista de Exerc´ıcios: Potencial El´etrico 1. Duas cargas q1 = +2, 40 µC e q2 = −6, 50 µC distam 0, 100 m. O ponto A ´e ponto m´edio entre elas. o ponto B est´a a 0, 080 m de q1 e a 0, 060 de q2. Tome o potencial como sendo nulo no infinito. (a) Encontre o potencial nos pontos A e B; (b) Calcule o trabalho realizado pelo campo el´etrico sobre uma carga de 0, 25 µC que vai do ponto B ao ponto A. 2. Uma part´ıcula pontual possui carga igual +2, 00 µC e est´a fixa na origem. (a) Qual ´e o potencial el´etrico em um ponto distando 4, 00 m da origem, assumindo que o potencial se anula no infinito. (b) Quanto trabalho deve ser realizado para trazer uma segunda part´ıcula pontual que possui uma carga de +3, 00 µC do infinito a uma distˆancia de 4, 00 m da carga de +2, 00 µC. 3. Uma pequena esfera met´alica, portando uma carga resultante de q1 = −2, 80 µC, e deixada em uma posi¸c˜ao estacion´aria por um suporte isolante. Uma segunda esfera met´alica pequena, com uma carga q2 = −7, 80µC e massa de 1, 50 g, ´e lan¸cada contra a carga q1. Quando as esferas estavam separadas de uma distˆancia de 0, 800 m, q2 estava se movendo com velocidade 22, 0 m/s, conforme mostra a figura. Assuma que as duas esferas possam ser tratadas como cargas pontuais e ignore a for¸ca da gravidade. (a) Qual ´e a velocidade da carga q2 quando elas est˜ao separadas de uma distˆancia de 0, 400 m? (b) A que distˆancia m´axima a carga q2 se aproxima de q1? 4. As superf´ıcies de duas grandes placas condutoras paralelas separadas por uma distˆancia de 10, 0 cm possuem densidade superficial de cargas uniforme, que s˜ao iguais em magnitude, e opostas em sinal. A diferen¸ca de potencial entre as placas ´e de 500 V. (a) Qual placa encontra-se a um maior potencial, a positiva ou a negativa? (b) Qual ´e a magnitude do campo el´etrico entre as placas? (c) Um el´etron ´e solto do repouso, pr´oximo a superf´ıcie carregada negativamente. Calcule o trabalho realizado pelo campo el´etrico sobre o el´etron no seu percurso at´e a placa positiva. Expresse o resultado em joules e el´etron-volts. (d) Qual ´e a mudan¸ca na energia potencial do el´etron no percurso? (e) Qual ´e sua energia cin´etica quando ele chega `a placa positiva? 5. Tubar˜oes detectam campos el´etricos t˜ao fracos como 1, 0 µV/m. Para ter uma ideia de qu˜ao fraco este campo ´e, se quiser produzi-lo entre duas placas met´alicas, conectando uma pilha comum de 1, 5 V entre as placas, qual deve ser a distˆancia entre as placas? 6. No cloreto de pot´assio, a distˆancia entre o ´ıon de pot´assio (K+) e o ´ıon de cloro (Cl−) ´e 2, 80 × 10−10 m. (a) Calcule a energia (em eV) necess´aria para separar os dois ´ıons `a uma distˆancia infinita- mente grande. (Modele os dois ´ıons como part´ıculas pontuais inicialmente em repouso.) (b) Se o dobro da energia obtida no item anterior ´e fornecida, qual ser´a a energia cin´etica total dos ´ıons quando eles est˜ao infinitamente longe? 7. Uma casca esf´erica fina de raio R1 = 3, 00 cm ´e concˆentrica a uma outra casca esf´erica fina maior de raio R2 = 5, 00 cm. As duas cascas s˜ao feitas de material n˜ao condutor. A casca menor possui carga q1 = +6, 00µC e a casca maior possui carga q2 = −9, 00µC, ambas dis- tribu´ıdas uniformemente por suas respectivas superf´ıcies. Considere o potencial nulo nos pontos infinitamente distantes das esferas. (a) Qual ´e o potencial nas seguintes distˆancias do centro comum das casca (i) r = 0 , (ii) r = 4, 00 cm, (iii) r = 6, 00 cm? (b) Qual ´e a magnitude da diferen¸ca de potencial entre as duas cascas? (c) Qual casca est´a em um maior potencial, a interna ou a externa? 8. Um dipolo consiste em duas cargas iguais, mas opostas, +q e −q. Elas est˜ao localizadas no eixo z, de tal modo que o centro da configura¸c˜ao est´a na origem. A distˆancia entre as cargas ´e L. Tome ⃗r como sendo o vetor da origem a um ponto arbitr´ario e θ como o ˆangulo que ⃗r faz com eixo z. (a) Mostre que a uma distˆancia grande do dipolo (r ≫ l), o potencial el´etrico do dipolo ´e dado por V (r, θ) = kp cos θ/r2 = k⃗p · ˆr/r2, onde ⃗p = qlˆk ´e o momento de dipolo. (b) Em quais pontos, al´em do infinito, o potencial ´e nulo? 9. Uma configura¸c˜ao de cargas consiste em trˆes cargas pontuais localizadas no eixo z, conforme mostra a figura. A carga −2q est´a localizada na origem. As outras duas cargas +q est˜ao localizadas em z = ±L. Esta configura¸c˜ao de cargas pode ser modelada como dois dipolos, um centrado em z = l/2 com momento de dipolo na dire¸c˜ao +z, e outro centrado em z = −l/2 com momento de dipolo na dire¸c˜ao −z. Cada um desses dipolo, possui momento de dipolo de magnitude igual a ql/2. Dois dipolos ordenados desta maneira formam um quadrupolo linear. (Existem outros arranjos geom´etricos que criam quadrupolos que n˜ao s˜ao lineares.) (a) Usando o resultado do problema anterior, mostre que a grandes distˆancias do quadrupolo (r ≫ l), o potencial el´etrico ´e dado por Vquad = 2kB cos2 θ/r3, onde B = qL2 ´e a magnitude do momento de quadrupolo da configura¸c˜ao de cargas. (b) Mostre que no eixo z positivo, para z ≫ l, esse potencial fornece um campo el´etrico ⃗E = 6kB/z4ˆk. (c) Confirme o resultado do item anterior, somando o campo das trˆes cargas pontuais. 10. A figura mostra oito cargas pontuais arranjadas nos v´ertices de um cubo de lado d. Conforme mostrado, os valores das cargas s˜ao +q e −q. Este ´e um modelo de uma c´elula de um cristal iˆonico. No cloreto de s´odio, por exemplo, os ´ıons positivos s˜ao Na+ e o negativo Cl−. (a) Calcule a energia potencial desta configura¸c˜ao. (Tome como zero de energia potencial a configura¸c˜ao em que as cargas est˜ao infinitamente distantes.) (b) No item anterior vocˆe deve ter encontrado U < 0. Explique a rela¸c˜ao deste fato com a observa¸c˜ao que este cristal existe na natureza. 11. Tubos de raios cat´odicos s˜ao frequentemente encontrados em oscilosc´opios e nos televisores antigos. Na figura um el´etron com velocidade inicial de 6, 50 × 106 m/s ´e projetado no eixo entre placas defletoras de um tubo de raios cat´odicos. A diferen¸ca de potencial entre as placas ´e de 22, 0 V e a placa inferior est´a em um maior potencial. (a) Qual ´e a for¸ca (magnitude e dire¸c˜ao) sobre o el´etron quando ele est´a entre as placas. (b) Qual ´e a acelera¸c˜ao do el´etron quando ele est´a sobre a for¸ca encontrada no item anterior. (c) A qual distˆancia do eixo estar´a o el´etron quando ele deixar as placas. (d) Qual ˆangulo a velocidade do el´etron faz com o eixo horizontal quando ele estava saindo da regi˜ao entre placas? 12. Duas cargas pontuais est˜ao se movendo para a direita ao longo do eixo x. A part´ıcula 1 possui carga q1 = 2, 00µC e massa m1 = 6, 00 × 10−5 kg, e velocidade v1. A part´ıcula 2 est´a `a direita de q1 e possui carga q2 = −5, 00µC e massa m2 = 3, 00 × 10−5 kg e velocidade v2. Em um instante particular, as cargas est˜ao separadas de uma distˆancia de 9, 00 mm e possuem velocidades v1 = 400 m/s e v2 = 1300 m/s. A ´unica for¸ca sobre as part´ıculas s˜ao as for¸cas el´etricas m´utuas. (a) Determine a velocidade do centro de massa do sistema. (b) A energia relativa ´e definida como a energia total menos a energia do centro de massa: Erel = E − 1 2(m1 + m2)v2 cm, onde E = 1 2m1v2 1 + 1 2m2v2 2 + q1q2 4πϵ0r ´e a energia total do sistema e r ´e a distˆancia entre as cargas. Mostre que Erel = 1 2µv2 + q1q2 4πϵ0r, onde µ = m1m2 m1+m2 ´e a massa reduzida do sistema e v = v2 − v1 ´e a velocidade relativa. (c) Baseado no item anterior, para as condi¸c˜oes do exerc´ıcio, as part´ıculas ir˜ao escapar uma da outra? Explique. (d) Se as part´ıculas ir˜ao escapar, qual ser´a sua velocidade relativa quando r → ∞? (e) Se as part´ıculas n˜ao escapam, qual ser´a sua distˆancia de m´aximo afastamento? (Isto ´e qual ser´a o valor de r quando v = 0?) (f) Repita os itens (c)-(e) para v1 = 400 m/s e v2 = 1800 m/s quando a separa¸c˜ao ´e de 9, 00 mm. 13. O potencial el´etrico em uma regi˜ao ´e dado por V (x, y, z) = A(x2 − 3y2 + z2) onde A ´e uma constante. (a) Derive a express˜ao para o campo el´etrico ⃗E em qualquer ponto na regi˜ao. (b) O trabalho sobre uma part´ıcula de teste de carga q0 = 1, 5 µC quando ela se move do ponto (0, 0, 0.25 mm) at´e a origem ´e 6, 00 × 10−5 J. Determine A. (c) Determine o campo el´etrico no ponto (0, 0, 0.25 mm). (d) Mostre que em todos os planos paralelos ao plano xz, as linhas equipotenciais s˜ao c´ırculos. (e) Qual ´e o raio da equipotencial correspondendo a V = 1280 V e y = 2, 00 m 14. Uma carga el´etrica Q est´a distribu´ıda uniformemente ao longo de uma fina barra de com- primento a, como mostrado na figura. Tome o potencial como zero no infinito. Encontre o potencial nos pontos: (a) No ponto P a uma distˆancia x `a direita de barra; (b) No ponto R sobre a extremidade direita da barra, a uma distˆancia y; (c) Aproxime os resultados dos itens (a) e (b) no limite em que x e y s˜ao muito maiores que a. 15. Um disco de raio R possui uma distribui¸c˜ao superficial de cargas dada por σ = σ0 r2 R2 onde σ0 ´e uma constante, e r ´e a distˆancia ao centro do disco. (a) Encontre a carga total do disco; (b) Encontre uma express˜ao para o potencial el´etrico `a uma distancia z do centro do disco, ao longo do eixo ortogonal ao disco que passa pelo seu centro. 16. Uma gota l´ıquida de raio R, uniformemente carregada com uma carga Q, divide-se em duas, de raios e cargas iguais, que se separam e se afastam at´e ficar a grade distˆancia uma da outra. (a) Qual ´e a varia¸c˜ao de energia potencial eletrost´atica neste processo? (b) Se adot´assemos esse modelo para a fiss˜ao do U235, admitindo que ele pudesse fissionar dessa forma, qual seria a energia liberada na fiss˜ao, em Mev? Calcule o raio do n´ucleo pela f´ormula: R ≈ 1, 3A1/3F, onde 1F (fermi) = 10−13 cm e A ´e o n´umero de massa (n.o de pr´otons + n.o de nˆeutrons). (c) Se 100 g de U235 for fissionado, qual energia em J ser´a liberada? E em Mton? (Um Mton vale aproximadamente 4, 184 × 1015 J que ´e a energia liberada na explos˜ao de um milh˜ao de toneladas de TNT)