Exercícios Resolvidos - Campo Elétrico - Física 3 2022 2

FÍSICA 3 Duas cargas elétricas positivas, q1=10 nC e q2=8 nC, são posicionadas em -4 cm e + 4 cm da origem do sistema de referências. (a) Determine a aceleração inicial de uma terceira carga q3 = -4 pC posicionada na origem. (b) Determine a(s) posição(ões) em que uma quarta carga, q4= +10 nC, permanecerá em equilíbrio (velocidade nula). Duas cargas elétricas positivas, q1=10 nC e q2=8 nC, são posicionadas em -4 cm e + 4 cm da origem do sistema de referências. (a) Determine a aceleração inicial de uma terceira carga q3 = -4 pC posicionada na origem. (b) Determine a(s) posição(ões) em que uma quarta carga permanecerá em equilíbrio (velocidade nula). Uma carga (q1 = -9nC) está posicionada em (-3,4) cm e a carga q2=+9nC está posicionada em (4,3)cm. Determine o campo elétrico na origem do sistema de referências e em (2,5) cm. Uma carga (q1 = -9nC) está posicionada em (-3,4) cm e a carga q2=+9nC está posicionada em (4,3)cm. Determine o campo elétrico na origem do sistema de referências e em (2,5) cm. Uma carga (q1 = -9nC) está posicionada em (-3,4) cm e a carga q2=+9nC está posicionada em (4,3)cm. Determine o campo elétrico na origem do sistema de referências e em (2,5) cm. EXEMPLO Um próton penetra uma região de campo elétrico uniforme com uma velocidade inicial perpendicular ao campo elétrico. a) Determine o desvio do próton devido ao campo gravitacional considerando que não há campo elétrico. b) Determine o desvio do próton devido ao campo elétrico considerando que não há campo gravitacional. c) Determine o desvio do próton após ter percorrido uma distância de 5cm na horizontal. x { ax = 0 vx = v0 x = v0 . t } y { ay = -g vy = -gt y = yo - 1/2 gt^2 } y (x) = y0 - g/2v0^2 x^2 Equações do movimento ∆yg = -g/2v0^2 x^2 ∆yg = -9.8/2 . (10^3)^2 x^2 ∆yg = - 4.9 . 10^-4 x^2 Desvio no campo gravitacional x { ax = 0 vx = v0 x = v0 . t } y { ay = qE/m vy = qE/m t y = y0 + qE/2m t^2 } y (x) = y0 + qE/2mv0^2 x^2 ∆yE = qE/2mv0^2 x^2 F = maE qE = maE ag = qE/m ∆yE = (1.6 . 10^-19)(2000)/2 . (4.67 x 10^-26)(10^7)^2 x^2 ∆yE = 558.08 x 10^-6 x^2 ∆yE = 9.6 . 10^-4 x^2 (Δy_G = -4,9.10^-4 x² Δy_ε = 9,6.10^-4 x² Desvio total: Δy = Δy_G + Δy_ε Δy_G ≈ 0 ∴ Δy = Δy_ε Δy = 9,6.10^-4 x² P/ x = 5 cm Δy = 9,6.10^-4 (5.10^-2)² Δy = 2,4.10^-6 cm Δy = 2,4.10^-4 cm P/ x = 50 cm Δy = 9,6.10^-4 (50.10^-2)² Δy = 2,4.10^-4 m Δy = 2,4.10^-2 cm Pêndulo Psenθ = ma_c T - Pcosθ = ma_τ mL d²θ/dt² - mgsinθ = 0 P/ pequenas oscilações θ < 10° d²θ/dt² - (g / L) θ = 0 ω² = g / L ω = 2π / T 4π² / T² = g / L T = 2π√(L / g) Distribuição contínua de cargas ρ = ΔQ / ΔV : densidade volumétrica de cargas σ = ΔQ / ΔV : densidade superficial de cargas λ = ΔQ / ΔL : densidade linear de cargas E = kQ / r² r^ para um elemento de campo elétrico; dE = k dq / r² r^ campo elétrico total: E = ∫ k dq / r² r^ V Um segmento reto infinito carregado cuja densidade é λ = 0,6 μC/m apoia-se no eixo z, e uma carga pontiforme q = 8μC apoia-se em y = 3m. Determine E em P localizado em x = 4m. E_q = \frac{kq}{x^2} (\cos\Theta \hat{x} - \sin\Theta \hat{y}) \sin\Theta = \frac{3}{5} = 0,6 \cos\Theta = \frac{4}{5} = 0,8 E_q = \frac{9.10^9.8.10^{-6}}{5^2}(0,8\hat{x} - 0,6\hat{y}) E_q = (2,304\hat{x} - 1,728\hat{y}) .10^3 \frac{N}{C} d\vec{E} = \frac{k dq}{x^2} (\cos\phi \hat{x} - \sin\phi \hat{z}) dq = \lambda dz d\vec{E} = \frac{k \lambda dz}{(\sqrt{z^2 + 4^2})^2} (\frac{4}{\sqrt{z^2 + 4^2}} \hat{x} - \frac{z}{\sqrt{z^2 + 4^2}} \hat{z}) \vec{E}_\lambda = \int d\vec{E} \vec{E}_\lambda = \frac{k \lambda \hat{x}}{4} \int \frac{1}{(\frac{z}{4}^2 + 1)^{3/2}} dz 𝑬⃗ₗₐ = 𝑘λ𝑥̂ / l𝜃 \int_{-∞}^{+∞} \frac{1}{{( \frac{𝑧}{l} )² + 1}^{3/2}} 𝑑𝑧 𝑧₁ = tg𝛼 𝑑𝑧₁ = \frac{1}{cos²𝛼} 𝑑𝛼 𝑬⃗ₗₐ = 𝑘λ𝑥̂ l \int \frac{1}{{tg²α + 1}^{3/2}} . \frac{1}{cos²𝛼} 𝑑𝛼 𝑬⃗ₗₐ = 𝑘λ𝑥̂/ l \int (cos²𝛼)^{3/2} . \frac{1}{cos²𝛼} 𝑑𝛼 𝑬⃗ₗₐ = 𝑘λ𝑥̂ / l \int_{-π/2}^{+π/2} cos 𝛼 𝑑𝛼 (1+tg²α)^{-1} = (\frac{1+sen²α}{cos²α})^{-1} = \frac{1}{cos²α} 𝑬⃗ₗₐ = 𝑘λ𝑥̂ / l \int_{-π/2}^{+π/2} sen 𝛼 / l = 2 𝑬⃗ₗₐ = 𝑘λ𝑥̂/2 2 𝑬⃗ₗₐ = 9 . 10⁹ . 0,6 . 10⁻⁶ / l 𝑬⃗₂ = 2700 𝑥̂ 𝑵/𝐶 𝑬⃗₁ = (2,304𝑥̂ − 1,728𝑦̂) .10³ 𝑵/𝐶 𝑬⃗₂ = 2700 𝑥̂ 𝑵/𝐶 𝑬⃗ᵣ = 𝑬⃗₁ + 𝑬⃗₂ 𝑬⃗ᵣ = (5𝑥̂ − 1,73𝑦̂) .10³ 𝑵/𝐶 𝑬ᵣ = |𝑬⃗ᵣ| = 5,291 𝑵/𝐶 𝜃 = arctg ( \frac{-1,73}{5} ) = 18,1° Anel carregado linhas de campo elétrico d𝑞 𝑑𝐸⃗ 𝑑𝑞 𝑑𝐸⃗ Θ 𝐸_⟂ = \int 𝑑𝐸_⟂ = 0 𝐸_⫽ = \int 𝑑𝐸_⫽ = \int 𝑑𝐸 cosΘ E_x = \int dE_x = \int dE \cos \Theta dE = \frac{k dq}{r^2} \begin{array}{c}r = \sqrt{x^2 + R^2} \\ \cos \Theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} \end{array} \therefore E_x = \int dE_x = \int \frac{k dq}{r^2} \cdot \frac{x}{r} E_x = \int \frac{k x \ dq}{r^3} E_x = \frac{k x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \int dq E_x = \frac{k Q x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \vec{E} = \frac{k Q x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \hat{x} \vec{E} = \frac{k Q x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \hat{x} R/x \to 0 \quad \vec{E} = 0 R/x \gg R f(x) = \frac{x}{\left( x^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x^3 \left\{ 1 + \left( \frac{R}{x} \right)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}} \therefore \vec{E} = \frac{k Q}{x^2} \hat{x} Disco carregado \begin{array}{c} \text{Campo elétrico no eixo } x \, \text{devido a cada anel:} \\ \vec{dE} = \frac{k x dQ}{\left( x^2 + a^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \hat{x} Distribuição superficial de cargas: \\ dQ = \sigma dA \\ dA = 2 \pi a \, da \\ dQ = \sigma 2 \pi a \, da \end{array} Logo: \vec{dE} = \frac{k x \sigma 2 \pi a \, da}{\left( x^2 + a^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \hat{x} 𝑑𝑬⃗ = \(\frac{k𝑥𝜎2𝜋ada}{(𝑥^2+a^2)^{3/2}}\) 𝑥̂ 𝑬⃗ = ∫𝑑𝑬⃗ 𝐸ₓ = 𝑘𝑥𝜎2𝜋 \(\int_{0}^{𝑅} \frac{a}{(𝑥^2+a^2)^{3/2}} da\) {𝑥^2+a^2=u \ 2ada=du\} 𝐸ₓ = 2πσk𝑥 \(\frac{1}{2} \int_{𝑥^2}^{𝑥^2+𝑅^2}\frac{du}{u^{3/2}}\) = \(\pi𝜎k𝑥 \left[\frac{-1}{u^{1/2}}\right]_{𝑥^2}^{𝑥^2+𝑅^2}\) 𝐸ₓ = -2πσk𝑥 {\left\[\frac{1}{\sqrt{𝑥^2+𝑅^2}} - \frac{1}{𝑥}\right\]} 𝐸ₓ = 2πσk𝑥 \{1 - \frac{1}{\sqrt{1+(𝑅/𝑥)^2}}\} Lei de Gauss Fluxo: Φₑ = 𝐸𝐴 Φₑ = 𝑬⃗ ⋅𝐀 Φₑ = 𝐸𝐴cosθ dΦ = 𝑬⃗ ⋅𝑛̂ d𝐀 𝑑Φ = 𝐸cosθd𝐀 Generalizando: Φ = ∫ 𝑬⃗ ⋅𝑛̂ d𝐀 Fluxo de \vec{E}: \vec{E_1} penetra em A e sai em B: \Phi_1 = 0 \vec{E_2} sai em C: \oint \Phi_2 = \vec{E_2}\cdot\hat{n} dA Se a superfície for esférica de raio R e houver uma carga positiva em seu centro, temos As linhas de campo são perpendiculares à superfície, ou seja, paralelas a \hat{n} \Phi = \oint \vec{E}\cdot\hat{n} dA = \epsilon \oint dA \epsilon = \frac{kQ}{R^2} \Phi = \frac{kQ}{R^2} \cdot 4\pi R^2 = 4\pi k Q Portanto: Fluxo total: \Phi = \oint \vec{E}\cdot\hat{n} dA = \frac{q_{int}}{\epsilon_0} \Phi = \oint \vec{E}\cdot\hat{n} dA = \frac{q_{int}}{\epsilon_0} Exemplo: Esfera maciça com carga total Q e distribuição uniforme de cargas. Determine o campo elétrico em todo o espaço \rho = \frac{dQ}{dV} V = \frac{4}{3}\pi R^3 \oint \vec{E}\cdot\hat{n} dS = \frac{q_{int}}{\epsilon_0} Para r < R \rho = \frac{q_{int}}{\frac{4}{3}\pi x^3} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \rightarrow q_{int} = \left(\frac{x}{R}\right)^3 Q \oint \vec{E}\cdot\hat{n} dS = \frac{q_{int}}{\epsilon_0} E 4\pi x^2 = \left(\frac{x}{R}\right)^3 \frac{Q}{\epsilon_0} E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \frac{x}{R^3} = \frac{kQ x}{R^3} P/r > R Superficie interna (fisica) Superficie externa (matematica) ∮𝐸⃗ ⋅𝐧̂dS = qint/ε₀ E 4πr² = Q/ε₀ E = Q/(4πε₀r²) E = \left\{ kQr/R³ \quad P/r<R Q/r² \quad P/r>R \right. E kQ/R² O r=R r