Lista 2 - Cálculo 3 2021 2

1 Exercícios (1) Determine a solução geral x = x(t) da equação diferencial x' = g(t), onde g(t) = \frac{2}{t^2 - 1} \quad \text{com} \quad |t| \neq 1. Sugestão: em primeiro lugar, escreva a função g(t) utilizando frações parciais. (2) Determine a solução geral x = x(t) da seguinte equação diferencial não linear de primeira ordem: \frac{dx}{dt} = x^2 - 2x + 2. Sugestão: em primeiro lugar, verifique que o polinômio P(s) = s^2 - 2s + 2 é tal que P(s) \neq 0 para todo s \in \mathbb{R}, isto é, mostre que P(s) não possui raízes reais. Utilize este fato e o símbolo da diferencial para escrever a EDO acima em uma forma conveniente. (3) Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI): y' - y = 1 + 3\sin(t), \quad y(0) = y_0, onde y_0 \in \mathbb{R} é o valor da função y = y(t) no tempo inicial t_0 = 0. (a) Utilize o método do fator integrante para resolver o PVI acima. (b) Determine o valor de y_0 \in \mathbb{R} de tal forma que a solução do PVI permanecerá limitada ao tomar o limite de y(t) com t \to +\infty. (4) A Lei de Kirchhoff descreve o fluxo de corrente elétrica em um circuito RLC, o qual consiste em uma resistência, uma bobina e um capacitor conectados em série, como mostra a figura abaixo. \begin{center} \begin{circuitikz} \draw \(0,0)-to[R=R] (2,0) to[C=C] (4,0) to[L=L] (6,0); \end{circuitikz} \end{center} I(t) = electric current Uma corrente pode ser iniciada ao colocar a bobina na presença de uma força magnética. Se o circuito possuir baixa resistência, a corrente continuará fluindo entre as placas do capacitor, infinitamente. Neste sistema, não há necessidade de uma fonte de energia para manter o fluxo da corrente elétrica, uma vez que a resistência amortece a oscilação da corrente e transforma a energia do sistema em calor. Para descrever este fenômeno, Kirchhoff introduziu a seguinte equação integro – diferencial LI'(t) + RI(t) + \frac{1}{C} \int_{t_0}^{t} I(s)\, ds = 0, \quad t \geq t_0 \geq 0, onde R \geq 0 é a resistência, C > 0 é a capacitância, L > 0 é a indutância, e I(t) é a corrente elétrica em função do tempo t. Além disso, \omega_d = \frac{R}{2L} é o coeficiente de amortecimento do fluxo de corrente elétrica, \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}} denota a frequência de oscilação da corrente elétrica. Derivando a equação integro – diferencial de Kirchhoff em relação ao tempo t, é possível deduzir a seguinte EDO de segunda ordem homogênea: I''(t) + 2\omega_d I'(t) + \omega_0^2 I(t) = 0. (A) Determine uma base de soluções e a solução geral da EDO acima no caso em que o circuito não possui resistência, ou seja, R = 0 (isto representa o caso em que o fluxo de corrente elétrica não possui amortecimento, isto é, não há dissipação de energia). (B) Determine uma base de soluções e a solução geral da EDO acima no caso em que R > 0 e \omega_d^2 < \omega_0^2 (essa condição representa o caso chamado amortecimento fraco). (C) O que acontece com a base de soluções obtida no item (B) quando t \to +\infty? (D) Determine uma base de soluções e a solução geral da EDO acima no caso em que R > 0 e \omega_d^2 = \omega_0^2 (essa condição representa o caso chamado amortecimento crítico). (E) Determine uma base de soluções e a solução geral da EDO acima no caso em que R > 0 e \omega_d^2 > \omega_0^2 (essa condição representa o caso chamado amortecimento forte). (5) Sejam a, b: I \to \mathbb{R} funções contínuas no intervalo I \subset \mathbb{R} e sejam x_1, x_2: I \to \mathbb{R} duas soluções particulares associadas à seguinte EDO de segunda ordem homogênea x'' + a(t)x' + b(t)x = 0. Prove que o Wronskiano W(t) = W(x_1, x_2)(t), t \in I, é tal que: ou W(t) \neq 0 para todo ponto t \in I, ou W(t) \equiv 0 (identicamente nulo). Sugestão: use o Teorema de Abel. (6) Determine a solução geral x: I \to \mathbb{R} da seguinte EDO de segunda ordem não homogênea x'' - 5x' + 6x = 2e^t \quad \text{com} \quad t \in I \subset \mathbb{R}. Lembrete: a solução geral da EDO de segunda ordem não homogênea x'' + a(t)x' + b(t)x = f(t) é dada por x(t) = x_H(t) + x_P(t), onde x_H(t) é a solução geral da equação homogênea associada à essa EDO (ou seja, é a combinação linear dos elementos da base de soluções), e x_P(t) é uma solução particular da EDO não homogênea, que pode ser obtida através da Fórmula da Variação dos Parâmetros: x_P(t) = -x_1(t) \int \frac{x_2(t)f(t)}{W(t)} dt + x_2(t) \int \frac{x_1(t)f(t)}{W(t)} dt, onde \{x_1(t), x_2(t)\} é a base de soluções da EDO homogênea x'' + a(t)x' + b(t)x = 0 e W(t) = W(x_1, x_2)(t) é o Wronskiano. (7) Dada uma função f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}, para garantir que a sua Transformada de Laplace F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} f(t) dt converge para todo s > a, com a \in \mathbb{R}, é preciso que a função f satisfaça as seguintes condições básicas: - continuidade por partes; - ordem exponencial. Em termos mais precisos, uma função f : [0, +\infty) \to \mathbb{R} possui ordem exponencial (quando t \to +\infty) se existirem constantes K, M \geq 0 e a \in \mathbb{R} tais que |f(t)| \leq K e^{at} \quad \text{para todo} \quad t \geq M. (i) Prove que, se f : [0, +\infty) \to \mathbb{R} for de ordem exponencial, então vale \lim_{t \to +\infty} f(t)e^{-st} = 0 \quad \text{para todo} \quad s > a. (ii) Prove que a função f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}, definida por f(t) = \sin\left(e^{t^2}\right) \quad \text{para cada} \quad t \in [0, +\infty), é de ordem exponencial, mas a sua derivada f'(t) não possui tal propriedade. (iii) É possível que exista uma função f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}, de ordem exponencial, de tal forma que a sua Transformada de Laplace seja dada por F(s) = s^2 para todo s > 0? Justifique a resposta. (8) As Equações de Lotka - Volterra constituem um modelo matemático que surge dentro das Ciências Biológicas com o objetivo de compreender a dinâmica populacional de duas espécies que dividem um habitat em comum e que competem por recursos naturais. Neste modelo, uma função y : [0, +∞) → R é dita solução da Equação Integral de Volterra quando y = y(t) satisfaz a seguinte equação y(t) = g(t) + (h * y)(t), t ≥ 0, onde g, h : [0, +∞) → R são funções contínuas, e h * y denota a convolução entre h e y. Use a Transformada de Laplace para determinar a solução y = y(t) da Equação Integral de Volterra no caso em que as funções g e h são dadas, respectivamente, por g(t) = 3t² − e⁻ᵗ h(t) = −eᵗ para todo t ∈ [0, +∞). Sugestão: use o resultado que relaciona a convolução entre duas funções f₁ e f₂ com a Transformada de Laplace; em termos mais precisos, L{(f₁ * f₂)(t)} = F₁(s)F₂(s), onde F₁(s) = L{f₁(t)} e F₂(s) = L{f₂(t)}. (9) Use Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial: y' − 3y = eᵗ, y(0) = 1. Lembrete: a Transformada de Laplace da derivada de uma função f é dada por L{f'(t)} = sL{f(t)} − f(0). a gits E nor am I Eat EE E A t 1 i 2B 2 i B 1 t 1 2A 2 A 1 E I I entas se it gits Ig If Nlt f I I at lult et lulttil to CE IR portanto a solicao geral e acts la II to Cer Hit 2 dig 22 22 2 equagat separdvel Izzy at s f Izzy fat t c fate fegg de É dy da off arctany to arctan La Dt G Portanto arctan alt 1 t to tan are tan acts 11 faulted Nlt n tan ttc act It tan ttc Ce IR 3 y y 1 3 sint yea yo a Note que lye t y e t y e t entao multiplican do a EDO por e t Lemos que y e t yet e t 3sintet yet Integrands de O at ft you e Y'da f test 34in e do you e a f e e z et sinatcosa Como glo Yo yet e t yo t e t za e t hint cost it y its e t yo Iz e t z e t sint cost yet yo E et 1 32 sint cost b Como I 3g Sint cost e limitado ft e IR mas et nai queremos que yo Ez o i yo I 4 f b sine e da by e e sin at cosset C 4 I H E I la t I I CH o A RIO I Ig Ict o equagao caracteristica i r't t o r t i t ai Como as maizes too complexas a toluategenal é Itt or cos ot Cz sin wot Cr Ca e ik Sendo Cos Wot Gin wot uma base de tollgates poi's Wits cos wot Wo sin wet Mn wot cos wot Go to B I t 2 Wa I A two I A so war we equayat caracteristica r't Zwart wot o D 4wd 40oz so re 2Wdt4twd wa t cookwati i portanto a soluccio geral é ICH e at on cosfoodwatt a sin Waart Ce CzEIR Defina Kitootwdt sends e at cos Kt e wat sin Kt uma bare das teenagers pois Wit I e wat cos ht e watsinkt e at f Wdcoskt KsinRt e wat wasinettraskt e 29T Koos 2kt wdftoskttwwtcosk.ttksinkt Ke Wat yo c Como cos cut sin rt sad limitados e é o quando t too segue que him y e wat cos cuts liggwatsincut o LD Nesse case a equacaio caracteristica e Rt 2 Wd t t Wd o code Wo D 4Wd 4Wd o e r ZWdz cod raiz duped portante a Sollecito genal é Ict one watt cate wat Cr GEIR sends e at teat Yuma base de solaces poi's NCH s f e wat te wat Wd eat e wat a way e l Wttw e wat yo E a equaccio caracteristica hesse caso é ft Zwart Wor o com way Wo D 4Wd 4002 4 Wd Wd o D 2wdtzwdzwdggw.gg k maizes reais e t Itt c etwdtklttcze d 4t.ca ez ear zetwdtult etwa estg é base de nobegets pois WAS a f e twd test Gd e etudee t ead kit GodBetwa est e at L wa k e Zwdt cod k 2k e otto 5 Pelo korma de Abel dado te e I vale a igualdade WIts WHos e Sttacas de Senda Nlt When Ka t te I Como a exponencial é sempre um mi mero positive I suficiente analisar N to Se enistir um panto to e I een que w Cto to entao Nlt é proauto de dois Mineros neo halos Nlt to H te I se existin um panto to e I bl que N Hos 0 eater WH o exp Sto and o t te I portanto N A Eo 6 a 52 62 2 et toluccio homogénea se 52 62 0 r2 58 6 0 5 5 peg 5 2 ou r 3 Jen f s Cn elt t Cz et a Cz E IR Left esty e base das telugus homogeneas pis wit e f est est zeat zest 3 est Zest est yo tolegato particular hesse case ft Zet assim xp A e estfeste Itt estfete at et zest at estJe'd t et et et portanto a solved genal é sett an Hst xpCt Nlt Cnetttczett et Cr Ca e IR 7 i se f for de ordem exponential I K M 20 ae ik lais que if Lt I e k eat t ta m Dado s a e e 20 come een ets a t so I m se i t m's e s astr g too portanto send Mo man horMY t t Mo tem se que If f e stl e k eat e stake is a to k Ey e Iste é H E 20 I Moi t a Mo If Ct e Stl se portauto limo fits e st o se s a too Lii fits sin et tze Como Ift El t ta o e et 1 t too segue que If A I e et t t z o i.e f e de ordem exponencial com a 1 K I M to f t Ztet cos et nai é de erdem earponencial pois dados k 30 M O a E IR escotha t a man hk ay tal que coslett 1 entao f t Zt et 1 com 2 7 2K k e t at potato f t Keat ist é H M O K o e a e IR podemos exo ther t suficieutemente grande tal que t me If't Keat i f nad é de ordem exponencial iii Sejam M K a tais que If et I e k eat A to M enter supondo que f s 5 por arfinicat Fes J e stfu at ef e stfu dtr f kela stat Sza In e st fits at Ig eta sit to M f e stf f at Is ela 5m S e f e stfu at Ia e t a M to mando s t too no lado direito tomos que him f e stfctsdttkae ts.am o poisfelimitada em to MI portanto ling 52 0 e que é absurd Assen noo existe f de ordem exponential tal que F s h h ft s s t s 20 8 Yet 3 2 e t t l ett yet Sega hhyItsy s F s entao pela lineariaade de h e peba propriedade da convoluc.at Layyes 143 2 e tics Ltety s Laysis 113th et s g I Lh et s Is Portauto fesse 63 I t Feig x i s A S Fis 6 133 pg t f's s f is g SI SI It E E f s Gy t 633 I EID It s assists 5 0 A 2 S 1 i B Z B z 5 I E Fcs g t I 3 3g F s g t g f Fls 6113Yes 6 LEEyes 141715 2h Letty is yet 3 2 3 Ze tt 1 9 y by et yes n Pels linearidade da transformed de Laplace LL y 3yy s h Letty s Lyly s 3hhyges Como Lay s shay s Yoo seja Lyles Fest entao SF s 1 3 F s L Letty s I G 3 F s It Iz rest I EI EI 13 32 4 EA.gg pB 5 2 B l i B l 5 3 A I feasts Ea e f s I t Iz Iz Iz 2 2 LLetty s Lyetty s hhyttly is yet zest eat