Slide - Aula 5 Séries de Potências 2020 2

Aula 5: Séries de Potências Profa. Dra. Fabiana de Oliveira Ferreira Disciplina: Cálculo 3 Universidade Federal do Mato Grosso/ Campus de Várzea Grande Revisão: Unidade I . 2 • Sequências: Convergência e Divergência de uma sequência e a famosa sequência de Fibonacci como exemplo de uma sequência recursiva • Séries Infinitas: Convergência e divergência, somas parciais, estimativas de somas, critérios de convergência para séries alternadas e estratégias para a escolha do teste de convergência. Objetivos .  Apresentar a definição das séries de potências;  Discutir o raio e intervalo de convergência de uma série de portência;  Apresentar a diferenciação e integração de uma série de potências. 3 Séries Infinitas . 4 Definições Teorema Exemplos Séries Potências Uma série é de potências é uma série da forma: • é uma variável; • são os coeficientes da série; • Para cada x fixo, tem-se uma série de constantes que pode ser testada em relação a convergência e divergência. Séries Infinitas . 5 Definições Teorema Exemplos O que representa uma série de potências? A soma de todos os termos da série série representa uma função: O domínio é o conjunto de todos os para as quais a série converge. Séries Infinitas . 6 Definições Teorema Exemplos Como verificar a convergência? Séries Infinitas . 7 Definições Teorema Exemplos Na forma geral • Diz-se que a série de potências está centrada em ou está em torno de • Adota-se por convenção que: mesmo quando • Quando , todos os temos são 0 para assim a série de potências sempre converge quando Séries Infinitas . 8 Definições Teorema Exemplos Para quais valores de a série converge? Séries Infinitas . 9 Definições Teorema Exemplos A série converge nas extremidades do intervalo? Séries Infinitas . 10 Definições Teorema Exemplos Para uma dada série de potências há apenas três possibilidades para a convergência: i. A série converge apenas quando ii. A série converge para todo iii. Existe um número positivo tal que a série converge se e a série diverge se é o raio de convergência da série Séries Infinitas . 11 Definições Teorema Exemplos O Intervalo de convergência da série de uma série de potências consiste em todos os valores de para os quais a série converge. • No caso i do Teorema, a série converge em um único ponto ; • No caso ii, a série converge no intervalo ; • No caso iii, a série converge no intervalo: • Intervalo de convergência Séries Infinitas . 12 Definições Teorema Exemplos Encontre o raio e o intervalo de convergência da série: series Infinitas Definigdes Exemplo E possivel realizar a diferenciacdo ou a integracao de uma série de poténcias? Se a serie de poténcias tiver um raio de convergéncia R > O, entao a funcao f definida por: CO (Fey= Co +(x —a)+ce,(x-a)*+--= » Cy(x — a)” n=0 é diferenciavel (e portanto continua) no intervalo (a—R,a+R)e 1 ((x)\= C1 + 2co(x — a) + 303(x —a)* ++ = —1. yin=0 NCy»(x — a)"; . x-a)rtt it, Cf fCddd = k + V9 ce, =P — n+1 LS. re Series Infinitas Definigdes Teorema Expresse g(x) = a , sabendo wie yn=0 x" | (1) = { =) £ (ay = { = (>) 1—-% 1)" 4 oF) an Dn - Sim! Our Ane. M=O LA / cage = ag ie (A-nY MSO Q JL Or COA Of WE~ Cn oe IAB EEE. 14 Séries Infinitas . 15 Definições Teorema Exemplos Encontre uma representação em série de potências para Séries Infinitas . 16 Definições Teorema Exemplos Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por: Séries Infinitas . 17 Definições Teorema Exemplos Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por: Síntese da Aula 18 Nesta aula foram apresentados os principais conceito de séries de potências, raio e intervalo de convergência, a diferenciação e a integração de uma série de potências. Bom Estudo!