Aula 8 - Dimensionamento de Pilares

EES012 - Estruturas de Madeira Aula 08: Dimensionamento de pilares Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) 2o. semestre 2016 Introdução Instabilidade de uma coluna bi-articulada: Quando uma carga de compressão é aplicada à coluna, ela tende a fletir. A este fenômeno, da-se o nome de flambagem. Existe uma carga crítica, Pcr, a partir da qual o equilíbrio torna-se instável. Introdução Pcr = π2EI L2 (1) I → momento de inércia da seção transversal; E → módulo de elasticidade do material; L → comprimento da coluna bi-articulada. Assim, para P < Pcr, se uma pequena perturbação provocar uma deflexão v, a coluna retornará naturalmente à configuração original. No entanto, se P > Pcr, a configuração original não é restaurada e o efeito pode ser catastrófico para a estrutura. Tensao associada a carga critica: A — area da seco transversal, => — Per _ we L)\_ TE (r?) Cr A VBR JA) VE )M9 onde: I To =\/ A (2) que é denominado raio de gira¢ao da se¢ao transversal. Pode-se definir ainda o indice de esbeltez, \, da coluna: y-+ (3) lq Assim: 2 TE Ocr = 2 (4) Introdução A tensão na coluna não deve exceder este valor crítico. Portanto, para um determinado material, a resistência da coluna, f, será inversamente proporcional ao quadrado do seu índice de esbeltez: Nota-se que, para valores pequenos de λ (peças curtas), a resistência assume valores cada vez maiores. Evidentemente, esta resistência deve ser limitada pela pela resistência de cálculo à compressão do material, fc0,d. Introdução Desta forma, a variação da resistência do pilar em função do seu índice de esbeltez seria melhor representada por: Os valores de resistência representados pela curva acima consideram que o material da coluna seja homogêneo (sem imperfeições) e apresente comportamento elástico linear (sem gerar microfissuras ou escoamento plástico antes da ruptura). Além disso, assume-se que a carga de compressão atue exatamente no centróide da seção transversal (sem excentricidade). Tais condições são idealizadas e não ocorrem na prática. Introdução Levando em conta estes últimos comentários: λ ⩽ λ1 → peça curta (falha pelo limite à compressão); λ1 < λ ⩽ λ2 → peça medianamente esbelta; λ > λ2 → peça esbelta; Introdução Outras condições de contorno: Até aqui foi tratado o caso da coluna bi-articulada. Para outras condições nas extremidades, o comprimento da coluna, L, que aparece nas Eqs. (1) e (3), deve ser substituído pelo comprimento efetivo de flambagem, Le. Assim: Pcr = π2EI L2e (5) λ = Le rg (6) Nota: Segundo a NBR 7190, para a madeira adota-se apenas os valores Le = L ou Le = 2L, conforme trataremos mais adiante. Colunas de madeira • A NBR 7190 admite três metodologias de análise de colunas submetidas à compressão, de acordo com o índice de esbeltez: λ ⩽ 40 Peça curta 40 < λ ⩽ 80 Peça medianamente esbelta 80 < λ ⩽ 140 Peça esbelta • Peças curtas não precisam ser verificadas quanto à estabilidade (flambagem). Apenas a resistência à compressão deve ser verificada. • A norma não admite peças com λ > 140. Colunas de madeira Comprimentos de flambagem Como dito anteriormente, para colunas de madeira, apenas dois valores para o comprimento efetivo de flambagem devem ser considerados: Le = L ou Le = 2L Assim, considerando uma dada direção transversal, tem-se: Duas extremidades fixas Le = L Uma das extremidades livres Le = 2L Colunas de madeira Exemplo 01 Considere uma coluna de madeira, conforme indicado na figura abaixo. Seja b = 6 cm e h = 20 cm. Qual a altura máxima admissível para esta coluna, independentemente da carga de compressão? Qual a altura máxima para a qual a verificação de flambagem não é necessária? Colunas de madeira Exemplo 01: Solução O maior índice de esbeltez que uma coluna de madeira pode ter é: λmax = 140 Para que não seja necessária a verificação de flambagem, por outro lado, deve-se ter: λmax = 40 A verificação deve ser feita para dois casos: Caso 1: flexão em torno do eixo x; Caso 2: flexão em torno do eixo y; Caso 1 - flexao em torno do eixo x: y Livre S Se ¥ Lew = 2L YT L= (6 cm) (20 cm)* = 4000 cm* Secao * 12 transversal ~y A = (6 cm)(20 cm) = 120 cm? => Da Eq. (2): [Tz _ [4000cm* _ tor V4 = V q20em= 70m = Da Eq. (6): (140)(5.77 cm) _ 4.04 m SO Lew =2L = (maz) (19,2) > L = Amon )(Ta2) = (40) (5.77 cm) =115m a . Caso 2 - flexao em torno do eixo y: y Fixo y Se | J Ley = L a 3 b l= (20 cm)(6 cm) = 360 cm* Secao 12 transversal ex A = (6 cm)(20 cm) = 120 cm? => Da Eq. (2): — [T, — [360cm* _ Toy = A = 20 cm2 = 1.73 cm = Da Eq. (6): (140)(1.73 cm) = 2.42 m Ley = L = (Amac)(T9,y) > L = (Amaz)(T9,y) = (40)(1.73 cm) = 0.69 m Colunas de madeira Exemplo 01: Solução Conclusão: Escolhendo o pior caso, ou seja, o menor valor dentre os dois casos analisados, conclui-se que: a. A maior altura que a coluna de madeira pode ter, independentemente da carga de compressão é 2.42 m; b. O comprimento máximo para que não seja necessária a verificação de flambagem é de 69 cm. Colunas de madeira Contraventamentos Analisando a Eq. (6), percebe-se que muitas vezes é interessante reduzir o comprimento de flambagem de uma coluna, afim de reduzir sua esbeltez sem ter que aumentar a seção transversal. Um recurso estrutural bastante utilizado nesses casos é o emprego de contraventamentos. Como exemplo, vamos admitir o galpão da figura abaixo: Nesta configuração, as extremidades superiores das colunas 1 a 8 são deslocáveis nas duas direções e o comprimento de flambagem é Le = 2L em ambas. O ideal seria reduzir esse comprimento de flambagem na direção do menor momento de inércia... Colunas de madeira Contraventamentos Configuração original: Colunas de madeira Contraventamentos Travamento na direção longitudinal (na dir. de compr. a) das colunas 1 e 2: Colunas de madeira Contraventamentos Travamento na direção longitudinal das colunas 1, 2, 7 e 8: Colunas de madeira Contraventamentos Travamento na direção longitudinal de todas as colunas: Colunas de madeira Exemplo 02 Considerando que as colunas de madeira do galpão abaixo possuem seção transversal de (30x15) cm2 e altura de h = 3 m, calcule o índice de esbeltez em cada direção. Os valores encontrados estão dentro dos limites definidos pela norma NBR 7190? Qual a classificação das peças? Colunas de madeira Exemplo 02: solução Caso 1 - flexão em torno do eixo z: Este caso refere-se à flexão no plano transversal do galpão (plano definido pela tesoura) e, como não há travamento no nó superior, tem-se: Le,z = 2h = (2)(3 m) = 6 m Caso 1 - flexao em torno do eixo z (cont.): Além disso: 3 L- (15 em)(30 cm)” = 33750 cm* 12 A = (15 cm)(30 cm) = 450 cm? Assim, da Eq. (2), [T. /33750 cm* rox = VG =Va50em? ~~ F000 e, finalmente, da Eq. (6): Lez 600 cm Az = — = —— = 69.28 Tg. 8.66cem Como X. < 140, para flexao em torno do eixo z, o indice de esbeltez fica dentro dos limites definidos na norma. Particularmente, como 40 < A, < 80, a pega seria medianamente esbelta. Colunas de madeira Exemplo 02: solução Caso 2 - flexão em torno do eixo y: Este caso refere-se à flexão no plano longitudinal do galpão e, devido aos contraventamentos, tem-se: Le,y = h = 3 m Caso 2 - flexao em torno do eixo y (cont.): Além disso: 3 Iy= (30 cm) (15 cm)" = 8437.5 cm* 12 A = (15 cm)(30 cm) = 450 cm? Assim, da Eq. (2), — [Ty [8437.5 cm4 Toy = A 450 cm. 4.33 cm e, finalmente, da Eq. (6): L 300 cm Ay = 4 = ———— = 69.28 ¥ Tay ~~ 4.33. 0m Como X, < 140, para flexao em torno do eixo y, o indice de esbeltez fica dentro dos limites definidos na norma. Particularmente, como 40 < A, < 80, a pega seria medianamente esbelta. Colunas de madeira Carga máxima admissível Para levar em conta os efeitos de segunda ordem citados anteriormente (comportamento não-linear entre tensões e deformações), a NBR 7190 estabelece metodologias distintas para o cálculo da carga crítica para peças esbeltas (80 < λ ⩽ 140) e medianamente esbeltas (40 < λ ⩽ 80). Tais metodologias, exigem uma série considerável de cálculos. Entretanto, para efeitos de pré-dimensionamento, podem ser adotadas tabelas específicas para cada tipo de madeira, baseadas numa versão mais antiga da norma e com resultados mais conservativos do que os procedimentos atuais. Colunas de madeira Carga máxima admissível Exemplo: Para outros tipos de madeira, ver apostila. Colunas de madeira Exemplo 03 Considerando que as colunas de Parajú do galpão abaixo possuem seção transversal de (30x15) cm2 e altura de h = 3 m, qual a carga máxima (de cálculo) que cada uma pode absorver? Colunas de madeira Exemplo 03: solução No exemplo anterior, foi obtido para cada coluna, em qualquer direção, λ = 69.28. Para λ = 69 ⇒ fc0,d = 906 N/cm2. Para λ = 70 ⇒ fc0,d = 893 N/cm2. Interpolando: fc0,d = [906 − (0.28)(906 − 893)] N/cm2 = 902.4 N/cm2. Colunas de madeira Exemplo 04 Uma plataforma de Parajú, com espessura t = 12 cm e dimensões em planta a = 4 m e b = 3 m, é sustentada por 4 colunas, também de Parajú, de altura h = 2 m e seção transversal (12x12) cm2. Considerando que a plataforma está sujeita a uma carga acidental de 250 Kgf/m2, verifique se as colunas estão adequadamente dimensionadas. e Classificagao de esbeltez das colunas: Como a segao transversal 6 quadrada, nao ha necessidade de verificagao da flexao em duas diregées distintas (0 comprimento de flambagem também é mesmo nas duas diregdes). Assim, Le = 2h = (2)(2m) =4m_(extremidade superior livre) 3 A=(12cm)(12em) = 144cm?, [= (12 om) (2 em)" = 1728 cm4 I 1728 cm* Le — 400cm ro= VA = V qatem? ~ 3400 > A= = Gem 1 Como X < 140, as colunas, apesar de classificadas como esbeltas, estao dentro dos limites determinados pela NBR 7190. Colunas de madeira Exemplo 04: solução • Resistência das colunas: Para λ = 115 ⇒ fc0,d = 341 N/cm2. Para λ = 116 ⇒ fc0,d = 336 N/cm2. Interpolando: fc0,d = [341 − (0.5)(341 − 336)] N/cm2 = 338.5 N/cm2. e Carregamento de calculo: Eq. (3) das notas de aula sobre critérios basicos de dimensionamento: Pa = Sia) +7 [ Fla + OF] i=1 j=2 Neste problema, ha apenas uma agao permanente, F, (peso prdprio da plataforma), e uma acao variavel, Ff, (carga acidental). Assim, a equagao anterior se resume a Fa = oFq + Yaka sendo: ‘gq = 1.3 (pequena variabilidade: Tabela 3 da norma NBR 7190) ‘Yq = 1.4 (Tabela 6 da norma NBR 7190) Colunas de madeira Exemplo 04: solução • Carregamento de cálculo (cont.): Para a obtenção dos valores característicos, tanto da ação permanente como da ação variável, é necessário determinar a área de influência da plataforma sobre cada coluna. Como tratam-se de 4 colunas, tal área de influência será: Ai = ab 4 = (4 m)(3 m) 4 = 3 m2 Ação variável: Fq = (250 Kgf/m2)(3 m2) = 750 Kgf ≈ 7500 N Colunas de madeira Exemplo 04: solução • Carregamento de cálculo (cont.): Ação permanente: Da Tabela E.2 da norma NBR 7190, a densidade da madeira parajú (ou maçaranduba) é ρ = 1143 Kg/m3. Desta forma: Fg = ρAitg = (1143 Kg/m3)(3 m2)(0.12 m)(10 m/s2) = 4114.8 N Carregamento de cálculo: Fd = γgFg + γqFq = (1.3)(7500 N) + (1.4)(4114.8 N) = 15511 N • Tesão de cálculo em cada coluna: σd = Fd A = 15511 N (12 cm)(12 cm) = 107.7 N/cm2 Colunas de madeira Exemplo 04: solução • Verificação: σd ⩽ fc0,d ? 107.7 N/cm2 < 338.5 N/cm2 ⇒ OK Conclui-se, portanto, que as colunas suportam o carregamento da plataforma. Colunas de madeira Exemplo 05 Considerando a mesma plataforma do exemplo anterior, assuma que a altura agora seja de h = 3 m e a seção das colunas seja de (10x10) cm2. As colunas estariam adequadas para sustenta-las? Caso não estejam, proponha uma solução construtiva e faça a verificação. e Classificagao de esbeltez das colunas: Nestas novas condigées, teriamos: Le = 2h = (2)(3m) =6m_ (extremidade superior livre) 3 A=(10cm)(10 cm) = 100cm?, I= (20 om) (10 em)” = 833.3 cm* [T /833.3 cm* Le — 600cm "9 A 100 cm? 89cm => A rg 2.89cem 07.85 Como X > 140, as colunas, as colunas sao esbeltas demais e nao devem ser utilizadas, segundo a norma NBR 7190. Uma solugao construtiva, que evitaria a fabricagao de novas colunas seria a utilizagao de contraventamentos. Colunas de madeira Exemplo 05: solução • Classificação de esbeltez das colunas com contraventamentos: Le = h = 3 m ⇒ λ = Le rg = 300 cm 2.89 cm = 103.92 Nesta nova configuração, λ < 140, permitindo a utilização das colunas. Deve-se notar, que os contraventamentos devem ser montados nas 4 laterais da plataforma. Colunas de madeira Exemplo 05: solução • Resistência das colunas: Para λ = 103 ⇒ fc0,d = 426 N/cm2. Para λ = 104 ⇒ fc0,d = 417 N/cm2. Interpolando: fc0,d = [426 − (0.92)(426 − 417)] N/cm2 = 417.7 N/cm2. Colunas de madeira Exemplo 05: solução • Tensão de cálculo em cada coluna: σd = Fd A = 15511 N (10 cm)(10 cm) = 155.1 N/cm2 • Verificação: σd ⩽ fc0,d ? 155.1 N/cm2 < 417.7 N/cm2 ⇒ OK Conclui-se, portanto, que as colunas suportam o carregamento da plataforma, desde que sejam instalados contraventamentos.