Mecânica Estrutural - Cálculo de Vigas

ESTRUTURAS USUAIS DE MADEIRA Luís Eustáquio Moreira DEES – ESCOLA DE ENGENHARIA DA UFMG MECANICA ESTRUTURAL – mecânica dos meios contínuos Objetivo: determinar os pontos de tensões e deformações críticas (máximas) nos sólidos em equilíbrio, tensões essas causadas por ações externas cujos efeitos são superpostos: peso próprio G (NBR 6120), cargas acidentais ou sobrecargas (NBR 6120) Q, vento W (NBR 6123), recalques de apoios, variações de temperatura ∆T; retração ∆ R ou inchamento ∆ I dos materiais, e assim por diante... Porque determinar as tensões críticas ? Porque essas tensões críticas ou uma combinação de tensões pode(m) iniciar trincas ou mesmo deformar excessivamente alguns pontos, prejudicando o funcionamento estrutural, seja ultrapassando estados limites estabelecidos pela resistência dos materiais (Estados limites últimos), seja ultrapassando níveis aceitáveis de deformações ou deslocamentos (estados limites de serviço ou utilização). Essas tensões críticas causadas pelas ações externas e estimadas (calculadas) pelas equações da mecânica devem ser comparadas com as resistências dos materiais obtidas em laboratório. Como as condições de laboratório são um recorte do meio contínuo, com condições muito favoráveis que não acontecem quando o material está aplicado na estrutura do laboratório natural que é a própria natureza e todas as suas ações agindo simultaneamente, essas resistências médias são corrigidas em função de uma série de fatores, para se chegar a uma resistência segura, que é bastante inferior à resistência média de um lote homogêneo ou de uma amostragem homogênea. Então a condição de segurança, ou seja, relativas aos estados limites últimos, é expressa genericamente pela desigualdade: σ d≤ f d O primeiro termo σ d se refere a uma tensão crítica de cálculo, ou seja, causada por um carregamento crítico (um conjunto de ações simultâneas) onde as ações foram majoradas de seus valores nominais e superpostas. Normalmente essa superposição é uma soma algébrica (pequenos deslocamentos e pequenas deformações). A resistência de cálculo f d é a resistência minorada. No caso da madeira, um material ortotrópico, cada tipo de solicitação tem uma dispersão nos testes. Para a madeira: f d= kmod f k γw O fator kmod é o produto de três fatores e será tomado por simplificação igual a 0,56 que é adequado a um pré-dimensionamento ( como deve ser a relação do arquiteto com o elemento estrutural para o qual quer prever uma dimensão e calcular o volume de materiais que a estrutura destinada à sua arquitetura exigiria, seja para que possa fazer um orçamento dos materiais, seja para averiguar se a dimensão da peça não prejudicaria seus interesses arquitetônicos. kmod produto de 3 kmod leva em conta a duração dos carregamentos (kmod1) ( longa?, média? , curta? , já que no laboratório o material é ensaiado em 1,5 minuto – tempo que dura um teste – e na estrutura essa resistência será menor. Leva em conta também a umidade de equilíbrio da madeira (kmod2) que é função da umidade do meio ambiente e também a categoria da madeira;(kmod3) se é de primeira ou segunda categoria. Para ser de primeira categoria a madeira não pode conter defeitos visuais e ainda ter um relatório técnico de homogeneidade do módulo de elasticidade em compressão, ou seja, o coeficiente de variação de Eco deve ser menor que 18%. Por simplificação vamos trabalhar no pré-dimensionamento com um único valor de kmod=0,56 O valor característico f k leva em conta a dispersão dos resultados em torno do valor médio, pela curva de Gauss. Para tensões de compressão e tração esse valor é de f k=0,7 f m e para o cisalhamento f k=0,54 f m. Já o denominador γ w é o coeficiente de segurança propriamente dito, que surge em função de uma equação probabilística que equilibra os coeficientes de majoração das ações que são fixos para todas as estruturas independentemente do material e os coeficientes de resistência; em função das variâncias de cada variável, de forma a estabelecer um índice de segurança β para as estruturas em geral que normalmente fica em torno de 3. γ w=1,4 para tensões de compressão γ w=1,8 para tração e cisalhamento. Bem, o analista é quem vai montar os carregamentos críticos; seja de um único elemento estrutural ( uma única viga); uma única coluna ou uma laje, ou uma casca; uma membrana; ou de toda uma estrutura de barras mais completa, que se divide nas categorias: pórticos – planos 2D ou espaciais 3D; treliças planas 2D ou espaciais 3D, vigas contínuas e grelhas, arcos. Claro, apenas para um único elemento, se justifica na atualidade fazer os cálculos manualmente e visam que o estudante fixe o procedimento. Sem esse treinamento a pessoa não fixa. A repetição é uma das exigências da memorização, assim como a carga emocional e sensorial associada ao experimento de fazer ou experimentar alguma coisa. Avaliações matemáticas de engenharia podem ser denominadas Experimentos Computacionais: ou seja, o analista está simulando o mundo através de seus modelos matemáticos simplificados, antecipando ou prevendo o funcionamento concreto ou real. Os efeitos de vento normalmente entram numa análise computadorizada, e as forças nas barras da treliça ou pórtico, devidas ao vento, sairão do funcionamento estrutural global. No caso de uma estimativa de carga em elementos isolados como vigas que sustentam paredes e lajes, não se entra com o efeito do vento, somente com pesos próprio da viga, pesos permanentes das paredes e das lajes e sobrecargas dos ambientes (da carga da laje e da sobrecarga sobre ela, entra o quinhão de carga relativo àquela viga, já que a laje tem outras vigas de apoio. Normalmente os engenheiros trabalham com 3 diferentes situações de projeto: situações normais; situações especiais e situações excepcionais. As situações normais têm os maiores coeficientes de majoração das ações, as situações especiais coeficientes um pouco menores e situações excepcionais coeficientes ainda menores. (essas últimas nem sempre precisam ser consideradas pois correspondem a explosões, impactos; ações instantâneas), Tabela 7.3 e 7.4 abaixo. Para efeitos de pré – dimensionamento consideraremos apenas carregamentos normais; classificados pela NBR 8800 – Ações e Segurança em Estruturas – como de longa duração ( o que quer dizer que a ação variável principal da combinação – seja ela o vento ou a sobrecarga – ou ambos, tem duração acumulada maior do que 6 meses. Os carregamentos especiais são para estruturas temporárias ( estruturas para eventos ) ou mesmo carregamentos de construção: essas são as situações especiais que o engenheiro deve considerar. A estrutura como um todo, ou parte dela ou apenas um elemento que está sendo içado teve ter um carregamento montado exclusivamente para essa situação especial, diferente da situação definitiva ( normal, duradoura), já que aquele carregamento é exclusivo daquela situação que não mais existirá quando a estrutura estiver pronta ou acabada para o uso. Para o pré-dimensionamento, basta-nos fazer combinações normais e adotar os seguintes coeficientes de majoração:  (1,4 para telhas leves que podem ser substituídas umas por outras) Para telhas de fibrocimento (18 kgf/m2 – ver catálogo ETERNIT – WWW.eternit.com.br ; telhas metálicas – 5 kgf/m2 ver catálogo WWW. metform.com.br; telhas de policarbonato ( 1,5 kgf/m2), que são telhas de peso médio, leves e ultra-leves, respectivamente, o coeficiente de majoração será de 1,4 ( grande variabilidade )  (1,3 para telhas pesadas) Para telhas cerâmicas francesas 50 kgf/m2 (×1,2) para levar em conta a absorção de água ou coloniais 60 kgf/m2 (×1,2) , o coeficiente será de 1,3 (pequena variabilidade).  Para ações variáveis como vento e sobrecarga, a majoração é de 1,4.  Quando se tem mais de uma ação variável num carregamento, uma delas será considerada a ação variável principal e a outra secundária. Se o vento for a ação variável principal, ele será majorado de 1,4 e também multiplicado por 0,75 porque ele é uma ação de curta duração e a madeira tem resistência muito alta para ações de curta duração. A lógica é: o vento é a ação variável principal, então a norma NBR 8681 manda majorar de 1,4 a sua ação, mas nós que conhecemos a madeira sabemos que ela responde muito bem a cargas de curta duração, então eu vou reduzir esse efeito de 25%. Não seria o caso de outros materiais, que não sofreriam essa redução. Então, se o vento está sendo testado como ação variável principal da combinação de ações, a sobrecarga será a secundária e para o carregamento normal que estamos considerando a sobrecarga nominal terá seu valor majorado de 1,4; e para levar em conta o critério de Turkstra* será também reduzida de um coeficiente ᴪ 0. (tabela 7.2) *Turkstra atentou-se para o fato de que somar os efeitos das ações com seus valores nominais máximos seria muito conservativo( antieconômico), já que ser conservativo significa que você tem que gastar muito mais material para fazer um único objeto. Por isso a redução por um coeficiente ᴪ 0 menor que 1. (tabela 7.2) Tabelas com os coeficientes de ponderações de ações para diversas situações de projeto. Em amarelo as combinações e coeficientes que iremos utilizar para pré- dimensionamento. Os efeitos favoráveis serão explicados nas próximas aulas. Para o pré-dimensionamento vamos utilizar o coeficiente ᴪ 0=0,7 para a sobrecarga (locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos ou alta taxa de ocupação) e ᴪ 0=0,6 para o vento (ver tabela os valores marcados em amarelo, que serão utilizados para pré-dimensionamento). Tudo isso por simplificação que dará excelentes resultados para as previsões que interessam à arquitetura, de tal forma que o arquiteto possa decidir sobre vãos máximos a utilizar, de acordo com a altura das vigas por exemplo, de forma que o projeto adotado não precise ser alterado por uma exigência estrutural futura não observada que venha a interferir na estética arquitetônica ou interferir num volume interno que o arquiteto queria livre mas que precisaria ter ali uma coluna por exemplo. Resume-se no fluxograma da figura o circuito das transformações a partir das ações atuantes em uma estrutura de barras até que se tenha condições de dimensioná-la: Figura: circuito das transformações das ações externas até as tensões e deslocamentos O lançamento da estrutura segue de perto essa regra:  Debaixo das paredes deve-se colocar vigas  Colocar colunas nas arestas externas das edificações  Colocar colunas nas arestas das caixas de elevadores  Colocar colunas nas arestas externas das caixas de escadas  Escadas descarregam-se em vigas  Madeiras laminadas coladas admitem vãos bem amplos, a tal ponto que pode-se limitar o vão da viga pelo vão máximo e econômico da laje. Uma laje quadrada com lados de 5 metros é uma senhora laje. Portanto, deve-se ter por aí uma ideia do vão máximo das vigas para um cálculo econômico. Ou seja, até no máximo esse vão deve-se colocar uma coluna. Ou seja, em princípio trabalhem com vãos máximos dessa ordem. Claro que cada caso é um caso e tudo é uma questão de dimensionamento adequado. Contudo, quanto menos colunas tem uma edificação, mais se forçam as ligações entre as vigas e colunas e maior a preocupação com a estabilidade global da edificação. Em madeira a melhor e mais segura forma de travamento ou contraventamento é xizar os painéis (contraventamentos em X).  Para evitar que as garagens virem uns paliteiros, colocar vigas de transição. São vigas muito altas (muito rígidas) capazes de receber o carregamento de uma coluna altamente carregada, que trás a carga dos vários andares superiores que lançaram carga sobre ela. É o sentido do Pilotis. Ou seja, dali para baixo iniciam-se outra seqüência de colunas, já que algumas são interrompidas para disponibilizar maior volume livre interno. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE MADEIRA 𝑈𝑦𝑚𝑎𝑥≤𝑙/200𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑛ã𝑜ℎá 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑓𝑟á𝑔𝑖𝑙 𝑓𝑖𝑥𝑜 à𝑣𝑖𝑔𝑎- nesse caso todas as ações variáveis são reduzidas de 2) 𝑈𝑦𝑚𝑎𝑥≤𝑙/350(𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎá 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑓𝑟á𝑔𝑖𝑙 𝑓𝑖𝑥𝑜 à 𝑣𝑖𝑔𝑎)–nesse caso multiplica-se a ação variável principal por 1 e as demais ações variáveis, se houver, por 2) Quando se busca a dimensão de um elemento. Obviamente que ainda não o temos. Contudo, como o peso próprio do elemento já o carrega, ele deve participar do carregamento hipotético considerado. Por isso no ítem acima (lançamento da estrutura), deve-se arbitrar as dimensões iniciais das peças que serão “dimensionadas”. Ou seja, pode-se dizer redimensionadas a partir da dimensão inicial arbitrada. Claro, quem define as dimensões das peças são os carregamentos críticos. Se a estrutura é de madeira laminada colada, por exemplo, a largura de uma viga normalmente é função da largura dos elementos de vedação e também da estabilidade lateral. Se a viga é apoio de uma laje, então o problema da estabilidade lateral está garantido em boa parte dos casos. Se as paredes têm por exemplo 10 cm de largura, pode-se considerar que essa seja a largura da viga. Falta-nos então buscar a altura de segurança e de servicibilidade dessa viga. Para arbitrar a altura inicial (somente com o objetivo de obter o peso próprio), recomenda-se:  Vigas sobre as quais se apóiam paredes de alvenaria e lajes de concreto armado: l(vãoda viga) 10 (vigas muito carregadas)  Vigas que recebem paredes de alvenaria e pisos de madeira: l(vãoda viga) 15  Vigas que recebem pisos e paredes de madeira l(vãoda viga) 20 No caso de madeiras serradas, tem-se comercialmente as dimensões mais comuns, em cm: 4×6 (caibros); 6×11;6×14;6×20;6×25;6×30 (vigas);15×15;20×20 (colunas);7×7;10×10(sarrafos) ; 3×15;3×20;3×30(tábuas). Então, caso montemos carregamentos para um elemento dado, o que fazemos é verificar se o elemento consegue suportá-los. Ou seja, ao se comparar as tensões máximas atuantes às tensões de cálculo, se elas ficam menores está ok; senão, o elemento não pode ser utilizado e tem-se que trocar por outro maior. Pode-se também fazer composições com peças coladas entre si, pregadas ou parafusadas. Claro que é fundamental que saibamos calcular os momentos fletores máximos, esforços cortantes máximos e flechas máximas a partir do carregamento de cálculo montado, senão nada feito. Os casos mais comuns incluem carregamentos uniformemente distribuídos e cargas concentradas. As vigas são de um modo geral calculadas como bi-apoiadas porque a fluência da madeira acaba por relaxar os momentos negativos que acontecem sobre os apoios. O cálculo de vigas bi- apoiadas é bastante simples. Nessa disciplina não temos objetivo de ensinar cálculo de momentos fletores e cortantes, já vistos em outras disciplinas. Em alguns casos pode-se ter decorados os momentos e cortantes máximos. Lembramos que os esforços cortantes máximos sempre ocorrem nos apoios das vigas. Decorar: Para os demais casos deve-se ou determinar os esforços solicitantes por meio do equilíbrio e as flechas máximas pelo traçado da linha elástica ou recorrer a tabelas que nos forneçam essas equações, ou mesmo resolver computacionalmente – essa é a solução mais comum e rápida da atualidade. Neste capítulo vamos considerar um método prático de estimar a flecha máxima, caso a(s) carga(s) concentrada(s) não estejam aplicadas no centro da viga. RESUMO: COMO SE TRATA DE PRÉ-DIMENSIONAMENTO, VAMOS CONSIDERAR APENAS COMBINAÇÕES NORMAIS: Para a verificação da resistência da Estrutura (Estados limites Últimos):  Sobrecarga como ação variável principal Fd(açãode cálculo)=1,4× ( peso próprio+ações permanentes)+1,4× (sobrecarga)+1,4× (ventoque carrega)×0,6  Vento como ação variável principal Fd(açãode cálculo)=1,4× ( peso próprio+demaisações permanentes)+1,4× (ventoque carrega)×0,75+1,4× (sobrecarga)×0,7 A combinação utilizada para a verificação ou o dimensionamento será somente a que conduzir ao maior somatório pois ela gerará os maiores esforços solicitantes ou esforços solicitantes críticos. Para o cálculo dos deslocamentos máximos (FLECHAS DE VIGAS) Futi=Gi,k ( peso próprio+demaisações permanentes)+Qi,k (sobrecarga×0,4 )+W (ventoque carrega×0) Ou seja, o carregamento para o estado limite de servicibilidade é bem menos rigoroso (bem menor) que o carregamento para estado limite último. Para estados limites últimos as ações foram majoradas exatamente para aumentar a segurança da estrutura. Para prever os deslocamentos a combinação de ações é mais realista, bem menor. Se determinássemos a altura H1 da viga pela limitação da flecha máxima com o mesmo carregamento utilizado para calcular H pelos estados limites últimos, ,muito provavelmente encontraríamos H1¿ H e o cálculo resultaria antieconômico. Por isso para determinarmos os deslocamentos máximos o carregamento mais realista seria a soma das ações permanentes Gi,k sem majoração e com redução das ações variáveis de um fator 2 < 1, tabela 7.2 - última coluna (por simplificação trabalharemos com 2 = 0,4; que corresponde a ambiente com carregamento elevado. Com essas informações temos condições de dimensionar uma viga de madeira. O momento de inércia de uma seção retangular vale I= B× H 3 12 . O momento de inércia de uma seção circular vale I= π D 4 64 . Qual é o momento de inércia de um perfil I duplamente simétrico? Qual é o momento de inércia de um perfil caixão ? qual o momento de inércia de um perfil I simétrico somente em relação ao eixo vertical ? Qual o momento de inércia de uma seção transversal T ? ( neste caso temos que determinar a posição do centróide e utilizar o teorema dos eixos paralelos) Exercícios: Calcular o momento de inércia das vigas de MLC – Madeira Laminada Colada EXEMPLO: Para a viga serrada de seção retangular da Figura, calcular a altura mínima de segurança e servicibilidade, sendo dados: Madeira classe C50; kmod=0,56 Método prático para estimar a flecha provocada por uma carga concentrada fora do centro da viga: calcular uma carga equivalente que aplicada no meio do vão daria o mesmo momento fletor máximo da carga aplicada fora do centro e aplicar a expressão para a carga aplicada no meio do vão. Solução:  Resistências de cálculo Compressão: fc 0d= kmod fc 0k 1,4 =0,56×50 1,4 =20 MPa=2 kN cm 2=200 kgf cm 2 Tração: ft 0d= kmod ft 0k 1,8 = 0,56× 50 0,77 1,8 =20,2 MPa Cisalhamento: fv 0d= kmod fv 0k 1,8 =0,56×7 1,8 =2,17 MPa=0,21 kN cm 2=21,7 kgf cm 2  Flecha máxima: - caso não haja material frágil ligado à viga que possa trincar pela deformação excessiva da viga Flecha elástica máxima umax=l(vão) 200 - caso haja material frágil , deve-se levar em conta a fluência da madeira ( aumento de deformação com o tempo sobre carga constante) Flecha elástica máxima umax=l(vão) 350 Para o nosso problema, há uma parede de alvenaria apoiada sobre a viga, então umax= 400 350 =1,14 cm  Carregamentos para Estados limites últimos Para viga de sustentação de paredes e lajes tem-se somente a sobrecarga como ação variável, portanto ela é a variável principal. Para estimativa do peso próprio da viga, já que está bastante carregada, faz-se H ≅ l 10= 4 10=40cm Para a classe C50, ρap=950 kgf m 3 Então a viga pesará: pp=B× H × ρap=0,1×0,4×950=38kgf /m Então, conforme explicado no início do resumo, as ações de cálculo devem ser majoradas qd = 1,4(340+480+38) +1,4 ×450= 1831,2 kgf/m = 18,31 kN/m Pd = 1,4 × 1000 = 1400 kgf =14 kN - Reação de apoio em A, que corresponde ao esforço cortante máximo, já que a carga concentrada está mais próxima do apoio A: Va=1831×4 2 + 1400×3 4 =4712kgf - Procurando o ponto de momento máximo, que é onde o cortante passa por zero: Verificando se o esforço cortante passa por zero debaixo da carga concentrada: O esforço cortante na posição C, um infinitésimo à direita da carga concentrada vale: Vc=Va−qd ×a−Pd=4712−1831×1−1400=1481kgf Como o sinal de Vc não inverteu, significa que o cortante não passou pelo zero, então temos que continuar subtraindo o efeito da carga distribuída do seguinte modo: O cortante passará pelo zero a uma distancia x à direita do nó C, tal que satisfaça à equação: V (x )=Vc−qd × x=0∴ x=Vc qd =1481 1831=0,81m O ponto de momento máximo então está a 1,81 m do apoio A, próximo ao centro da viga, porém um pouco deslocado para o lado da carga concentrada, já que ela está para a esquerda, jogando maior reação no apoio A. Então o momento fletor máximo, calculado a partir da esquerda vale: Md=Va×1,81−qd × 1,81 2 2 −Pd ×0,81 Substituindo-se acima os valores de Va, qd e Pd, tem-se Md = 4395 kgfm= 4395×10 2kgfcm Verificação das tensões normais: Sabemos que os momentos fletores introduzem tensões normais na seção transversal, cujo valor máximo acontece nas faces superior e inferior da viga. Como a viga é simétrica em relação ao eixo x, a distancia máxima do centróide até as faces será H/2, logo, a tensão normal atuante máxima, para a hipótese de carregamento considerada vale: σ d= Md I × H 2 = 4395×10 2 10× H 3 12 × H 2 =263700 H 2 Observe que na equação acima o momento foi passado para kgfcm multiplicando-se por 102, pois 1m = 100 cm. O H é a incógnita do problema, estamos procurando a altura mínima! Comparando-se a tensão atuante máxima com a tensão resistente de cálculo tem-se que satisfazer à desigualdade σ d≤ f c 0d Ou 263700 H 2 ≤200∴ H ≥√ 263700 200 ∴ H ≥36,3cm condição (1) Caso a resistência à tração fosse diferente da resistência à compressão, deveria ser verificada apenas a menor resistência, já que a seção é simétrica em relação ao eixo x. Caso a seção não fosse simétrica em relação ao eixo x, verifica-se tanto as fibras comprimidas quanto as tracionadas. Verificação do cisalhamento As tensões de cisalhamento máximas para uma seção retangular valem: τ d=1,5× V d max BH =1,5× 4712 10 H Comparando-se essa tensão atuante de cálculo com a tensão resistente de cálculo τ d≤ fv 0d ou 1,5× 4712 10 H ≤21,7∴ H ≥32,5cm (2) Verificação da flecha O ponto de flecha máxima deveria ser investigado e isso não é fácil de determinar. Tem- se que partir da equação da linha elástica e achar o ponto onde a derivada à curva é igual a zero. Na falta de uma tabela que nos forneça a equação da flecha máxima, podemos fazer a simplificação sugerida no início do problema, de considerar uma força equivalente Pk1 que aplicada no meio do vão, produzisse o mesmo momento fletor máximo que a força Pk aplicada fora do centro da barra, no exemplo, a 1 m do apoio A. Sem majoração porque para determinar flechas não se majoram ações. Então queremos que: Pk 1×l 4 = Pk×a×b l ∴ Pk 1=Puti= 4×1000×1×3 4 2 =750kgf Então uma força de 750 kgf (carga equivalente) aplicada no meio do vão vai causar o mesmo momento fletor que uma carga de 1000 kgf aplicada a 1 metro do apoio A. Conforme já visto, as ações permanentes para o cálculo da flecha máxima são somadas sem majoração e as ações variáveis são reduzidas de Porsimplificação vamos tomar pré-dimensionamento) Então: quti=(340+480+38)+450×0,4=1038 kgf m 2 = 0,4 para ambientes com valores autos de sobrecarga. (tabela ) Então a flecha máxima no meio do vão (valor aproximado para a flecha máxima – um truque para se determinar esse valor aproximado num cálculo manual, por ser um cálculo trabalhoso para se fazer manualmente, partindo-se da equação da linha elástica), vale: umax= Puti×l 3 48 Eef I + 5×quti×l 4 384 Eef I Ou seja; 750×400 3 48×(0,56×195000)× 10× H 3 12 + 5×1038×400 4 10 2×384×(0,56×195000)× 10× H 3 12 ≤ l(400) 350 Observe a compatibilização de unidades: comprimentos em cm 1038 kgf m =1038 kgf 10 2cm Ou 10989 H 3 + 38022 H 3 ≤1,143∴ H 3≥ 49011 Ou H ≥ 3√49011∴ H ≥36,58cm (3) Então a altura H que satisfaz às 3 diferentes condições marcadas acima seria a altura de 37 cm. Resposta: altura mínima da viga Hmin = 37 cm (vejam que foi a flecha quem determinou a altura mínima). Nem sempre é assim! Caso a flecha máxima pudesse ser l/200 então as tensões normais seriam dimensionantes. Há ainda 3 outros problemas de flexão, além deste anterior. Eles seriam: 1. Dadas as dimensões da seção transversal da viga, bem como o vão da viga, verificar qual o carregamento máximo suportado por ela. Neste caso vamos montar as mesmas 3 desigualdades, como montadas acima, porém deixando a carga como incógnita e vamos tomar a menor das 3 cargas. 2. Dadas as dimensões da seção transversal e o vão da viga, verificar se uma determinada seção suporta um dado carregamento dado. Ou seja, neste caso, todos os parâmetros são dados e ao montar as 3 desigualdades, as 3 devem ser satisfeitas. Caso uma delas não seja satisfeita, então a seção transversal dada não suporta o carregamento dada para o vão também dado 3. Dada a seção transversal da viga e um carregamento dado, verificar o vão máximo que pode ter essa viga para suportar o carregamento. Novamente montam-se as 3 condições de segurança, dessa vez deixando o vão l como incógnita nas 3 desigualdades. O vão máximo admissível será o menor dos 3 valores encontrados. Abaixo coloco a seqüência de cálculo completo da mesma viga acima sob flexão simples, como deverão fazer em uma prova, pois o exercício acima foi desenvolvido didaticamente, com todas as explicações pertinentes. Quando já se sabe fazer não precisa ficar explicando porque o professor sabe o que está sendo feito. Exemplo: Para a viga serrada de seção retangular da Figura, calcular a altura mínima de segurança e servicibilidade, sendo dados: Madeira classe C50; kmod=0,56 Solução:  Resistências de cálculo Compressão: fc 0d=kmod fc 0k 1,4 =0,56×50 1,4 =20 MPa=2 kN cm 2=200 kgf cm 2 Tração: ft 0d=kmod ft 0k 1,8 = 0,56× 50 0,77 1,8 =20,2 MPa Cisalhamento: fv 0d= kmod fv 0k 1,8 =0,56×7 1,8 =2,17 MPa=0,21 kN cm 2=21,7 kgf cm 2  Flecha máxima: umax= 400 350 =1,14 cm  Carregamentos para Estados limites últimos Estimativa do peso próprio da viga, já que está bastante carregada, faz-se H ≅ l 10= 4 10=40cm Para a classe C50, ρap=950 kgf m 3 Peso próprio: pp=B× H × ρap=0,1×0,4×950=38kgf /m qd = 1,4(340+480+38) +1,4 ×450= 1831,2 kgf/m = 18,31 kN/m Pd = 1,4 × 1000 = 1400 kgf =14 kN - Va=1831×4 2 + 1400×3 4 =4712kg f Verificando se o esforço cortante passa por zero debaixo da carga concentrada: Vc=Va−qd ×a−Pd=4712−1831×1−1400=1481kgf V (x )=Vc−qd × x=0∴ x=Vc qd =1481 1831=0,81m O ponto de momento máximo então está a 1,81 m do apoio A. Então o momento fletor máximo, calculado a partir da esquerda vale: Md=Va×1,81−qd × 1,81 2 2 −Pd ×0,81 Substituindo-se acima os valores de Va, qd e Pd, tem-se Md = 4395 kgfm= 4395×10 2kgfcm Verificação das tensões normais: σ d= Md I × H 2 = 4395×10 2 10× H 3 12 × H 2 =263700 H 2 σ d≤ f c 0d Ou 263700 H 2 ≤200∴ H ≥√ 263700 200 ∴ H ≥36,3cm condição (1) Verificação do cisalhamento τ d=1,5× V d max BH =1,5× 4712 10 H τ d≤ fv 0d ou 1,5× 4712 10 H ≤21,7∴ H ≥32,5cm (2) Verificação da flecha Cálculo da carga concentrada equivalente: Pk 1×l 4 = Pk×a×b l ∴ Pk 1=Puti= 4×1000×1×3 4 2 =750kgf quti=(340+480+38)+450×0,4=1038 kgf m 2 = 0,4 para ambientes com valores autos de sobrecarga. (tabela 7.2 ) umax= Puti×l 3 48 Eef I + 5×quti×l 4 384 Eef I Ou seja; 750×400 3 48×(0,56×195000)× 10× H 3 12 + 5×1038×400 4 10 2×384×(0,56×195000)× 10× H 3 12 ≤ l(400) 350 1038 kgf m =1038 kgf 10 2cm Ou 10989 H 3 + 38022 H 3 ≤1,143∴ H 3≥ 49011 Ou H ≥ 3√49011∴ H ≥36,58cm (3) Então a altura H que satisfaz às 3 diferentes condições marcadas acima seria a altura de 37 cm. Resposta: altura mínima da viga Hmin = 37 cm Há ainda 3 outros problemas de flexão, além deste anterior. Eles seriam: 4. Dadas as dimensões da seção transversal da viga, bem como o vão da viga, verificar qual o carregamento máximo suportado por ela. Neste caso vamos montar as mesmas 3 desigualdades, como montadas acima, porém deixando a carga como incógnita e vamos tomar a menor das 3 cargas. 5. Dadas as dimensões da seção transversal e o vão da viga, verificar se uma determinada seção suporta um dado carregamento dado. Ou seja, neste caso, todos os parâmetros são dados e ao montar as 3 desigualdades, as 3 devem ser satisfeitas. Caso uma delas não seja satisfeita, então a seção transversal dada não suporta o carregamento dada para o vão também dado 6. Dada a seção transversal da viga e um carregamento dado, verificar o vão máximo que pode ter essa viga para suportar o carregamento. Novamente montam-se as 3 condições de segurança, dessa vez deixando o vão l como incógnita nas 3 desigualdades. O vão máximo admissível será o menor dos 3 valores encontrados.