Slide - Aula 6 - Ligações Por Entalhes - Estruturas de Madeira - 2023-2

EES170 - Noções de Estruturas de Madeira Aula 06: Ligações por entalhes Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) 2o. semestre 2023 Introdução Ligações entalhadas são muito utilizadas na confecção de treliças de madeira, como ilustrado na figura abaixo. As solicitações relevantes nesse tipo de ligação são a compressão paralela, perpendicular ou inclinada em relação às fibras e o cisalhamento paralelo às fibras. Procedimento de cálculo Exemplo: Parâmetros importantes para verificação: e → altura do dente (valor mínimo para resistir à compressão da carga de cálculo Fd); f → folga (valor mínimo para evitar cisalhamento paralelo às fibras). Procedimento de cálculo Altura mínima do dente e (AB) = cosθ σc,d = Fd (AB)(b) = Fd cosθ eb ⩽ fcθ,d ∴ e ⩾ Fd cosθ fcθ,db (1) fcθ,d = (fc0,d)(fc90d) fc0,d sen 2θ + fc90,d cos 2θ (Fórmula de Hankinson) (2) Procedimento de cálculo Folga mínima fv0,d → resistência (de cálculo) ao cisalhamento paralelo às fibras. τ,d = Fd cosθ (f)(b) ⩽ fv0,d ∴ f ⩾ Fd cosθ fv0,db (3) Detalhes construtivos relevantes • A altura do dente, e, não deve exceder 1/4 da altura da seção transversal, h, da peça onde houve retirada de material e não deve ser inferior a 1/8 da mesma dimensão ou a 2 cm, i.e., h 8 ⩽ e ⩽ h 4 com e ⩾ 2 cm (4) • Se, durante os cálculos, e exceder este limite, devem ser previstos dois dentes, e a folga f deve ser considerada a partir do dente mais distante, adotando-se ao menos f/2 para o outro: Detalhes construtivos relevantes • No caso de dois dentes, é conveniente manter um deles um pouco mais baixo em relação ao outro, evitando-se assim, uma linha contínua para resistir ao cisalhamento. • Quando nem mesmo a utilização de dois dentes for suficiente, adotam-se cobre-juntas, pregadas ou parafusadas, para transmitir a carga excedente: Exemplo 01 Dimensionar o entalhe do nó de uma tesoura de jatobá, sabendo que a incli- nação do telhado é 17o, as barras dos banzos superior e inferior têm seção de (6x16) cm2 e a carga permanente de compressão é de 82 kN e de pequena variabilidade. Exemplo 01 Solução • Cálculo da resistência à compressão inclinada: A Tabela E.2 da NBR 7190 define, para o jatobá, uma resistência média à compressão paralela de: fc0,m = 93, 3 MPa A resistência característica pode, então, ser determinada através da Eq. (3) das notas de aula sobre critérios de dimensionamento (Aula 04), i.e., fc0,k = (0, 70)fc0,m = (0, 70)(93, 3 MPa) = 65, 3 MPa Já a resistência de cálculo, por sua vez, é obtida através da seguinte ex- pressão: fc0,d = kmod fc0,k γwc , kmod = (kmod,1)(kmod,2)(kmod,3) Coeficiente de segurança: Para estado limite último: γwc = 1, 4 Exemplo 01 Solução • Cálculo da resistência à compressão inclinada (cont.): Coeficiente de modificação: Nas situações usuais de projeto: kmod = (0, 7)(1, 0)(0, 8) = 0, 56 ⇒ fc0,d = (0, 56)(65, 3 MPa) (1, 4) = 26, 1 MPa Utilizando a Eq. (1) da Aula 06 (com αn = 1), tem-se: fc90,d = (0, 25)fc0,d = (0, 25)(26, 1 MPa) = 6, 5 MPa Aplicando, finalmente, a fórmula de Hankinson, Eq. (2), fcθ,d = (fc0,d)(fc90,d) fc0,d sen 2θ + fc90,d cos 2θ = (26, 1 MPa)(6, 5 MPa) (26, 1 MPa) sen 2(17o) + (6, 5 MPa) cos 2(17o) = 20, 8 MPa Exemplo 01 Solução • Cálculo da resistência ao cisalhamento: A Tabela E.2 da NBR 7190 define, para o jatobá, uma resistência média ao cisalhamento paralelo às fibras de: fv0,m = 15, 7 MPa A resistência característica ao cisalhamento pode, então, ser determinada através da Eq. (4) das notas de aula sobre critérios de dimensionamento (Aula 04), i.e., fv0,k = (0, 54)fv0,m = (0, 54)(15, 7 MPa) = 8, 5 MPa Já a resistência de cálculo correspondente, é obtida através da seguinte expressão: fv0,d = kmod fv0,k γwv , γwv = 1, 8 ⇒ fv0,d = (0, 56)(8, 5 MPa) (1, 8) = 2, 6 MPa Exemplo 01 Solução • Carregamento de cálculo: Como há apenas uma carga permanente de pequena variabilidade: Fd = γgP, γg = 1, 3 ⇒ Fd = (1, 3)(82 kN) = 106, 6 kN Exemplo 01 Solução • Cálculo da altura do dente: Da Eq. (1): e ⩾ Fd cosθ fcθ,db ⇒ e ⩾ (106, 6 kN) cos(17o) (2, 08 kN/cm2)(6 cm) ⇒ e ⩾ 8, 17 cm Verificando a condição da Eq. (4): h 8 ⩽ e ⩽ h 4 com e ⩾ 2 cm ⇒ 16 cm 8 ⩽ e ⩽ 16 cm 4 ⇒ 2 cm ⩽ e ⩽ 4 cm Conclusão: deverão ser utilizados dois dentes com emax = 4 cm, além de cobre-junta para resistir à carga excedente. Exemplo 01 Solução • Cálculo da altura do dente (cont.): Cálculo da carga excedente: Normalmente, utiliza-se uma diferença de 1 cm para desalinhar as extremi- dades dos dentes. Assim, adota-se, neste caso, e1 = 4 cm e e2 = 3 cm . Portanto, os dois dentes resistirão um total de: e1 + e2 = 7 cm = F ′ d cos(17o) (2, 08 kN/cm2)(6 cm) ⇒ F ′ d = 91, 3 kN, de forma que a carga excedente será: Fex,d = Fd − F ′ d = (106, 6 kN) − (91, 3 kN) = 15, 3 kN Nota: o tipo e a quantidade de pregos ou parafusos deverão ser dimen- sionados para resistir a esta carga. Exemplo 01 Solução • Cálculo da folga: Da Eq. (3): f ⩾ F ′ d cosθ fv0,db = (91, 3 kN) cos(17o) (0, 26 kN/cm2)(6 cm) = 55, 97 cm ⇒ f = 56 cm • Configuração final: *** Exemplo 02 Uma plataforma retangular de madeira Angelim pedra com dimensões (2, 5 x 4, 0) m2 e espessura de 5 cm é sustentada em seus vértices por duas treliças de madeira do tipo representado na figura abaixo. Os nós A e B recebem dois vértices desta plataforma e o projeto prevê uma sobrecarga vertical de 6, 75 kN/m2. As barras são também de madeira Angelim pedra serrada, com seção transversal retangular de (7, 5 x 20) cm2. Para o aproveitamento de peças com comprimento inferior a 4 m, duas peças distintas foram unidas através da Ligação X. Desprezando os pesos próprios das barras e traves- seiros de apoio, projetar as dimensões a, b e c. Exemplo 02 Solução • Cálculo das resistências relevantes ao dimensionamento: A barra AB trabalha tracionada e sua espessura é w = 7, 5 cm. Deve-se observar então que ocorre compressão paralela às fibras numa área igual a (bw). Ocorre também cisalhamento paralelo às fibras numa área igual a (aw). Além disso, deve-se verificar a tração paralela às fibras na área (cw). Ou seja, as resistência relevantes ao dimensionamento são fc0, fv0 e ft0. A Tabela E.1 da NBR 7190 define, para o Angelim pedra, os seguintes valores de resistências médias: fc0,m = 59, 8 MPa fv0,m = 8, 8 MPa ft0,m = 75, 5 MPa Exemplo 02 Solução • Cálculo das resistências relevantes ao dimensionamento (cont.): Os valores característicos correspondentes serão: fc0,k = (0, 7)fc0,m = (0, 7)(59, 8 MPa) = 41, 86 MPa fv0,k = (0, 54)fv0,m = (0, 54)(8, 8 MPa) = 4, 75 MPa ft0,k = (0, 7)ft0,m = (0, 7)(75, 5 MPa) = 52, 85 MPa Já os valores de cálculo serão: fc0,d = kmod fc0,k γc = (0, 56)41, 86 MPa 1, 4 = 16, 74 MPa fv0,d = kmod fv0,k γv = (0, 56)4, 75 MPa 1, 8 = 1, 48 MPa ft0,d = kmod ft0,k γt = (0, 56)52, 85 MPa 1, 8 = 16, 44 MPa Exemplo 02 Solução • Esforço interno de tração: A etapa seguinte, refere-se à obtenção do esforço interno de tração na barra AB, com seu valor de cálculo: Nd. Isto pode ser feito, tomando-se o equilíbrio do nó B da treliça, como apre- sentado abaixo: e Esforco interno de tragao (cont.): Fa Ligagaéo X Na | a —_—— TT 2 Ae B 7 2.5m Na Fy = Forga externa transmitida pela plataforma oe gee Na = Esforgo interno de tragaéo na barra AB tom Na = Esforco interno de compressao na barra diagonal Fy—Nasen@ =0 (Equilibrio vertical) Na—Nacos6 =0 (Equilibrio horizontal) Fa Na Fa 2,5m = TW = . Na = tg@ = —— = 0,625 send —_cos@ ted’ 8 4,0m ; A forga externa de calculo deve ser obtida montando-se a combinagao das agdes permanentes e variaveis. e Esforco interno de tragao (cont.): => Fa = Y9Fo,b + Ya a,b Sendo, Fy,x = 1/4 do peso da plataforma (que é de madeira = 7, = 1,3) F,,x = 1/4 da sobrecarga de 6, 75 kKN/m? Peso especifico para o Agelim pedra (Tabela E.1): pap = 694 kgf/m?. Com estas informagées, pode-se calcular: Fon = 1 (2,5m)(4,0m) (0,05m) (6,94 kN/m*) = 0,868 KN 4 NS area do piso espessura do piso Pap Fuk = 702, 5 m)(4,0 m)(6, 75 KN/m”) = 16,875 kN => Fy = (1,3)(0,868 kN) + (1, 4)(16, 875 KN) = 24,75 kN ; _ Fa = ZL TN — [39,6 KN] v Na = t20 0,625. 39,6 KN Exemplo 02 Solução • Dimensionamento da cota a: Como já foi dito, a cota a deve ser suficiente para gerar uma tensão de cisalhamento inferior (ou no máximo igual) a fv0,d. Assim, deve-se garantir que: Nd aw ⩽ fv0,d a ⩾ Nd fv0,dw = 39600 N (1, 48 N/mm2)(75 mm) = 356, 76 mm ∴ a = 36 cm Exemplo 02 Solução • Dimensionamento da cota b: Como já foi dito, a cota b deve ser suficiente para gerar uma tensão de compressão inferior (ou no máximo igual) a fc0,d. Assim, deve-se garantir que: Nd bw ⩽ fc0,d b ⩾ Nd fc0,dw = 39600 N (16, 74 N/mm2)(75 mm) = 31, 5 mm Pode-se adotar, portanto, ∴ b = 3, 5 cm Observar que este valor está dentro das recomendações construtivas para altura do dente. Exemplo 02 Solução • Dimensionamento da cota b: Uma vez definida a cota b, tem-se que: h = 2c + b ⇒ c = 20 cm − 3, 5 cm 2 = 8, 25cm o que corresponde a uma área útil de tração de Au = cw = (8, 25cm)(7, 5 cm) = 61, 875 cm2 > 50 cm2 ou seja, acima do valor mínimo requerido para peças tracionadas. Verificando, finalmente, a tensão de tração: Nd cw ⩽ ft0,d ⇒ 39600 N (82, 5 mm)(75 mm) = 6, 4 MPa < 16, 44MPa ⇒ OK!