Trabalho Prático 3 - Estruturas de Madeira - 2023-1

ESTRUTURAS DE MADEIRA Prof Luís Eustáquio Moreira EXEMPLOS E TREINAMENTO (TP 3) Entrega na sexta feira dia 29-09 Seguinte pessoal: eu resolvo alguns exercícios e deixo outros para vocês. A importância de se resolver exercícios antes da prova é para se acostumar com o uso da calculadora e ativar memórias corporais. A calculadora científica é um acompanhante constante de quem trabalha com medições, e o arquiteto trabalha com medições. Ela deve estar dentro da bolsa de trabalho, sempre. E custa relativamente pouco. Uma boa calculadora está na faixa de 80 reais. Esse negócio de calculadora de celular não funciona. Celular não pode ser utilizado em provas. Exercícios: A barra da figura está ligada a outro elemento por meio de 2 parafusos passantes, portanto, a ideia é que neste caso, cada parafuso está transferindo metade da carga nominal Pk e a barra está em equilíbrio, certo? 1. Supondo-se H = 20 cm e B = 6 cm, Pk = 70 kN , pede-se calcular as tensões máximas atuantes de tração nessa barra. (resolvido) 2. Ainda relativo ao problema 1, supondo-se kmod = 0,56; Pinos Ellioti; pergunta-se: a barra suporta carga Pk = 70 kN com segurança? (resolvido) 3. Supondo-se B = 6 cm; kmod = 0,56; Pinus Ellioti; P = 80 kN, pede-se redimensionar a altura H tal que a barra suporte o carregamento. (para vcs resolverem) 4. A NBR 7190 exige que as barras tracionadas tenham seção transversal mínima de 50 cm2. (útil). A altura H que vc encontrou em 3) é suficiente para atender a essa exigência? (para vocês resolverem) SOLUÇÃO: 1. Carga de cálculo Pd = 1,4 Pk = 1,4 x 70 = 98 kN (majora-se de 1,4 para carregamentos normais, a favor da segurança, sempre que não se especificam as ações que causaram a força nominal Pk.) Areá útil : Au=(20−2−2)×6=96cm 2 (seção mais enfraquecida da barra) Tensão de tração atuante : σt 0,d= Pd Au =98 96=1,02 kN cm 2=10,2 MPa=102 kgf cm 2 2. A resistência de cálculo, ou tensão máxima resistida com segurança é: ft0= 66 MPa (ver a tabela de resistências médias ) então: ft 0d=0,56× (0,7×66) 1,8 =14 ,4 MPa Agora temos que comparar a tensão atuante com a tensão resistente: σ t 0,d≤ ft 0,d é acondiçãode segurança Regra geral para qualquer tipo de verificação de resistência: Para haver segurança, a tensão máxima atuante de cálculo deve ser menor ou igual a tensão resistente de cálculo. Como, 10,2 ≤14 ,4 MPa❑ → ok ! (a barra suporta o carregamento com segurança) 3. PARA VOCES FAZEREM – RESPOSTA H ≥22,3cm❑ → 23cm 4. PARA VOCES FAZEREM : Au=114>50cm 2❑ → atende A área mínima de uma barra principal tracionada de madeira deve ser de 50 cm2 com espessura mínima de 5 cm. (NBR 7190) COMPRESSÃO PERPENDICULAR Para a viga da figura pede-se: Resolvidos: 1. Qual a tensão máxima atuante no contato da viga com a coluna. Dados: A carga Pk e o peso próprio são cargas permanentes de grande variabilidade. 2. Supondo-se a madeira da viga classe C40, há risco de esmagamento no contato da viga com a coluna? Dado: kmod = 0,56 Para vocês resolverem: 3. Qual a dimensão mínima E2 para a placa de apoio de Pk= 25 kN, para que não haja esmagamento no contato da placa com a viga? 4. Caso se reduzisse a largura da placa de apoio da carga Pk = 25 kN, de 10 cm para 5 cm, metade da largura da viga, qual seria E2 mínimo ? Solução: 1. Tomando-se os momentos das forças em relação ao apoio B se obtém-se a reação de apoio máxima em A, já que a carga Pk está mais próxima do apoio A. A reação de cálculo vale R A ,d=1,4 Pk×b l + 1,4×qk×l 2 =1,4×25×3 4 + 1,4×0,28×4 2 =26,25+0,78=27,03kN Sempre que a madeira é dada por classe de resistência a consideramos como de grande variabilidade γG=1,4. Pk é uma ação que vem de uma viga que certamente trás cargas variáveis (sobrecargas de ambientes) e o coeficiente de majoração deve ser também 1,4. Para verificação da compressão perpendicular às fibras da viga nos apoios, sempre que a coluna estiver apoiada no canto da viga sem nenhum excedente à face da coluna, αn=1. A tensão atuante a 90 graus com as fibras da viga, no contato da viga com a coluna será a força atuante de cálculo dividida pela área de contato, ou seja: áreade contato: Ac=20×10=200cm 2 σ c 90,d= R A ,d Ac =27,03 200 =0,14 kN cm 2 2. A resistência de cálculo vale: fc90,d×αn=0,25 fc 0d×1=0,25×1,6×1=0,4 kN cm 2 onde fc 0d=0,56×40 1,4 =16 MPa=1,6 kN cm 2 Resposta: Como, 0,14 < 0,4 ok ! (não há problema de esmagamento da viga no contato com a coluna. 3. O QUE FICOU PARA VOCES FAZEREM Resposta: E2≥8,75cm❑ → 9cm( paraαn=1;adotar por simplificação) Caso se quisesse ficar mais rigoroso poderia ser calculado o valor de αn - já que debaixo da chapa de apoio há fibras de ambos os lados, pode-se aproveitar o efeito de dobra das fibras, e uma vez que a extensão é menor que 15 cm. Neste caso, calcula-se αn por interpolação linear na tabela e multiplica-se o valor já encontrado, 0,4 por αn, recalculando-se a extensão E2 que poderia ser ainda menor do que 8,75 cm obviamente, já que se aumentou a resistência. Esse problema nos instrui que cargas concentradas a noventa graus com as fibras da madeira devem ser distribuídas numa área de contato de forma a não danificar o material, esmagando-o localmente, já que a resistência a 90 graus é ¼ ou 0,25 da resistência paralela. Então há sempre que se cuidar quando uma peça descarregar sobre outra para não deixar uma área de contato muito pequena sob pena do dano provocar até deslizamento da peça num encaixe de uma peça com outra (ligação entalhada). 4. PARA VOCÊS FAZEREM. Resposta: considerando-se em principio αn=1; E2≥17 ,5cm. Como 17,5 cm é maior que 15 cm não se poderia utilizar o efeito de dobramento para aumentar a resistência local. CISALHAMENTO PARALELO ÀS FIBRAS Calcular o comprimento mínimo de colagem lc=? da barra de madeira da figura, para que resista a uma força nominal de tração axial Fk = 20 kN. (Lembrem-se que Fk é a força real ou nominal ou característica e que a força de cálculo deve entrar majorada), ou seja, Fd = 1,4 Fk. (NBR 6120) Madeira classe C40, kmod = 0,56; resistência ao cisalhamento da cola: fvk=12 MPa; resistência ao cisalhamento paralelo da madeira classe C40 (ver tabela), fv 0k=¿ 6 MPa. Resposta: lc≥ 24,96 cm →25cm Tração Para se dimensionar qualquer elemento, é necessário visualizar como as tensões estão atuando no local mais frágil daquele elemento (seções críticas) Lembrem-se de que uma corrente rompe em seu elo mais fraco. Por exemplo, se você traciona uma corda cujas extremidades contêm um nó, obviamente, ao ser tracionada, a ruptura ocorrerá ali, junto ao nó, pois nessa posição há concentração de tensões no nó. Um nó já introduz tensões locais, que se superpõem às tensões devidas à carga. Essa redução da capacidade da carga corresponde a aproximadamente 40%. Para se levar em conta essa redução, basta reduzir a área nominal da corda em 40%. Por exemplo, suponha que uma corda de sisal tenha um diâmetro de 10 mm. O catálogo do fabricante lhe diz que a área útil dessa corda é de 80% da área nominal (bruta). Pede-se calcular a carga nominal máxima suportada por essa corda, sem impacto no levantamento da carga (carregamento estático e não dinâmico). Dados também: ft0 = 60 MPa (tensão média resistente) ; D = 10 mm; suponha também um coeficiente de segurança (cs) na tensão média resistente igual a 2, fornecida pelo fabricante) SOLUÇÃO DIDÁTICA DO PROBLEMA RESOLVIDO PASSO A PASSO: a regrinha é que a tensão atuante de cálculo deve ser menor ou igual à tensão resistente de cálculo, ou seja: σ t 0,d(tensãoatuante de cálculo)≤ f t 0,d(tensãoresistente de cálculo) (1) σ t 0,d= Pd Aef (2) Pd=cargade cálculo=1,4 Pk (Pk é acarganominal≡cargacaracterística) A carga nominal é a carga real. Por exemplo, se Vc pesa 60 kgf, sua carga nominal Pk= 60 kgf = 600 N. Aef= π D 2 4 ×0,8 (redução paraáreaútil)×0,6 (reduçãodevidaaonó)=¿ π ×10 2 4 ×0,8×0,6=37,7mm 2(áreaefetiva) Área efetiva = área enfraquecida = área crítica (menor que a área nominal ou área bruta) Vejam que a área bruta é de Ab= π ×10 2 4 =78,54 mm 2 e ao final, estamos trabalhando com uma área efetiva Aef=37 ,7mm 2.Como a área efetiva está no denominador da equação (2) das tensões atuantes, a tensão atuante aumentará muito devido às reduções que devem ser consideradas. Então, σt 0,d= Pd Aef =1,4 Pk 37,7 =0,037 Pk Vamos agora resolver o lado direito da equação (1), que corresponde à resistência de cálculo. No caso da corda, foi dado o coeficiente de segurança igual a 2. f t 0,d=60 cs =60 2 =30 MPa=30 N mm 2 Então, aplicando-se a equação (1), desigualdade que dá a condição de segurança: σ t 0,d≤ f t 0,d 0,037 Pk≤30∴ Pk≤810,8 N ∴ Pk≤81,1kgf SOLUÇÃO DIRETA PARA QUEM JÁ ENTENDEU O PROCEDIMENTO: Para quem já entendeu o procedimento basta desdobrar e equação (1), e escrever: 1,4 Pk Aef ≤ ft 0,d ∴ 1,4 Pk 0,8×0,6×( π ×10 2 4 ) ≤ 60 2 ∴ Pk ≤807 ,8 N ∴ Pk ≤80,08kgf (2) A diferença entre os resultados encontrados nos 2 procedimentos, o didático e o prático se deve aos arredondamentos efetuados no primeiro processo, uma diferença desprezível em relação aos coeficientes de segurança adotados. Então a corda está apta a suportar com segurança uma carga máxima de 80 kgf. Vc poderia se perguntar: - E se eu não tivesse aplicado nenhum coeficiente de segurança na resistência; considerando também, apenas a área útil e não a área efetiva que leva em conta a redução do nó de extremidade e a estrutura interna da corda; nem tivesse majorado a carga aplicada de 1,4; qual seria a carga que seria aplicada com muito risco de ruptura? Solução: Pk Au ≤60∴ Pk 0,8×78,54 ≤60∴ Pk ≤3670 N ∴ Pk ≤367 kgf Muito provavelmente essa carga iria romper a corda. Daí a ideia do método dos Estados Limites, hoje utilizado para o dimensionamento de estruturas feitas com os mais diversos materiais. O método, que é probabilístico, leva em conta todas as incertezas possíveis, tanto na carga quanto na resistência, para que se tenha uma boa faixa de segurança. Vejam que nesse problema, o procedimento levou a um coeficiente de segurança total embutido de 367/81 = 4,53. PROBLEMAS PROPOSTOS: 1. Para os mesmos dados de resistência e redução de área da corda do problema anterior, calcule o diâmetro mínimo que poderia ser utilizado com segurança, para suportar uma carga de tração de 500 kgf? Dica: a incógnita agora é o diâmetro D, então basta se deixar D como incógnita na equação 2) acima, e calcular D que será a raiz quadrada do número resultante. Resposta: Dmin = 24,87 mm (uma corda de 1” (1 polegada = 25,4 mm) resolveria o problema com segurança. 2. Uma barra de eucalipto em tora, com diâmetro médio de 10 cm, foi utilizada em treliças espaciais, transferindo a carga por meio de 2 parafusos de d = 16 mm de diâmetro conforme figura abaixo. Qual a força axial máxima nominal poderia ser suportada com segurança por essa barra? Dados: ft0 = 70 MPa (resistência média); kmod =0,56. Resposta: Pk máximo = 64,58 kN Dica: vejam que a seção útil é menor do que a seção bruta e portanto, na seção útil as tensões normais de tração atuantes serão maiores e aí aconteceria a ruptura( disse tensões normais às tensões perpendiculares à seção transversal. Portanto essa é a seção que controla o problema. Considere que as áreas perdidas sejam retângulos. Cisalhamento: A melhor forma de visualizar o campo de tensões que deve ser utilizado na solução de um problema é o Diagrama de Corpo Livre. Fazer o Diagrama de corpo livre é isolar uma parte do corpo em equilíbrio, cortando-o imaginariamente em locais favoráveis à análise, e nessa superfície cortada, indicar as tensões que estariam ali atuando para restaurar o equilíbrio desse elemento isolado. Seja o exemplo da figura, de tração de uma barra de 12cm x 6 cm, colada por uma superfície paralela ao eixo da barra. Assim devem ser as colagens. Colagens de topo não funcionam bem. Pede-se calcular a força máxima resistente Fk, dados: madeira C40; kmod = 0,56; tensão resistente ao cisalhamento paralelo, fv0,k = 6 MPa. SOLUÇÃO: Tanto a barra pode se romper por tensão normal na seção transversal líquida como pode se romper por cisalhamento paralelo à superfície de colagem. Vejam os diagramas de corpo livre: a) Verificação da ruptura da barra por tensão normal Figura: diagrama de corpo livre para tensões normais máximas na madeira À medida que se aumenta Fk, as tensões atuantes de tração na área útil, σt 0,d, vão também aumentando até se atingir a resistência de cálculo f t 0,d. Regrinha: σ t 0,d≤ f t 0,d Desdobrando: 1,4 Fk Al ≤ kmod f t 0,k 1,8 ∴ 1,4 Fk 6×6 ≤ 0,56 1,8 ×( 4 0,77)∴ Fk ≤ 41,56kN f ¿,k= f c 0,k 0,77 = 4 0,77 (relação da NBR7190) Observe que se trabalhamos com cm do lado esquerdo da equação, então a tensão resistente deve entrar em kN/cm2 por exemplo, obtendo-se a força em kN.(40 MPa = 4 kN/cm2) b) Verificação do cisalhamento na linha de colagem Figura: diagrama de corpo livre para as tensões de cisalhamento paralelo À medida que se aumenta a força Fk aumenta-se a tensão de cisalhamento de cálculo τ v 0,d. Essa tensão pode aumentar até atingir a resistência de cálculo f v 0,d. Regrinha (condição de segurança): τ v 0,d≤ f v 0,d Desdobrando: 1,4 Fk lc×B ≤ kmod f v 0,k 1,8 ∴ 1,4 Fk 26×6 ≤ 0,56×0,6 1,8 ∴ Fk ≤20,8kN Resposta: Então, a única forma de satisfazer às duas desigualdades, para que não haja nem ruptura da madeira por tensão normal nem ruptura da cola, é que a força nominal máxima seja 10,4 kN PROBLEMAS PROPOSTOS: 1. De quanto deveria ser o comprimento de colagem do problema acima, para que a força resistente da linha adesiva fosse igual à resistência à madeira à tração? Resposta: 51,95 cm 2. Para a junta colada de topo da figura abaixo, calcular o comprimento mínimo de colagem do cobre-juntas: Dado: madeira C50; kmod = 0,56 ( olhem nas tabelas de resistência o fv0,k ) Resposta: lc (comprimento de colagem mínimo igual a 12,86 cm →13cm Diagrama de corpo livre da barra central do lado direito: