Prova - Estatística 2 - 2023-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS PROVA EST002/TE - Estatística 2: Ciências Cotábeis Data: 17/10/2023 Valor: 35,0 pontos Este teste consiste em duas questões que representam 35 pontos da nota final da disciplina. Ao final, apenas a folha de resolução definitiva deve ser entregue ao professor. Portanto, é necessário registrar, naquela folha, todos os cálculos que justifiquem as respostas finais. Respostas que não seguirem essas instruções não serão consideradas na correção, bem como soluções que contrariam o enunciado. Use três casas decimais. Questão 1: 15 pontos Em 1990, foram conduzidas pesquisas em duas cidades mineiras distintas para avaliar a presença de números de telefone residenciais não listados. Em Carmo de Minas, uma amostra aleatória x1 de 1500 telefones residenciais revelou que 397 desses números não estavam listados. Simultaneamente, em Campos Altos, uma amostra aleatória x2 de 1200 telefones residenciais mostrou que 268 desses números de telefone não estavam listados. Com o objetivo de determinar se existe uma diferença estatisticamente significativa nas proporções de números de telefone não listados entre as duas cidades, foi construído um intervalo de confiança a um nível de significância de α, conforme a probabilidade de cobertura mostrada abaixo: P (L(x1, x2) < π1 − π2 < M(x1, x2)) = 1 − α. Considere que π1 e π2 sejam as proporções populacionais de números de telefone não listados nas cidades de Carmo de Minas e Campos Altos. Além disso, L(x1, x2) e M(x1, x2) representam os limites inferior e superior do intervalo de confiança calculados a partir das amostras x1 e x2. 1.1) (a) Determine os valores de L(x1, x2) e M(x1, x2) para um nível de confiança de 99% e (b) conclua se há evidências a favor da igualdade entre as porporções populacionais em questão. 1.2) O que aconteceria com intervalo de confiança encontrado no item 1.1 se todos as quantiades da descrição do problema tivessem sido dobradas sem haver efeito nas proporções amostrais? (Isto é, se 794 de 3000 residentes de Carmo de Minas e 536 de 2400 moradores de Campos Altos tivessem numeros não listados.) Para responder isso, (a) repita o item 1.1 com os novos dados mantendo o nível de confiança e (b) comente o efeito nos resultados. Questão 2: 20 pontos Uma agência de viagens deseja determinar se existe uma diferença estatisticamente significativa nos preços médios das passagens entre duas companhias aéreas, A e B, que operam na mesma rota internacional. Para isso, eles coletaram uma amostra aleatória de 18 passagens aéreas da Companhia A e outra amostra aleatória de 18 passagens aéreas da Companhia B ao longo de um trimestre. A Companhia A alega que suas passagens são mais acessíveis, enquanto a Companhia B afirma oferecer preços mais competitivos. Os dados das amostras indicam uma média de preços de R$ 3800 para as passagens da Companhia A, com um desvio padrão de R$ 550, e uma média de R$ 3090 para as passagens da Companhia B, com um desvio padrão de R$ 695. Suponha que as amostras são independentes e possuem distribuição normal. 2.1) Formule um teste de hipóteses com α = 0, 02 para determinar se existem evidências estatís- ticas que sustentem a alegação de que a Companhia B oferece passagens mais acessíveis, em média, do que a Companhia A. (a) Escreva as hipóteses do(s) teste(s); (b) utilize o método tradicional. Caso seja necessário, use uma aproximação da regão crítica. 2.2) (a) Calcule o intervalo de confiança bilateral para a razão σ2 A/σ2 B e (b) o valor-p do teste de diferença média entre os preços das passagens das duas companhias. 1 de 1 Solucgoes Questao 1 (15 pontos) Teste para diferenca entre proporcoes populacionais Estimativas (1,0): 397 = —— = 0, 264 P1500” 268 = —— = 0,22 P= T5909 ~ 272? Observagao: Em algum momento é preciso verificar as suposigdes do modelo utilizado. Nenhuma delas é violada, nesse caso (1,0) e pin 25 e (L—pi)ni 25 © pong 25 e (1 _ p2)N2 > 5 1.1) a) Intervalo de confianga para a diferenga entre proporgoes populacionais Estimativa do erro-padrao (2,0): pill _ Pi) po(1 _ p2) 0, 264 x 0, 736 0, 228 x 0, 777 —— ant 4 SSN , | OO lS 017 Samm Wg V~ 1500. ~~~«1:200 Percentil necessario (1,0): 29,995 = 2,58 Intervlo de confianga (2,0): IC(™ — 743 l-a= 0.99) > Pi — Po + 20.995 * Sp1—peo : 0, 264 — 0, 223 + 2,58 x 0,017 b) Conclusao (2,0): Como 0 0 € JC, nao ha evidéncias para rejeitar a igualdade entre as duas proporgoes populacionais. 1.2) a) Intervalo de confianga para a diferenga entre proporgoes populacionais Estimativa do novo erro-padrao (2,0): 1— 1- /0, 264 22 “= pil Pr) | Pal pr) _ 0, 26 x 0,736 | 0, 8x 0,777 0 012 PIT Pe ni ni 3000 2400 Intervlo de confianga (2,0): IC(™m — 74; l-a= 0.99) : Pi — P2 + 20.995 X Sh —pe : 0, 264 — 0, 223 + 2,58 x 0,012 b) Concluséo (2,0): Como 0 0 ¢ IC, ha evidéncias para rejeitar a igualdade entre as duas proporgdoes populacionais. A mudanga na conclusdéo se dé pelo meno incerteza decorrida do aumento do tamanho das amostras. 2de 1 Questao 2 (20 pontos) 2.1) Teste de igualdade de variancias a) Hipoteses dos testes (2,0) Ho : 02 = oF H,:02 40; Ho : [a — by = 0 Ay: Ha — bo > 0 b) Método tradicional: Teste de variancias Estatistica de teste (2,0): s? 550? Fy = “4 = = =~ 0,626 0 82 6952 Regiao critica (2,0): fo,o1;17:17 = 3, 31 f ~~ 0,302 oooiTaT = 3-37 V0: RC = (0;0, 302) U (3, 31; 00) Conclusao (2,0): Como Fy ¢ RC, Ho : 0? = of nao é rejeitada, com 98% de confianga. Método tradicional: Teste de médias com amostras independentes e variancias iguais e desconhecidas Desvio-padrao combinado (2,0): — 1)s? — 1)s? 17 x 550? + 17 x 6952 = (ma = Vs + (mo = Dsp [1 x 550? + 17 x 695" Gog ag7, Na tn — 2 34 Estatistica de teste (2,0): a—b 3800 — 3090 to = E22 = EEE. & 3,39 Spylaz ta, 626, 707/45 +45 Regiao critica aproximada (2,0): RC = (€; 00); 2,042 < € < 2,457. Conclusao (2,0): Como to € RC, Ho : fa — Ly = 0 € rejeitada, com 98% de confianga. 2.2) a) Intervalo de confianga para a razao entre as variancias populacionais (2,0) o ) ( st st ) (‘ 626 0 =) IC {| $;1-—a=0,98} : | =—+—; =—"— _] = | =: — ) = (0, 189; 2,073 (2: 83.F 0. 99,17;17 $3 F oo o1,17;17 3,31 0,302 ( ) b) P-valor (2,0): p-valor : 0,0005 < P(t34 > 3,399) < 0,001. 3de 1