Prova - Estatística 2 - 2023-1

PROVA EST002/TE - Estatistica 2: Ciéncias Contabeis Data: 04/05/2023 Valor: 30,0 pontos Professor: __ Duas populacgoes Essa prova é composta de 2 questdes que correspondem a 30 pontos da nota final da disciplina (+ 2 pontos extras). E necessario registrar, na folha de resolugao definitiva da prova todos os calculos que justifiquem sua resposta final. Nao é necessdrio resolver a prova a tinta. Ao final da prova, apenas a folha de resolugao definitiva devera ser devolvida ao professor. Portanto, é preciso que todos os calculos necessarios a defesa de sua resposta estejam organizadamente apresentados nos espacos correspondentes daquela folha. As solugdes que desrespeitarem essa instrugaéo nao serao consideradas na corregao. Solugdes que contrariam o enunciado também nao serao consideradas na correcao. Questao 1: 18 pontos Vocé e alguns amigos decidiram testar a validade de um antncio feito por uma pizzaria local que afirma entregar pizza nos dormitérios universitaérios mais rapidamente que uma filial de uma cadeia nacional de pizzarias. Tanto a pizzaria local quanto a da cadeia nacional estao localizadas do outro lado da rua do campus da universidade. Vocé define a varidvel de interesse como o tempo de entrega, em minutos, desde 0 tempo em que a pizza é encomendada até o momento em que é entregue. Vocé e seus amigos coletam os dados encomendando 10 pizzas da pizzaria local e 10 pizzas da filial da cadeia nacional, todas em horarios diferentes. Considere que as varidveis aleatérias supostamente normais e independentes, L e N, sao definidas como o tempo de entrega da pizzaria local e o tempo de entrega da pizzaria da cadeia nacional, respectivamente. Sabendo que L = 16,7 minutos; N = 18,88 minutos; s, = 3,0955 minutos e s%, = 8,215 minutos’, responda as proposigoes a seguir. 1.1) (5 pontos) E possivel afirmar corretamente que as varidncias populacionais do tempo de entrega da pizzaria local (a?) e da pizzaria da cadeia nacional (0%) sao iguais, com 95% de confianga? Hy: 07 =0% Hi: 07 40% Para responder a pergunta, aplique o teste acima pelo método tradicional. 1.2) (5 pontos) Expresse o intervalo de confiancga adequado para a fp — fn, com a = 0,05. 1.3) (5 pontos) Considere, agora, o seguinte teste Ao : 4p — Un = 0 Ay: py — py #0 e suponha que os valores das variancias populacionais podem ser expressos por suas respec- tivas estimativas de maxima verossimilhancga. Usando 0 mesmo nivel de confiancga de 95%, determine o intervalo de confianga para a diferenga média entre os tempos de entrega das pizzarias, para esse novo teste, e conclua, por meio do intervalo, se hé ou nao evidéncias para se rejeitar sua hipdtese nula. 1.4) (3 pontos) Qual deve ser o menor nivel de significancia para que a hipdtese nula do teste do item (c) nao seja rejeitada? 1de 2 Questao 2: 12 pontos + 2 pontos A tecnologia vem acarretando um crescimento na quantidade de trabalhadores extremados, que trabalham 60 horas ou mais por semana. Uma das razoes citadas pelos trabalhadores é o fato de se sentirem estimulados e desafios pelo trabalho e isso lhes proporciona um fluxo acelerado de adrenalina, segundo dados extraidos de S. Armour, "Hi, I’m Joan and I’m a Workaholic" (USA Today, 23 de maio de 2007, pp 1B, 2B). Suponha que a pesquisa realizada junto a 1564 trabalhadores tenha incluido 786 homens e 778 mulheres e que 707 homens e 638 mulheres tenham declarado que sao workaholics (viciados em trabalho) e cujo motivo é exatamente o supracitado. Vocé deseja determinar se ha evidéncias de que, proporcionalmente, as quantidades de homens e mulheres workaholics sao diferentes. 2.1) (5 pontos) Use a regiao critica mostrada abaixo (regiao colorida) para concluir, pelo método tradicional, se ha evidéncias estatisticas desfavoraveis 4 igualdade de proporgao populacional de homens e de mulheres workaholics (isto é, realize o teste pelo método tradicional). A 0: tH TM >= 0 A 1:T7H TM F 0 Distribui¢ao Normal a oO N oO ° © cs | -3 -2 -1 0 1 2 3 P(X < -1.4 ou X > 1.4) = 0.162 Note que a regiao critica esta dividida nas duas caudas da distribuigéo normal N(0,1) sob os intervalos (—oo; —1, 4) e (1, 4; 00). 2.2) (4 pontos) Use o método descritivo para concluir se ha evidéncias estatisticas desfavoraveis a igualdade de proporgao populacional de homens e mulheres workaholics. A informacgao do nivel de confianga esta disponivel no grafico colocado no enunciado do item (a) desta questao. 2.3) (5 pontos) Qual seria o intervalo de confianga para a diferenga entre as proporgdes popu- lacionais de homens e mulheres workaholics, se o nivel de significancia tivesse sido definido em 1%? 2 de 2 Solucgoes Questao 1 (18 pontos) Dados Local Nacional média L desvio-padrao sz, tamanho nz média N variancia Si tamanho ny 16,7 minutos 33,0955 minutos 10 18,88 minutos 8,215 minutos? 10 1.1) (5 pontos) Teste de igualdade de variancias Ho : 07, = 0% H,: 03 40% Estatistica de teste (2,0): 2 ST Fo = st 3,09552—- 9, 58212 = ——— = —— =1, 166418 = 1,1 8,215 8, 215 » 160418 AT Regiao critica (2,0): Fo,025;9;9 = 4, 03 fi = ! __! = 0, 2481 = 0,25 0,971;9;9 = foorss 4,03.” LU, RC = (0; 0, 25) U (4, 03; co) Conclusao (1,0): Como Fy € RC, Ho : 07 = 0% nao é rejeitada, com 95% de confianga. 3de 2 1.2) (5 pontos) Intervalo de confianga para a diferenga entre as médias com variancias iguais e desconhecidas Desvio-padrao combinado (2,0): 2 (nz — 1)s7, + (nw — 1) sin pe np+tnn — 2 212 21 2 160, 1741 _ (9X 9,58212) + (9 x 8,215) _ 86,23908-+ 73,935 160,171 aoa 18 18 18 Sp = V8, 89856 = 2, 983045 Percentil necessario (1,0): to,o25;18 = 2, 101 Intervalo de confianga (2,0): - 8 / 1 1 IC(ut — n3 0,95): L — N + too25-18 X Sp X — + — Ny nN 16,7 — 18, 88 + 2,101 x 2, 983045 x 4/ ! + ! , , , , 10 =«-:10 — 2,18 + 2,101 x 2,983045 x \/0, 4472136 —2,18+2,101 x 1,334058 — 2,18 + 5, 4936 (—7, 6736; 3, 3136) 4de 2 1.3) (5 pontos) Intervalo de confianga para diferenga entre médias com variancias conheci- das Ao : Wi — Ln = 0 Ay: py — py #0 Dados Local Nacional média L desvio-padrao oy tamanho nz média N variancia 0%, ~—tamanho ny 16,7 minutos 33,0955 minutos 10 18,88 minutos 8,215 minutos? 10 Percentil necessario (1,0): 20,975 = 1,96 Intervalo de confianga (3,0): 8 oz oO? IC(uer — fn; 0,95) : L— N + zo975 X £4 -N NL TN /9,58212 8,215 16,7 — 18,88 + 1,96 x 4/ ———— + —— 10 10 — 2,184 1,96 x /0, 958212 + 0, 8215 ~ 2,18 + 1,96 x 1,334058 —~ 2.18 + 2.614754 (—4, 794754; 0, 434754) Conclusao (1,0) : Como 0 esta contido no IC (ur — wn; 0,95), nao rejeitamos Hy : wz — Un = 0, com 95% de confianga. 1.4) (3 pontos) Teste para a diferencga entre médias com variancias conhecidas pelo método do p-valor Estatistica de teste (1,0): L—N—Ao _ 16,7—18,8— —2,1 4) = ==" = —__- 1 a ~ Th 22 o 0 9,58212 | 8,215 , Vartay Vw > io P-valor (1,0): p—valor =2 x P(Z > |Zo|) =2 x P(Z > 1,22) =2 x (1— P(Z < 1, 22)) = 2 x (1 — 0,888767) = 2 x 0, 111233 = 0, 222466 ~ 0, 22. Conclusao (1,0): Se 0 < a < 0,22, nao rejeitamos Ho : wp — pn = 0. 5 de 2 Questao 2 (14 pontos, incluindo 2 pontos extras) Dados Homens Mulheres Tamanho da amostra n total de umere de total de 2umere de homens mulheres homens mulheres ; 1654 workaholics workaholics NH lM CH tM 786 707 778 638 2.1) (5 pontos) Teste de igualdade de proporgoes pelo método tradicional Ao :-TH TM = 0 Ay, :T7H TM F 0 Estimativas pontuais (1,0): LH 707 = — = — =0,8994911 = 0,9 PH ny 726 ’ ’ LM 638 = — = — = 0,8200514 = 0, 82 PM nu 772 ’ ’ Estimativa do erro-padrao (1,0): 5 _ /pxO = px) 1 pa(1— pm) PH—-PM ny nu _ /0,8994911 x 0, 1005089 4 0, 8200514 x 0, 1799486 ~ 786 778 = 1/0, 0003046964 = 0,01745555 = 0, 0174 Estatistica de teste (2,0): — —A Zy = PH — PM 0 Spu—pm _ 0,8994911 — 0, 8200514 —-0 4.56 — 0, 01745555 ~ Regiao critica dada no enciado: RC = (—o0; -1,4) U (1, 4; 00) Conclusao (1,0): Como Z € RC, rejeitamos Hy : ty — Ty = 0, com 16,2% de significancia (ou 83,8% de confianga). 6 de 2 2.2) (4 pontos) Teste de igualdade de proporções pelo método do p-valor P-valor (2,0): p − valor = 2 × P(Z > |Z0|) = 2 × P(Z > 4, 55) = 2 × 0 = 0 Conclusão (2,0): Como p − valor < α = 0, 162, rejeitamos H0 : πH − πM = 0, com 16,2% de significância (ou 83,8% de confiança). 2.3) (5 pontos) Intervalo de confiança para a diferença de proporções Percentil necessário (2,0): z0.995 = 2, 58 Intervlo de confiança (3,0): IC(πH − πM; 0.99) : pH − pM ± z0.995 × spH−pM 0, 8994911 − 0, 8200514 ± 2, 58 × 0, 01745555 0, 0794397 ± 0, 04503532 (0, 034; 0, 124) Observação: Em algum momento é preciso verificar as suposições do modelo utilizado. Nenhuma delas é violada, nesse caso. • pHnH ≥ 5 • qHnH ≥ 5 • pMnM ≥ 5 • qMnM ≥ 5 7 de 2