Slide - Aula 15 - Teste Qui-quadrado de Indepenência - 2024-1

Cássius Henrique EST002 – Estatística II Aula 16 Análise de Variância (único fator) Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II ANOVA ▪ Considere um processo, produto ou serviço no qual queremos avaliar o impacto do fator A , tal que A tenha k níveis, sobre uma variável resposta ▪ Suponha que uma amostra de tamanho N é selecionada aleatoriamente de uma população ▪ Cada unidade amostral receberá o tratamento Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo Considere o processo de produção de uma fibra sintética, no qual o experimentador quer conhecer a influência da porcentagem de algodão na resistência da fibra. Para isto, foi realizado um experimento totalmente aleatorizado, no qual diversos níveis de porcentagem de algodão foram avaliados com respeito à resistência da fibra. Um ponto importante no planejamento do experimento é que para cada nível do fator (porcentagem de algodão), os outros fatores que influenciam o processo (como o meio ambiente, máquina, matéria prima, etc.) devem apresentar um padrão homogêneo de variabilidade. No experimento, tomamos 5 níveis para a porcentagem de algodão e 5 replicações. Fator Resistência 15 7 15 7 15 15 15 11 15 9 20 12 20 17 20 12 20 18 20 18 25 14 25 18 25 18 25 19 25 19 30 19 30 25 30 22 30 19 30 23 35 7 35 10 35 11 35 15 35 11 Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo Estrutura dos dados Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo – boxplot da variável resposta Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo ▪ É possível construir intervalos de confiança para as médias de cada nível do fator, usando as variâncias amostrais e a distribuição t Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo ▪ Resistência aumenta com a porcentagem de algodão até o nível de 30%, depois, cai ▪ Temos indicações de que variações no fator (porcentagem de algodão) provocam alterações significativas na resistência da fibra. Mas, vamos testar... Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Modelo de efeitos ▪ j = 1, 2,...., n1 e i = 1, 2,..., k ▪ m é um parâmetro comum a todos os tratamentos e representa a média geral dos dados ▪ ai é o efeito que o nível i do fator provoca na variável resposta ▪ A variável aleatória eij corresponde ao erro aleatório (variabilidade devido a outros fatores que influenciam na resposta que não foram considerados no experimento) ij i ijy e a m + + = Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Notações : soma das observações do nível i do fator A, : média das observações do nível i do fator A, : soma de todas as observações, e : média geral das observações, : total de observações.  = = in j ij i y y 1 .  = = in j ij i i y n y 1 . 1  = = = n i n j ij i y y 1 1 ..  = = = n i n j ij i y N y 1 1 .. 1  = = k i in N 1 Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Construção das Hipóteses do teste ▪ Suponha que os erros são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com ▪ Assim, ▪ Queremos avaliar o efeito que os diferentes níveis do fator provocam na variável resposta. Se denotarmos por mi = m + ai, queremos testar as hipóteses: ou Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA ▪ A técnica da ANOVA está associada à partição da variabilidade total dos dados em componentes. A soma de quadrados total é definida como medida da variabilidade total dos dados ▪ Intuitivamente isto é razoável, pois se dividirmos SQT pelos seus graus de liberdade (N – 1), obtemos a variância amostral dos dados. ▪ Somando e subtraindo yi. dentro dos parênteses, obtemos... __ Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Então, temos Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA O produto cruzado na equação anterior é nulo, pois: Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Portanto, ▪ Soma de Quadrados do Erro (SQE) é o desvio das observações em torno da média do seu nível (tratamento). Representa a variabilidade dentro de cada nível do fator A. ▪ Soma de Quadrados do Fator A (SQA) é o desvio das médias em cada tratamento (nível) em torno da média geral dos dados. Representa a variabilidade devido aos diferentes níveis do fator A. Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA ▪ Cálculo dos quadrados médios ▪ O QME é um bom estimador para a variância pois: Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Estrutura parcial da ANOVA Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Análise Estatística ▪ Vamos desenvolver um teste para avaliar a hipótese de diferenças ou não entre as médias populacionais dos níveis, isto é, Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA ▪ Como os erros eij são tais que eij ~ N(0, s²) e são independentes, as observações yij tem distribuição Normal com média m + ai e variância s² e também são independentes. Desde que yij tem distribuição Normal e são independentes, obtemos que tem distribuição Qui-quadrado com (N – 1) graus de liberdade. Da mesma forma, Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Teste ANOVA com 1 fator Estatística de teste: Tabela ANOVA completa Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Modelo ANOVA Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Avaliando a escolha do modelo ANOVA Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Avaliando a homoscedasticidade Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Voltemos ao Exemplo Considere o processo de produção de uma fibra sintética, no qual o experimentador quer conhecer a influência da porcentagem de algodão na resistência da fibra. Para isto, foi realizado um experimento totalmente aleatorizado, no qual diversos níveis de porcentagem de algodão foram avaliados com respeito à resistência da fibra. Um ponto importante no planejamento do experimento é que para cada nível do fator (porcentagem de algodão), os outros fatores que influenciam o processo (como o meio ambiente, máquina, matéria prima, etc.) devem apresentar um padrão homogêneo de variabilidade. No experimento, tomamos 5 níveis para a porcentagem de algodão e 5 replicações. Fator Resistência 15 7 15 7 15 15 15 11 15 9 20 12 20 17 20 12 20 18 20 18 25 14 25 18 25 18 25 19 25 19 30 19 30 25 30 22 30 19 30 23 35 7 35 10 35 11 35 15 35 11 Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo – continuação Estrutura dos dados Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo – continuação Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo – continuação Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo – Comparando os resultados do teste com os gráficos Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo – Comparando os resultados do teste com os gráficos Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Resultados do teste ANOVA 1 fator Method Null hypothesis All means are equal Alternative hypothesis At least one mean is different Significance level α = 0,05 Equal variances were assumed for the analysis. Factor Information Factor Levels Values Fator 5 15; 20; 25; 30; 35 Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Fator 4 475,8 118,940 14,76 0,000 Error 20 161,2 8,060 Total 24 637,0 Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Resultados do teste ANOVA 1 fator Model Summary S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 2,83901 74,69% 69,63% 60,46% Means Fator N Mean StDev 95% CI 15 5 9,80 3,35 ( 7,15; 12,45) 20 5 15,40 3,13 ( 12,75; 18,05) 25 5 17,600 2,074 (14,952; 20,248) 30 5 21,60 2,61 ( 18,95; 24,25) 35 5 10,80 2,86 ( 8,15; 13,45) Pooled StDev = 2,83901 Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exemplo – Comparando os resultados do teste com os gráficos Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Exercício 1 Na Tabela, mostrada a seguir, temos cinco grupos com cinco observações em cada grupo. Queremos saber “as diferenças nas médias amostrais são variações aleatórias que ocorrem apenas devido ao acaso ou se existem diferenças sistemáticas entre as médias”. Execute o teste com um nível de significância de 0,05. Tabela: Dados obtidos em cinco grupos num experimento inteiramente casualizado com cinco réplicas. A B C D E 6 7 4 5 3 6 8 4 5 4 6 8 5 6 4 8 8 6 6 4 9 9 6 8 5 Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Solução Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Solução Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Solução Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Solução Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Solução Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Solução Method Null hypothesis All means are equal Alternative hypothesis At least one mean is different Significance level α = 0,05 Equal variances were assumed for the analysis. Factor Information Factor Levels Values Grupo 5 A; B; C; D; E Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Grupo 4 50,00 12,500 11,36 0,000 Error 20 22,00 1,100 Total 24 72,00 Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Model Summary S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 1,04881 69,44% 63,33% 52,26% Means Grupo N Mean StDev 95% CI A 5 7,000 1,414 (6,022; 7,978) B 5 8,000 0,707 (7,022; 8,978) C 5 5,000 1,000 (4,022; 5,978) D 5 6,000 1,225 (5,022; 6,978) E 5 4,000 0,707 (3,022; 4,978) Pooled StDev = 1,04881 Solução Aula 16 Análise de Variância (único fator) Cássius Henrique EST002 – Estatística II Solução