Prova-FIS107-Variação-de-Entropia-Gás-Ideal-UFOP

1 Universidade Federal de Ouro Preto ICEB Departamento de Física Prova de FIS107 Data 2582025 Instruções Gerais 1 As soluções versão final devem ser registradas à caneta Você pode elaborar um rascunho folhas de papel serão fornecidas para tanto 1 Grandezas mencionadas na solução devem ser definidas caso não tenham sido definidas no enunciado do problema 3 Todas as respostas devem ser explicadas e justificadas Grandezas físicas pertinentes 0C 27315 K 𝑅 8314462618 J mol K constante dos gases ideais 𝑘B 1380649 1023 J K 1 eV 160217663 1019 J Relações físicas relevantes 𝐸interna 𝑛𝐶V𝑇 𝐶V 3 2 𝑅 para um gás monoatômico 𝑆 𝑆f 𝑆i 𝑑𝑄 𝑇 f 𝑖 processo reversível 𝑆 𝑘B ln 𝑊 definição de Boltzmann 2 QUESTÕES 1Variação de Entropia de Um Gás Ideal Considere um gás ideal com um número 𝑛 de mols de moléculas cujos volume e temperatura tenham evoluído de seus valores iniciais 𝑉i e 𝑇i para seus valores finais 𝑉f e 𝑇f respectivamente Solução Referência Notas de Aula a Desenvolva uma expressão para a variação de entropia 𝑆 deste gás Considere um processo termodinâmico reversível entre os estados termodinâmicos inicial i e final f Pela primeira lei da termodinâmica aplicada a uma mudança entre dois estados termodinâmicos vizinhos quasiestáticos 𝑑𝑄 𝑑𝐸interna 𝑑𝑊 𝑑𝐸interna 𝑝𝑑𝑉 Para um gás ideal temos como válidas as relações 𝑝𝑉 𝑛𝑅𝑇 e 𝐸interna 𝑛𝐶V𝑇 onde 𝑝 é a pressão 𝑇 a temperatura absoluta e 𝐶V o calor específico molar a volume constante Então 𝑑𝑆 𝑑𝑄 𝑇 𝑑𝐸interna 𝑝𝑑𝑉 𝑇 𝑛𝐶V𝑑𝑇 𝑝𝑑𝑉 𝑇 𝑛𝐶V𝑑𝑇 𝑛𝑅𝑇 𝑉 𝑑𝑉 𝑇 𝑛 𝐶V 𝑑𝑇 𝑇 𝑅 𝑑𝑉 𝑉 e 𝑆 𝑑𝑄 𝑇 f 𝑖 𝑛 𝐶V 𝑑𝑇 𝑇 𝑅 𝑑𝑉 𝑉 f 𝑖 𝑛 𝐶V 𝑑𝑇 𝑇 f 𝑖 𝑅 𝑑𝑉 𝑉 f 𝑖 𝑛 𝐶V ln 𝑇f 𝑇i 𝑅 ln 𝑉f 𝑉i b Considere o caso particular de um gás monoatômico cujos volume e temperatura absoluta tenham dobrado de valor Em termos da constante universal dos gases 𝑅 qual seria a variação de entropia por mol em unidades de JK 𝑆 𝑛 𝐶V ln 𝑇f 𝑇i 𝑅 ln 𝑉f 𝑉i então 𝑆 𝑛 𝐶V ln 𝑇f 𝑇i 𝑅 ln 𝑉f 𝑉i 𝐶Vln2 𝑅ln2 𝐶V 𝑅ln2 3 2 𝑅 𝑅 ln 2 3 2 ln2 𝑅 3 2 ln2 8314462618 J mol K 8644719482 J mol K 10 10 10 3 2Entropia Um cubo de gelo de 100 kg a 10C é colocado em um lago cuja temperatura é 15C Calcule a variação da entropia do sistema cubolago quando o cubo de gelo entra em equilíbrio térmico com o lago Calor de fusão do gelo e seu calor específico são respectivamente 333 kJ kg e 2220 J kg K O calor específico da água é 4187 J kg K Sugestão O cubo de gelo afeta a temperatura do lago Solução Referência 209 Devido ao fato de a massa do lago ser muito grande em comparação com a massa do cubo de gelo temos um processo em que durante a transferência de calor entre o cubo e o lago a temperatura deste permanece praticamente constante e na situação final de equilíbrio térmico o sistema cubolago estará totalmente transformado em água na temperatura do lago O cubo de gelo passa por três processos 1 aquecimento do cubo de gelo de massa 𝑚gelo e calor específico 𝑐gelo da temperatura 𝑇1i 10C 263 15 K à temperatura 𝑇1f 0C 27315 K 2 derretimento do cubo de gelo com calor de fusão 𝐿 3 aquecimento da água gelo derretido de massa 𝑚gelo e calor específico 𝑐água da temperatura 𝑇3i 0C 27315 K à temperatura 𝑇3f 15C 28815 K As quantidades de calor envolvidas nestes processos são respectivamente 𝑄1 𝑚gelo𝑐gelo𝑇1f 𝑇1i 𝑄2 𝐿𝑚gelo e 𝑄3 𝑚gelo𝑐água𝑇3f 𝑇3i Para os processos 1 e 3 associados ao aquecimento de um corpo de massa 𝑚 e calor específico 𝑐 cuja temperatura tenha evoluído de um valor inicial 𝑇i para um valor final 𝑇f podemos fazer uso da expressão 𝑆 𝑚𝑐 ln 𝑇f 𝑇i veja a solução do Problema 5 deste capítulo para a variação de entropia Para o processo 2 que se dá a temperatura constante fazemos uso de 𝑆 𝐿𝑚 𝑇 onde 𝐿 é o calor de fusão do gelo Obviamente a variação de entropia da massa do cubo de gelo ao longo dos processos 1 a 3 é positiva Por outro lado a variação de entropia do lago ao longo dos mesmos processos é negativa e pode ser escrita na forma 𝑆lago 𝑄lago 𝑇3f onde 𝑄lago é a quantidade de calor cedida pelo lago Obviamente 𝑄lago 𝑄1 𝑄2 𝑄3 4 Obtemos 𝑆1 𝑚gelo𝑐gelo ln 𝑇1f 𝑇1i 𝑆2 𝐿𝑚gelo 𝑇1f e 𝑆3 𝑚gelo𝑐água ln 𝑇3f 𝑇3i A variação de entropia 𝑆cubolago do sistema cubolago é 𝑆cubolago 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑆lago 𝑚gelo𝑐gelo ln 𝑇1f 𝑇1i 𝐿𝑚gelo 𝑇1f 𝑚gelo𝑐água ln 𝑇3f 𝑇3i 𝑄lago 𝑇3f 𝑚gelo𝑐gelo ln 𝑇1f 𝑇1i 𝐿𝑚gelo 𝑇1f 𝑚gelo𝑐água ln 𝑇3f 𝑇3i 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑇3f 𝑚gelo𝑐gelo ln 𝑇1f 𝑇1i 𝐿𝑚gelo 𝑇1f 𝑚gelo𝑐água ln 𝑇3f 𝑇3i 1 𝑇3f 𝑚gelo𝑐gelo𝑇1f 𝑇1i 𝐿𝑚gelo 𝑚gelo𝑐água𝑇3f 𝑇3i 𝑚gelo 𝑐gelo ln 𝑇1f 𝑇1i 𝐿 𝑇1f 𝑐água ln 𝑇3f 𝑇3i 1 𝑇3f 𝑐gelo𝑇1f 𝑇1i 𝐿 𝑐água𝑇3f 𝑇3i 𝑚gelo 𝑐gelo ln 𝑇1f 𝑇1i 𝑇1f 𝑇1i 𝑇3f 𝐿 1 𝑇1f 1 𝑇3f 𝑐água ln 𝑇2f 𝑇2i 𝑇3f 𝑇3i 𝑇3f 𝑚gelo 𝑐gelo ln 𝑇1f 𝑇1i 𝑇1f 𝑇1i 𝑇3f 𝐿 1 𝑇1f 1 𝑇3f 𝑐água ln 𝑇2f 𝑇2i 1 𝑇3i 𝑇3f O cálculo resulta em 𝑆cubolago 𝑚gelo 𝑐gelo ln 𝑇1f 𝑇1i 𝑇1f 𝑇1i 𝑇3f 𝐿 1 𝑇1f 1 𝑇3f 𝑐água ln 𝑇2f 𝑇2i 1 𝑇3i 𝑇3f 100 kg 2220 J kg K ln 27315 K 26315 K 27315 K26315 K 28815 K 333 kJ kg 1 27315 K 1 28815 K 4187 J kg K ln 28815 K 27315 K 1 27315 K 28815 K 100 kg 2220 J kg K ln 27315 26315 2731526315 28815 333 kJ kg 1 27315 1 28815 4187 J kg K ln 28815 27315 1 27315 28815 100 2220 ln 27315 26315 2731526315 28815 333 103 1 27315 1 28815 4187 ln 28815 27315 1 27315 28815 J K 100 2220 ln 27315 26315 10 28815 333 103 1 27315 1 28815 4187 ln 28815 27315 1 27315 28815 J K 100 2220 003729688 0034704147 333 103 000366099 00034704147 4187 005346008 1 0947943779 J K 100 2220 0002592733 333 103 00001905753 4187 0001403859 J K 100 575586726 634615749 5877957633 J K 75 J K 10 10 20 5 3Visão Estatística da Entropia Considere o problema de distribuir 10 moléculas idênticas entre os lados esquerdo e direito com volumes iguais de uma caixa de forma que tais lados tenhm respectivamente 𝑛1 moléculas e 𝑛2 moléculas obviamente 𝑛1 𝑛2 10 Preencha a tabela Solução Referência 2045 a identificando as configurações diferentes discriminadas pelos pares de valores 𝑛1 𝑛2 veja tabela b calculando o maior valor e o menor valor da multiplicidade 𝑊 𝑛 𝑛1 𝑛2 explicite o cálculo As configurações com menor multiplicidade são I e XI A configuração de maior multiplicidade é a VI 𝑊I 10 100 10 10 1 1 𝑊XI 10 010 10 1 10 1 𝑊VI 10 55 10 9 8 7 6 5 55 10 9 8 7 6 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 5 4 1 2 9 2 7 1 252 c Identifique as configurações com entropia 𝑆 mais baixa e mais elevada segundo a definição de Boltzmann 𝑆 𝑘B ln 𝑊 e calcule os valores correspondentes de 𝑆 em unidades de meVK Obviamente de acordo com a definição de Boltzmann as configurações com entropia mais baixa são aquelas com multiplicidades mais I e XI e a configuração com entropia mais elevada é aquela com multiplicidade mais elevada VI 𝑆I 𝑘B ln𝑊I 𝑆I 𝑘B ln1 0 𝑆XI 𝑘B ln𝑊XI 𝑘B ln1 0 𝑆VI 𝑘B ln𝑊VI 𝑘B ln252 𝑘B 1380649 1023 J K ln252 1380649 1023 160217663 1019 eV K ln252 1380649 104 160217663 ln252 eV K 04764893 meV K 5 5 5 5 10 6 Configuração Multiplicidade W Cálculo de W Entropia Número 𝑛1 𝑛2 número de microestados eVK I 10 0 10 10 0 10 10 0 1 II 9 1 III 8 2 IV 7 3 V 6 4 VI 5 5 10 5 5 10 5 5 252 VII 4 6 VIII 3 7 IX 2 8 X 1 9 XI 0 10 10 0 10 10 0 10 1 Total