Slide - Grandezas Angulares 2022-1

Vagner Braga Nunes Coelho vagnercoelho@hotmail.com Aula Nr 05 Grandezas angulares Nortes de referência Nortes de referência POLO NORTE GEOGRÁFICO POLO NORTE MAGNÉTICO NG NM NQ NV = NG Grandezas angulares verticais • 𝑧 + 𝛼 = 90° • z é a distância zenital • α é a elevação Grandezas lineares • Distância plana (𝐷𝐻) – distância medida entre dois pontos, no plano horizontal • Distância espacial ou Distância inclinada (𝐷𝐼) – distância medida entre dois pontos, em planos que seguem a inclinação da superfície do terreno • Distância vertical (𝐷𝑉) ou Diferença de nível (𝐷𝑁) – distância medida entre dois pontos, num plano vertical perpendicular ao plano horizontal Nortes de Referência • São definidos três vetores associados a cada ponto: – Norte da Quadrícula (NQ) • Ângulo que a direção qualquer faz com a paralela ao eixo Norte do Sistema de Projeção UTM • Sentido positivo de N – Norte Verdadeiro ou Geográfico (NV ou NG) • Ângulo que a direção tangente ao meridiano (geodésico) passante pelo ponto e apontado para o Pólo Norte – Norte Magnético (NM) • Ângulo que a direção tangente à linha de força do campo magnético passante pelo ponto e apontado para o Pólo Norte Magnético • Este norte sofre uma variação significativa anualmente da ordem de minutos de arco ao longo dos anos. Relação dos Nortes • Convergência Meridiana (𝛾) – Diferença angular entre o Norte de Quadrícula e o Norte Verdadeiro NQ NQ NV −𝛾 +𝛾 Convergência meridiana(  ) • No meridiano central e no equador as duas direções coincidem – 𝑁𝑉 = 𝑁𝑄 , logo  = 0° • No sistema UTM, a Convergência Meridiana Plana cresce com a latitude e com o afastamento do Meridiano Central – No Hemisfério Norte • é positiva a Este do MC e negativa a Oeste do MC – No Hemisférios Sul • é negativa a Este do MC e positiva a Oeste do MC Convergência Meridiana Convergência meridiana(  ) • é usada para transformar o azimute verdadeiro determinado, via astronomia, em plano que é referido ao norte de quadricula e vice-versa • O azimute plano é utilizado em geodésia para o cálculo das coordenadas planas (𝑁, 𝐸) do sistema UTM • O azimute verdadeiro é utilizado em topografia para o cálculo de coordenadas em sistemas locais (𝑋, 𝑌) • O azimute elipsóidico é referido a superfície elipsoidal, enquanto o azimute verdadeiro (astronômico) é referido a superfície real da Terra • A pequena diferença entre ambos pode ser negligenciada sem prejuízo na precisão de levantamentos topográficos Cálculo da Convergência Meridiana • Fórmula • Onde: – 𝜟𝝀 é a diferença de longitude entre o Meridiano Central e a longitude do ponto considerado (deve ser calculado em radianos) • Δ𝜆 = 𝜆𝑃 − 𝑀𝐶 • É necessário calcular o Meridiano Central – 𝝋 é a latitude do ponto considerado • Fornece valor aproximado, mas dentro da precisão topográfica 𝐶𝑀 = 𝛾 = ∆𝜆 ⋅ sin 𝜑 Exercício • Calcule a Convergência Meridiana do ponto abaixo discriminado: ▪ 𝜑 = 32°02′06,6"𝑆 ▪ 𝜆 = 51°14′05,4"𝑊 Solução • Dados: ▪ 𝜑 = 32°02′06,6"𝑆 ▪ 𝜆 = 51°14′05,4"𝑊 • Sabe-se que: 𝛾 = ∆𝜆 ⋅ sin 𝜑 Δ𝜆 = 𝜆𝑃 − 𝑀𝐶 𝑀𝐶 = −183° + 6 ⋅ 𝐹 𝐹 = 30 + 𝜆 6 Solução • Dado: ▪ 𝜆 = 51°14′05,4"𝑊 ⇒ 𝜆 = −51,234833° • Cálculo do Fuso 𝐹 = 30 + 𝜆 6 ⇒ 𝐹 = 30 + −51,234833° 6 ⇒ 𝐹 = 30 − 8 ⇒ 𝑭 = 𝟐𝟐 −51,234833° 6 = −8,539139 ⇒ −8 Solução • Dado: ▪ 𝐹 = 22 • Cálculo do Meridiano Central 𝑀𝐶 = −183° + 6° ⋅ 𝐹 ⇒ 𝑀𝐶 = −183° + 6° ⋅ 22 ⇒ 𝑴𝑪 = −𝟓𝟏° Solução • Dado: ▪ 𝑀𝐶 = −51° ▪ 𝜆 = −51,234833° • Cálculo do Δ𝜆 • Em radianos Δ𝜆 = 𝜆𝑃 − 𝑀𝐶 ⇒ Δ𝜆 = −51,234833° − −51° ⇒ 𝜟𝝀 = −𝟎, 𝟐𝟑𝟒𝟖𝟑𝟑° = −0°14′05,4" 𝛥𝜆 = −0,234833° ⋅ 𝜋 180° ⇒ 𝜟𝝀 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟗𝟗𝒓𝒂𝒅 Solução • Dado: ▪ 𝜑 = 32°02′06,6"𝑆 = −32,035167° ▪ 𝛥𝜆 = −0,004099𝑟𝑎𝑑 • Cálculo do 𝛾 • Em grau sexagesimal 𝛾 = ∆𝜆 ⋅ sin 𝜑 ⇒ 𝛾 = −0,004099 ⋅ sin −32,035167° ⇒ 𝛾 = −0,004099 ⋅ −0,530440 ⇒ 𝜸 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟏𝟕𝟒𝒓𝒂𝒅 𝛾 = 0,002174 ⋅ 180° 𝜋 ⇒ 𝛾 = 0,124561° ⇒ 𝜸 = +𝟎°𝟎𝟕′𝟐𝟖, 𝟒" Relação dos Nortes • Declinação Magnética (𝛿) – Diferença angular entre o Norte Magnético e o Norte Verdadeiro NM NM NV −𝛿 +𝛿 Declinação Magnética (𝛿) • Leitura direta – é indicado pela agulha da bússola • Leitura indireta – Registrada nas cartas ou mapas – Varia anualmente (Δ𝛿) • Declinação corrigida – onde n é o tempo decorrido entre a declinação registrada e o ano considerado (dado em anos) 𝛿 = 𝛿0 + 𝑛 ⋅ Δ𝛿 Exercício • Calcule a declinação magnética para o dia 26 de agosto de 2020, considerando os dados abaixo: – Declinação no local no dia 1° de janeiro de 2016: 16,6°𝑊; – Variação da declinação: 8’𝐸 Solução • Dados: – Data: 26 de agosto de 2020 • Cálculo do 𝑛: 𝑛 = 2020 + 07 ⋅ 30 + 26 365 − 2016 ⇒ 𝒏 = 𝟒, 𝟔𝟒𝟔𝟓𝟕𝟓 Solução • Dados: – 𝛿01.01.2016 = 16,6°𝑊 = −16,6° – Δ𝛿 = 8’𝐸 = 8 60 ° = 0,133333° – 𝑛 = 4,646575 𝛿 = 𝛿0 + 𝑛 ⋅ Δ𝛿 ⇒ 𝛿 = −16,6° + 4,646575 ⋅ 0,133333° • Cálculo de 𝛿 ⇒ 𝛿 = −15,980458° ⇒ 𝜹 = −𝟏𝟓°𝟓𝟖′𝟒𝟗, 𝟔𝟓" Orientação terrestre • Azimute – É o ângulo contado no sentido horário, de 0° até 360°, formado entre e a direção Norte de referência e uma direção terrestre qualquer • Rumo – É o menor ângulo que uma direção terrestre faz com a linha Norte-Sul (meridiano). O rumo pode ser contado do Norte ou do Sul (sempre a partir daquele que estiver mais próximo). Por isso nunca passa de 90°. O rumo vem obrigatoriamente acompanhado da identificação do quadrante (NE, NW, SE, SW). Por Exemplo. 80° NE, 40° SE, 30° SW, 10° NW. Orientação terrestre α N direção visada α N direção visada α N direção visada α N direção visada Azimute = α° Rumo = α° NE Azimute = α° Rumo = (180° - α°) SE Azimute = α° Rumo = (α° - 180°) SO Azimute = α° Rumo = (360° - α°) NO R R R Exercício • Determine o valor do azimute e do rumo a partir das figuras abaixo 25° N direção visada 120° N direção visada Exercício- resposta • 1. ▪ Azimute = 335° ▪ Rumo = 25° NW • 2. ▪ Azimute = 240° ▪ Rumo = 60° SW Azimutes Cálculo de Azimute • Notação: – Ponto com coordenada (x,y) desconhecida – Ponto com coordenada (x,y) conhecida • Com dois pontos conhecidos é possível determinar o Azimute Az N (x1,y1) (x2,y2) Az = ? Cálculo do Azimute • Cuidado!!! – É preciso identificar o quadrante correto! 𝐴𝑧 = tan−1 ∆𝑥 ∆𝑦 = tan−1 𝑃2.𝑥 − 𝑃1.𝑥 𝑃2.𝑦 − 𝑃1.𝑦 ∆𝑃1𝑃2𝑃3 Az N 𝑃1 𝑃2 DH ∆𝑥 ∆𝑦 𝑃3 Cálculo do Azimute 𝑃2.𝑥 > 𝑃1.𝑥 e 𝑃2.𝑦 > 𝑃1.𝑦 ⇒ 𝐴𝑧 ∈ 1°𝑄 𝛼 N 𝑃1 𝑃2 DH ∆𝑥 ∆𝑦 𝑃3 ∆𝑃1𝑃2𝑃3 𝛼 = tan−1 ∆𝑥 ∆𝑦 = tan−1 𝑃2.𝑥 − 𝑃1.𝑥 𝑃2.𝑦 − 𝑃1.𝑦 ⇒ 𝐴𝑧 = 𝛼 Cálculo do Azimute ∆𝑃1𝑃2𝑃3 𝛼 N 𝑃1 𝑃2 DH ∆𝑥 ∆𝑦 𝑃3 𝛼 = tan−1 ∆𝑥 ∆𝑦 = tan−1 𝑃2.𝑥 − 𝑃1.𝑥 𝑃2.𝑦 − 𝑃1.𝑦 𝑃2.𝑥 > 𝑃1.𝑥 e 𝑃2.𝑦 < 𝑃1.𝑦 ⇒ 𝐴𝑧 ∈ 2°𝑄 ⇒ 𝐴𝑧 = 𝛼 + 180° Cálculo do Azimute ∆𝑃1𝑃2𝑃3 𝛼 N 𝑃1 𝑃2 DH ∆𝑥 ∆𝑦 𝑃3 𝛼 = tan−1 ∆𝑥 ∆𝑦 = tan−1 𝑃2.𝑥 − 𝑃1.𝑥 𝑃2.𝑦 − 𝑃1.𝑦 𝑃2.𝑥 < 𝑃1.𝑥 e 𝑃2.𝑦 < 𝑃1.𝑦 ⇒ 𝐴𝑧 ∈ 3°𝑄 ⇒ 𝐴𝑧 = 𝛼 + 180° Cálculo do Azimute ∆𝑃1𝑃2𝑃3 𝛼 N 𝑃1 𝑃2 DH ∆𝑥 ∆𝑦 𝑃3 𝑃2.𝑥 < 𝑃1.𝑥 e 𝑃2.𝑦 > 𝑃1.𝑦 ⇒ 𝐴𝑧 ∈ 4°𝑄 𝛼 = tan−1 ∆𝑥 ∆𝑦 = tan−1 𝑃2.𝑥 − 𝑃1.𝑥 𝑃2.𝑦 − 𝑃1.𝑦 ⇒ 𝐴𝑧 = 𝛼 + 360° Exercício • Dados as coordenadas abaixo, calcule o Azimute Az12 e Az21 entre os pontos P1 e P2: ✓(P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ✓(P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) ✓(P1.x,P1.y) = (0,00; 50,00) ✓(P2.x,P2.y) = (25,00; -75,00) Solução – 1° exercício • Dados: ✓(P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ✓(P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) Az N (x1,y1) (x2,y2) 𝐴𝑧 > 270° ⇒ 𝐴𝑧 ∈ 4°𝑄 Solução – 1° exercício • Dados: ✓(P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ✓(P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) 𝐴𝑧 = tan−1 ∆𝑥 ∆𝑦 = tan−1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 ⇒ 𝑨𝒛 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝑷𝟐.𝒙 − 𝑷𝟏.𝒙 𝑷𝟐.𝒚 − 𝑷𝟏.𝒚 Solução – 1° exercício • Dados: ✓(P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ✓(P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) 𝐴𝑧 = tan−1 𝑃2.𝑥 − 𝑃1.𝑥 𝑃2.𝑦 − 𝑃1.𝑦 ⇒ 𝐴𝑧 = tan−1 −425,00 − (+100,00) (+375,00) − (+250,00) Solução – 1° exercício • Dados: ✓(P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ✓(P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) 𝐴𝑧 = tan−1 −425,00 − (+100,00) (+375,00) − (+250,00) ⇒ 𝐴𝑧 = tan−1 −525,00 +125,00 Solução – 1° exercício • Dados: ✓(P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ✓(P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) 𝐴𝑧 = tan−1 −525,00 +125,00 ⇒ 𝐴𝑧 = tan−1(−4,20) Solução – 1° exercício • Dados: ✓(P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ✓(P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) 𝐴𝑧 = tan−1 −4,20 ⇒ 𝑨𝒛 = −𝟕𝟔, 𝟔𝟎𝟕𝟓𝟎𝟐𝟐𝟓° Az N (x1,y1) (x2,y2) 𝐴𝑧 < 0° ⇒ 𝑆𝑜𝑚𝑎𝑟 360° Solução – 1° exercício • Dados: ✓(P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ✓(P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) 𝐴𝑧 = 360° − 76,60750225° ⇒ 𝐴𝑧 = 283,392498° 𝐴𝑧 = 283,392498° ⇒ 𝑨𝒛 = 𝟐𝟖𝟑°𝟐𝟑′𝟑𝟐, 𝟗𝟗" Exercício - resposta • 𝐴𝑧12 = 283,392498° • 𝐴𝑧21 = 103,392498° • 𝐴𝑧12 = 168,690068° • 𝐴𝑧21 = 348,690068° Azimute e Contra-azimute 𝐶𝐴𝑧 = 𝐴𝑧 + 180° Observação: Caso os azimutes calculados forem maiores do que 360°, basta reduzi-lo. Az N (M1.x,M1.y) (P1.x,P1.y) N CAz Az Exercício • Dados as coordenadas abaixo, calcule o Azimute Az12 e Az21 entre os pontos P1 e P2: ▪ (P1.x,P1.y) = (100,00; 250,00) ▪ (P2.x,P2.y) = (-425,00; 375,00) • Resposta ▪ 𝐴𝑧12 = 283,392498° ▪ 𝐴𝑧21 = 103,392498° 𝐶𝐴𝑧 = 𝐴𝑧 + 180° ⇒ 𝐴𝑧21 = 𝐴𝑧12 + 180° Transporte de azimutes Transporte de Azimute 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 = 𝐴𝑧𝑝 − 180° + 𝐻𝑀1𝑃1 AzM2P1 N (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y) HM1P1 dM2P1 dM2M1 Azp (M1.x,M1.y) DH N Azp Observação: Deve-se corrigir o Az calculado, se for o caso. Az não pode ser negativo 𝐴𝑧𝑛 = 𝐴𝑧𝑛 − 1 − 180° + 𝐻𝑛+1,𝑛−1 Genericamente, tem-se: Exercício • Sejam os pontos sucessivos 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3. A partir dos dados abaixo, calcule o 𝐴𝑧𝑃2𝑃3: – 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 = 127° 37’ 45” – 𝑑𝑃2𝑃1 = 67° 23’ 17” – 𝑑𝑃2𝑃3 = 16° 39’ 46” Transporte de Azimute AzP2P1 N (P2.x,P2.y) (P3.x,P3.y) HP3P1 dP2P3 dP2P1 AzP1P2 (P1.x,P1.y) DH N AzP1P2 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 = 127° 37’ 45” 𝑑𝑃2𝑃1 = 67° 23’ 17” 𝑑𝑃2𝑃3 = 16° 39’ 46” Exercício - análise • 𝐴𝑧𝑛 = 𝐴𝑧𝑛−1 − 180° + 𝐻𝑛+1,𝑛−1 • 𝐴𝑧𝑛 = 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 • 𝐴𝑧𝑛 − 1 = 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 • 𝐻𝑛+1,𝑛−1 = 𝐻𝑃3𝑃1 = 𝑑𝑃2𝑃3 − 𝑑𝑃2𝑃1 Solução • Dados: – 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 = 127° 37’ 45” – 𝑑𝑃2𝑃1 = 67° 23’ 17” – 𝑑𝑃2𝑃3 = 16° 39’ 46” • Pede-se: – 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 𝐴𝑧𝑛 = 𝐴𝑧𝑛 − 1 − 180° + 𝐻𝑛+1,𝑛−1 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 − 180° + 𝐻𝑃3𝑃1 𝐻𝑃3𝑃1 = 𝑑𝑃2𝑃3 − 𝑑𝑃2𝑃1 Solução • Dados: – 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 = 127° 37’ 45” – 𝑑𝑃2𝑃1 = 67° 23’ 17” – 𝑑𝑃2𝑃3 = 16° 39’ 46” • Pede-se: – 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 − 180° + (𝑑𝑃2𝑃3 − 𝑑𝑃2𝑃1) 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 − 180° + 𝐻𝑃3𝑃1 Solução • Dados: – 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 = 127° 37’ 45” – 𝑑𝑃2𝑃1 = 67° 23’ 17” – 𝑑𝑃2𝑃3 = 16° 39’ 46” • Pede-se: – 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 − 180° + 𝑑𝑃2𝑃3 − 𝑑𝑃2𝑃1 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = 127°37′45"−180°+16°39′46" − 67°23′17" Solução • Dados: – 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 = 127° 37’ 45” – 𝑑𝑃2𝑃1 = 67° 23’ 17” – 𝑑𝑃2𝑃3 = 16° 39’ 46” • Pede-se: – 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = 127°37′45"−180°+16°39′46" − 67°23′17" ⇒ 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = −103°05′46" Solução • Dados: – 𝐴𝑧𝑃1𝑃2 = 127° 37’ 45” – 𝑑𝑃2𝑃1 = 67° 23’ 17” – 𝑑𝑃2𝑃3 = 16° 39’ 46” • Pede-se: – 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = −103°05′46" 𝐴𝑧𝑃2𝑃3 = 360° − 103°05′46" ⇒ 𝑨𝒛𝑷𝟐𝑷𝟑 = 𝟐𝟓𝟔°𝟓𝟒′𝟏𝟒" 𝑆𝑒 𝐴𝑧 < 0° ⇒ 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑟 360° Irradiação Irradiamento ou Irradiação Az N (M1.x,M1.y) (P1.x,P1.y)=? DH Serve para realizar o transporte de coordenadas Observação: DH é a distância plana Irradiamento ou Irradiação Az N M1 P1 DH ∆𝑥 ∆𝑦 C ∆𝑀1𝐶𝑃1 ∆𝑦 = 𝐷𝐻 ⋅ cos 𝐴𝑧 ∆𝑥 = 𝐷𝐻 ⋅ sin 𝐴𝑧 ∆𝑥 = 𝑃1.𝑥 − 𝐶𝑥 ∆𝑦 = 𝐶𝑦 − 𝑀1.𝑦 Irradiamento ou Irradiação Az N M1 P1 DH ∆𝑥 ∆𝑦 C ∆𝑀1𝐶𝑃1 𝑷𝟏.𝒙 = 𝑪𝒙 + ∆𝒙 𝑷𝟏.𝒚 = 𝑴𝟏.𝒚 + ∆𝒚 𝐶𝑥 = 𝑀1.𝑥 𝐶𝑦 = 𝑃1.𝑦 ∆𝑦 = 𝐷𝐻 ⋅ cos 𝐴𝑧 ∆𝑥 = 𝐷𝐻 ⋅ sin 𝐴𝑧 Irradiamento ou Irradiação Az N (M1.x,M1.y) (P1.x,P1.y)=? 𝑃1.𝑥 = 𝑀1.𝑥 + 𝐷𝐻. sin 𝐴𝑧 DH 𝑃1.𝑦 = 𝑀1.𝑦 + 𝐷𝐻. cos 𝐴𝑧 Irradiamento – caso geral 𝐴𝑧 = 𝐴𝑧𝑀1𝑀2 + 𝐻21 Az N (M1.x,M1.y) (P1.x,P1.y)=? H21 d2 d1 AzM1M2 (M2.x,M2.y) DH Observação: Caso o azimute calculado for maior do que 360°, basta reduzi-lo. 𝑃1.𝑥 = 𝑀1.𝑥 + 𝐷𝐻. sin 𝐴𝑧 𝑃1.𝑦 = 𝑀1.𝑦 + 𝐷𝐻. cos 𝐴𝑧 Exercício • Calcule as coordenadas do ponto P1 a partir dos seguintes dados: ✓M1 = (100,00; 1.400,00) ✓M2 = (200,00; 1.750,00) ✓dM2M1 = 30°30’ ✓dM2P1 = 45°00’ ✓DHM2P1 = 150,36m Solução – Análise • Dados: ✓M1 = (100,00; 1.400,00) ✓M2 = (200,00; 1.750,00) ✓dM2M1 = 30°30’ ✓dM2P1 = 45°00’ ✓DHM2P1 = 150,36m AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) Solução – Análise • Dados: ✓ M1 = (100,00; 1.400,00) ✓ M2 = (200,00; 1.750,00) ✓ dM2M1 = 30°30’ ✓ dM2P1 = 45°00’ ✓ DHM2P1 = 150,36m AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y)=? DHM2P1 dM2M1 dM2P1 Solução – Análise • Dados: ✓ M1 = (100,00; 1.400,00) ✓ M2 = (200,00; 1.750,00) ✓ dM2M1 = 30°30’ ✓ dM2P1 = 45°00’ ✓ DHM2P1 = 150,36m AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y)=? DHM2P1 dM2M1 dM2P1 • Precisamos identificar – O Azimute entre os pontos 𝑀2 e 𝑃1 (𝐴𝑧𝑀2𝑃1) 𝑃1.𝑥 = 𝑀2.𝑥 + 𝐷𝐻𝑀2𝑃1. sin 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 𝑃1.𝑦 = 𝑀2.𝑦 + 𝐷𝐻𝑀2𝑃1. cos 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 Solução – Análise AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y)=? DHM2P1 dM2M1 dM2P1 N AzM2P1 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 = 𝐴𝑧𝑀1𝑀2 − 180° + 𝐻𝑃1𝑀1 𝐻𝑃1𝑀1 = 𝑑𝑀2𝑃1 − 𝑑𝑀2𝑀1 Solução - análise • O que precisa ser calculado? – 𝐴𝑧𝑀1𝑀2 – 𝐻𝑃1𝑀1 AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y)=? DHM2P1 dM2M1 dM2P1 N AzM2P1 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 = 𝐴𝑧𝑀1𝑀2 − 180° + 𝐻𝑃1𝑀1 Solução – Cálculo 𝐴𝑧𝑀2𝑀1 • Dados: ✓ M1 = (100,00; 1.400,00) ✓ M2 = (200,00; 1.750,00) ✓ dM2M1 = 30°30’ ✓ dM2P1 = 45°00’ ✓ DHM2P1 = 150,36m AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y)=? DHM2P1 dM2M1 dM2P1 𝐴𝑧𝑀1𝑀2 = tan−1 𝑀2.𝑥 − 𝑀1.𝑥 𝑀2.𝑦 − 𝑀1.𝑦 = tan−1 200 − 100 1750 − 1400 ⇒ 𝑨𝒛𝑴𝟏𝑴𝟐 = 𝟏𝟓°𝟓𝟔′𝟒𝟑, 𝟒𝟑" Solução – Cálculo 𝐻𝑀1𝑃1 • Dados: ✓ M1 = (100,00; 1.400,00) ✓ M2 = (200,00; 1.750,00) ✓ dM2M1 = 30°30’ ✓ dM2P1 = 45°00’ ✓ DHM2P1 = 150,36m AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y)=? DHM2P1 dM2M1 dM2P1 𝐻𝑃1𝑀1 = 𝑑𝑀2𝑃1 − 𝑑𝑀2𝑀1 ⇒ 𝑯𝑷𝟏𝑴𝟏 = 𝟏𝟒°𝟑𝟎′ Solução – Cálculo 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 • Dados: ✓ M1 = (100,00; 1.400,00) ✓ M2 = (200,00; 1.750,00) ✓ dM2M1 = 30°30’ ✓ dM2P1 = 45°00’ ✓ DHM2P1 = 150,36m AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y)=? DHM2P1 dM2M1 dM2P1 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 = 𝐴𝑧𝑀1𝑀2 − 180° + 𝐻𝑃1𝑀1 ⇒ 𝑨𝒛𝑴𝟐𝑷𝟏 = 𝟐𝟏𝟎°𝟐𝟔′𝟒𝟑, 𝟒𝟑" Solução – Cálculo P1 • Dados: ✓ M1 = (100,00; 1.400,00) ✓ M2 = (200,00; 1.750,00) ✓ dM2M1 = 30°30’ ✓ dM2P1 = 45°00’ ✓ DHM2P1 = 150,36m • Calculados: o 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 = 210°26′43,43" AzM1M2 N (M1.x,M1.y) (M2.x,M2.y) (P1.x,P1.y)=? DHM2P1 dM2M1 dM2P1 𝑃1.𝑥 = 𝑀2.𝑥 + 𝐷𝐻𝑀2𝑃1. sin 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 ⇒ 𝑷𝟏.𝒙 = 𝟏𝟐𝟑, 𝟖𝟏𝟎 𝑃1.𝑦 = 𝑀2.𝑦 + 𝐷𝐻𝑀2𝑃1. cos 𝐴𝑧𝑀2𝑃1 ⇒ 𝑷𝟏.𝒚 = 𝟏. 𝟔𝟐𝟎, 𝟑𝟕𝟑 Exercício • Calcule as coordenadas do ponto P1 a partir dos seguintes dados: ✓M1 = (100,00; 1.400,00) ✓M2 = (200,00; 1.750,00) ✓dM2P1 = 30°30’ ✓dM2M1 = 45°00’ ✓DHM2P1 = 150,36m Exercício - resposta 𝑃1 = (196,207; 1.599,688) Até a próxima...