Cartografia e Topografia pdf

Topografia e Cartografia Jorge Miguel Nucci Marco Antonio Albano Moreira In Memorian, segundo Carlos Lopes Engenharia Ambiental Jorge Miguel Nucci Marco Antonio Albano Moreira In Memorian, Segundo Carlos Lopes Topografia e Cartografia UNIDADE 1\nElementos de topografia . . . . . . . . . . . SUMÁRIO UNIDADE 1 Elementos de topografia 1.1 Introdução à topografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Divisão da topografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.1.2 Sistemas de coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.1.3 Superfícies terrestres de referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.1.3.1 Modelo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.1.3.2 Modelo elipsoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.1.3.3 Modelo geoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.1.3.4 Modelo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.1.4 Limite da topografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.1.5 Classificação dos erros de observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.1.5.1 Erros grosseiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.1.5.2 Erros sistemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.1.5.3 Erros acidentais ou aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.1.6 Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.1.6.1 Escalas usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1.1.7 Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1.1.8 Equipamentos auxiliares da topografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1.1.9 Medição de distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1.1.9.1 Medição direta de distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1.1.9.2 Trena de fibra de vidro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 1.1.9.3 Piquetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 1.1.9.4 Estacas testemunhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 1.1.9.5 Balizas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 1.1.9.6 Nível de cantoneira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.1.10 Medição de distância com trena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.1.10.1 Medida em lance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.1.10.2 Cuidados técnicos com as medições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 1.1.10.3 Medidas em vários lances em terrenos inclinados . . . . . . . . . . .29 1.1.11 Medição indireta de distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 1.1.12 Precisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 1.1.13 Medidas de distância com trena de aço para alta precisão . . . . . . . . . . . . .30 1.1.14 Medida de uma linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 1.1.15 Levantamento usando apenas trena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.1.15.1 Medida de um ângulo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.1.15.2 Medida de um ângulo reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.1.16 Cálculo de área de uma figura qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 1.1.17 Direção norte-sul e norte-sul verdadeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 1.1.18 Mapas isogônicos e isopóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 1.1.18.1 Carta isopórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 1.1.18.2 Carta isogônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 1.1.19 Rumos e azimutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 1.1.19.1 Rumos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 1.1.19.2 Azimutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 1.1.20 Aviventação de rumo ou azimute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 UNIDADE 2 Métodos de levantamento planimétrico 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2 Técnicas de levantamento planimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Classificação das poligonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1 Poligonal aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 2.3.2 Poligonal fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 2.3.3 Poligonal secundária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 2.4 Levantamento e cálculo de poligonais fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.1 Levantamento da poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 2.5 Levantamento com amarração dos detalhes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.1 Utilização dos métodos de levantamento dos detalhes . . . . . . . . . . . . . . .53 2.5.1.1 Amarração por coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 2.5.1.2 Amarração por coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 2.5.1.3 Cálculo da área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 2.5.1.4 Método da triangulação ou interseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 2.6 Cálculo analítico da poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.1 Verificação do erro de fechamento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 2.6.2 Compensação de erro de fechamento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 2.6.3 Cálculo dos azimutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 2.6.4 Cálculo das coordenadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 2.6.5 Cálculo das coordenadas totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 2.6.6 Verificação do erro de fechamento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 2.6.7 Erro de fechamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 2.6.8 Erro relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 2.6.9 Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 2.6.10 Correção das coordenadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 2.6.11 Cálculo de um polígono pelo método das coordenadas totais . . . . . . . . . .60 2.6.12 Cálculo de rumo e distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 2.6.13 Orientação do rumo em função dos sinais das coordenadas . . . . . . . . . . .64 2.6.14 Partes que compõem o memorial descritivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 2.6.15 Memorial descritivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 UNIDADE 3 Altimetria 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Influência da curvatura terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3 Tipos de nivelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.1 Nivelamento taqueométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 3.3.2 Nivelamento trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 3.3.3 Nivelamento barométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 3.3.4 Nivelamento geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 3.3.5 Tipos de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 3.4 Nivelamento geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4.1 Nivelamento geométrico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 3.4.2 Nivelamento geométrico composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 3.4.3 Tolerância de nivelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 3.4.3.1 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 3.4.3.2 Cuidados para melhorar a precisão dos nivelamentos . . . . . . . . .79 3.5 Taqueometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6 Curva de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6.1 Formas das curvas de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 3.6.2 Convenções topográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 3.6.2.1 Representação por platôs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 3.6.2.2 Representação por curvas de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 3.6.3 Triangulação para interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 3.6.4 Classificação do relevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 3.6.5 Terraplenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 3.6.6 Cálculo da cota de compensação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 3.6.7 Cálculo da área de seção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 3.6.8 Volume do aterro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 3.7 Modelagem numérica do terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.7.1 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 UNIDADE 4 Cartografia 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2 Conceito de carta ou mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3 Modelos da superfície terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.1 O elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 4.3.1.1 Raios de curvatura sobre o elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 4.3.2 O geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 4.4 Elipsoides no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5 Meridianos e paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6 Latitude e longitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.7 Sistema de projeção cartográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.7.1 Classificação dos sistemas de projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 4.7.1.1 Quanto à propriedade que conservam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 4.7.1.2 Quanto à orientação do eixo da superfície de projeção . . . . . . .119 4.7.1.3 Designação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 4.8 Nomenclatura de folhas de topografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.9 Sistema de projeção universal transverso de Mercator (UTM) . . . . 123 4.9.1 Quadrículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 4.9.2 Fator escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 4.10 Transporte de distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.10.1 Transporte de distâncias topográficas para diferentes altitudes . . . . . . . .130 4.10.2 Transporte de distância da altitude H para o geoide . . . . . . . . . . . . . . . . .131 4.10.3 Transporte de distância ao elipsoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 4.10.4 Projeção da distância elipsoidal sobre o plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 4.10.5 Sequência de cálculo para distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 4.11 Azimutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.11.1 Azimute topográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 4.11.2 Azimute plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 4.11.3 Azimute elipsóidico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 4.12 Convergência meridiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.13 Redução angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.14 Ângulo geodésico e ângulo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11 1.1 Introdução à topografia Etimologicamente a palavra TOPOS, em grego, significa lugar e GRAPHEN descrição. Assim, de uma forma bastante simples, topografia significa descrição do lugar, podendo ser definida como nos excertos a seguir: A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e métodos utiliza- dos para obter a representação gráfica de uma porção do terreno sobre uma superfície plana (DOUBEK, 1989). A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre (ESPARTEL, 1987). As operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a posterior representação, denominam-se de Levantamento Topográfico. De acordo com a Norma Brasileira para execução de Levantamento Topo- gráfico (NBR 13133), este é definido por: Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas to- pográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua re- presentação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com eqüidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados (ABNT, 1991, p. 3). A Topografia pode ser entendida como parte da Geodésia, ciência que tem por objetivo determinar a forma e dimensões da Terra. Topografia é a arte de representar numa folha de papel, chamada planta ou carta, uma superfície terrestre de pequena dimensão com seus limites acidentais, naturais e artificiais, figurantes na área considerada, com expressão do seu relevo e sem levar em consideração a curvatura resultante da esfericidade terrestre. 1.1.1 Divisão da topografia Classicamente a Topografia é dividida em Topometria e Topologia. A Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores do terreno e das leis que regem o seu modelado. 12 A Topometria estuda os processos clássicos de medição de distâncias, ân- gulos e desníveis, cujo objetivo é a determinação de posições relativas de pontos. Pode ser dividida em planimetria e altimetria. Tradicionalmente o levantamento topográfico pode ser dividido em duas par- tes: o levantamento planimétrico, em que se procura determinar a posição plani- métrica dos pontos (coordenadas X e Y) e o levantamento altimétrico, cujo objetivo é determinar a cota ou altitude de um ponto (coordenada Z). A realização simultâ- nea dos dois levantamentos dá origem ao chamado levantamento planialtimétrico. A Figura 1 ilustra o resultado de um levantamento planialtimétrico de uma área. Figura 1 Representação de um levantamento planialtimétrico. A Topografia é a base para diversos trabalhos de engenharia, nos quais o conhecimento das formas e dimensões do terreno se faz importante. Alguns exemplos de aplicação são: projetos e execução de estradas; • grandes obras de engenharia como pontes, portos, viadutos, túneis, etc.; • locação de obras; • trabalhos de terraplenagem; • monitoramento de estruturas; • planejamento urbano; • irrigação e drenagem; • • reflorestamentos, etc. 13 Em diversos trabalhos a Topografia está presente na etapa de planeja- mento e projeto, fornecendo informações sobre o terreno, na execução e acom- panhamento da obra, realizando locações e fazendo verificações métricas e, finalmente, no monitoramento da obra após sua execução, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas. 1.1.2 Sistemas de coordenadas cartesianas Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordena- das relativas de pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. Quando se posiciona um ponto, nada mais se está fazendo que lhe atribuindo coordenadas, que por sua vez deverão estar referen- ciadas em um sistema de coordenadas. No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangular ou cartesiano. Esse é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si (Figura 2). A origem desse sistema é o cruzamento dos eixos X e Y. Figura 2 Sistema de coordenadas cartesianas. Um ponto é definido nesse sistema a partir de uma coordenada denomina- da abscissa (coordenada X) e outra, denominada ordenada (coordenada Y). Um dos símbolos P (x,y) ou P = (x,y) são utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y. Na Figura 3 é apresentado um sistema de representação de pontos, cujas coordenadas da origem são O (0,0). Nele estão representados os pontos A (10,10), B (15,25) e C (20,-15). 14 Figura 3 Sistema de representação de pontos no sistema de coordenadas cartesianas. 1.1.3 Superfícies terrestres de referência Devido às irregularidades da superfície terrestre utilizam-se, para a sua representação, modelos simples, regulares e geométricos e que mais se aproxi- mam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um desses modelos têm sua aplicação e, quanto mais complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre essa superfície. 1.1.3.1 Modelo esférico Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre essa esfera a par- tir de sua latitude e longitude. Tratando-se de Astronomia, essas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas. A Figura 4 ilustra essas coordenadas. • Latitude Astronômica ( Φ): é o arco de meridiano contado desde o Equa- dor até o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfé- rio Norte e negativa no hemisfério Sul. • Longitude Astronômica ( Λ): é o arco de Equador contado desde o meri- diano de origem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção, a longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich. 15 Figura 4 Terra esférica: coordenadas astronômicas. 1.1.3.2 Modelo elipsoidal A Geodésia adota como modelo o elipsoide de revolução (Figura 5). Tam- bém chamado de biaxial, o elipsoide de revolução é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semielipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução), se tal eixo for o menor tem-se um elipsoide achatado. Há mais de 70 diferentes elipsoides de revolução e são utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo todo. Um elipsoide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semieixos a (maior) e b (menor). Em Geodésia, é tradicional considerar como parâmetros o semieixo maior a e o achatamento f, expresso pela equação: f a b a = − onde: a: semieixo maior da elipse. b: semieixo menor da elipse. Figura 5 Elipsoide de revolução. 16 1.1.3.3 Modelo geoidal O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na Figura 6 são representados de forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsoide e o geoide. Figura 6 Superfície física da Terra, elipsoide e geoide. 1.1.3.4 Modelo plano Considera-se a porção da Terra em estudo como sendo plana. É a simpli- ficação utilizada pela Topografia. Essa aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Porém, face aos erros decor- rentes dessas simplificações, esse plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para esse plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 para execução de levantamento topográfico (1994) admite um plano com aproximadamente 80 km. 1.1.4 Limite da topografia O efeito da curvatura na distância nos impõe o limite de ação da topografia conforme demonstrado a seguir com base nas Figuras 7 e 8. 17 Figura 7 Representação simplificada da Terra e seus modelos. Figura 8 Correlação entre representação na curva e no plano. H H’: Plano topográfico. R: Raio da Terra (adotaremos 6.360 km). A: Ponto de tangência. α: 0o30’. Erro d a = − Cálculo de d: tg d R d tg R d Km α α = = ⋅ = . , 55 50288 Cálculo de a: 2 360 0 30 πR a o o   ’ 18 a R a Km erro erro o o = ⋅ ⋅ = = − = Π 0 30 180 55 50147 55 50288 55 50147 0 00 ' , , , , 1141 1 41 Km metros ou , 1.1.5 Classificação dos erros de observação Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grande- zas como direções, distâncias e desníveis. Essas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. As fontes de erro poderão ser: Condições ambientais: erros causados pelas variações das condições • ambientais como vento, temperatura, etc. Exemplo: variação do compri- mento de uma trena com a variação da temperatura. Instrumentais: erros causados por problemas como a imperfeição na cons- • trução ou ajuste de equipamentos. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida adotando-se técnicas de verificação/retificação, calibra- ção e classificação, além de técnicas particulares de observação. Pessoais: erros causados por falhas humanas, como falta de atenção ao • executar uma medição, cansaço, etc. Os erros, causados por esses três elementos apresentados anteriormente, poderão ser classificados em: erros grosseiros, erros sistemáticos e erros aci- dentais ou aleatórios. 1.1.5.1 Erros grosseiros Causados por engano na medição, na leitura dos instrumentos, na identifica- ção de alvo, etc., normalmente estão relacionados com a desatenção do observa- dor ou a uma falha no equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar sua ocorrência ou detectar sua presença. A repetição de leituras é uma forma de se evitar erros grosseiros. Alguns exemplos de erros grosseiros: anotar 196 ao invés de 169; • engano na contagem de lances (trenadas) durante a medição de uma • distância com trena. 19 1.1.5.2 Erros sistemáticos São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determi- nados seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas, podem ser evitados por meio de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados, mediante a aplicação de fórmulas específi- cas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho. Exemplos de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos por meio de fórmulas específicas: efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor • eletrônico de distância; correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura. • 1.1.5.3 Erros acidentais ou aleatórios São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido elimina- dos. São erros que não seguem tipo algum de lei e ora ocorrem num sentido, ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande. 1.1.6 Escalas É comum em levantamentos topográficos a necessidade de representar no papel uma certa porção da superfície terrestre. Para que isso seja possível, te- remos que representar as feições levantadas em uma escala adequada para os fins do projeto. De forma simples, podemos definir escala com sendo a relação entre o valor de uma distância medida no desenho e sua correspondente no terre- no. A NBR 8196 (1999), que trata dos procedimentos do emprego de escalas em desenho técnico, define escala como sendo a relação da dimensão linear de um elemento e/ou um objeto apresentado no desenho original para a dimensão real do mesmo e/ou do próprio objeto. Escala é uma relação constante que existe entre o desenho e o natural, a escala é adimensional, é usada para ampliação ou redução. Obs.: No nosso caso usaremos sempre para redução. E D = d ( ) ( ) natural desenho 1 E d = D 20 Uma escala é dita grande quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo: 1:50, 1:100, 1:200, etc.). Já uma escala pequena possui o denomina- dor grande (1:10.000, 1:500.000, etc.). Como já foi dito, o valor da escala é adimensional, ou seja, não tem dimen- são (unidade). Escrever 1:200 significa que uma unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno. Desenho Terreno 1 cm 200 cm 1 cm 2 m 1 cm 0,002 Km 1.1.6.1 Escalas usuais 1:100 a 1:500 Representação de todos os acidentes do terreno, naturais a) ou artificiais. 1:500 a 1:2.000 Levantamento de pequenas áreas, loteamentos urbanos, b) estradas de rodagem. 1:2000 a 1:5.000 Levantamento de propriedades de extensão média (fazen- c) da mais ou menos de 400 alqueires do tipo paulista). 1:10.000 a 1:20.000 Levantamento de grandes propriedades, cadastro d) fazendário. 1:50.000 a 1:100.000 Folha topográfica de grandes regiões administrativas. e) 1:500.000 a 1:2.000.000 Cartas geográficas de países. f) Exemplo: Realizou-se uma medida no campo com uma extensão de 525,456 metros. Queremos saber qual a correspondente a essa medida no desenho que se en- contra na escala 1:500. 1 1 500 525 456 1 525 456 500 1 051 E d D d d d m = = = ∗ = , , , 21 E D = d ( ) ( ) natural desenho , é usual deixar o numerador sendo a unidade, portanto a fórmula passará a ser: 1 E d = D Exemplos: Representar no desenho o comprimento de 432,45 metros em escala 1. 1:500. 1 1 500 432 45 432 45 500 0 87 E d D d d m d m = ⇒ = ⇒ = ⇒ = , , / , . Na planta (desenho) medimos uma distância AB de 28,4 centímetros na 2. escala 1:300. Qual a distância real AB? 1 1 300 28 4 28 4 300 8 520 85 20 E d D cm D D cm D cm D m = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = , , * . , ou . Medindo-se os lados 0,15 metros e 0,08 metros de uma figura retangular 3. (no desenho) na escala 1:200. Deseja-se saber qual a área real. 1 0 15 200 30 1 0 08 200 16 E d D D m D m E d D D m D m = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = , * , * Área lado lado Área m m Área m = ⇒ = ⇒ = * * 30 16 480 2 Obs.: Nunca devemos extrair uma medida de um desenho e considerá-la correta, pois a folha pode ter sofrido uma deformação e o instrumento usado para medir pode estar fora das dimensões apresentadas e, por tais motivos, ob- teríamos um resultado falso. Agora, se precisamos comprar fios de arames para fazermos uma cerca, nesse caso, sim, podemos extrair as medidas do desenho, pois o possível erro não causaria problema algum. 22 Escala Gráfica O uso desse instrumento tem suas vantagens, pois a escala gráfica acom- panha as alterações que o papel sofrer. Para podermos tê-la, é preciso definir antes a escala numérica. Exemplo: Vamos construir uma escala gráfica com apoio na escala numé- rica 1:1.000 de 10 em 10 metros. 1 1000 10 10 1000 0 010 = = = d d d , Como extrair uma medida usando uma escala gráfica? Com o uso de um compasso e medindo da direita para a esquerda extraí- mos a medida desejada, que no exemplo é de 22 metros. Existe no mercado uma ferramenta chamada escalímetro, foi fabricada sob a seguinte fórmula de escala 1 E d = D . Esses aparelhos possuem como unidade o metro. Podemos observar que o escalímetro é uma escala gráfica. Precisão Gráfica É a menor representação que podemos executar em um desenho, que se- gundo as normas do desenho técnico é de 1/5 do milímetro ou 0,0002 milímetro. Por essa razão podemos determinar a menor representação no desenho em função de sua escala. 23 e=0,0002 * E Exemplo na escala 1/100 o e = 2 cm. 1.1.7 Unidades de medidas Linear – metro (m) Superfície – are 1 are = 100 m2 1 hectare (ha) = 10.000 m2 (unidade oficial) Medidas agrárias 1 alqueire (alq.) = 24.000 m2 (tipo paulista) 1 alqueire (alq.) = 48.000 m2 (alqueirão) Angular – Sexagesimal (circunferência dividida em 360 partes – “grau”) Centesimal (circunferência dividida em 400 partes – “grado”) 1.1.8 Equipamentos auxiliares da topografia baliza a) ficha b) corrente do agrimensor c) trena de pano ou lona d) trena de aço e) fita de fibra ou aço f) caderneta de campo g) 1.1.9 Medição de distâncias 1.1.9.1 Medida direta de distâncias A medida de distâncias de forma direta ocorre quando a mesma é determi- nada a partir da comparação com uma grandeza padrão, previamente estabe- lecida. A medição ocorre por meio de trenas ou diastímetros, conforme mostra a Figura 9. 24 Figura 9 Exemplos de trena. 1.1.9.2 Trena de fibra de vidro A trena de fibra de vidro é feita de material resistente (produto inorgânico obtido do próprio vidro por processos especiais). Esses equipamentos podem ser encontrados com ou sem invólucro, podendo ter o formato de uma cruzeta ou de um círculo, e sempre apresentam distensores (manoplas) nas suas extre- midades. Seu comprimento varia de 20 a 50m (com invólucro) e de 20 a 100m (sem invólucro). Comparada à trena de lona, deforma menos com a temperatura e a tensão, não se deteriora facilmente e é resistente à umidade e a produtos químicos, sendo também bastante prática e segura. Durante a medição de uma distância utilizando uma trena, é comum o uso de alguns acessórios como: piquetes, estacas testemunhas, balizas e níveis de cantoneira. 1.1.9.3 Piquetes Os piquetes são necessários para marcar convenientemente os extremos do alinhamento a ser medido. Os piquetes apresentam as seguintes características: fabricados de madeira roliça ou de seção quadrada com a superfície no • topo plana; assinalados (marcados) na sua parte superior com tachinhas de cobre, • pregos ou outras formas de marcações que sejam permanentes; comprimento variável de 15 a 30cm (depende do tipo de terreno em que • será realizada a medição); diâmetro variando de 3 a 5cm; • é cravado no solo, porém parte dele (cerca de 3 a 5cm) deve permanecer • visível, sendo que sua principal função é a materialização de um ponto topográfico no terreno. 25 1.1.9.4 Estacas testemunhas São utilizadas para facilitar a localização dos piquetes, indicando sua posi- ção aproximada. Normalmente obedecem às seguintes características: cravadas próximas ao piquete, cerca de 30 a 50 cm; • comprimento variável de 15 a 40 cm; • diâmetro variável de 3 a 5cm; • chanfradas na parte superior para permitir uma inscrição, indicando o • nome ou número do piquete. Normalmente a parte chanfrada é cravada voltada para o piquete, conforme mostra a Figura 10. Figura 10 Representação da implantação de um piquete e estaca testemunha. 1.1.9.5 Balizas São utilizadas para manter o alinhamento, na medição entre pontos, quando há necessidade de se executar vários lances, conforme mostra a Figura 11. Suas principais características são: construídas em madeira ou ferro arredondado, sextavado ou oitavado; • terminadas em ponta guarnecida de ferro; • têm 2m de comprimento; • diâmetro variável de 16 a 20mm; • pintadas em cores contrastantes (branco e vermelho ou branco e preto) • para permitir que sejam facilmente visualizadas a distância. 26 Devem ser mantidas na posição vertical, sobre o ponto marcado no piquete, com auxílio de um nível de cantoneira. Figura 11 Exemplos de balizas. 1.1.9.6 Nível de cantoneira Equipamento em forma de cantoneira e dotado de bolha circular que per- mite ao auxiliar segurar a baliza na posição vertical sobre o piquete ou sobre o alinhamento a medir, conforme mostra a Figura 12. Figura 12 Nível de cantoneira. 1.1.10 Medição de distância com trena 1.1.10.1 Medida em lance único Na medição da distância horizontal entre os pontos A e B procura-se, na realidade, medir a projeção de AB no plano horizontal, resultando na medição de A’B’, conforme mostra a Figura 13. Figura 13 Medida a trena em lance único. 27 1.1.10.2 Cuidados técnicos com as medições Devemos tracionar a trena (de 3 a 5 kgf ) para evitar a catenária. • Usar a trena o mais próximo possível do chão, apoiá-la sobre o terreno • quando este for plano. Para manter a trena na horizontal é necessário que o operador tenha • experiência. Considerar sempre a menor leitura feita na trena, conforme mostra a • Figura 14. Figura14 Tomando a menor leitura da trena. Em terrenos inclinados, a trena deve ser apoiada na parte mais alta e • mantida suspensa na parte mais baixa do terreno para assim obtermos a horizontalidade. Figura 15 Medição em terreno inclinado. Devemos também manter o alinhamento entre os extremos que quere- • mos medir. 28 Figura 16 Definição do alinhamento entre dois pontos do terreno. Obs.: a medida correta entre dois pontos é sempre a menor entre eles. Importante: É sempre bom compararmos a trena usada com uma outra de melhor precisão, pois se houver uma diferença poderemos posteriormente fazer a correção. Exemplos: Mede-se uma distância AB, resultando 240,50 metros. Posteriormente a) constatamos que a trena usada estava com 20,04 metros ao invés dos 20,00 metros padrão. Corrigir a distância medida. DH Trena 240,50m 20,04m. Medir alguma coisa é com- parar com um padrão, X 20,00m, como no nosso caso ele está maior, coube menos vezes dentro do intervalo a medir, por essa razão a regra de três é inversamente proporcional, devemos inverter uma das razões DH Trena 240,50m 20,00m X=240,50m*20,04m/20,00m X 20,04m X=240,98m Notamos que a distância corrigida aumentou pelo fato de que se tivéssemos usado a trena aferida, caberia mais vezes dentro do intervalo a ser medido. Dessa maneira podemos determinar uma constante K=trena usada/trena padrão. Corrigir as distâncias sabendo: b) Trena usada = 19,97 metros Trena correta (padrão) = 20,00 metros. Tendo a constante K=19,97m/20,00m, é só multiplicar pela distância obtida. CC = K*CC Linha Comprimento medido Comprimento Corrigido 0-1 100,50m 100,35m 1-2 85,45m 85,32m 2-3 278,9 m 278,48m 3-4 520,8 m 520,02m 29 Obs.: Com o exposto acima, podemos usar um equipamento onde conhe- cemos o erro, mas após o uso devemos fazer a correção. 1.1.10.3 Medidas em vários lances em terrenos inclinados Quando a distância entre os dois pontos é maior que o comprimento da trena, costuma-se dividir a distância a ser medida em partes chamadas lances. A distância final entre os dois pontos será a somatória das distâncias de cada lance. A execução da medição utilizando lances é descrita a seguir. Analisando a Figura 17, o balizeiro de ré (posicionado em A) orienta o ba- lizeiro intermediário, cuja posição coincide com o final da trena para que este se mantenha no alinhamento AB. Figura 17 Medição em vários lances. Depois de executado o lance, o balizeiro intermediário marca o final da trena com uma ficha (haste metálica com uma das extremidades em forma de cunha e a outra em forma circular). O balizeiro de ré, então, ocupa a posição do balizeiro intermediário, e este, por sua vez, ocupará nova posição ao final do diastímetro. Repete-se o processo de deslocamento das balizas (ré e intermediária) e de mar- cação dos lances até que se chegue ao ponto B. É de máxima importância que, durante a medição, os balizeiros se mante- nham sobre o alinhamento AB. 1.1.11 Medição indireta de distâncias Uma distância é medida de maneira indireta, quando no campo são obser- vadas grandezas que se relacionam com esta, através de modelos matemáticos 30 previamente conhecidos. Ou seja, é necessário realizar alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo para se obter indiretamente o valor da distância, utilizando-se para tais cálculos os elementos da trigonometria. 1.1.12 Precisão Estádia: de 1:300 a 1:1.000. a) Trena comum: de 1:1.000 a 1:5.000. b) Trena aferida: de 1:10.000 a 1:30.000. c) 1.1.13 Medidas de distância com trena de aço para alta precisão Para as medições com trena de aço é preciso levar em conta as seguintes observações: Devemos para estas medidas corrigir: • Tensão a) Catenária b) Temperatura c) Tensão a) Cd p l A E = ( − )⋅ ⋅ Ρ Onde: Cd = correção da distância em metros P = tensão aplicada em Kgf p = tensão padrão l = comprimento da trena em metros A = área da seção transversal da trena em mm2 E = módulo da elasticidade do aço em Kg (2400 Kg/mm2) Outra fórmula (mais usada) Cd cf l P p = ⋅ ⋅ ( − ) 31 Onde: cf = coeficiente de dilatação por m/Kgf l = comprimento da trena usada em metros P = tensão aplicada p = tensão padrão Catenária b) C w l P = ( ) ⋅ ⋅ 2 3 2 24 Onde: C = correção entre os extremos em metros W = peso da trena Kg/m l = distância entre os apoios em metros P = tensão aplicada em Kgf Temperatura c) Ct l T T = ⋅ ⋅ ( − ) 0 000012 0 , Onde: Ct = correção da temperatura 0,000012 = coeficiente de dilatação l = comprimento da trena entre os apoios T = temperatura ambiente T0 = temperatura do fabricante 1.1.14 Medida de uma linha Deve-se estaquear ou sinalizar a extensão a medir com auxílio do teodolito. Em seguida, nivelam-se os pontos. As medidas são tomadas com a trena apoiada no chão e tracionada com dinamômetro. Toma-se a temperatura ambiente. 32 Figura 18 Exemplo de medição de uma linha. Exemplo para o primeiro lance: Com os dados acima, façamos a correção da distância 0-1. Dados: 0-1 = 29,977 metros (distância medida com a trena apoiada no chão). Temperatura da trena: Padrão = 20oC Ambiente = 32oC Tensão: Padrão = 8 Kgf Aplicada = 11 Kgf Peso da trena (w) = 0,052 kg/m Coeficiente de dilatação = 0,00005 m DC m m C C m o o = + − ( ) ( ) + + 29 977 0 000012 29 977 32 20 0 00005 29 977 , , * , * , * , * , 11 8 29 986 kgf Kgf m − ( ) = Lembrado que a temperatura e a tensão estão acima do padrão, o resultado da leitura na trena será menor que o real. Não houve correção da catenária, pois a trena estava apoiada no solo (chão) e, caso existisse, seria sempre negativa. 33 1.1.15 Levantamento usando apenas trena 1.1.15.1 Medida de um ângulo qualquer Figura 19 Elementos para medida de um ângulo qualquer. α = ⋅    2 2 ar in BC a cos / 1.1.15.2 Medida de um ângulo reto (90o) Figura 20 Elementos para medida de um ângulo reto. Obs.: o menor triângulo retângulo. 34 1.1.16 Cálculo de área de uma figura qualquer Figura 21 Exemplo de poligonal para cálculo da área. Area p p a p b p c = ⋅ ( − )⋅ ( − )⋅ ( − ) Onde: p = semiperímetro p a b c = + + 2 Exemplo: Calcule a área da figura abaixo. • Triângulo 0,1 e 4 35 p p Área p p p p Á = + + ⇒ = = ( − ) ( − ) ( − ) ⇒ 36 55 50 43 78 2 65 165 36 55 50 43 78 , , , , , rea =777 642 m 2 , Triângulo 1,2 e 3 • p p Área p p p p = + + ⇒ = = ( − ) ( − ) − 34 40 50 68 47 10 2 66 090 34 40 50 68 47 , , , , , , ,10 782 876 2 ( ) ⇒ Área = m , Triângulo 1,3 e 4 • p p Área p p p p Á = + + ⇒ = = ( − ) ( − ) ( − ) ⇒ 47 10 50 81 36 2 89 230 47 10 50 81 36 , , , , , rea =1 077 327 m 2 . , Área total = + + 777 642 782 876 1 077 327 , , . , . , Área total m = 2 637 845 2 1.1.17 Direção norte-sul e norte-sul verdadeira A linha norte-sul magnética é definida usando uma bússola, onde o seu pon- a) teiro, estando livre, terá a propriedade de apontar o polo magnético da Terra. Figura 22 Linha norte-sul magnética. 36 A linha norte-sul verdadeira ou geográfica é definida pelo eixo imaginário b) da Terra. Essa linha é determinada visando-se um astro (Sol ou Estrela) ou usando um aparelho chamado giroscópio, hoje usamos também o GPS (Sistema de Posicionamento Global). Figura 23 Linha norte-sul verdadeira. Obs.: Existe um ângulo formado entre a linha norte-sul magnética e a linha nor- te-sul verdadeira que é de grande importância, denomina-se declinação magnética. Figura 24 Declinação magnética. α = é o ângulo chamado de declinação magnética, formado entre as duas linhas norte-sul. A declinação sofre uma variação, podendo ser para leste (E) ou oeste (W) dependendo do lugar e época. Os órgãos oficiais de cartografia de cada país elaboram, a cada década, por exemplo, um mapa da declinação magnética com curvas de igual valor dessa variável, denominadas isogônicas. 37 1.1.18 Cartas isogônicas e isopóricas Para a obtenção da declinação, bem como sua variação anual, podemos usar os mapas ou cartas magnéticas. 1.1.18.1 Carta isogônica Com a carta isogônica, podemos definir linha ou curva isogônica como sendo o lugar dos pontos que tinham a mesma declinação na data da elabora- ção carta. Portanto, esse tipo carta nos fornece a declinação magnética no local que desejamos para o ano da carta (no nosso exemplo, janeiro de 1965). Observemos a Figura 25 contendo linhas que unem pontos de igual decli- nação i magnética. Figura 25 Carta isogônica. 1.1.18.2 Carta isopórica Com a carta isopórica, podemos definir linha ou curva isopórica como sendo o lugar dos pontos que tinham a mesma variação anual de declinação. Portanto, com as curvas isogônicas podemos obter a declinação em qual- quer local na data da carta e com as curvas isopóricas, podemos obter a varia- ção anual de declinação magnética e fazer a correção para qualquer data. 38 Obs.: Quando um ponto está entre curvas isogônicas ou isopóricas, deve- mos fazer a interpolação gráfica para termos valores mais exatos. Observemos na Figura 26 a delimitação de regiões com mesma variação magnética em época e lugar. Figura 26 Carta isopórica. 1.1.19 Rumos e azimutes 1.1.19.1 Rumos Rumo de uma linha é o menor ângulo compreendido entre a direção norte- sul e a linha tomada (direção). É contado sempre a partir da linha norte-sul para leste ou para oeste. Pode ainda ser verdadeiro quando tem sua origem no eixo da Terra, e magnético quan- do tem sua origem no campo magnético da Terra. Figura 27 Rumos. 39 1.1.19.2 Azimutes Azimute é o ângulo que a linha tomada (direção) forma com a direção norte-sul, variando de 0o a 360o. Figura 28 Azimutes. Comparando os rumos e os azimutes, chegamos às seguintes conclusões: Quadrante R = Az ou Az = R 1. 2. Quadrante R = 180 o – Az ou Az = 180 – R 3. Quadrante R = Az – 180 o ou Az = 180 + R 4. Quadrante R = 360 o – Az ou Az = 360o – R Exemplo: Complete a tabela abaixo: Linha Rumo Vante Rumo Ré Azimute Vante Azimute Ré 0-1 78o23’ NE 78o23’ SW 78o23’ 258o23’ 1-2 2o55’ SE 2o55’ NW 177o05’ 357o55’ 2-3 87o12’ SW 87o12’ NE 267o12’ 87o12’ 3-4 37o25’ SE 37o25’ NW 142o35’ 322o35’ Rumo ré 1-0 = 78o23’ SW Rumo Vante 1-2 = 2o55’ SE Azimute Vante 0-1 = 78o23’ Azimute Ré 2-1 = 360o - 2o55’ = 357o55’ Azimute Ré 1-0 = 180o + 78o23’= 258o23’ 40 Azimute Vante 1-2 = 357o55’- 180o = 177o05’ Rumo Vante 2-3= 267o12’-180o = 87o12’ SW Rumo Vante 3-4= 180o - 142o35’ = 37o25’ SE Rumo Ré 3-2 = 87o12’ NE Rumo Ré 4-3 = 37o25’ NW Azimute Ré 3-2 = 267o12’ – 180o = 87o12’ Azimute Vante 3-4 = 322o35’ -180o = 142o35’ 1.1.20 Aviventação de rumo ou azimute Já vimos que a direção magnética de uma linha não é fixa ao longo do tempo e também que existe um ângulo formado entre a direção magnética e a direção verdadeira, então, além de aviventar (renascer) uma direção magnética podemos também transformá-la em uma direção verdadeira. Exemplos: 1. O rumo magnético de uma linha A-B, medido em 5/02/1950 era de 32 o42’ SW. Calcule o mesmo rumo para 20/05/1998. Dados: variação anual da região é 0o07’/W. RM RM A B A B − − ( ) = + = 50 β β * ∆tempo variação da declinação. 41 Cálculo do ∆tempo: 20 1998 19 30 4 12 1997 1997 38611 de maio de = + + = , 05 de fevereiro de1950 = + + = 04 30 1 12 1949 1949 09444 , ∆tempo anos anos RM o o o A = = = ≅ 48 26167 48 26167 0 07 5 37 50 5 38 , , * ’ ’ ” ’ β − − = + = B o o A B o SW RM SW 32 42 5 38 38 20 ’ ’ ’ O rumo magnético de uma linha 1-2, medido em 15/04/1960 era de 2. 75o50’ NE. Calcule o rumo verdadeiro dessa linha. Dados: Declinação magnética em 1956 era de 12o15’’/W. Variação magnética anual é de 0o09’/W. RM RM 1 2 1 2 60 − − ( ) = − = β β * ∆tempo variação da declinação. 42 Cálculo do ∆tempo: 15 1960 14 30 3 12 1959 1959 28889 1 1 de abril de = + + = = , de janeiro de1950 956 ± ∆tempo anos anos RM o o o = = = ≅ − 3 28889 3 28889 0 09 0 29 36 0 30 1 2 , , * ’ ’ ” ’ β = − = − 75 50 0 30 75 20 1 2 o o o NE RM NE ’ ’ ’ RV RM RV NE o o 1 2 1 2 56 1 2 75 20 12 15 − − ( ) − = − = − Declinação magnética ’ ’ = 63 05’ o NE O rumo magnético de uma linha 5-6, medido em 20/02/2001 era de 3. 89o55’ SE. Calcule o rumo magnético dessa linha para 4/11/1964 e o rumo verdadeiro. Dados: Declinação magnética em 1980 era de 17o25’/W Variação magnética anual é de 0o08’/W N.M.(01)\n 5\n W\n S\n E\n 6\n\n N.M.(01) N/M(65)\n W\n S\n 5\n E\n 6\n F\n R\n R\n W\n S\n B\n S\n S\n S\n S\n S\n S\n S\n S\n R\n W\n E\n 6\n UNIDADE 2 Métodos de levantamento planimétrico 47 2.1 Introdução Todo levantamento topográfico é baseado em uma figura geométrica conhe- cida como poligonal. Durante um levantamento topográfico, normalmente são de- terminados pontos de apoio ao levantamento (pontos planimétricos, altimétricos ou planialtimétricos) e, a partir destes, são obtidos os demais pontos que permi- tem representar a área levantada. A primeira etapa pode ser chamada de estabe- lecimento do apoio topográfico e a segunda de levantamento de detalhes. O levantamento de detalhes é definido na NBR 13133 como: conjunto de operações topográficas clássicas (poligonais, irradiações, inter- seções ou por ordenadas sobre uma linha-base), destinado à determinação das posições planimétricas e/ou altimétricas dos pontos, que vão permitir a representação do terreno a ser levantado topograficamente a partir do apoio topográfico. Estas operações podem conduzir, simultaneamente, à obtenção da planimetria e da altimetria, ou então, separadamente, se as condições especiais do terreno ou exigências do levantamento obrigarem à separação (ABNT 1994, p. 3). A representação topográfica estará baseada em pontos levantados no ter- reno, para os quais são determinadas as coordenadas. 2.2 Técnicas de levantamento planimétrico A poligonação é um dos métodos mais empregados para a determinação de coordenadas de pontos em Topografia, principalmente para a definição de pontos de apoio planimétricos. Uma poligonal consiste em uma série de linhas consecutivas, onde são conhecidos os comprimentos e direções, obtidos a partir de medições em campo. O levantamento de uma poligonal é realizado a partir do método de ca- minhamento: percorre-se o contorno de um itinerário definido por uma série de pontos e medem-se todos os ângulos e lados a partir de uma orientação inicial (Figura 24). A partir desses dados e de uma coordenada de partida, é possível calcular as coordenadas de todos os pontos que formam essa poligonal. 48 Figura 29 Levantamento de uma poligonal. Utilizando-se uma poligonal é possível definir uma série de pontos de apoio ao levantamento topográfico, a partir dos quais serão determinadas coordena- das de outros pontos utilizando, por exemplo, o método de irradiação a ser visto posteriormente. 2.3 Classificação das poligonais A NBR 13133 (ABNT, 1994) classifica as poligonais em principal, secun- dária e auxiliar: Poligonal principal: poligonal que determina os pontos de apoio topográ- • fico de primeira ordem; Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértices da poligonal • principal, determina os pontos de apoio topográfico de segunda ordem; Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de apoio topográfico • planimétrico, tem seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levan- tada, de tal forma que seja possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou ordenadas sobre uma linha de base, os pontos de detalhes julgados importantes, que devem ser estabelecidos pela es- cala ou nível de detalhamento do levantamento. As poligonais levantadas em campo poderão ser abertas, fechadas ou enquadradas. 2.3.1 Poligonal aberta Nas poligonais abertas (Figura 30) não são conhecidas as coordenadas de saída e de chegada, por esse motivo não é possível verificar o erro de fechamento. Para verificá-lo devem-se determinar as coordenadas geográficas (latitude e longitude), utilizando os conceitos de astronomia de campo (visando um astro, 49 por exemplo, o Sol). Na atualidade utilizamos para tal finalidade o GPS (Sistema de Posicionamento Global). Figura 30 Levantamento de uma poligonal aberta. Sabemos que os meridianos não são paralelos, convergem para os polos, por esse motivo quando as poligonais forem na sua extensão superiores a 18 Km devemos fazer a correção das mesmas no azimute das direções. A fórmula simplificada para fazer a correção da convergência meridiana é: C = ⋅ ⋅ ∆λ ι sin onde: C = correção a ser aplicada ao azimute medido ∆λ = longitude oeste da estação menos a longitude oeste do meridiano de referência. ϕ = latitude da estação 2.3.2 Poligonal fechada Nas poligonais fechadas parte-se de um ponto com coordenadas conhe- cidas e retorna-se ao mesmo (Figura 31). Sua principal vantagem é permitir a verificação de erro de fechamento angular e linear. A poligonal fechada é o caso ideal, e devemos sempre tentar executá-la em campo. 50 Figura 31 Levantamento de uma poligonal fechada. 2.3.3 Poligonal secundária A poligonal secundária parte de um ponto com coordenadas conhecidas e vai a outro ponto também de coordenadas conhecidas (Figura 32). Figura 32 Levantamento de uma poligonal secundária. 2.4 Levantamento e cálculo de poligonais fechadas Em topografia é importante utilizar uma poligonal fechada, pois esta traz como vantagem a possibilidade de se verificarem os erros angular e linear co- metidos no momento de seu levantamento. 2.4.1 Levantamento da poligonal Um dos elementos necessários para a definição de uma poligonal são os ân- gulos formados por seus lados. Na medição dos ângulos, normalmente o azimute 51 acumulado (Figura 33) é determinado pelos ângulos externos ou internos da po- ligonal (Figura 34). Também é comum realizar a medida dos ângulos de deflexão dos lados da poligonal (Figura 35). Azimute inicial (Az1) = Azimute final (Az5) Figura 33 Medição de ângulo por azimute acumulado. Ângulo horário: chamamos ângulo horário quando cresce no sentido ho- rário e ângulo à esquerda quando cresce no sentido anti-horário. Os aparelhos (teodolitos) desde 1970 só medem ângulos à direita (só têm um limbo). Figura 34 Medição de ângulo pelos ângulos externos e internos de uma poligonal fechada. Deflexão: é o ângulo formado entre o prolongamento da linha e a nova direção. 52 Figura 35 Medição pelo ângulo de deflexão de uma poligonal fechada. Exercício Completar a tabela abaixo: Estação (Est.) 0 1 2 3 Ponto Visado (PV) 1 2 3 0 Ângulo horiz. a direita (interno) 91o02’ 90o57’ 87o03’ 90o58’ Ângulo horiz. a direita (externo) Azimute acumulado Deflexão 2.5 Levantamento com amarração dos detalhes Denominam-se detalhes, os elementos do terreno que, por sua importân- cia, características ou posição relativa, devem compor a planta topográfica. Tais elementos podem ser: rios, lagos e praias, florestas e lavouras, obras de enge- nharia, planos industriais, urbanísticos e viários, acidentes naturais (relevo), etc. Um levantamento detalhado dos elementos naturais ou artificiais presentes na área do levantamento topográfico enriquece em muito o trabalho final e, o mais importante, atende ao principal objetivo da Topografia, que é a fiel representa- ção de uma porção da superfície física da Terra. A Figura 36 mostra um exemplo de levantamento de detalhe sinuoso. 53 Figura 36 Levantamento de detalhes sinuosos. 2.5.1 Utilização dos métodos de levantamento dos detalhes Em geral, todos os métodos de levantamento topográfico estudados podem ser utilizados na determinação e representação dos detalhes. Contudo, pelas ca- racterísticas peculiares de cada um, em certas situações particulares, uns são mais indicados que os outros. Como ilustração, se o ponto de interesse é inacessível, o processo da inter- seção é o mais indicado; em se tratando de detalhes de forma curvilínea, adapta-se melhor o método das coordenadas retangulares. Quando os elementos de interesse se distribuem em torno de um ponto central, com visibilidade garantida, sem dúvida o processo da irradiação deve ser utilizado. Utiliza-se o método do caminhamento quando os elementos de interesse se encontram afastados do local do levantamento, já para reconhecimento do local, o processo de medida dos lados pode perfeitamente ser usado pela vantagem da rapidez. Há situação em que se faz necessário o uso de métodos combinados para a determinação do detalhe. É interessante frisar que, na prática, muitas vezes o bom senso do profissional definirá qual o melhor procedimento a ser adotado. Em resumo, durante o levantamento topográfico, o caminhamento com o aparelho (teodolito) nunca é feito sobre a linha de divisa, por isso, constrói-se uma poligonal de base (geralmente implantada próxima à divisa, podendo ser interna, externa ou ambas) e, a partir desta, serão feitas as amarrações dos de- talhes que irão compor o levantamento total. 54 2.5.1.1 Amarração por coordenadas retangulares Pela facilidade e rapidez das operações, esse método é especialmente in- dicado para levantamento de detalhes que apresentem configuração curvilínea, normalmente encontrados em sinuosidades de rios e em algumas divisas de propriedades. Nesse processo, a posição do ponto topográfico de interesse é definida pela medição de suas coordenadas retangulares (x,y). Um dos lados da poligo- nal de apoio servirá como eixo de referência para a medição das abscissas e ordenadas (Figura 37). Figura 37 Método das coordenadas retangulares. Definido o eixo de referência, sobre ele serão marcadas as abscissas (x) dos pontos de interesse e perpendicularmente anotam-se as ordenadas (y). Com uma trena ou taqueômetro medem-se as abscissas e cravam-se os piquetes, instala-se o teodolito nesses pontos e visa-se uma baliza posicionada na origem (ponto 3). Ato contínuo, dá-se um giro de 90º e visam-se as balizas posicionadas nos pontos de detalhes a serem levantados. Segundo essa dire- ção de colimação, são realizadas as medidas das ordenadas utilizando-se a trena ou taqueômetro. Todas as medidas efetuadas devem ser registradas em croqui para auxiliar o desenho final. Em algumas situações, obstáculos podem impedir a visada em 90º, nesses casos emprega-se o método das coordenadas polares para determinar a posição dos pontos. 2.5.1.2 Amarração por coordenadas polares De um ponto de abscissa conhecida (sobre o eixo de referência) medem-se o comprimento do alinhamento e o ângulo que este forma com o eixo de referência. Obs.: Esse é o método mais utilizado na prática. 55 Figura 38 Método das coordenadas retangulares. 2.5.1.3 Cálculo da área Com base na Figura 38 temos: Área h h d h h d h h d = + ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ 1 2 2 2 3 2 10 11 2 ......... Observando a fórmula notamos que de h2 até h10 as ordenadas sempre são usadas duas vezes e as ordenadas h1 e h11 (respectivamente a primeira e a última) serão usadas apenas uma vez, então podemos escrever: Área d h h h h h h = ⋅ + + ⋅ + + + + ( ) ( ) 2 1 11 2 2 3 4 10 ....... Generalizando a fórmula acima temos:1 Área d h hn h h h n = ⋅ + + ⋅ + + + ( − ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 1 ..... 1 Fórmula de Bezout,Simpson,Poncelet. 56 2.5.1.4 Método da triangulação ou interseção Temos também mais esses dois métodos para levantamento dos detalhes (Figura 39): Figura 39 Método da triangulação ou interseção. Obs.: Em um levantamento topográfico às vezes usamos todos os métodos. 2.6 Cálculo analítico da poligonal Sabemos que toda quantidade medida não está isenta de erros, por isso deve- mos corrigi-los. Nos levantamentos topográficos medimos ângulos e distâncias. 2.6.1 Verificação do erro de fechamento angular erro medido calculados    = − Para dar continuidade à compensação devemos ter: Erro Tolerância   ≤ onde: T m n  = ± ⋅ m = menor unidade angular lida no aparelho (teodolito) n = número de vértices ou número de lados da poligonal. 2.6.2 Compensação do erro de fechamento angular Para termos a menor deformação possível na poligonal, devemos fazer a compensação angular nas menores distâncias e no maior número possível de lados, sem aumentar a precisão do aparelho usado no levantamento (Figura 40). 57 Figura 40 Deformação angular mínima na poligonal. 2.6.3 Cálculo dos azimutes Em topografia consideramos que a linha norte-sul é paralela para todas as direções, por esse motivo medimos apenas o azimute (azimute inicial) da primeira direção e todos os outros serão calculados posteriormente usando a fórmula: Azimute Azimute procurado chegando = + ângulohorizontal Se a soma for maior que 180º devemos subtrair 180º ou Se a soma for menor que 180º devemos somar 180º. Exercícios Complete a tabela abaixo: Estação 0 1 2 3 4 Ponto Visado 1 2 3 4 0 Ângulo horiz. à direita 94o37’ 90o15’ 250o30’ 23o02’ 81o34’ Ângulo horiz. à direita corrigido Azimute Rumo Dist. (m) 115,992 108,725 98,487 222,550 156,450 2.6.4 Cálculo das coordenadas parciais São as projeções no eixo x e y (vamos indicá-las sempre por x e y minúsculas) conforme a Figura 41. 58 Figura 41 Projeção das coordenadas parciais x e y. 2.6.5 Cálculo das coordenadas totais É a somatória das coordenadas parciais tanto em x como em y (Figura 42). Figura 42 Projeção das coordenadas totais x e y. 2.6.6 Verificação do erro de fechamento linear Quando realizamos um levantamento e usamos como base uma poligonal fechada, saímos de um determinado ponto e retornamos ao mesmo (ponto de saída), com isso, se fizermos uma somatória nas coordenadas parciais tanto x como y, o resultado será 0 (zero), mas se isso não ocorrer, temos então um erro linear, que deve ser corrigido (Figura 43). 59 Figura 43 Erro planimétrico. 2.6.7 Erro de fechamento Analisando a distância 0-0’, é o que chamamos de erro de fechamento, podemos determiná-lo usando o Teorema de Pitágoras: Erro X Y fechamento = + ∆ ∆ 2 2 Esse erro não nos leva a uma conclusão, para chegar a esta, temos que relacionar o erro de fechamento com o perímetro, assim podemos chegar às devidas conclusões. 2.6.8 Erro relativo Erro Erro Perimetro relativo fechamento = Mantendo o numerador fixo e aumentando o denominador (perímetro), o erro tende a 0 (zero), quanto mais próximo de zero a qualidade será melhor. Para facilitar a leitura desse erro usamos o inverso do erro relativo, o qual chamare- mos de Incerteza. 60 2.8.9 Incerteza Representaremos a incerteza por: 1 : I (erro de um metro a cada I) Incerteza = Errorelativo 1 Para podermos fazer a correção do erro linear, a incerteza deve se encon- trar dentro do limite de tolerância. Para serviços de engenharia, loteamentos urbanos I ≥ 12.000. 2.6.10 Correção das coordenadas parciais C K parcial x C K parcial y K X parcial x K Y parcial y x x y y x y = ⋅ = ⋅ = ∑ = ∑ ∆ ∆ 2.6.11 Cálculo da área de um polígono pelo método das coordenadas totais Figura 44 Cálculo da área por coordenadas totais. 61 Área X X Y Y X X Y Y X X Y Y Área X = + ⋅ − ( ) − + ⋅ − ( )⋅ + − ( ) ⋅ = + 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 X Y Y X X Y Y X X Y Y Ár 3 3 2 2 1 1 2 3 1 3 1 2 ( )⋅ − ( ) − + ( )⋅ − ( )   − − + ( )⋅ − ( )   ⋅ ea X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X = − + − − − + − [ ] − − − + 2 3 2 2 3 3 3 2 2 1 2 2 1 1 1 2 3 3 3 1 1 3 1 1 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 1 2 2 1 1 1 2 Y X Y Área X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y − [ ] ⋅ = − + − − + − + − − + − + ⋅ = − − + + − X Y X Y X Y XY Área X Y X Y X Y X Y X Y X Y 3 3 3 1 1 3 1 2 2 3 3 2 2 1 1 2 3 1 1 3 Os produtos positivos são aqueles que apresentam o X de um lado multipli- cado pelo Y do lado seguinte, e os produtos negativos são os que têm X de um lado multiplicado pelo Y do lado anterior. Generalizando: Área Xn Yn Yn Xn = ⋅ + ( ) + ⋅ + ⋅ − ( )         ∑ ∑ 1 1 1 2 Onde: Produto da direita para esquerda Xn (origem); Yn + 1 o próximo ponto. Produto da esquerda para direita Yn (origem); Xn + 1 o próximo ponto. Exercícios Complete a tabela abaixo: 1. Estação 0 1 2 3 4 Ponto Visado 1 2 3 4 0 Ângulo horiz. à direita 265o23’ 269o45’ 109o28’ 336o58’ 278o26’ Ângulo horiz. à direita corrigido Azimute Rumo Dist. (m) 115,992 108,725 98,487 222,550 156,450 Coord. parciais x Coord. parciais y 62 Dadas as coordenadas totais de uma poligonal calcule a área total. 2. Ponto X Y 0 50 40 1 100 150 2 220 70 3 150 20 Dadas as coordenadas totais de uma poligonal calcule a área total. 3. Ponto X Y 0 50 40 1 -100 150 2 -220 70 3 -150 -20 Com a caderneta de campo abaixo, compense os erro angulares e line- 4. ares, calcule as coordenadas totais, desenhe em escala apropriada e calcule a área. Coordenadas 0=(100,200). Est. P.V. αHor.Campo(D) Azimute Dist. 0 1 106o47’ 91,44 1 2 79o48’ 58,55 2 3 93o50’ 96,95 3 0 79o37’ 68,15 Coordenadas 0 = (100,200). 63 Figura 45 Planilha de cálculo analítico. 64 2.6.12 Cálculo de rumo e distância O cálculo do rumo e distância é feito conforme a seguir: Figura 46 Rumo e distância. Generalizando: Dist X Y Rumo arc tg X Y . . 1 2 2 2 − = ( ) + ( ) = ∆ ∆ ∆ ∆ 2.6.13 Orientação do rumo em função dos sinais das coordenadas Figura 47 Orientação do rumo. 65 Exercício Calcular o rumo e a distância das linhas 10-11; 11-12 e 12-13 e o ângulo à direita 11 e 12. Dados: 0=(100,200). Est. P.V. Ang.Horiz.(D) Azimute Dist.(m) X Y PD 0 1 95o25’ 150,45 1 10 50o58’ 15,20 1 11 163o30’ 17,89 1 2 178o45’ 248,78 2 12 310o18’ 10,68 2 13 272o26’ 12,75 Croquis: 2.6.14 Partes que compõem o memorial descritivo No final de cada serviço de topografia devemos apresentar ao cliente cópias da planta • memória de cálculo • memorial descritivo • O memorial descritivo teve conter as seguintes partes: Caracterizar a propriedade (imóvel) 1. nome do imóvel • nome do proprietário • localização • área • • número do registro no INCRA, prefeitura. 66 Descrição do perímetro 2. O ponto inicial deve ter sua localização rigorosamente definida, de forma que possa ser aviventada a qualquer tempo. Em seguida, é necessário mencionar o rumo ou azimute e a distância de todas as linhas da poligonal. Confrontações 3. Referências: nome da propriedade • nome do proprietário • Servidão 4. Só deve ser mencionada quando a servidão legal existir. Figura 48 Nivelamento geométrico simples. 2.6.15 Memorial descritivo Memorial descritivo da fazenda Santo Antonio da Fartura, de propriedade do Sr. Augusto Moreira, localizada no distrito e município de Ribeirão Preto, comarca de Ribeirão Preto, estado de São Paulo, com área de 242.000 metros quadrados, 24,2 hectares ou 10 alqueires do tipo paulista, registrada no INCRA sob o número 123.456.789. Descrição do Perímetro A poligonal inicia-se no marco 0 (zero) cravado junto ao mourão de cerca da referida propriedade confrontando com as margens do lado direito do rio Ja- caré e com a fazenda Palmital de propriedade do Sr. João Silveira. 67 Daí segue com as seguintes distâncias e azimutes Azimutes Distâncias (m) Do ponto 0 (zero) ao ponto 1 (um) 60o00’ 400,45 Do ponto 1 (um) ao ponto 2 (dois) 170o20’ 350,41 Do ponto 2 (dois) ao ponto 3 (três) 245o32’ 610,30 Do ponto 3 (três) ao ponto 0 (zero) sinuoso 501,52 Confrontações Do marco 0 (zero) ao ponto 2 (dois) a propriedade confronta-se com a fazenda Palmital; Do ponto 2 (dois) ao ponto 3 (três) a propriedade confronta-se com a Sra. Benetida da Silva; Do ponto 3 (três) ao ponto 0 (zero) confronta-se com o rio Jacaré tendo sentido no seu curso natural, e confronta-se à margem esquerda com o Sr. Paulo Humberto. Obs.: A propriedade é gravada com uma servidão de passagem de uma linha de alta tensão de propriedade da CPFL. Exercício\n\nCENÁRIO UNIVERSITÁRIO MUDRA LACERDA\n\nNome: _______________________. Data: _______________.\n\nTarefa: Completar os campos de acordo com o polígono e as distâncias.\n\nAguarde as ordens. Escreva as pernas no caderno.\n\n-------------------------\n\nTabela:\n\nNº | Coord. Completa | P(D) | Y | X | P(D) | GY | X | S | GY | X | N |\n---|------------------|-----|---|---|-------|----|---|---|----|---|---|\n1 | 1 | 27° 48' | 1 | 2 | 30° 12' | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |\n2 | 2 | 24° 12' | 3 | 3 | 29° 43' | 27 | 29 | 29 | 73 | 280.42 |\n3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | | |\n\n------------------------- UNIDADE 3\n\nAltimetria 71 3.1 Introdução A altimetria tem como objetivo medir grandezas verticais (distâncias e ân- gulos verticais). Para isso deve-se adotar um plano de referência, que tenha como origem o nível médio do mar e como perpendicular, a vertical do lugar.2 A operação que determina essa distância vertical (altura ou cota) chama- se nivelamento. Figura 49 Plano de referência para nivelamento. Cota: cota de um ponto é a distância vertical a partir de um plano de refe- rência até um determinado ponto: Cota do ponto A é a distância A-A’ • Cota do ponto B é a distância B-B’ • Cota do ponto C é a distância C-C’ • Cota do ponto D é a distância D-D’ • O plano de referência pode ser um plano qualquer chamado arbitrário ou então pode estar ao nível médio do mar, denominado verdadeiro. Quando o trabalho só tiver interesse local, pode-se adotar um plano de referência qualquer, tomando-se cuidado apenas em determinar uma cota para esse plano, tal que todos os pontos tenham cotas positivas (cotas negativas nos dão a entender que estão abaixo do nível do mar). As altitudes (cotas) verdadeiras têm como referência o nível médio do mar, verificado por meio do marégrafo. Para o Brasil, os primeiros trabalhos foram apoiados nas determinações do marégrafo de Tôrres (RS), construído em 1919. Esse instrumento não apresenta- va condições para fornecer um datum, sendo os cálculos pouco rigorosos, feitos pela semidiferença entre as médias das preamares e baixa-mares observadas. 2 Vertical do lugar é uma linha imaginária que coincide com o fio de prumo e passa pelo centro da Terra. 72 Na realidade, isso não importava muito, mas os especialistas da Diretoria do Serviço Geográfico, da então Secção de Nivelamento da Divisão de Carto- grafia do Conselho Nacional de Geografia (atualmente 1a Divisão de Levanta- mentos do Departamento de Geodésia e Topografia do Instituto Brasileiro de Geografia), não pensaram da mesma forma. Em 1958, com mais de 40.000 qui- lômetros já nivelados e contando com nove anos de funcionamento ininterrupto, decidiu-se pela transferência do ponto inicial dos caminhamentos para outro marégrafo, o de Imbituba (SC). A divergência entre os dois zeros é de 0,0584 m. Assim, no Brasil existem cartas com folhas referidas ao zero de Tôrres e outras ao zero de Imbituba. A referência, praticamente, é o marco RN 4X, com altitude de 8,6362 metros. Os níveis médios do Oceano Atlântico (zero Imbituba): • Rio de Janeiro (GB) ...................................... -0,12 m • Salvador (BA) ............................................... +0,01 m • Recife (PE) ................................................... +0,14 m • Fortaleza (CE) .............................................. +0,29 m É interessante sabermos que a correspondência com o Oceano Pacífico foi feita por meio da ligação de Corumbá (MT) a Arica (Chile). A discrepância seria de – 0,1594 m, isto é, quase o nível do Rio de Janeiro. Mas em comparação com Fortaleza, a diferença seria de 0,45 m. A expressão “nível médio do mar” assume, assim, seu completo significado. Atualmente o Brasil tem como referência o marégrafo de Imbituba (SC). Figura 50 Exemplo de um marégrafo. 73 3.2 Influência da curvatura terrestre Figura 51 Curvatura terrestre. R K R D R R K K R D R K K D + ( ) = + + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 K K R D K D K R ⋅ + ⋅ ( ) = = + ⋅ 2 2 2 2 como K é muito pequeno, podemos retirá-lo sem alterar o resultado. Assim temos: K D R = ⋅ 2 2 onde: K = correção da curvatura da Terra. D = distância do ponto de tangência ao ponto de visada em Km. R = raio da Terra (usaremos o raio médio) 6.370 Km Adotando R = 6.370 Km. K D K D K D = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ − 2 2 5 2 2 6370 12740 7 8 10 , para obter o valor de K em metro. 74 K D = 0 078 ⋅ 2 , devemos entrar com D em Km, para obter K em metros. Sabemos que quando os raios atravessam as camadas de uma densidade menor para uma maior, sofrem uma convergência e, por esse motivo, devemos introduzir na fórmula o efeito da refração no nivelamento. Por meio de experiências realizadas empiricamente, levando em conside- ração a correção da refração, a fórmula da correção total fica: Coreção K Ct D Ct D total = ⋅( ) ⇒ = ⋅ ⋅ ( ) ⇒ = ⋅ 0 84 0 84 0 078 0 06552 2 2 , , , , 3.3 Tipos de nivelamento 3.3.1 Nivelamento taqueométrico Feito com o teodolito, baseado nas medidas de ângulo vertical e nos fios estadimétricos. 3.3.2 Nivelamento trigonométrico Baseado na medida do ângulo e na distância horizontal. 3.3.3 Nivelamento barométrico Baseado na medida da pressão atmosférica, sabendo-se que a pressão é inversamente proporcional à altitude. 3.3.4 Nivelamento geométrico Consiste em medir diretamente as distâncias verticais. É o método mais preciso e mais empregado nos serviços gerais de engenharia. 3.3.5 Tipos de nível Nível de mão 1. 2. Clinômetro 75 Mangueira d’água 3. Nível do engenheiro ou tripé 4. Perpendiculum 5. Figura 52 Tipos de nível. Os níveis usados nos trabalhos de nivelamentos são os chamados níveis de tripé ou nível do engenheiro, sendo que podem ser automáticos ou comuns. Os automáticos possuem um sistema de pêndulo que mantém o conjunto da luneta sempre perpendicular à vertical do lugar, podendo trabalhar em condi- ções de vibrações e trepidação, é muito útil em obras civis ou industriais. Os comuns são nivelados por meio de uma bolha. Geralmente essas bo- lhas são internas, se localizam junto ao conjunto ótico, de forma que o operador pode ver simultaneamente a bolha e a mira, permitindo corrigir eventuais desni- velamentos do conjunto. A bolha é bipartida. Figura 53 Bolha bipartida. 76 3.4 Nivelamento geométrico 3.4.1 Nivelamento geométrico simples Ocorre quando, de uma única estação (onde se encontra o aparelho), vi- samos todos os pontos. LA = leitura na mira no ponto A LB = leitura na mira no ponto B DV = diferença de nível entre o ponto A e B: DV LB LA = − Figura 54 Nivelamento geométrico simples. 3.4.2 Nivelamento geométrico composto Ocorre quando há necessidade de mudança de estação para podermos fazer a visada em todos os pontos. Figura 55 Plano de referência. DV = cota B – cota A Observando o desenho acima podemos concluir que: 77 Cota AI VV AI RN Cota V RÉ M I = − = ( ) + ⋅ Referência de Nível (RN): Chama-se RN os pontos de cotas conhecidas, os quais servem de ponto de partida para o nivelamento. Todo nivelamento se inicia em um RN, o qual pode ser de cota verdadeira (origem em Imbituba- SC) ou arbitrária. Altura do Instrumento (A I): É a distância vertical do plano de referência até a linha de colimação da luneta do aparelho. Visada Ré (V.RÉ): É a visada feita na mira colocada sobre um ponto de cota conhecida. Visada Vante (V.V): É a visada feita na mira colocada sobre o ponto que queremos conhecer a cota, podendo ser visada vante intermediária (V.V.I) ou visada vante de mudança (V.V.M). Exercício Calcule as cotas dos pontos. 1. Dado: Cota(RN) A = 500,000. 78 Estação Alt. do Inst. (AI) Visada Ré(V.RÉ) Vis.Vante Int.(VVI) Vis.Vante Mud(VVM) Cotas Montar a tabela de nivelamento e calcular as cotas dos pontos. 2. Dado: Cota 1= 100,000. Est. AI V.RÉ V.V.I V.V.M Cotas Quando realizamos qualquer medida, esta conterá erro, o nivelamento não foge à regra e, por esse motivo, para determinar o erro e a sua tolerância deve- mos voltar ao ponto de partida, para isso temos duas maneiras: uma se chama contra nivelamento, é quando fazemos um transporte de RN e, para descobrir 79 os erros, devemos fazer o nivelamento no sentido contrário, não obrigatoriamen- te pelo mesmo caminho, porém retornando ao ponto inicial; a outra maneira é quando realizamos uma poligonal fechada, e saímos de um determinado ponto e retornamos ao mesmo ponto de partida. 3.4.3 Tolerância de nivelamento 3.4.3.1 Classificação • alta precisão o erro médio 5 mm n ≤ ± • 1 a ordem o erro médio 10 mm n ≤ ± • 2 a ordem o erro médio 15 mm n ≤ ± • 3 a ordem o erro médio 30 mm n ≤ ± Onde n é o comprimento do nivelamento em quilômetros. O erro máximo é aceitável até 2,5 vezes a tolerância. 3.4.3.2 Cuidados para melhorar a precisão dos nivelamentos A distância das visadas não deve ultrapassar 60 metros (no máximo 100m). a) As visadas vante e as visadas ré devem ter aproximadamente a mesma b) distância para compensar o efeito da refração e a curvatura da Terra. Verificar a absoluta verticalidade da mira por meio do uso de nível de can- c) toneira e o fio vertical do retículo tangenciando a mesma. Portanto, se fizermos movimentos suaves na mira para frente e para trás e anotarmos a menor leitura, estaremos lendo o ponto de tangência e, com isso, a mira estará rigorosamente na vertical. Figura 56 Verticalidade da mira. 80 Exemplo de um nivelamento geométrico composto em uma poligonal fechada. Est. A.I V. ré V.V.I V.V.M Cota correção Cota corrigida 0 3,437 1 2,621 2 0,563 2 3,826 3 2,749 4 0,502 4 0,694 5 0,388 6 3,892 6 0,842 7 3,775 0 3,870 AI a V ré Cota A I V V ou V V M AI . cot – . , = + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     = + 1 500 000 1 3 437 503 437 503 437 2 621 500 816 503 437 0 5 1 2 , , , , , . , = = − = = − Cota Cota 63 = 502 874 , Est. A.I V. ré V.V.I V.V.M Cota correção Cota corrigida 0 503,437 3,437 1 500,000 - 500,000 1 503,437 2,621 500,816 0,007 500,823 2 503,437 0,563 502,874 0,007 502,881 2 506,700 3,826 2 502,874 - - 3 506,700 2,749 503,951 0,014 503,965 4 506,700 0,502 506,198 0,014 506,212 4 506,892 0,694 3 506,198 - - 5 506,892 0,388 506,504 0,021 506,525 6 506,892 3,892 503,000 0,021 503,021 6 503,842 0,842 4 503,000 - - 7 503,842 3,775 500,067 0,028 500,095 0 503,842 3,870 99,972 0,028 500,000 8,799 8,827 81 Erro do nivelamento = cota inicial – cota de retorno (inicial) Erro n = 500,000 - 99,972 Erro n = 0,028 Obs.: o sinal do erro indicará o que devemos fazer com a correção (somar ou subtrair). Temos outra maneira de determinar o erro, e é a que usaremos no campo por nos oferecer uma maior rapidez na conferência. Erro do nivelamento = somatória das visadas ré – somatória das visadas vantes. Erro n = 8,799 - 8,827 Erro n = -0,028 Obs.: já nesse caso, o sinal do erro é o inverso do que devemos usar na correção. Mas o valor absoluto em ambos os casos deve ser igual. Correção = K * o número de ordem da visada ré Sendo que K é o erro unitário K = erro /número de visada ré K = 0,028/4 K = 0,007 Obs.: Não devemos arredondar o valor de K. Na correção, o valor será arredondado com três casas decimais depois da vírgula. C1 = 0,007 * 1 = 0,007 C2 = 0,007 * 2 = 0,014 C3 = 0,007 * 3 = 0,021 C4 = 0,007 * 4 = 0,028 82 Obs.: Nas visadas ré não fazemos correção. Nivelamento com contra nivelamento. Nesse exemplo estaremos simulando um transporte de RN. Lembrando que o contra nivelamento é o nivelamento retornando ao ponto de partida, não necessariamente pelo mesmo caminho. Est. A.I V. ré V.V.I V.V.M Cota correção Cota corrigida RN(0) 2,761 1 0,270 1 3,240 2 0,210 2 3,965 3 0,420 Contra nivelamento 3 0,120 4 3,070 4 0,515 5 3,400 5 0438 RN(0) 3,415 Obs.: quando fizermos o contra nivelamento devemos tirar o aparelho es- tacionado e o reinstalar em outro local apropriado (estacionar significa que o aparelho se encontra em condição de uso). Não vamos demonstrar os cálculos, pois já o fizemos no exemplo anterior. Est. A.I V. ré V.V.I V.V.M Cota correção Cota corrigida RN(0) 202,761 2,7611 200,000 - 200,000 1 202,761 0,270 202,491 0,003 202,494 1 205,731 3,2402 202,491 - - 2 205,731 0,210 205,521 0,005 205,526 2 209,216 3,6953 205,521 - - 3 209,216 0,420 208,796 0,008 208,804 Contra nivelamento 3 209,916 0,1204 208,796 - 208,804 4 209,916 3,070 205,846 0,011 205,857 4 206,361 0,5155 205,846 - - 5 206,361 3,400 202,961 0,013 202,974 5 203,399 0,4386 202,961 - - RN(0) 203,399 3,415 199,984 0,016 200,000 83 Erro = 200,000 - 199,984 = 0,016 K = 0,016 / 6 = 2,66666666667 * 10 -3 C1 = K * 1 = 0,003 C2 = K * 2 = 0,005 C3 = K * 3 = 0,008 C4 = K * 4 = 0,011 C5 = K * 5 = 0,013 C6 = K * 1 = 0,016 Notamos que os nivelamentos geométricos são muito precisos e, ao mes- mo tempo, também requerem um grande tempo para sua execução; é por essa razão que vamos abordar um outro método para grandes áreas. Obs.: Esse método, hoje, com o advento dos aparelhos eletrônicos, tornou-se obsoleto, mas vamos usá-lo para obtermos o conceito do método da taqueometria. 3.5 Taqueometria A taqueometria foi criada com base no teorema Thalles. Figura 57 Elementos de taqueometria. * ab AB d D D d ab AB = = 84 onde AB é o intervalo entre a leitura do fio superior e a leitura do fio inferior do aparelho, ambos lidos na mira. ab é a imagem no aparelho d é a distância focal. Nos aparelhos analíticos d ab é igual a uma constante 100 e a interseção dos raios se dá no centro da luneta coincidindo com a vertical do lugar. Com o uso dos fios estadimétricos projetados em uma mira, o ângulo vertical, zenital ou nadiral, podemos determinar as distâncias horizontal e vertical. Figura 58 Projeção das distâncias horizontal e vertical. Onde: DH I DV I = ( ) ⋅ ⋅ = ( )⋅ ⋅ cos sin α α 2 100 2 50 Cota do ponto B = Cota do ponto A + hi + DV – FM. A distância vertical (DV), quando está acima da linha do horizonte, tem sinal positivo e quando está abaixo, tem sinal negativo. Obs.: A incerteza das medidas horizontais se encontra de 1:300 a 1:1000, onde a cada 300 metros podemos estar errando 1 metro ou a cada 1.000 me- tros, podemos estar errando 1 metro, e nas diferenças de cotas vamos estar errando entre 5 e 10 centímetros. 85 Quando estamos realizando os serviços de campo é interessante fazer com que a visada do fio inferior coincida com um número inteiro da mira (1,000; 2,000 ou 3,000) para facilitar os cálculos, pois como os fios são equidistantes a diferença entre o fio médio e o fio inferior deve ser igual à diferença entre o fio superior e o fio médio (o fio médio é a media aritmética entre o fio superior e o fio inferior). Exemplo resolvido Complete a tabela sabendo que a cota do ponto zero é 587,437 m. hi Est. P.V. vertical FI FM FS I DH DV cota P.D. 1,55 0 1 0o56’59” 1,000 2,468 “ 0 2 -1o32’46” 1,000 3,054 1,52 2 3 2o12’03” 2,000 2,932 1,48 3 4 -0o47’21” 3,000 3,998 FM FM I I 0 1 0 1 0 1 0 1 1 000 2 468 2 1 734 2 468 1 000 1 − − − − = + ( ) = = − = , , / , , , ,468 1 000 3 054 2 2 027 3 054 1 000 0 2 0 2 0 2 0 2 FM FM I I − − − − = + ( ) = = − , , / , , , = = + ( ) = = − − − − 2 054 2 932 2 000 2 2 466 2 932 2 000 2 3 2 3 2 3 , , , / , , , FM FM I I2 3 3 4 3 4 3 4 0 932 3 998 3 000 2 3 499 3 998 3 00 − − − − = = + ( ) = = − , , , / , , , FM FM I 00 0 998 3 4 , I − = DH DH DH 0 1 2 0 1 0 2 0 56 59 100 1 468 146 760 1 32 − − − = ° ( ) ∗ ∗ = = − ° cos ' '' , , cos '' '' , , cos ' '' 46 100 2 027 202 552 2 12 03 100 2 0 2 2 3 2 ( ) ∗ ∗ = = ° ( ) ∗ ∗ − − DH DH 0 932 93 063 0 47 21 100 0 998 99 2 3 3 4 2 3 4 , , cos ' '' , DH DH DH − − − = = − ° ( ) ∗ ∗ = , sin ' '' , , sin 781 2 0 56 59 50 1 468 2 433 2 0 1 0 1 0 2 DV DV DV − − − = ∗ ° ( )∗ ∗ = = ( ∗ − ° )∗ ∗ = − = ∗ ° ( )∗ − − 1 32 46 50 2 027 5 540 2 2 12 03 5 0 2 2 3 ' '' , , sin ' '' DV DV 0 0 932 3 577 2 0 47 21 50 0 998 2 3 3 4 3 4 ∗ = = ( ∗ − ° )∗ ∗ = − − − − , , sin ' '' , DV DV DV 1 374 , 86 Cota a Cota 1 587 437 1 55 2 433 1 734 1 589 686 2 587 4 = + + − = = , , , , cot , ,  37 1 55 5 540 2 027 2 581 420 3 581 420 1 52 + + −( ) − = = + + , , , cot , , ,  a Cota 3 577 2 466 3 584 051 4 584 051 1 48 1 374 3 , , cot , , , , , − = = + + −( ) −  a Cota 499 4 580 658  cot , a = hi Est. P.V. vertical FI FM FS I DH DV cota P.D. 1,55 0 1 0o56’59” 1,000 1,734 2,468 1,468 146,760 2,433 589,686 1 “ 0 2 -1o32’46” 1,000 2,027 3,054 2,054 202,552 -5,540 581,420 2 1,52 2 3 2o12’03” 2,000 2,466 2,932 0,932 93,063 3,577 584,051 3 1,48 3 4 -0o47’21” 3,000 3,499 3,998 0,998 99,781 -1,374 580,658 4 Obs.: O ponto visado (P.V.) é o mesmo do ponto determinado (P.D.). 3.6 Curva de nível É uma linha sinuosa de mesma altitude (cota), as curvas de nível são gera- das pela interseção do plano com o terreno, onde no desenho será representada essa interseção por uma linha sinuosa. Vamos supor que temos uma elevação e esta tenha uma forma arredondada. Para facilitar a interpretação no desenho, fazemos uma curva mestra (re- presentada por uma linha mais grossa) a cada cinco curvas, e indicamos o valor numérico do plano correspondente. Figura 59 Planos horizontais das curvas de nível. Observando o esquema acima é possível determinar as propriedades das curvas de nível.\n\na) Curvas de nível de altitudes diferentes nunca se cruzam, tampouco se tocam.\n\nb) As curvas de nível são sempre fechadas (retornando ao ponto de saída).\n\nc) Observando um conjunto de curvas de nível em que umas envolvem as outras podemos tirar conclusões: quando as curvas de cotas maiores envolvem as de cotas menores temos uma depressão, e quando as menores envolvem as maiores temos uma elevação.\n\nd) Quando as curvas de nível estão próximas umas das outras, onde teremos maior declividade e, quando estão mais afastadas, teremos a região mais plana.\n\nA fórmula que determina a declividade é i = \\( \\frac{DV}{DH} \\). Se a multiplicarmos por cem, indicaremos a declividade em porcentagem \\( i\\% = \\frac{DV}{DH} * 100 \\).\n\nSegundo Garcia & Piedade (1984), as declividades classificam-se em:\n\nClasse Declividade % Declividade ° Interpretação\nA | 6 | 14.° Fraca\nB | 3 a 6 | 1,7° a 3,4° Moderada\nC | 6 a 12 | 3,4° a 6,8° Moderada a Forte\nD | 12 a 20 | 6,8° a 11,3° Forte\nE | 20 a 40 | 11,3° a 21,8° Muito Forte\nF | > 40 | > 21,8° Extremamente Forte\n\n3.6.1 Formas das curvas de nível\n\nTemos várias formas de curvas de nível para expressar o relevo, as mais importantes são o divisor de água e o talvegue.\n\n87 88 Figura 60 Divisor de água e talvegue. Para determinarmos o talvegue ou o divisor d’água devemos observar, no conjunto das curvas de nível, o sentido do escoamento da água e as sua cotas, pois a água sempre percorrerá o caminho mais curto (fácil de ser vencido), que é portanto perpendicular às curvas de nível. Figura 61 Sentido do escoamento das águas. A cada cinco curvas de um conjunto de curvas de nível, a representação é feita por meio de um traço mais grosso, denominado curva mestra. O espaçamento vertical deve ser representado com metade ou uma vez a casa do milhar da escala. 89 Exemplo Escala do desenho 1:1000 representação das curvas de 0,5 metros ou de 1 metro. Escala do desenho 1:10.000 representação das curvas de 5 metros ou de 10 metros. Escala do desenho 1:50.000 representação das curvas de 20 metros ou de 50 metros. Podemos representar um talude usando convenções topográficas ou por curvas de nível. 3.6.2 Convenções topográficas 3.6.2.1 Representação por platôs Figura 62 Representação por platôs. 90 3.6.2.2 Representação por curvas de nível Figura 63 Representação por curvas de nível. 3.6.3 Triangulação para interpolação Levantamentos planialtimétricos podem ser feitos por meio da elaboração de uma malha quadrada ou por irradiação, observando-se que, no campo, os dados sempre devem ser levantados onde o terreno faz uma deflexão (mudança de sen- tido) e, com isso, teremos uma densidade de pontos com suas respectivas cotas. Posteriormente no escritório iremos, segundo Moura (2006), representar as cur- vas de nível unindo os pontos mais próximos em forma de triângulo, após a união devemos realizar uma interpolação linear, a qual pode ser numérica ou gráfica. Figura 64 Triangulação para interpolação. 91 Exemplo Após um levantamento planialtimétrico realizado por irradiação, foram obti- das as seguintes cotas (Figura 65): Figura 65 Representação das cotas levantadas. Vamos formar os triângulos unindo os pontos por retas, conforme mostra a Figura 66: Figura 66 Representação dos triângulos para interpolação. Vamos interpolar a linha entre as cotas 10,25 a 9,68 e representar a cota de valor inteiro, correspondendo à equidistância vertical, que faremos de metro em metro. Primeiro, calculamos a distância vertical entre os pontos 10,25-9,68=0,57 com uma régua qualquer, sem se importar com a escala do desenho, em segui- da determinamos a distância entre os pontos, vamos adotar 5,4 cm. DH DV 5,4 0,57 92 A distância vertical para a primeira cota inteira é 10-9,68=0,32 DH DV 5,4 0,57 X 0,32 Daí, determinamos a distância horizontal do ponto de cota 9,68 ao ponto de cota 10,00, realizando a regra de três simples: x = ∗ = 5 4 0 32 0 57 3 03 , , , , Novamente utilizamos a mesma régua que medimos a distância da linha, com o zero da graduação em 9,68 medimos 3,03 determinando, assim, o ponto de cota 10,00 sobre esse alinhamento Dessa maneira, realizamos as interpola- ções em todas as linhas, havendo uma curva de cota inteira sobre o ponto que queremos interpolar. Figura 60 Representação dos triângulos para interpolação das curvas de nível. Colocamos o papel milimetrado paralelo à linha onde vamos realizar a interpolação, adotamos a linha dos milímetros como sendo uma cota intei- ra imediatamente inferior à menor cota e daí a cada centímetro vamos adotar que represente um metro, portanto, a próxima linha do centímetro será a cota acrescida de um metro, e as linhas intermediárias, que são as de milímetros, representarão a parte em milímetros, recebendo o valor da cota acrescido de um décimo. Agora podemos plotar na reta que passa pelo ponto de cota mais baixa o seu valor correspondente e do outro lado aplicamos o mesmo raciocínio. 93 Traçamos uma linha da cota mais baixa à cota mais alta, determinando assim a cota de valor inteiro na interseção dessa linha com a linha de centímetro que corresponde à cota inteira. Depois de realizado esse processo, unimos todos os pontos de cotas iguais, representando dessa maneira a curva de nível. Os pon- tos devem ser ligados em linha retas e à mão livre. Figura 67 Representação do traçado das curvas de nível. 3.6.4 Classificação do relevo Para classificar o terreno mediante as curvas de nível, observemos o qua- dro a seguir: Quadro 1 Classificação do relevo. Classificação Relevo Plano Com desníveis próximos a zero Ondulado Com desníveis ≤ 20 m Movimentado Com elevações entre 20 e 50m Acidentado Com elevações entre 50 e 100m Montuoso Com elevações entre 100 e 1.000m Montanhoso Com elevações superiores a 1.000m 3.6.5 Terraplenagem É o movimento de terra (solo) que realizamos para executar os nossos projetos. Vejamos esquematicamente o que acontece ao trabalharmos com o solo. 94 Figura 68 Representação do empolamento do solo. Estamos adotando um valor hipotético para o empolamento e a redução em 30%, caso quisermos saber o valor correto, devemos fazer ensaios em labo- ratórios de mecânica dos solos. Vamos nos atentar à terraplenagem de plataforma e, especificamente, à cota de compensação, nas quais o corte compensa o aterro (VC=VA). Mas lembremos que haverá outras situações: quando o corte for maior que o aterro (VC>VA) tem-se um “bota fora”, ou seja, o excedente tem que ser levado para fora da obra, já quando o aterro for maior que o corte (VA>VC) tem-se um em- préstimo, ou seja teremos que trazer solo de outro lugar. Vejamos um esquema gráfico. Figura 69 Representação de seções de corte e aterro. No primeiro esquema temos uma obra mista, na qual pode ocorrer o citado acima, já no segundo caso, trata-se de uma obra executada somente em corte, e no terceiro caso, somente em aterro. Greide é a cota do projeto, podemos dizer que seria a cota após o término da obra, talude é a inclinação que devemos dar ao solo para que o mesmo fique estável, geralmente adotamos aterro 1,5/1(DH/DV), no corte 1/1(DH/DV) e o off- set é a interseção do talude com o terreno natural. Obs.: a inclinação do talude deve ser determinada em laboratório, pois de- pende do material no local da obra. 95 Quando vamos começar um projeto, a primeira coisa a fazer é determi- nar em uma planta planialtimétrica sua localização, tanto na posição horizontal como na vertical, é o que vamos chamar de antiprojeto. Após essa etapa de- vemos mandar uma equipe de topografia para realizar o levantamento e, com essas informações, devemos fazer o projeto final. No levantamento devemos fazer uma malha quadra, na qual a equidistân- cia entre as estacas depende da precisão requerida (podendo ser de 5 em 5 metros até de 50 em 50 metros), materializando esses vértices com piquetes e, em seguida, devemos realizar o nivelamento geométrico, colocando a mira ao lado do piquete, obtendo assim a cota de cada vértice. Exemplo A partir da tabela abaixo, calcule a cota de compensação sabendo que a redu- ção do material é de 30% e o estaqueamento foi realizado de 20 em 20 metros. A B C D E 1 11,2 11,5 12,2 13,5 14,6 2 11,5 11,9 12,7 13,9 15,0 3 12,3 12,5 13,1 14,2 15,3 4 12,8 13,1 14,0 14,4 15,6 5 13,4 13,8 14,6 15,1 16,1 Vamos calcular a cota média pela média ponderada, onde o vértice que é comum a um só quadrado recebe peso 1, o vértice que é comum a dois quadra- dos recebe peso 2, o vértice que é comum a três quadrados recebe peso 3 e o vértice que é comum a quatro quadrados recebe peso 4. P1 P2 P3 P4 11,2 11,5 11,9 14,6 12,2 12,7 13,4 13,5 13,9 16,1 11,5 12,5 ----- 12,3 13,1 55,3 12,8 14,2 15,0 13,1 15,3 14,0 15,6 14,4 13,8 ------ 14,6 119,8 15,1 *4 ----- ------ 163,2 479,2 *2 ------- 326,4 96 Número de vértices P CM das as dos vértices P P CM 1 4 1 4 2 12 2 24 4 9 4 36 55 → ∗ = = → ∗ = → ∗ = = ∑ ∑ cot , , , , , 3 326 4 479 2 4 24 36 860 9 64 13 452 + + + + = = m 3.6.6 Cálculo da cota de compensação Para que possamos calcular a cota de compensação devemos calcular o volume e, para isso, precisamos desenhar as seções transversais que são per- pendiculares ao sentido do cálculo, para escolher o sentido do cálculo devemos observar quais seções são cortadas ou tocadas pela linha de passagem. Em nosso caso vamos adotar as seções 1,2,3,4 e 5. 3.6.7 Cálculo da área da seção Para o cálculo da área da seção vamos fazer semelhança com as figura geométricas retangulares. Seção transversal 1 Vamos calcular o x e o y DH DV 20 1,3 X 1,252 97 X = 19,262 e Y = 20 - 19,262 = 0,738 Podemos agora calcular as áreas das figuras Área de aterro SA = + ( )   { } + + ( )   ∗ { } + + 2 252 1 952 2 20 1 952 1 252 2 20 1 25 , , / * , , / . 2 19 262 2 86 138 2 ∗ [ ] = , / , m Área corte SC m = ( ) + + ( )   ∗ { } = 0 738 0 048 2 0 048 1148 2 20 11 978 2 , * , / , , / , Seção transversal 2 Vamos calcular o x e o y DH DV 20 1,2 X 0,752 X = 12,533 e Y = 20 - 12,533 = 7,467 Podemos agora calcular as áreas das figuras Área de aterro SA = + ( )   ∗ { } + + ( )   { } + + 1 952 1 552 2 20 1 552 0 752 2 20 0 75 , , / , , / * , 2 12 533 2 62 792 2 ∗ [ ] = , / , m Área corte SC m = ( ) + + ( )   { } = 7 467 0 448 2 0 448 1 548 2 20 21 633 2 , * , / , , / * , 98 Seção transversal 3 Vamos calcular o x e o y DH DV 20 1,1 X 0,348 X = 6,400 e Y = 20 - 6,400 = 13,600 Podemos agora calcular as áreas das figuras Área de aterro SA = + ( )   ∗ { } + + ( )   ∗ { } + 1152 0 952 2 20 0 952 0 352 2 20 0 352 , , / , , / , * , / , 6 400 2 35 206 2 [ ] = m Área corte SC m = ∗ ( ) + + ( )   ∗ { } = 13 600 0 748 2 0 748 1 848 2 20 31 046 2 , , / , , / , Seção transversal 4 Vamos calcular o x e o y DH DV 20 0,9 X 0,352 X = 7,822 e Y = 20 - 7,822 = 12,178 Podemos agora calcular as áreas das figuras Área de aterro SA m = + ( )   ∗ + ∗ [ ] = 0 652 0 352 2 20 0 352 7 822 2 11 417 2 , , / } , , / , 99 Área corte SC = ∗ ( ) + + ( )   ∗ { } + + + 12 178 0 548 2 0 548 0 948 2 20 0 948 2 148 , , / , , / , , ( )   ∗ { } = / , 2 20 49 257 2 m Seção transversal 5 Vamos calcular o x e o y DH DV 20 0,4 X 0,052 X=2,600 e Y=20-2,400=17,400 Podemos agora calcular as áreas das figuras Área de aterro SA m = ∗ ( ] = 0 052 2 600 2 0 068 2 , , / , Área corte SC = ∗ ( ) + + ( )   ∗ { } + + ( ) 17 400 0 348 2 0 348 1148 2 20 1148 1 648 , , / , , / , , / , , / , 2 20 1 648 2 648 2 20 88 908 2   ∗ { } + + ( )   ∗ { } = m Aterro Corte 1 86,138 11,978 2 62,792 21,633 3 35,206 31,046 4 11,417 49,257 5 0,068 88,908 100 Tendo os valores das áreas, poderemos calcular os volumes. Figura 70 Representação de seções para cálculo de volume. 3.6.8 Volume de aterro VA = + ( )   ∗ { } + + ( )   ∗ { } + + 86 138 62 792 2 20 62 792 35 206 2 20 , , / , , / 35 206 11 417 2 20 11 417 0 068 2 20 3 05 , , / , , / . + ( )   ∗ { } + + ( )   ∗ { } = 0 360 3 , . m Volume de Corte VC = + ( )   ∗ { } + + ( )   ∗ { } + 11 978 21 633 2 20 21 633 31 046 2 20 3 , , / , , / 1 046 49 257 2 20 49 257 88 908 2 20 3 04 , , / , , / * . + ( )   ∗ { } + + ( )   { } = 7 580 3 , m . Houve uma diferença entre o volume de aterro e o de corte, que foi causa- da pelo arredondamento dos valores. Diferença 3.050,369 - 3.047,580 = 2,789 m3 Para determinar a cota de compensação usaremos uma cota média: 3 050 360 3 047 580 2 3 048 970 3 . , . , / . , + ( ) = m . 101 Figura 71 Representação de seções para determinação da cota média para compensação. Sabendo que a fórmula para calcular o volume é Vol. = área*h, daí podemos tirar o h = Vol./área. h m m m m = ∗ ( ) = 3 038 970 80 80 0 476 3 . , / , Ficando assim a cota de compensação: CP = − = 13 452 0 476 12 976 , , , . 3.7 Modelagem numérica do terreno Um Modelo Numérico de Terreno (MNT) é uma representação matemática computacional da distribuição de um fenômeno espacial que ocorre dentro de uma região da superfície terrestre. Dados de relevo, informações geológicas, levantamentos de profundidades do mar ou de rios, informações meteorológicas e dados geofísicos e geoquímicos são exemplos típicos de fenômenos represen- tados por um MNT. Dentre alguns usos do MNT, pode-se citar: Armazenamento de dados de altimetria para gerar mapas topográficos; • • Análises de corte-aterro para projetos de estradas e barragens; 102 Elaboração de mapas de declividade e exposição para apoio da análise • de geomorfologia e erodibilidade; Apresentação tridimensional (em combinação com outras variáveis). • Figura 72 Exemplo de modelo numérico do terreno. Para a representação de uma superfície real no computador é indispensá- vel a elaboração e criação de um modelo digital, que pode estar representado por equações analíticas ou por uma rede (grade) de pontos, de modo a transmitir ao usuário as características espaciais do terreno. Figura 73 Exemplo de grade retangular com evidência do relevo. A criação de um modelo numérico de terreno corresponde a uma nova ma- neira de enfocar o problema da elaboração e implantação de projetos. A partir dos modelos (grades) é possível calcular diretamente volumes, áreas, desenhar perfis e seções transversais, gerar imagens sombreadas ou em níveis de cinza, gerar mapas de declividade e aspecto, gerar fatiamentos nos intervalos deseja- dos e perspectivas tridimensionais. 103 O processo de geração de um modelo numérico de terreno pode ser dividi- do em duas etapas: (a) aquisição das amostras ou amostragem e (b) geração do modelo propriamente dito ou interpolação. Após a geração do modelo, podem- se desenvolver diferentes aplicações. A amostragem compreende a aquisição de um conjunto de amostras repre- sentativas do fenômeno de interesse. Geralmente essas amostras estão repre- sentadas por curvas de isovalores e por pontos tridimensionais. A interpolação envolve a criação de estruturas de dados e a definição de superfícies de ajuste com o objetivo de se obter uma representação contínua do fenômeno a partir das amostras. Essas estruturas são definidas de forma a pos- sibilitar uma manipulação conveniente e eficiente dos modelos pelos algoritmos de análise contidos no SIG. As estruturas de dados mais utilizadas são: a grade regular e a malha triangular. As aplicações são procedimentos de análise executados sobre os mode- los digitais. As aplicações podem ser qualitativas, tais como a visualização do modelo usando-se projeções geométricas planares ou quantitativas, tais como cálculos de volumes e geração de mapas de declividades. 3.7.1 Amostragem A amostragem compreende a aquisição de um conjunto de amostras que representam a variação de um fenômeno espacial de interesse. Na definição de uma amostragem representativa deve-se considerar a quantidade e também o posicionamento das amostras em relação ao comportamento do fenômeno a ser modelado. Uma superamostragem de altimetria numa região plana significa redundância de informação, enquanto poucos pontos em uma região de relevo movimentado, significa escassez de informações. As fontes mais comuns de amostras de modelos digitais de terrenos são: arquivos digitais, importados de outros sistemas, bases topográficas com iso- linhas e pontos notáveis de máximos e mínimos e levantamentos em campo transformados, de alguma forma, em informações digitais. Para dados de alti- metria pode-se, por exemplo, realizar levantamentos em campo com o auxílio de GPS (“Ground Position Systems”). Um conjunto de amostras pode ainda ser obtido a partir de pares estéreos de imagens de sensoriamento remoto. Os dados de modelo numérico de terreno estão representados por coor- denadas 3D (x,y,z). Quanto à posição relativa das amostras pode-se classificar a amostragem em: regular, semirregular e irregular. A amostragem regular é aquela cuja posição espacial (x, y) das amostras mantém uma regularidade de 104 distribuição. As amostragens semirregulares são aquelas que preservam a re- gularidade de distribuição espacial na direção x ou y, mas nunca nas duas ao mesmo tempo. Amostragens por perfis, por exemplo, apresentam regularidade em uma direção preestabelecida. Figura 74 Representação de um modelo digital do terreno nas coordenadas xyz. Os métodos de aquisição de dados podem ser: (a) por pontos amostrados com espaçamento irregular e regular; (b) por mapa de isolinhas. A Figura 75 mostra vários tipos diferentes de amostragem por pontos e a Figura 76 ilustra o caso de um mapa de isolinhas. Figura 75 Representação dos métodos de aquisição de dados. 105 Figura 76 Representação de um mapa de isolinhas. O cuidado na escolha dos pontos e a quantidade de dados amostrados es- tão diretamente relacionados com a qualidade do produto final de uma aplicação sobre o modelo. Para aplicações em que se requer um grau de realismo maior, a quantidade de pontos amostrados, bem como o cuidado na escolha destes, ou seja, a qualidade dos dados é decisiva. Quanto maior a quantidade de pontos representantes da superfície real, maior será o esforço computacional para que estes sejam armazenados, recuperados e processados, até que se alcance o produto final da aplicação. No caso de amostragem por isolinhas, trata-se da representação de uma superfície por meio de curvas de igual cota, como exemplo mais comum temos as isolinhas altimétricas existentes nos mapas topográficos. Nesses mapas, as isolinhas foram impressas com o uso de equipamentos como stereoplotters, so- bre uma base composta de fotografias em estéreo, obtidas por aerolevantamen- to. Cabe ainda mencionar que nesses mapas topográficos existem pontos amos- trados irregularmente que foram obtidos por trabalhos de campo. A aquisição das isolinhas pode ser efetuada por meio de digitalização manual com uso de uma mesa digitalizadora ou por meio de um processo automático com scanner. A digitalização manual consiste na operação de identificação de uma iso- linha com um valor de cota e em aquisição pelo operador por um processo no qual se segue a linha ao longo do mapa. Na digitalização com o uso de scanner, é obtida uma matriz de pontos em que podem ser identificados as isolinhas e os valores de cota. Os processos de vetorização mais comuns transformam uma isolinha em uma sequência de pontos. UNIDADE 4\nCartografia 109 4.1 Introdução Cartografia pode ser considerada como a ciência e a arte de expressar a superfície terrestre por meio de mapas e cartas. Um mapa representa a superfí- cie da Terra como é vista de cima, acrescentada de detalhes importantes como os limites políticos/administrativos de municípios, estados e países, referencia- dos a uma rede de meridianos e paralelos. 4.2 Conceito de carta ou mapa A NBR 13133 (1994) dá a seguinte definição para carta ou mapa: Representação gráfica sobre uma superfície plana, dos detalhes físicos, naturais e artificiais, de parte ou de toda a superfície terrestre – mediante símbolos ou convenções e meios de orientação indicados, que permitem a avaliação das distâncias, a orientação das direções e a localização geográ- fica de pontos, áreas e detalhes – podendo ser subdividida em folhas, de forma sistemática, obedecido um plano nacional ou internacional. Esta re- presentação em escalas médias e pequenas leva em consideração a curva- tura da Terra, dentro da mais rigorosa localização possível relacionada a um sistema de referência de coordenadas. A carta também pode constituir-se numa representação sucinta de detalhes terrestres, destacando, omitindo ou generalizando certos detalhes para satisfazer requisitos específicos. A clas- se de informações que uma carta ou mapa se propõe a fornecer é indicada, freqüentemente, sob a forma adjetiva, para diferenciação de outros tipos, como por exemplo, carta aeronáutica, carta náutica, mapa de comunicação, mapa geológico (ABNT, 1994). Para pequenas regiões, com dimensão máxima de 70 km a partir da ori- gem, a representação de detalhes medidos na superfície da Terra pode ser feita sobre um plano horizontal, normal à vertical do lugar no ponto de origem do levantamento topográfico. As projetantes são ortogonais à superfície de proje- ção, não se considerando a curvatura da Terra. Os pontos são referenciados a coordenadas cartesianas locais, X e Y, geralmente com o eixo das ordenadas (Y) coincidindo com a direção do Norte geográfico ou magnético. Para regiões maiores, o plano tangente à superfície da Terra não permite uma representação precisa. As deformações em azimutes e distâncias são signifi- cativas, para eliminá-las ou reduzi-las é necessário considerar a curvatura da Ter- ra. As técnicas de medição em campo e o cálculo das coordenadas exigem maio- res rigores, deixando o campo da Topografia comum e entrando na Geodésia. 110 Nessa ciência, os pontos determinados sobre a superfície da Terra em re- lação a um Sistema de Referência são projetados sobre uma superfície de fácil determinação matemática: o elipsoide. A passagem dos pontos projetados sobre o elipsoide para um mapa, ou seja, um plano, é feita utilizando-se um Sistema de Projeção Cartográfica, escolhido conforme o uso a que se destina o mapa. 4.3 Modelos da superfície terrestre 4.3.1 O elipsoide Como a representação matemática da superfície da Terra, por sua comple- xidade, é praticamente impossível, adota-se uma simplificação constituída por um elipsoide de revolução. O elipsoide de revolução pode ser definido como sendo um sólido gerado pela rotação de uma elipse em torno do eixo de seus polos. Um elipsoide pode ser perfeitamente definido por meio de dois parâmetros: os semieixos a e b. Em Geodésia, é usual considerar como parâmetros o semieixo maior a e o achata- mento α. Figura 77 Elipsoide. A partir dos semieixos do elipsoide é possível estabelecer as seguintes relações: Achatamento = α α = a − b a (1) 111 1a excentricidade = e e c = a (2) 2a excentricidade = e’ e c ' = b (3) para c a b 2 2 2 = − (4) Para os cálculos geodésicos, são usuais as seguintes linhas e ângulos do elipsoide: Figura 78 Eixos e ângulos do elipsoide. Seção normal: é qualquer seção que contenha a normal ao elipsoide no ponto P da superfície. Seção meridiana: é a seção normal que contém o eixo dos polos PN-PS. Grande normal (N): é o segmento PQ da normal, que vai do ponto P, na superfície, até o encontro Q da normal com o eixo dos polos. Pequena normal (N’): é o segmento PR da normal, que vai do ponto P ao plano do Equador. Meridianos geodésicos: correspondem aos meridianos da Terra, definin- do-se como seções perpendiculares ao Equador, que contêm o eixo dos polos. 112 Na Figura 78 correspondem às seções meridianas PN-A1, PN-A2, PN-A3. Longitude: é o ângulo com aresta PS-PN entre o meridiano local e o meri- diano de Greenwich (PN-A1). Latitude geodésica ou elipsóidica: é o ângulo normal ao elipsoide no ponto, com o plano do Equador. 4.3.1.1 Raios de curvatura sobre o elipsoide Raio de curvatura da seção meridiana (M): M a e e sen = ⋅ ( − ) − ⋅ ( ) 1 1 2 2 2 1 5 φ , (5) Raio de curvatura na seção transversa (N): N a e sen = − ⋅ 1 2 2φ (6) Raio médio de curvatura (Rm): Rm M N = ⋅ (7) onde: a = semieixo maior do elipsoide e = primeira excentricidade do elipsoide ϕ = latitude do local Obs. Os valores de a e e , para alguns elipsoides, encontram-se no tópico a seguir. 4.3.2 O geoide O geoide é uma outra aproximação da forma da Terra, utilizado principal- mente como referência para as altitudes ortométricas. Define-se altitude ortométrica (H) de um ponto qualquer como sendo a dis- tância vertical compreendida entre o ponto e o geoide normal a este. 113 O geoide pode ser definido como a superfície equipotencial do campo de gravidade da Terra que mais se aproxima do nível médio dos oceanos. As superfícies equipotenciais ou superfícies de potencial gravitacional constante, na superfície terrestre ou próximas a ela, são figuras suavemente onduladas, perpendiculares às linhas de força do campo de atração da Terra em todos os seus pontos. São designadas em Geodésia pelo nome de geópe. Figura 79 Geópe. O geoide é um geópe particular: aquele que passa pelo datum vertical. No Brasil, o datum vertical para as altitudes ortométricas é o nível médio do mar, na cidade de Imbituba (SC). Enquanto o elipsoide é uma figura matematicamente definida, o geoide, por sua complexidade, é definível com precisão razoável, apenas para peque- nas regiões. Como a superfície do geoide é função do campo gravitacional da Terra, ora se afasta, ora se aproxima da superfície do elipsoide, em razão de a distribuição de massas do planeta não ser homogênea. A separação entre as superfícies do elipsoide e do geoide denomina-se ondulação geoidal e representada por N. 114 Figura 80 Ondulação geoidal, altura elipsoidal e altitude ortométrica. O valor da ondulação geoidal N pode ser obtido a partir cartas geoidais (Figura 81) ou comparando-se a altura geométrica ou elipsoidal h, obtida por meio do GPS, com a altitude ortométrica H, quando o rastreamento dos satélites é feito com a antena do receptor GPS sobre pontos onde H é conhecida. Figura 81 Carta geoidal. 115 A carta geoidal da figura anterior foi elaborada a partir da comparação entre alturas geoidais, obtidas com auxílio de satélites artificiais e alturas esfe- roidais (um modelo que admite a Terra como uma esfera), e referenciadas ao elipsoide do sistema SAD-69 por Blitzkow et al. (1992). A magnitude máxima da ondulação geoidal, atingida na região oeste do Brasil, é cerca de 25 metros, com erro relativo de 0,20 m/km. 4.4 Elipsoides no Brasil Para que a posição de um ponto sobre a superfície da Terra possa ser claramente definida, adotam-se sistemas geodésicos de referência com eixos orientados em relação ao eixo de rotação da Terra e a um meridiano de origem, de forma a definir uma posição única para o ponto. O referenciamento geodésico de um ponto é feito sobre a superfície de um elipsoide. Cada país pode fazer uso de um ou mais elipsoides. A escolha de um elipsoide é feita, geralmente, em função de sua forma e achatamento, bus- cando a melhor adaptação para o geoide local. O “ajustamento” do elipsoide é feito sobre pontos geodésicos bem definidos, de forma que possam ser usados como datum para todo o sistema de referência. Um datum é definido por cinco parâmetros: vértice de origem, coordenadas, azimute, altura geoidal e elipsoide de referência. Durante muitos anos o Brasil utilizou-se do elipsoide de Hayford, tendo como data (plural de datum) os vértices geodésicos de Córrego Alegre (MG), La Canoa (Venezuela) e Astro-Chuá (MG). A partir de meados da década de 1970, passou a adotar o elipsoide desen- volvido pela Associação Geodésica Internacional em 1967 (UGGI-67), estabele- cendo um novo datum no vértice VT-Chuá, denominado South American Datum of 1969 (SAD-69). O Decreto no 89.317, de 20 de junho de 1984, estabeleceu as Instruções Reguladoras das Normas Técnicas da Cartografia Nacional e instituiu o SAD-69 como “Datum oficial a ser utilizado em toda e qualquer representação cartográ- fica do Território Nacional”. Para um usuário da Cartografia é importante notar que as coordenadas geodésicas Latitude (ϕ) e Longitude (λ) de um mesmo ponto têm valores dife- rentes quando se utilizam de diferentes elipsoides. Para utilização em mapas com escalas 1:50.000 ou maiores, é sempre recomendável a transformação das coordenadas para um único elipsoide: aquele que se está utilizando no sistema de projeção cartográfica. 116 No posicionamento GPS, as coordenadas dos pontos são obtidas com re- ferência ao elipsoide do World Geodetic System of 1984 (WGS-84). Tabela 1 Parâmetros de elipsoides elipsoide semieixo a semieixo b achatamento f excentricidade e Hayford 6.378.388 6.356.911,946 1/297 0,0819918888 SAD-69 6.378.160 6.356.774,719 1/298,25 0,0818201799 WGS 84 6.378.137 6.356.752.314 1/298,2572233563 0,08181918994 4.5 Meridianos e paralelos A posição de pontos na superfície da Terra pode ser referenciada a um sis- tema de eixos imaginários: os meridianos e os paralelos. A posição de um ponto é definida pela interseção entre um meridiano e um paralelo. Figura 82 Meridianos e paralelos. Meridiano é um arco de círculo máximo que passa pelos polos Norte e Sul, determinado por um plano que contém o centro da Terra. Existem infinitos me- ridianos podendo-se dizer que, como são considerados linhas sem espessura, por cada ponto da superfície da Terra, passa um meridiano. Inicialmente cada país adotava um meridiano de origem para sua cartografia, geralmente aquele que passava pela sua capital. Para unificar as referências, em 1895, o Congresso Internacional de Geografia adotou o meridiano passando pelo Observatório de Greenwich, Londres, como referência mundial para as longitudes. Para completar o sistema de eixos de referência utilizam-se linhas perpen- diculares aos meridianos: os paralelos. O Paralelo principal é aquele que divide a Terra em duas partes iguais, denominado Equador, a partir de onde são con- tadas as latitudes. 117 O conjunto de meridianos e paralelos forma uma rede de linhas imaginá- rias ao redor do globo terrestre que servem de referência para as coordenadas geográficas Latitude e Longitude. 4.6 Latitude e longitude A latitude, representada pela letra ϕ, é o arco de meridiano em graus, mi- nutos e segundos, medido a partir do Equador, de 0o a 90o, para o Norte ou para o Sul, até o paralelo que passa pelo ponto considerado. Figura 83 Latitude e longitude. O enunciado completo de uma latitude deve vir com o valor angular acom- panhado do nome do hemisfério em que o ponto se encontra, por exemplo, 22o 00’ 00” Sul, ou ainda de sinal. Por convenção, o sinal positivo indica um ponto no hemisfério norte e o sinal negativo um ponto no hemisfério sul, por exemplo: –22o 00’ 00”. A longitude, representada pela letra λ, é o arco de paralelo em graus, mi- nutos e segundos, medido a partir do meridiano de origem, para Leste ou para Oeste, de 0o a 180o, até o meridiano que passa pelo ponto considerado. Também o enunciado completo da longitude deve conter o valor angular acompanhado das letras W ou E, indicando se a posição está, respectivamente, a oeste ou a leste do meridiano de origem. 118 Os ângulos correspondentes à latitude e à longitude geográficas são geo- cêntricos, isto é, têm seus vértices no centro da Terra. Ilustrando a forma de notação, um dos marcos para rastreamento de saté- lites do GPS implantado no campus da UFSCar tem suas coordenadas referen- ciadas ao WGS-84: Latitude = ϕ = 21o 58’54,14” S Longitude = λ = 47o 52’44,29 W 4.7 Sistemas de projeção cartográfica A posição de um ponto na superfície da Terra pode ser rigorosamente defi- nida por suas coordenadas Latitude e Longitude. Entretanto, a representação de pontos da superfície da Terra em um mapa está sujeita a deformações conse- quentes da planificação do elipsoide ou da esfera. Na projeção sobre um plano de pontos que definem uma área, sempre ocorre um deslocamento desigual destes, qualquer que seja o sistema de projeção adotado. Para representar em um mapa a superfície terrestre ou parte dela, utili- zam-se técnicas que correlacionam pontos da superfície com sua representa- ção plana. Essa correlação é feita com os sistemas de projeção cartográfica. Os principais sistemas de projeção cartográfica utilizam uma correspondência matemática entre as coordenadas esféricas ou elipsoidais e as coordenadas plano-retangulares das cartas. 4.7.1Classificação dos sistemas de projeção As projeções cartográficas podem ser classificadas por diversos critérios, como por exemplo: método de construção, situação do ponto de vista, superfície de projeção, propriedades que conservam, etc. 4.7.1.1 Quanto à propriedade que conservam Nenhum sistema de projeção conserva todas as propriedades ao mesmo tempo, tampouco é capaz de apresentar uma propriedade básica que se repita dentro de toda a extensão da carta. As principais propriedades são: 1. Conformidade: os ângulos não são deformados, consequentemente a forma se mantém dentro de alguns limites de extensão. A conformidade implica numa variação de escala de um ponto para outro. 119 2. Equivalência : as áreas são conservadas dentro de alguns limites de extensão ou, considerando-se a escala, as áreas da carta são propor- cionais às da natureza. 3. Equidistância: As deformações lineares são nulas em uma ou algumas direções ao redor de um centro. Existem sistemas de projeção que não apresentam nem a conformidade nem a equivalência, mas obtêm uma fidelidade razoável, ou seja, uma deformação míni- ma, combinando a aproximação linear com a angular. São as projeções afiláticas. 4.7.1.2 Quanto à orientação do eixo da superfície de projeção A posição do ponto de tangência nas superfícies planas gera as denomi- nações: polar para tangência no polo, equatorial ou meridiana para tangência no equador e horizontal ou oblíqua quando a tangência é em um ponto qualquer. Nas superfícies por desenvolvimento, quando o eixo vertical coincide com a linha dos polos, é denominada normal nas cônicas e equatorial nas cilíndricas. Denomina-se transversa ou meridiana quando a posição do eixo é horizon- tal, tanto para as cônicas como para as cilíndricas. Quando o eixo estiver situado em uma posição qualquer, denomina-se horizontal nas cônicas, e oblíqua nas cilíndricas. 120 Figura 84 Tipos de projeções. 4.7.1.3 Designação A denominação das projeções segue a sequência: a natureza da superfície de projeção: cilíndrica, plana e cônica. 1. a posição do eixo em relação à linha dos polos: polar, transversa e normal. 2. se analíticas, a propriedade que conservam: conforme, equiárea e equi- 3. distante. Se geométricas, a posição do ponto de vista: ortográfica, este- reográfica, gnomônica. 121 4.8 Nomenclatura de folhas topográficas A nomenclatura das folhas topográficas e dos mapas segue o mesmo pa- drão da Carta do Brasil ao Milionésimo, que faz parte da Carta Internacional do Mundo (CIM), na escala 1: 1.000.000. Entre as latitudes 84o N e 80o S, o sistema de projeção adotado é a Projeção Cônica de Lambert e nas regiões polares, a Projeção Estereográfica Polar. A Carta do Brasil ao Milionésimo é composta de 46 folhas, cada folha abrangendo uma área de 4o em latitude por 6o em longitude. O intervalo de 6o no sentido das longitudes determina os fusos, ou seja, as faixas delimitadas pelos meridianos. Os paralelos limitam as zonas em faixas de 4o em 4o de latitude, a partir do Equador até os paralelos de 88o de latitude Norte e Sul. As faixas são denominadas pelas letras de A (no equador) a V (no paralelo 88o). A partir do paralelo 88o até o paralelo 90o , estão contidas as duas calotas polares represen- tadas pela letra Z. No sentido das longitudes, as zonas estão divididas em 60 fusos de 6o cada um, contados de oeste para leste a partir do antimeridiano de Greenwich, ou seja, o meridiano de longitude 180o. A folha 1:1.000.000 se desdobra em outras escalas maiores, na seguinte sequência: 1. a folha 1:1.000.000 (4 o x 6o) divide-se em quatro folhas (2o x 3o) de escala 1:500.000: V, X, Y, Z. 2. a folha 1:500.000 divide-se em quatro folhas (1 o x 1o30’) de escala 1:250.000: A, B, C, D. a folha 1:250.000 divide-se em seis folhas (30’x 30’) de escala 1:100.000: 3. I, II, II, IV, V, VI. a folha 1:100.000 divide-se em quatro folhas (15’ x 15’) de escala 1: 4. 50.000: 1, 2, 3,4. a folha 1:50.000 divide-se em quatro folhas (7’30” x 7’30”) de escala 1: 5. 25.000: NO, NE, SO, SE. a folha 1:25.000 divide-se em seis folhas (3’45” x 2’30”) de escala 1: 6. 10.000: A, B, C, D, E, F. 122 Figura 85 Fusos e zonas. Figura 86 Articulação de folhas. 123 4.9 Sistema de projeção universal transverso de Mercator (UTM) Os princípios desse sistema de projeção, que utiliza o desenvolvimento do cilindro, foram concebidos pelo cartógrafo belga Gerhard Kremer (1512-1594), mais conhecido pelo seu nome latinizado Mercator. Esse sistema foi utilizado pela primeira vez em 1569 para a produção de um mapa-múndi. Importantes avanços nesse sistema foram desenvolvidos por Lambert (1772), Gauss (1825) e Krüger (1912). Em sua concepção atual, o Sistema Universal Transverso de Mercator (UTM) é baseado na projeção cilíndrica transversa, conforme foi proposto pelos Estados Unidos, em 1950, com o objetivo de abranger facilmente todas as lon- gitudes. Em latitudes o sistema é limitado aos paralelos 80o N e 80o S, porque a partir dessas latitudes as deformações são significativas. As regiões polares são representadas pela projeção Estereográfica Polar Universal. Figura 87 Esfera e cilindro secante. As especificações do sistema UTM, enunciadas a seguir, são universais: Projeção cilíndrica transversa, conforme os princípios de Mercator, Lambert 1. e Gauss-Krüger. 124 Figura 88 Fusos do UTM. Pode ser adotado um único elipsoide para todo o globo, como o WGS- 2. 84, ou cada país adotar aquele(s) que mais se ajuste(m) ao seu território. No Brasil, adotou-se o UGGI-67, tendo como datum o vértice de Chuá (MG) do South American Datum of 1969 (SAD-69). 125 Figura 89 Fusos do Brasil. 3. Divisão do globo terrestre em 60 fusos, de 6 o cada, obtidos pela rotação do cilindro no plano do Equador. Os fusos são numerados de 1 a 60, a partir do antimeridiano de Greenwich, com o primeiro fuso compreendido entre as longitudes 180o W e 174o W. Os cálculos e fórmulas matemáticas são idênticos para todos os fusos e os resultados, válidos para toda a Terra. Figura 90 Fusos do UTM. 126 A origem da coordenada (E) no sentido das longitudes é o meridiano 4. central de cada fuso. Para evitar coordenadas negativas, atribui-se o va- lor de 500.000 ao meridiano central, aumentando positivamente para leste e negativamente para oeste. Figura 91 Coordenadas e quadrículas. A origem da coordenada (N), no sentido das latitudes é o Equador. Para 5. o hemisfério sul, atribui-se o valor 10.000.000 à origem, decrescendo no sentido do polo. Para o hemisfério norte, atribui-se 0 (zero) à origem, crescendo no sentido do polo. A unidade de medida é o metro. 6. 7. O fator de escala no meridiano central é Ko = 1 - 1/2500 = 0,9996. Isso corresponde a tomar um cilindro reduzido desse valor, secante ao esfe- 127 roide terrestre. O resultado é a redução do valor absoluto das deforma- ções e o surgimento de duas linhas de deformação nula (K = 1), com redução no interior (K<1) e ampliação no exterior (K>1). 8. As latitudes do sistema variam de 80 o Norte a 80o Sul. Figura 92 Fuso de 6o – UTM. Quando a região de interesse está no limite do fuso, admite-se que a folha topográfica avance até 30’ (trinta minutos) sobre o fuso vizinho. A origem das co- ordenadas será a mesma do fuso em que está situada a maior parte da região. Para reduzir os erros de escala, podem ser adotados fusos com amplitude de 3o (RTM) e 1o (LTM). As expressões matemáticas e a metodologia são as mesmas, mudando apenas o coeficiente de escala Ko (vide item fator escala a seguir) para o meridiano central e o valor das coordenadas na origem. São atribuídos os seguintes valores para a origem das coordenadas: RTM: N = 5.000.000 no Equador decrescente para o polo (hemisfério sul). E = 400.000 no meridiano central, crescendo para leste e reduzindo para oeste. LTM N = 5.000.000 no Equador decrescente para o polo (hemisfério sul). E = 200.000 no meridiano central, crescendo para leste e reduzindo para oeste. 128 Figura 93 Fuso de 1o – LTM. 4.9.1 Quadrículas As quadrículas do sistema UTM são conjuntos de linhas retas, espaçadas uni- formemente, que se interceptam em ângulos retos, formando um quadriculado. O intervalo entre as linhas verticais da quadrícula, segundo Libault (1975), é função da escala adotada na folha, mas sempre relacionado a uma distância em número redondo de metros, geralmente quilômetro ou seus múltiplos. As linhas verticais são paralelas ao meridiano central e as horizontais são paralelas ao Equador. Cada fuso da projeção UTM apresenta uma quadrícula particular, não havendo ligação nas bordas entre a quadrícula de uma folha de um fuso e a outra da folha vizinha de outro fuso. 4.9.2 Fator escala O fator escala, representado pela letra K, é o número usado para transfor- mação da distância geodésica ou elipsóidica em plana e vice-versa. O fator escala é variável de ponto para ponto sobre o mapa. Geralmente as folhas topográficas indicam, em seu rodapé, o valor de K para o centro da folha. Esse fator pode ser obtido pela expressão: K K E MN =  +    0 2 1 2 ' (8) 129 onde: K = fator escala no ponto considerado M = raio de curvatura na seção meridiana em m N = raio de curvatura na seção transversa em m E’= distância ao meridiano central em m K0 = fator escala no meridiano central, sendo: 0,9996 para fuso de 6o de amplitude (UTM) 0,9999 para fuso de 3o de amplitude (RTM) 0,999995 para fuso de 1o de amplitude (LTM) Tabela 2 Erro de escala sistema de projeção erro de escala no meridiano central erro de escala nas bordas UTM 1:2.500 1:1.000 RTM 1:10.000 1: 4.000 LTM 1:200.000 1:30.000 Para cálculos mais precisos do fator escala, utiliza-se a expressão mais completa: K K E E MN K m = + +     ∗ ∗             0 2 2 0 2 1 1 12 1 2 1 ' ∆ (9) onde: K0 = fator escala no meridiano central E’= distância do ponto ao meridiano central Para UTM E E ' . = 500 000 − (10) E’m = média de E’ dos pontos extremos da linha ∆E = diferença entre as coordenadas E dos extremos da linha M = raio de curvatura na seção meridiana N = raio de curvatura na seção transversa 130 A rigor, existe um fator escala para cada ponto. Entretanto, para pequenas distâncias e cálculos ordinários, pode-se tomar o fator escala para o centro da região. Para bases longas e cálculos mais rigorosos adota-se um valor pondera- do, dado para K pela expressão: 1 1 6 1 4 1 1 3 2 K K K K = + +     (11) sendo K1 = fator escala num dos extremos da base K2 = fator escala no outro extremo da base K3 = fator escala no ponto médio 4.10 Transporte de distâncias 4.10.1 Transporte de distâncias topográficas para diferentes altitudes A variação de uma distância (∆s) em diferentes altitudes é dada por: ∆ ∆ ∆ s S S S H R H H M = − = ⋅ + + ' ' (12) onde: ∆s = variação da distância devido à mudança de altitude em m. S’ = distância na altitude H + ∆H em m. S = distância na altitude H em m. ∆H = diferença de altitudes em m. RM = raio médio dado por: R M N M = ⋅ , sendo: M = raio de curvatura na seção meridiana em m. N = raio de curvatura na seção transversa em m. 131 4.10.2 Transporte de distância da altitude H para o geoide S S R R H M M 0 = +     (13) onde: S0 = distância reduzida ao geoide em m S = distância na altitude H em m RM = raio médio em m H = altitude ortométrica em m 4.10.3 Transporte de distância ao elipsoide S S R R H N M M 0 = + +     (14) onde: S0 = distância reduzida ao elipsoide em m S = distância na altitude H em m H = altitude ortométrica em m RM = raio médio em m N = ondulação geoidal em m 4.10.4 Projeção da distância elipsoidal sobre o plano A projeção da distância elipsoidal ou da distância geoidal sobre o cilindro planificado (distância plana = Sp) é obtida multiplicando-a pelo fator escala K: S S K p = 0 ⋅ (15) onde: Sp = distância plana na projeção UTM S0 = distância geoidal ou elipsoidal K = fator escala 132 4.10.5 Sequência de cálculo para distâncias A obtenção da distância plana na projeção UTM a partir de uma distância medida sobre a superfície da Terra segue a sequência: transporte da distância ao elipsoide ou ao geoide, com uso das expres- • sões 14 ou 13 respectivamente; projeção da distância elipsoidal (ou geoidal) sobre o plano, obtida multipli- • cando-se a distância elipsoidal pelo fator escala (expressões 8, 9 ou 11). Inversamente, para se obter a distância sobre a superfície terrestre, a partir de uma distância medida sobre uma carta na projeção UTM: transporte da distância plana para o elipsoide (ou geoide), obtido dividin- • do-se a distância plana (dp) pelo fator escala (K). transporte da distância elipsoidal (S0) para a superfície terrestre (S), obtida por: S S R H N R M M = + +     0 (16) com S0 = distância elipsoidal ou S S R H R M M = +     0 (17) com S0 = distância geoidal 4.11 Azimutes 4.11.1 Azimute topográfico Azimute topográfico de uma linha é o ângulo medido em um de seus vér- tices, entre o meridiano que passa por esse ponto e a linha. Os azimutes são medidos de 0o a 360o, no sentido horário, a partir da direção norte. Quando o meridiano é referido ao polo norte magnético, o azimute é deno- minado Azimute Magnético. A determinação da direção do polo norte magnético, ou seja, o meridiano magnético, é feita com emprego de bússolas, e está sujeita a muitas fontes de erros. Acrescente-se ainda que o próprio polo magnético está em constante deslocamento. Devido à baixa precisão e às facilidades para determinação do azimute verdadeiro com novas tecnologias, em especial o GPS, esse azimute, atualmente, é muito pouco utilizado.\n\nQuando o meridiano de referência é o meridiano geográfico, isto é, passa pelos polos norte e sul definidos pelo eixo de rotação da Terra, o azimute é denominado Azimute Geográfico ou Azimute Verdadeiro.\n\nO azimute de linhas de uma poligonal pode ser calculado a partir do azimu-te de uma de suas linhas e dos ângulos horizontais formados entre elas.\n\nNo campo da Topografia, considera-se que os meridianos são paralelos em todos os vértices de uma poligonal. Pode-se, então, calcular os azimutes das demais linhas, conhecido o de uma delas, por:\n\nAzimute = Azimute anterior + Ângulo à Direita ± 180º\n\nO sinal do último termo é dado por:\n\nse (azim. ant. + ang.dir) < 180º, o sinal é positivo\nse (azim. ant. + ang.dir) > 180º, o sinal é negativo\nse após subtrair 180º o resto for maior que 360º, subtrai-se mais 360º.\n\n4.11.2 Azimute plano\n\nAzimute plano é o ângulo compreendido entre a linha vertical da quadrícula (norte da quadrícula - NQ) e a linha considerada. É medido de 0º e 360º, no sentido horário, a partir da quadrícula. O azimute plano é utilizado para cálculo das coordenadas plano-retangulares do sistema UTM.\n\nQd! I|jxud!<7.!r!d|)!px!h!sdqr!fruhvsrqgh!d:r|!¿djxr!AB, compreendido entre a paralela (NQ) ao meridiano central do fuso e a corda da transformada.\n\nO azimute plano pode ser obtido a partir do azimute verdadeiro, por:\n\nAzimute plano = Azimute verdadeiro ± γ\n\nonde:\nγ = convergência meridiana. 134 4.11.3 Azimute elipsóidico O azimute elipsóidico corresponde ao ângulo ( αAB na Figura 93) compreen- dido entre a tangente ao meridiano local e a tangente à transformada. O azimute elipsóidico tem origem no sul e varia de 0o a 360o no sentido SW-NE. Figura 94 Azimutes e Redução Angular. 4.12 Convergência meridiana Convergência meridiana é o ângulo compreendido entre o norte geográfico e o norte da quadrícula. Como os meridianos convergem a partir do Equador em direção aos polos, e as linhas verticais da quadrícula são paralelas apenas a um meridiano - o meridiano central - forma-se um ângulo entre os outros meridianos e a quadrícula, ao que se denomina convergência meridiana. A rigor, define-se convergência meridiana como “o ângulo γ que a tangente a um meridiano, num determinado ponto, faz com a paralela ao meridiano central”. 135 Figura 95 Quadrículas e convergência. A convergência meridiana é variável em cada ponto dentro do fuso. Para dois pontos simétricos de um lado e de outro do meridiano central, o valor angular da convergência é o mesmo, mudando-se o sinal. O sinal da convergência meridiana (Figura 95) é função, também, do hemisfério onde se encontra a linha. Figura 96 Convergência meridiana. O valor da convergência meridiana pode ser determinado a partir das coor- denadas plano-retangulares N e E do sistema UTM ou a partir das coordenadas geodésicas ϕ e λ. 136 A partir das coordenadas geodésicas, a convergência é determinada por: γ = + + ⋅ XIIp XIIIp C p 3 5 5 ' (18) sendo: p = 0 0001 , ∆λ " (19) ∆λ λ λ = MC − (20) XII = sen ⋅ φ 104 (21) XIII sen sen e e = ⋅ ⋅ + ⋅ + ( )⋅ 2 2 2 2 4 4 12 1 3 1 3 2 10 " cos ' cos ' cos φ φ φ φ (22) C sen sen tg ' " cos 5 4 4 2 20 1 15 2 10 = ⋅ ⋅ ( − )⋅ φ φ φ (23) onde: γ = convergência meridiana. λ = longitude do ponto, em graus. λMC = longitude do meridiano central em graus. ∆λ” = diferença entre longitudes, em segundos. ϕ = latitude do ponto, em graus. e’2 = segunda excentricidade ao quadrado (= 0,0067396609 p/ o SAD-69). 4.13 Redução angular A redução angular corresponde ao ângulo ψ (Figura 96), compreendido entre a corda e a tangente à transformada no ponto considerado. 137 Figura 97 Redução angular. Na figura 97: NQ = norte da quadrícula, corresponde a uma paralela ao meridiano central do fuso ΘOA = azimute plano da linha OA ΨOA = redução angular no vértice 0 da direção OA SP = distância plana entre os pontos O e A Se = distância elipsóidica entre os pontos O e A. Obs.: Projetada sobre o cilindro de Mercator, Se é a transformada. A conca- vidade da transformada é sempre voltada para o meridiano central. A redução angular ψ é calculada pela seguinte expressão: Ψ ∆ AB AB A B N E E e N K = + ( ) + ∗ ∗ ∗ ∗ 2 1 2 1 6 8755 10 2 2 2 0 2 4 ' ' ' cos , φ onde: ∆NAB = (Coord. N no ponto A - Coord. N no ponto B) e’= segunda excentricidade do elipsoide [=0,0820954375 para o SAD/69] c) distância plana\nd) distância elipsoidal 139 distância topográfica c) azimute plano d) azimute verdadeiro e) Solução cálculo da distância plana = a) Sp Sp N N E E B A B A = − ( ) + − ( ) 2 2 Sp = − ( ) + − ( 7 432 315 882 7 429 505 240 353 469 146 352 375 120 2 . . , . . , . , . , ) 2 distância plana Sp = 3.016,057 m cálculo da distância elipsoidal = b) So b.1) cálculo do fator escala = K (Utilizando a fórmula simplificada): K K E RM = +     0 2 2 1 2 ' onde: K = fator escala K0 = fator escala no meridiano central = 0,9996 p/UTM E’ = distância do ponto ao meridiano central E E ' . = − 500 000 onde: E = coordenada: Plana UTM (abscissa) RM = raio médio no ponto k K = − ( ) ∗       = 0 9996 500 000 352 375 120 2 6 371 000 0 99986 2 , . . , . . , 6636 140 b.2) distância elipsoidal S0 S S K S P 0 0 3 016 057 0 99986636 = = . , , distância elipsoidal S0= 3.016,460 m ou, utilizando a fórmula mais precisa: K K E E MN K m = + +     ∗ ∗             0 2 2 0 2 1 1 12 1 2 1 ' ∆ sendo: M a e e sen M = ⋅ ( − ) − ⋅ ( ) = ( − ) − 1 1 6 378 160 1 0 0066945419 1 0 00 2 2 2 1 5 ϕ , . . , , 66945419 2 28 14 13 083 1 5 * ' ", , sen o ( ) = Raio de curvatura da seção meridiana M = 6 345 376 930 m . . , N a e sen N sen o = − = − = 1 6 378 160 1 0 0066945419 28 14 13 083 2 2 2 . . . , * ' ", φ Raio de curvatura na seção transversa N = 6 381 485 803 . . , Rm M N Rm = ⋅ = 6 345 376 930 ∗ 6 381 485 803 . . , . . , Raio médio de curvatura . . , R M = 6 363 405 754 m 141 E E E E E E M A B M ' . ' . . ' . . , = − = − + − = − 500 000 500 000 500 000 2 500 000 352 375 120 500 000 353 496 146 2 147 077 867 + − = . . , ' . , E m M ∆ ∆ ∆ E E E E E A B = − = − = 353 469 146 352 375 120 1 094 096 . , . , . , K K E E MN K K m = + +     ∗ ∗             = + 0 2 2 0 2 1 1 12 1 2 1 0 9996 1 1 ' , ∆ 47 077 867 1 121 094 096 1 2 6 363 405 754 1 0 9996 2 2 2 . , . , * . . , , +     ∗ ∗ 2         fator escala K = 0,999867215 m S S k S p 0 0 3 016 057 0 999867215 = = = . , , distância elipsoidal S0 3 016 458 = . , b.3) distância topográfica: S S S R H R S M M = +       = +  0 3016 460 6 371 000 00 800 00 6 371 000 00 , . . , , . . ,    distância topográfica S = 3.016,839 142 d) cálculo do azimute plano O azimute plano pode ser obtido a partir da seguinte expressão: Rumo arctg E E N N Rumo arctg AB B A B S AB = − − = 353 469 146 − 352 375 120 7 . , . , . . , . . , 432 315 882 7 429 505 240 − Figura 99 Geração de sinais. RumoAB = 21 o16’05”,5 NE No primeiro quadrante (NE) Rumo = Azimute Assim, Azimute plano AB = 21 o16’05”,5 e) cálculo do azimute verdadeiro O azimute verdadeiro pode ser obtido a partir do azimute plano e da con- vergência meridiana: Azim. verdadeiro = Azimute plano ± γ Onde: γ = convergência meridiana no ponto A γ = + 0o34’09”,79 (o sinal é positivo, pois o ponto A está no hemisfério Sul, à es- querda do meridiano central) (ver Figura 99). Azimute verdadeiro = 21o16’05”,5 + 0o 34’09”,79 = 21o 50’15”,3 Exercício 2 Dados: Ponto A NA = 6.875.532,169, EA = 689.429,976 Ponto B NB = 6.893.593,135, EB = 690.301,335 Â 690.301,335ita = 178o02’38”,5 Azimute0A plano = 4 o43’21”,86 Distância AB elipsoídica = 18.081,161\nRedução angular \\(\\Psi_{A0} = 8°02\\)\nRedução angular \\(\\Psi_{AB} = 8°72\\)\nCalcular\nO azimute \\(AB\\) planop\nAzimute\\(AB\\) plano = Azimute\\(OA\\) + âng. dir. \\(\\pm \\Psi_{A0} \\pm 180° \\pm \\Psi_{AB}\\)\nAzimute\\(AB\\) plano = 4°43’21”,86 + 178°02’38”,5 – 8°02 – 180° – 8°72\nAzimute\\(AB\\) plano = 2° 45'43”,62\n\nExercício 3\nNo levantamento de pontos de interesse, um engenheiro iniciou o levantamento em um par de pilares \\(M_0-M_1\\) e fechou em outro par \\(M_2-M_3\\) de coordenadas plano-retangulares conhecidas (sistema UTM). Calcular as coordenadas plano-retangulares (sistema UTM) de cada vértice, compensando o erro se houver.\nDados:\nMarco\\n\\(M_0\\)\n7.566.371,755 202.727,410 854,691\\n\\(M_1\\)\n7.566.336,702 202.651,462 855,014\\n\\(M_2\\)\n7.567.051,027 202.143,296 862,402\\n\\(M_3\\)\n7.567.198,661 202.124,205 862,495\\n0dlxig\\lPùgld!\\(t_{M_1} = 21°58’56”\\)\nMeridiano central = 45°\nCadeneta de campo:\nEst. P.Vis. \\(S.Pvis.\\) \\(Âng. Hor. Dir.\\) \\(Dist. Horiz.Topog.\\)\n\\(M_1\\) \\(M_0\\) 0°00’00” - \\n\\(M_1\\) \\(P_1\\) 246°27’15” 311°40’44” 1 \\(246°27’16” 311°40’45”\\)\n\\(P_1\\) \\(P_2\\) 141°22’05” 273°02’49” 2 141°22’07” 273°02’52”\\n\\(P_2\\) \\(P_3\\) 239°21’20” 332°24’09” 2 239°21’22” 332°24’11”\\n\\(P_3\\) \\(P_4\\) 115°03’12” 267°27’21” 1 115°03’13” 267°27’27”\\n\\(P_4\\) \\(P_5\\) 271°02’26” 358°29’47” 2 271°02’28” 358°29’56”\\n\\(P_5\\) \\(P_6\\) 199°29’56” 17°59’43” 2 199°29’58” 17°59’53”\\n\\(P_6\\) \\(M_2\\) 148°48’14” 346°47’57” 1 148°48’15” 346°48’08”\\n\\(M_2\\) \\(M_1\\) 185°49’44” 352°37’41” 2 185°49’46” 352°37’54” Est. P.V. \\(Ang.Dir.\\) \\(Azim. Plano provisório\\) \\(Corr.\\) \\(Ângulo Direita corrigido\\) Azimute corrigido\n\\(M_0\\) \\(M_1\\) - 245°13’29” 0 - -\n\\(M_1\\) \\(P_1\\) 246°27’15” 311°40’44” 1 246°27’16” 311°40’45”\n\\(P_1\\) \\(P_2\\) 141°22’05” 273°02’49” 2 141°22’07” 273°02’52”\\n\\(P_2\\) \\(P_3\\) 239°21’20” 332°24’09” 2 239°21’22” 332°24’11”\\n\\(P_3\\) \\(P_4\\) 115°03’12” 267°27’21” 1 115°03’13” 267°27’27”\\n\\(P_4\\) \\(P_5\\) 271°02’26” 358°29’47” 2 271°02’28” 358°29’56”\\n\\(P_5\\) \\(P_6\\) 199°29’56” 17°59’43” 2 199°29’58” 17°59’53”\\n\\(P_6\\) \\(M_2\\) 148°48’14” 346°47’57” 1 148°48’15” 346°48’08”\\n\\(M_2\\) \\(M_1\\) 185°49’44” 352°37’41” 2 185°49’46” 352°37’54”\n\nDist.Top. \\(Dist.Plana\\) \\(IH\\) \\(Corr. E\\) \\(E corrigido\\) \\(Corr. N\\)\n99,4188 99,4743 74,2954 0,0034 74,2988 -66,1463 +0,0032\n230,4523 230,5810 230,2549 0,0105 230,2554 +12,2597 +0,0006\n171,1685 171,2641 79,3357 0,0036 79,3393 +151,7802 +0,0073\n158,1773 158,8659 158,7095 0,0072 158,7167 7,0474 +0,0003\n180,1673 180,2679 4,7232 0,0002 4,7234 +180,206 +0,0086\n210,5913 210,7088 +65,1058 0,0030 +65,1028 +200,3982 +0,0096\n113,4815 113,5459 25,9240 0,0012 25,9252 +110,5468 +0,0054\n\nN corrigido \\(E\\) \\(N\\) \\(Ponto\\)\n+66,1495 202.577,163 7.566.402,852 \\(P_1\\)\n+12,2603 202.346,898 7.566.415,112 \\(P_2\\)\n+151,7875 202.267,559 7.566.566,900 \\(P_3\\)\n7,0471 202.108,842 7.566.559,853 \\(P_4\\)\n+180,2146 202.104,118 7.566.740,068 \\(P_5\\)\n+200,4078 202.169,221 7.566.940,476 \\(P_6\\)\n+110,5522 202.143,296 7.567.051,027 \\(M_2\\) SoBRE o AUToR Jorge Miguel Nucci Engenheiro agrimensor (Faculdades Integradas de Araraquara – Engenharia de Agrimensura, 1987), especialista em Educação Ambiental (CRHEA – USP, 1998), técnico de Laboratório de Topografia (UFSCar,1988), professor de Topo- grafia do Curso Técnico (Araraquara, 1990), professor de Astronomia de Campo do Curso de Engenharia de Agrimensura (Araraquara, 1992), atualmente lecio- na a disciplina Topografia no Centro Universitário Moura Lacerda nos cursos de Engenharia Civil, de Agronomia e de Arquitetura. Marco Antonio Albano Moreira Engenheiro agrimensor (Faculdades Integradas de Araraquara – Engenharia de Agrimensura, 1996), doutorando em Engenharia Urbana (UFSCar, em anda- mento), mestre em Engenharia Urbana (UFSCar 2002), licenciado em Matemá- tica (Centro Universitário Barão de Mauá, 1999), especialista em Geoprocessa- mento (UFSCar, 2003), especialista em Educação Ambiental (CRHEA - USP, 1998), Curso de Formação Software Moodle (UFSCar, 2007). Ministra aulas de Matemática para o ensino fundamental e médio. Participa da Tutoria Virtual junto à UAB-UFSCar na Formação de Tutores, na disciplina Ex- pressão Gráfica para Engenharia Ambiental, na disciplina Desenho Auxiliado por Computador para Engenharia Ambiental. Ministrou aulas em cursos de especialização em Gestão Ambiental na disciplina Cartografia Geotécnica. Atualmente é lotado no Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos, atuando na área técnica junto à pós-graduação em trabalhos de mapeamento geotécnico e junto à graduação na preparação e acompanhamento de aulas práticas de mineralogia, geologia e de geologia de engenharia. Atua também em consultoria na área de topografia voltada à elaboração de projetos de Engenharia Civil e Arquitetura. In Memorian, Segundo Carlos Lopes Graduado em Engenharia de Agrimensura pela Faculdade de Engenharia de Agrimensura de Araraquara (1975), mestre em Engenharia - Área de Transpor- tes, pela Universidade de São Paulo - EESC, (1989) e doutor em Engenharia - Área de Transportes, pela Universidade de São Paulo - EESC, (1996). Professor Associado - DE - nível 1, da Universidade Federal de São Carlos, SP, departa- mento de Engenharia Civil, professor de diversos cursos de especialização nas áreas de Cartografia, Topografia e Geoprocessamento.