Slide - Nivelamento Trigonométrico 2022-1

Vagner Braga Nunes Coelho vagnercoelho@hotmail.com Nivelamento trigonométrico Nivelamento São as operações que se executam em uma determinada região, nas quais colhem-se dados com o objetivo de se determinar à diferença de nível de pontos da superfície em relação a outros. • Tipos de Nivelamento: – TRIGONOMÉTRICO – GEOMÉTRICO – simples, composto – GPS/GNSS Qual tipo de nivelamento desenvolver? • Depende da escala da planta e da finalidade do levantamento: – Trigonométrico - precisão 𝑐𝑚 – Geométrico - precisão 𝑚𝑚 – GPS depende do método mas pode chegar a 𝑐𝑚 Classes de nivelamento (norma) a) Classe IN - nivelamento geométrico para implantação de referências de nível (RN) de apoio altimétrico. b) Classe IIN - nivelamento geométrico para a determinação de altitudes ou cotas em pontos de segurança (Ps) e vértices de poligonais para levantamentos topográficos destinados a projetos básicos executivos e obras de engenharia. (12mm . k1/2,) c) Classe IIIN - Nivelamento trigonométrico para a determinação de altitudes ou cotas em poligonais de levantamento, levantamento de perfis para estudos preliminares e/ou de viabilidade de projetos. d) Classe IVN - Nivelamento taqueométrico destinado a levantamento de perfis para estudos expeditos. NIVELAMENTO TRIGNOMÉTRICO • “nivelamento que realiza a medição da diferença de nível entre pontos no terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo vertical da direção que os une e da distância entre estes, fundamentando-se na relação trigonométrica entre o ângulo e a distância medidos, levando em consideração a altura da estação ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado.” ABNT (1994, p.4). NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO • A diferença de nível entre dois ou mais pontos topográficos é determinada por meio de resoluções de triângulos situados em planos verticais, que passam pelos pontos cuja diferença de nível se deseja. • O nivelamento trigonométrico baseia-se no valor da tangente do ângulo de inclinação do terreno, pois o valor dessa função trignométrica representa sempre a diferença de nível por metro da distância horizontal medida no terreno, entre os pontos considerados Nivelamento trigonométrico • DH: distância horizontal • DI: distância espacial (inclinada) • DV: distância vertical • AA: altura do aparelho • AP: altura do prisma (alvo) • z: distância zenital • α: elevação • A e B: pontos no terreno B A AP AA DH z DI ΔHAB DV α 𝐷𝑉 = 𝐷𝐻 ⋅ tan ො𝛼 𝐷𝑉 = 𝐷𝐻 ⋅ cot Ƹ𝑧 Ƹ𝑧 + ො𝛼 = 90° Aquisição de dados • Leitura de dados da estação total – 𝐷𝐻, 𝐷𝐼 ou 𝐷𝑉 – 𝐴𝐴 • Leitura na estação total – 𝑧 ou ∝ • Leitura na mira ou prisma – 𝐴𝑃 • Dados – 𝐻𝐴 ou 𝐻𝐵 Grandezas angulares verticais • z + α = 90° • z é a distância zenital • α é a elevação Ângulo zenital 90° 0° 270° 180° Z Ƹ𝑧 Erro zenital 90° 0° 270° 180° Z ෞ 𝑧𝐷 ෝ𝑧𝐼 Ƹ𝑧𝐷 + Ƹ𝑧𝐼 = 360° Erro zenital • Erro de verticalidade da estação total Ƹ𝑧𝐷 = 𝑧𝑑 + 𝜀 90° 0° 270° 180° Z 𝑧𝑑 𝜀 ෞ 𝑧𝐷 Erro zenital • Erro de verticalidade da estação total – Invertendo a posição de leitura Ƹ𝑧𝐼 = 𝑧𝑖 + 𝜀 90° 0° 270° 180° Z 𝑧𝑖 𝜀 ෝ𝑧𝐼 Erro zenital • Determinando o erro... Ƹ𝑧𝐼 = 𝑧𝑖 + 𝜀 Ƹ𝑧𝐷 = 𝑧𝑑 + 𝜀 ⇒ ෞ 𝑧𝐷 + ෝ𝑧𝐼 = 360° = 𝑧𝑑 + 𝜀 + 𝑧𝑖 + 𝜀 ⇒ 𝜺 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝒛𝒅 + 𝒛𝒊 𝟐 Exercício • Calcule o erro o ângulo zenital corrigido a partir dos dados abaixo: – 𝑧𝑑 = 45°36′35“ – 𝑧𝑖 = 314°23′05" Exercício - solução • Dados – 𝑧𝑑 = 45°36′35“ – 𝑧𝑖 = 314°23′05" 𝜀 = 180° − 𝑧𝑑 + 𝑧𝑖 2 ⇒ 𝜀 = 180° − 45°36′35" + 314°23′05" 2 ⇒ 𝜀 = 180° − 359°59′40" 2 = 180° − 179°59′50" ⇒ 𝜺 = 𝟏𝟎" • Corrigindo a leitura... Ƹ𝑧𝐷 = 𝑧𝑑 + 𝜀 ⇒ ො𝒛𝑫 = 𝟒𝟓°𝟑𝟔′𝟒𝟓" Grandezas lineares • Distância plana (DH) – distância medida entre dois pontos, no plano horizontal • Distância espacial ou Distância inclinada (DI) – distância medida entre dois pontos, em planos que seguem a inclinação da superfície do terreno • Distância vertical ou Diferença de nível (DV) – distância medida entre dois pontos, num plano vertical perpendicular ao plano horizontal B A AP AA DH z DI ΔHAB DV α Relações entre as Grandezas Lineares 𝐷𝑉 = 𝐷𝐼 ⋅ cos Ƹ𝑧 𝐷𝐻 = 𝐷𝐼 ⋅ sin Ƹ𝑧 𝐷𝐻 = 𝐷𝑉 ⋅ tan Ƹ𝑧 B A AP AA DH z DI ΔHAB DV α Nivelamento trigonométrico B A AP AA DH z DI ΔHAB DV α HA HB AA AP DV Nivelamento trigonométrico 𝐻𝐴 + 𝐴𝐴 + 𝐷𝑉 = 𝐻𝐵 + 𝐴𝑃 B A AP AA DH z DI ΔHAB DV α HA HB AA AP DV Nivelamento trigonométrico 𝐻𝐴 + 𝐴𝐴 + 𝐷𝑉 = 𝐻𝐵 + 𝐴𝑃 ⇒ ∆𝐻𝐴𝐵 = 𝐻𝐵 − 𝐻𝐴 = 𝐴𝐴 + 𝐷𝑉 − 𝐴𝑃 B A AP AA DH z DI ΔHAB DV α HA HB AA AP DV Exercício • Tem-se os dados de uma visada realizada entre o alinhamento PQ – Distância inclinada = 245,732𝑚 – Ângulo zenital = 87°34’29´´ – Altitude 𝑃 = 821,175𝑚 – Altura do instrumento = 1,561𝑚 – Altura do prisma = 1,900𝑚 • Calcular: – a diferença de altitude entre os Pontos P e Q – a altitude do Ponto Q • Considere o ponto 𝑃 como ponto estação Exercício - solução Dados • 𝐷𝐼 = 245,732𝑚 • Ƹ𝑧 = 87°34′29“ • 𝐻𝑃 = 821,175𝑚 • 𝐴𝐴 = 1,561𝑚 • 𝐴𝑃 = 1,900𝑚 Solução • ∆𝐻𝑃𝑄 = 𝐻𝑄 − 𝐻𝑃 = 𝐴𝐴𝑃 + 𝐷𝑉 − 𝐴𝑃𝑄 • 𝐷𝑉 = 𝐷𝐼 ⋅ cos Ƹ𝑧 ⇒ 𝐷𝑉 = 10,399𝑚 • ∆𝐻𝑃𝑄 = 1,561 + 10,399 − 1,900 ⇒ ∆𝑯𝑷𝑸 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟔𝟎𝒎 • ∆𝐻𝑃𝑄 = 𝐻𝑄 − 𝐻𝑃 ⇒ 𝐻𝑄 = ∆𝐻𝑃𝑄 + 𝐻𝑃 ⇒ 𝑯𝑸 = 𝟖𝟑𝟏, 𝟐𝟑𝟓𝒎 Q P AP AA DH z DI ΔHPQ DV α Exercício • Calcular a distância plana entre os pontos 𝐴 e 𝐵, considerando os seguintes dados: ▪ 𝐷𝑉 = 121,569𝑚 ▪ Ƹ𝑧 = 80°15′46“ ▪ 𝐴𝐴 = 1,645𝑚 ▪ 𝐴𝑃 = 1,500𝑚 ▪ 𝐻𝐴 = 123,678𝑚 ▪ 𝐻𝐵 = 2,254𝑚 ▪ Ponto estação = 𝐵 Solução 𝑫𝑯𝑨𝑩 = 𝟕𝟎𝟖, 𝟒𝟑𝟕𝒎 Exercício Nivelamento Trignométrico estação Ponto visado Ang vertical Dist horizontal 1(AA=1,550m) 4 2 100,199° 135,450 2(AA=1,610) 1 3 101,005° 126,622 3(AA=1,580) 2 4 80,124° 117,003 4(AA=1,600) 3 1 78,041° 139,249 • Com uma estação total se fizeram as leituras ao longo de uma poligonal fechada (plani- altimétrica) • O prisma foi manido a uma altura constante 1,800 𝑚. • Atribuindo cota 100,000𝑚 ao ponto 1, calcule as cotas compensadas dos outros pontos. Solução ΔH12 ΔH23 ΔH34 ΔH41 P1 P2 P3 P4 Solução • Sabe-se ∆𝐻𝑃𝑄 = 𝐻𝑄 − 𝐻𝑃 = 𝐴𝐴𝑃 + 𝐷𝑉 − 𝐴𝑃𝑄 𝐷𝐻 = 𝐷𝑉 ⋅ tan Ƹ𝑧 ⇒ 𝐷𝑉 = 𝐷𝐻 ⋅ cot Ƹ𝑧 • Tem-se ∆𝐻12 = 𝐻2 − 𝐻1 = 𝐴𝐴1 + 𝐷𝐻12 ⋅ cot 𝑧1 − 𝐴𝑃2 ∆𝐻23 = 𝐻3 − 𝐻2 = 𝐴𝐴2 + 𝐷𝐻23 ⋅ cot 𝑧2 − 𝐴𝑃3 ∆𝐻34 = 𝐻4 − 𝐻3 = 𝐴𝐴3 + 𝐷𝐻34 ⋅ cot 𝑧3 − 𝐴𝑃4 ∆𝐻41 = 𝐻1 − 𝐻4 = 𝐴𝐴4 + 𝐷𝐻41 ⋅ cot 𝑧4 − 𝐴𝑃1 Solução • Substituindo, tem-se: ∆𝐻12 = 1,550 + 135,450 ⋅ cot 100,199° − 1,800 = −24,619 ∆𝐻23 = 1,610 + 126,622 ⋅ cot 101,005° − 1,800 = −24,814 ∆𝐻34 = 1,580 + 117,003 ⋅ cot 80,124° − 1,800 = 20,150 ∆𝐻41 = 1,600 + 139,249 ⋅ cot 78,041° − 1,800 = 29,294 𝐻2 = ∆𝐻12 + 𝐻1 ⇒ 𝑯𝟐 = 𝟕𝟓, 𝟑𝟖𝟏𝒎 𝐻3 = ∆𝐻23 + 𝐻2 ⇒ 𝑯𝟑 = 𝟓𝟎, 𝟓𝟔𝟕𝒎 𝐻4 = ∆𝐻34 + 𝐻3 ⇒ 𝑯𝟒 = 𝟕𝟎, 𝟕𝟏𝟕𝒎 𝐻1 = ∆𝐻41 + 𝐻4 ⇒ 𝑯𝟏 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝒎 (diferença de +11 𝑚𝑚) Análise 1 2 3 4 5 6 RN Análise 𝑅𝑁1 3 5 1 2 4 𝑅𝑁2 Análise 𝑅𝑁1 3 5 1 2 4 𝑅𝑁2 ∆𝐻𝑅𝑁11 ∆𝐻12 ∆𝐻23 ∆𝐻34 ∆𝐻45 ∆𝐻5𝑅𝑁2 ∆𝐻𝑖𝑗 = 𝐻𝑗 − 𝐻𝑖 Análise • Entretanto, 𝐻𝑅𝑁2 é conhecido!! • Logo, será calculado um valor diferente do real ∆𝐻5𝑅𝑁2 = 𝐻′𝑅𝑁2 − 𝐻5 ⇒ 𝐻′𝑅𝑁2 = ∆𝐻5𝑅𝑁2 + 𝐻5 𝜺 = 𝑯′𝑹𝑵𝟐 − 𝑯𝑹𝑵𝟐 𝑅𝑁1 3 5 1 2 4 𝑅𝑁2 ∆𝐻𝑅𝑁11 ∆𝐻12 ∆𝐻23 ∆𝐻34 ∆𝐻45 ∆𝐻5𝑅𝑁2 Análise • Entretanto, 𝐻𝑅𝑁2 é conhecido!! • Logo, será calculado um valor diferente do real 𝐻𝑅𝑁1 + ∆𝐻𝑅𝑁11 + ∆𝐻12 + ∆𝐻23 + ∆𝐻34 + ∆𝐻45 + ∆𝐻5𝑅𝑁2 = 𝐻′𝑅𝑁2 𝜺 = 𝑯′𝑹𝑵𝟐 − 𝑯𝑹𝑵𝟐 𝑅𝑁1 3 5 1 2 4 𝑅𝑁2 ∆𝐻𝑅𝑁11 ∆𝐻12 ∆𝐻23 ∆𝐻34 ∆𝐻45 ∆𝐻5𝑅𝑁2 Erro altimétrico total 𝜀𝑡 𝜺𝒕 = 𝑯𝑹𝑵𝟏 + ෍ 𝒊=𝟏 𝒏 ∆𝑯𝒊 − 𝑯𝑹𝑵𝟐 𝜺𝒕 = 𝑯′𝑹𝑵𝟐 − 𝑯𝑹𝑵𝟐 ෍ 𝑘=1 𝑛 ∆𝐻𝑘 = 𝐷𝑁𝑡 • 𝐷𝑁𝑡 é a diferença de nível medida entre as RN Erro altimétrico por metro – linear 𝜀𝑙 𝑅𝑁1 3 5 1 2 4 𝑅𝑁2 ∆𝐻1 ∆𝐻2 ∆𝐻3 ∆𝐻4 ∆𝐻5 ∆𝐻6 𝜺𝒍 = 𝜺𝒕 σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑫𝑯𝒊 • σ𝑖=1 𝑛 𝐷𝐻𝑖 é a distância plana horizontal total entre os pontos – É acumulativa • 𝜀𝑙 é o erro por metro 𝜀𝑡 = 𝐻𝑅𝑁1 + ෍ 𝑖=1 𝑛 ∆𝐻𝑖 − 𝐻𝑅𝑁2 Compensação do erro por trecho ck 𝒄𝒋 = −𝜺𝒍 ⋅ ෍ 𝒊=𝟏 𝒋 𝑫𝑯𝒊 • 𝑐𝑗 é a correção (compensação) nos trechos medidos (é acumulativa) 𝜀𝑙 = 𝜀𝑡 σ𝑖=1 𝑛 𝐷𝐻𝑖 𝑅𝑁1 3 5 1 2 4 𝑅𝑁2 ∆𝐻1 ∆𝐻2 ∆𝐻3 ∆𝐻4 ∆𝐻5 ∆𝐻6 Correção das coordenadas Coordenada provisória 𝑅𝑁1 3 5 1 2 4 𝑅𝑁2 ∆𝐻1 ∆𝐻2 ∆𝐻3 ∆𝐻4 ∆𝐻5 ∆𝐻6 𝐻𝑗 𝑃 = 𝐻𝑖 𝑃 + 𝐴𝐴𝑖 + 𝐷𝑉𝑖𝑗 − 𝐴𝑃𝑗 Coordenada corrigida (compensada) 𝑯𝒋 = 𝑯𝒋 𝑷 + 𝒄𝒋 Exercício – correção das coordendas P2 ΔH12 ΔH23 ΔH34 ΔH41 P1 P3 P4 𝐻2 = ∆𝐻12 + 𝐻1 ⇒ 𝑯𝟐 = 𝟕𝟓, 𝟑𝟖𝟏𝒎 𝐻3 = ∆𝐻23 + 𝐻2 ⇒ 𝑯𝟑 = 𝟓𝟎, 𝟓𝟔𝟕𝒎 𝐻4 = ∆𝐻34 + 𝐻3 ⇒ 𝑯𝟒 = 𝟕𝟎, 𝟕𝟏𝟕𝒎 𝐻1 = ∆𝐻41 + 𝐻4 ⇒ 𝑯𝟏 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝒎 (diferença de +11 𝑚𝑚) Solução 𝜀𝑡 = +0,011 𝜀𝑙 = 𝜀𝑡 σ𝑖=1 𝑛 𝐷𝐻𝑖 = +0,011 518,324 ≅ 0,000021 estação Ponto visado Ang vertical Dist horizontal 1(AA=1,550m) 4 2 100,199° 135,450 2(AA=1,610) 1 3 101,005° 126,622 3(AA=1,580) 2 4 80,124° 117,003 4(AA=1,600) 3 1 78,041° 139,249 Solução 𝒄𝒋 = −𝜺𝒍 ⋅ ෍ 𝒊=𝟏 𝒋 𝑫𝑯𝒊 𝜺𝒍 = +𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟏 pt est pt visado DH ෍ 𝑖=1 𝑗 𝐷𝐻𝑖 𝑐𝑗 P1 P2 135,450 135,450 -0,003 P2 P3 126,622 262,072 -0,005 P3 P4 117,003 379,075 -0,008 P4 P1 139,249 518,324 -0,011 Solução 𝑯𝒋 = 𝑯𝒋 𝑷 + 𝒄𝒋 Ponto z provisório 𝑐𝑗 z corrigido P1 100,000 - - P2 75,381 -0,003 75,378 P3 50,567 -0,005 50,561 P4 70,717 -0,008 70,709 P1 100,011 -0,011 100,000 Exercício • Calcular a erro altimétrico na coordenada 𝑀3 e corrigida as altitudes dos demais pontos Pontos conhecidos x y z M1 605971,399 7779098,264 359,167 M2 605935,553 7779073,929 426,791 M3 605627,776 7778989,761 444,671 M4 605621,123 7778836,632 448,125 Coordenadas corrigidas P1 605858,089 7778978,321 P2 605961,021 7778935,568 P3 605795,218 7778944,043 P4 605812,396 7779000,431 P5 605820,626 7779055,569 P6 605722,950 7779054,923 P7 605631,277 7779156,393 Exercício - esquema M1 M3 M2 M4 P1 P6 P5 P4 P3 P2 P7 Trabalho - continuação Pt estação Pt visado AA AP Ângulo zenital M2 P1 1,415 1,350 89°53'23,60” P1 P2 1,356 1,350 90°45'49,70” P2 P3 1,349 1,350 84°58‘00,30” P3 P4 1,531 1,350 85°01’12,60” P4 P5 1,604 1,350 105°43'36,00” P5 P6 1,462 1,350 92°59'57,90” P6 P7 1,463 1,350 81°56'36,80” P7 M3 1,445 1,350 90°00'00,20” Solução 𝜀𝑡 = −0,007𝑚 𝐻𝑃1 = 427,093𝑚 𝐻𝑃2 = 425,614𝑚 𝐻𝑃3 = 440,236𝑚 𝐻𝑃4 = 445,554𝑚 𝐻𝑃5 = 430,110𝑚 𝐻𝑃7 = 444,576𝑚 𝐻𝑃6 = 425,105𝑚 Até a próxima...