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O Metodo das Imagens um metodo para calcular o campo eletrico de certas distribuicoes de cargas sem conhecer essas distribuicoes Cecılia Almeida de Carvalho 23 de agosto de 2020 1 Resumo Nesse trabalho sera apresentado e discutido o formalismo do calculo do campo eletrico de uma distribuicao de cargas por meio do metodo das imagens Para isso primeiramente sera feita uma introducao de conceitos essenciais relacionados aos campos e potenciais eletricos Depois dessa breve descricao sera mostrado o teorema da unicidade para uma dada condicao de contorno de um sistema Com isso baseando nessas construcoes sera desenvolvido o metodo das imagens sendo explicitado tanto seus aspectos operacionais quanto a fısica por tras dele Por fim sera resolvido o problema classico da carga imagem e um outro problema mais complexo exemplificando situacoes em que o metodo das imagens pode ser usado 2 Introducao Ao tratar um problema fısico e sempre de interesse conhecer as forcas que atuam nas partıculas do sistema Se o problema envolve partıculas carregadas ha de se considerar tambem as forcas de origem eletrica Uma das formas para calcular essa forca para proble mas estaticos e atraves da lei de Coulomb A lei de Coulomb diz que a forca eletrica que uma partıcula de carga q1 sofre de uma partıcula de carga q2 separada por um vetor r21 e F12 k q1q2 r213r21 1 onde k e a constante eletrostatica O grande problema com a lei de Coulomb e que ela sugere que a forca eletrica entre partıculas carregadas age como se fosse uma interacao a distˆancia Esse conceito de que o movimento de uma partıcula pudesse interferir instantaneamente no movimento de outra ja incomodava Newton la atras em relacao a forca gravitacional outra interacao a distˆancia Isso implicaria que a acao se propagaria com velocidade infinita o que sabemos ser falso pois as leis de Maxwell mostraram que as interacoes eletromagneticas no vacuo possuem uma velocidade finita velocidade da luz 1 vetorial Uma das maneiras de facilitar o problema é transformálo em um problema escalar Isso é feito através da construção do potencial elétrico Para isso vamos calcular primeiro uma integral de caminho a b do campo elétrico de uma carga q equação 2 ab E dl k ab q r² dr k q r ab k q ra q rb 8 Para um caminho fechado temos então E dl 0 9 E aplicando o teorema de Stokes E 0 10 Podemos generalizar esse resultado para qualquer distribuição de cargas devido ao princípio da superposição Assim como o campo elétrico tem rotacional nulo podemos escrevêlo como o gradiente de um potencial escalar Dessa forma podemos definir o potencial elétrico V como E V 11 Desse modo juntando as equações 7 e 11 temos E V ²V ρ 𝜖₀ 12 o que nos da a equação de Poisson ²V ρ 𝜖₀ 13 e a equação de Laplace para o caso em que ρ 0 ²V 0 14 Assim saímos de um problema vetorial e passamos a ter um problema escalar Assim como no caso do campo elétrico há diferentes técnicas de se calcular o potencial elétrico Esse cálculo pode ser feito por exemplo diretamente da fórmula que vem da lei de Coulomb ou por meio do método de separação de variáveis Aqui vamos nos ater apenas a um outro método o das imagens Para isso mostraremos primeiro o teorema da unicidade fundamental para que o método seja válido Assim para tratar sistemas dinâmicos se torna necessário um outro tipo de formalismo que permite sair do conceito de ação à distância e ir pra uma situação de ação mediada Isso foi feito ao definir a ideia de um campo elétrico sendo esse um agente mediador das ações eletromagnéticas que transmite os efeitos da dinâmica do sistema com uma velocidade finita Matematicamente o campo elétrico gerado por uma carga q em um ponto que dista r dessa carga é definido como E k q r³ r 2 e ao se colocar um carga de prova q0 na posição r vemos que a relação que o campo elétrico e a força elétrica é dada por F q0 E 3 Assim basta conhecermos o campo elétrico em uma dada região para sabermos a força que qualquer partícula de carga conhecida naquela região estaria sujeita Pelo princípio da superposição o campo elétrico de uma distribuição discreta de cargas q1 q2 qn localizadas respectivamente em r₁ r₂ rn é Er k n i1 qi ri³ ri 4 onde ri r ri ou seja é o vetor que vai de qi até o ponto onde estamos analisando o campo elétrico Do mesmo modo para uma distribuição contínua de cargas o campo elétrico é dado por Er k ri ri³ dq 5 A princípio essas definições do campo elétrico para distribuições discretas e contínuas de carga seriam suficientes para abordar qualquer problema No entanto essas somas e integrais nem sempre são fáceis de serem resolvidas Assim ferramentas que facilitem a solução do problema são sempre bem vindas Uma delas é a lei de Gauss que relaciona o fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada com a quantidade de carga presente dentro dessa superfície S E da Q 𝜖₀ 6 que pode ser escrito na forma diferencial aplicando o teorema do divergente como E ρ 𝜖₀ 7 Assim para problemas que possuem certas simetrias a lei de Gauss facilita muito sua resolução uma vez que não é necessário calcular as integrais da distribuição de carga ρ Entretanto nem sempre existem essas simetrias Essa dificuldade em encontrar soluções para o campo elétrico se deve em muitos casos ao fato de estarmos tratando de um problema a mesma distribuicao de carga teriam o mesmo potencial A ideia e genial Mas o que nos garante que o potencial sera o mesmo para essas duas configuracoes diferentes nas regioes de mesma distribuicao de carga O teorema da unicidade Para demonstralo vamos supor por absurdo que existam duas solucoes V1 e V2 para a equacao de Poisson que respeitem as mesmas condicoes de contorno em uma regiao com a mesma distribuicao de cargas Assim 2V1 ρ ϵ0 15 2V2 ρ ϵ0 16 Definindo V3 V1 V2 temos que V3 0 em todo o contorno uma vez que as condicoes de contorno de V1 e V2 sao iguais Alem disso temos 2V3 2V1 2V2 ρ ϵ0 ρ ϵ0 0 17 Entao V3 obedece a equacao de Laplace Mas como a equacao de Laplace nao admite maximos ou mınimos locais os extremos sao todos nos contornos temos que V3 0 para toda a regiao Assim V1 V2 e provamos o teorema da unicidade 4 O metodo das imagens e o problema classico da carga imagem Para discutir o metodo das imagens vamos apresentar o problema classico da carga imagem Seja uma carga pontual q mantida em r 0 0 d acima de um plano condutor infinito aterrado em z 0 Figura 1a Caso o plano nao tivesse sido aterrado a carga q iria gerar um potencial nao nulo nele Assim ao ser aterrado e gerada uma distribuicao de cargas sob ele para que seu potencial ali se anule Vamos supor que desejamos saber campo eletrico em toda a regiao acima do plano con dutor z 0 Para isso bastaria conhecermos o potencial eletrico nessa regiao Mas como isso sera feito se nao sabemos nem a distribuicao de cargas gerada no plano condutor Uma maneira de resolver esse problema e mudando essa configuracao desconhecida para uma outra mais simples que mantenha as mesmas condicoes de contorno e mesma distribuicao de cargas para a regiao de interesse Como estamos interessados na regiao superior ao plano condutor definimos nossa condicao de contorno como sendo V 0 para z 0 e V 0 para x2 y2 z2 d2 Isso pode ser facilmente feito substituindo o plano condutor por uma carga q em r 0 0 d Figura 1b Nessa nova configuracao no infinito o potencial de fato tende a zero e em z 0 o potencial das cargas se anula E importante notar que a distribuicao de cargas para a regiao de interesse z 0 continuou a mesma Assim o teorema da unicidade nos garante que a solucao do potencial para essas duas configuracoes sera a mesma e por consequˆencia o mesmo campo eletrico Ou seja passamos de um problema extremamente complicado onde nao conhecıamos a distribuicao de cargas para um outro simples de duas cargas pontuais separadas por uma distˆancia d O campo eletrico para esse segundo caso e facilmente obtido pela equacao 4 e e 4 possıvel ainda descobrir a distribuicao de cargas do plano condutor da configuracao original apos resolver o problema simplificado Esse calculo todo esta feito nas notas de aula do curso Exemplo 77 do Modulo 7 Para ilustrar melhor o metodo e dar ideias de outras situacoes que ele pode ser usado vamos agora resolver um problema um pouco mais difıcil Figure 1 a Esquema de uma carga q acima de um plano condutor infinito aterrado A carga gera nele uma distribuicao desconhecida tornando o problema difıcil de ser resolvido b A simplificacao do problema mudando o plano condutor por uma carga imagem q abaixo do plano 5 Uma carga fora de uma esfera condutora de potencial nao nulo Dificultando um pouco o problema anterior vamos considerar agora uma carga q posicionada em a a 0 0 e uma esfera condutora de raio R centrada em 0 0 0 submetida a um potencial V0 com a R Figura 2a Novamente a carga q ira gerar uma distribuicao de cargas na superfıcie da esfera condutora de modo que ela tenha esse potencial uniforme V0 Queremos descobrir o campo eletrico na regiao externa a esfera dentro da esfera ja sabemos que o campo e nulo A primeira grande sacada desse problema e dividilo em dois primeiro achamos uma carga imagem que anule o potencial eletrico na superfıcie da esfera e depois achamos uma segunda carga imagem que crie nela um potencial V0 Uma das dificuldade desse problema e que diferentemente do anterior a carga imagem que usaremos para anular o potencial na esfera condutora tem que ter modulo diferente de q Seja entao uma carga imagem com carga q R a q 18 posicionada em b b 0 0 tal que b R2 a 19 5 Se calcularmos o potencial dessas duas cargas Figura 2b em um ponto r qualquer teremos Vr k q r a q r b 20 Seja r x y z Temos então Vr k q x a² y² z² q x b² y² z² 21 Vr k q x a² y² z² qR a x R²a² y² z² 22 Vr k q x² y² z² 2ax a² qR a x² y² z² 2R²xa R²a² 23 Agora se olharmos pra superfície da esfera condutora isto é x² y² z² R² temos Vr k q R² 2ax a² qR a R² 2R²xa R²a² 24 Vr k q R² 2ax a² q a 1 2xa Ra² 25 Vr k q R² 2ax a² q a² 2ax R² 26 Vr 0 27 E mostramos assim que essa carga imagem colocada nessa posição faz com que a esfera condutora tenha potencial nulo na sua superfície Mas de onde foram tirados esses valores para a carga e sua posição Acontece que apenas considerando que toda a esfera deve ter potencial nulo jamais se chegaria analiticamente nessas relações de q e b No entanto o que se pode fazer é dizer que VR 0 0 0 e VR 0 0 0 Daí a partir da equação 21 forma mais geral possível chegaríamos em um sistema capaz de nos fornecer as relações 18 e 19 Isso seria suficiente Não Mas seria um chute inicial e com os passos 21 até 27 conseguiríamos mostrar que é válido para toda a esfera Como contraexemplo se fizéssemos isso para um cubo condutor jamais acharíamos uma carga imagem capaz de zerar o potencial na superfície mesmo achando um chute inicial válido para dois pontos do cubo Daí basta encontrar uma segunda carga imagem capaz de gerar um potencial uniforme V₀ na superfície da esfera condutora Esse é muito mais simples e intuitivo a carga deve estar no centro da esfera e a calculamos assim V₀ k q R 28 q V0R k 29 Desse modo tendo as 3 cargas e suas posicoes podemos calcular o campo eletrico para qualquer ponto r no espaco fora da esfera condutora Er k q r13 r1 k qR ar23 r2 V0R r3 r 30 onde r1 r a e r2 r b Figure 2 a Esquema de uma carga q ao de uma esfera condutora aterrada A carga gera nela uma distribuicao desconhecida tornando o problema difıcil de ser resolvido b A simplificacao do problema mudando a esfera condutora por uma carga imagem q colocada em b Essa e a primeira e mais difıcil parte do problema No problema completo a esfera possui um potencial V0 e sua simplificacao contem outra carga na origem 6 Conclusao Nesse estudo dirigido foi apresentado o metodo das imagens como um ferramenta para cal cular o campo eletrico de determinadas distribuicoes de cargas desconhecidas Para isso primeiro foi mostrado a motivacao por tras da busca de diferentes tecnicas para abordar problemas na eletroestatica Depois disso foi provado o teorema da unicidade peca funda mental para a validade do metodo das imagens Aı entao foi mostrado o metodo citando o o problema classico da carga imagem Por fim um problema mais complexo foi resolvido tentando deixar claro todos os aspectos operacionais e fısicos envolvidos no metodo 7 Referˆencias Notas de aula do curso Fundamentos de Eletromagnetismo do Dept de Fısica da UFMG 2020 David J Griffiths Introduction to Electrodynamics Pearson Cambridge University Press 4rd ed 2013 7 CAMPO VETORIAL Antes de começar vamos relembrar alguns conceitos básicos O que é um vetor Um vetor é um segmento de reta com uma orientação específica que tem a função de descrever grandezas vetoriais O que é uma grandeza vetorial As grandezas vetoriais são grandezas que necessitam de mais atributos além de seu valor numérico para descrevêlas Esses atributos são a direção e o sentido São exemplos de grandezas vetoriais a velocidade a aceleração a força o campo elétrico entre outros Como representar um vetor Um vetor pode ser representado gráfica ou matematicamente REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Imagem 1 Um disco voador abduz uma vaca O vetor F representa a força com que o disco voador puxa a vaca e orientase de acordo com sua direção e seu sentido vertical para cima REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA O vetor F pode ser representado a partir de múltiplos de vetores unitários na forma F a î b ĵ c k em que a b e c são números reais e î ĵ e k são vetores unitários orientados segundo os eixos x y e z respectivamente Representação gráfica dos vetores unitários î 100 ĵ 010 e k 001 Imagem 2 Representação gráfica de vetores unitários O CAMPO VETORIAL Voltemos ao disco voador imagem 1 Vamos considerar que o disco voador puxe a vaca para cima com uma força F constante Desse modo qualquer que seja a posição da vaca sobre o eixo vertical no qual ela é puxada a força F permanecerá a mesma Imagem 3 eixo vertical de movimento da vaca A vaca pode se mover ao longo do eixo Y sem que a força F seja alterada Podemos descrever como a força se comporta à medida em que a vaca muda de posição no eixo y através do plano cartesiano Para isso vamos supor que a força se comporta de acordo com a função Fxy 2ĵ para x0 já que a vaca se move apenas no eixo y O gráfico nos mostra que independentemente da posição da vaca desde que x0 o vetor força F será sempre igual a 2ĵ e a vaca permanecerá no eixo y Este mapa que construímos relacionando a força à posição da vaca é chamado de CAMPO VETORIAL DEFINIÇÃO Um campo vetorial F é uma função que associa a cada ponto p um único vetor Fp Um campo vetorial pode existir em um plano ou espaço Eis a descrição matemática para os dois casos Fxy fxy î gxy ĵ Campo vetorial no plano Fxyz fxyz î gxyz ĵ hxyz k Campo vetorial no espaço O CAMPO ELÉTRICO E O CAMPO VETORIAL Como já foi citado anteriormente o campo elétrico é uma grandeza vetorial Um campo elétrico em um determinado ponto p do espaço pode ser definido a partir de uma carga de prova q0 colocada nesse mesmo ponto p Ep Fq0 r Onde Ep é o vetor campo elétrico no ponto p e F é a força eletrostática que age sobre q0 O vetor r é um vetor unitário que auxilia na orientação da direção e sentido de Ep O campo elétrico produzido por uma pequena carga q pequena de modo que possamos considerála um ponto pode ser definido através da força eletrostática entre essa carga q e a carga de prova q0 Lei de Coulomb F 14πε0 q q0 r2 r distância entre q e q0 Substituindose F na expressão do campo elétrico pela lei de Coulomb temse que E 14πε0 q q0 r2 q0 r E 14πε0 q r2 r Observandose a expressão da lei de Coulomb podemos perceber que a força entre q e q0 varia com a distância entre essas duas cargas Considerando que q e q0 são constantes ao aproximarmos as duas cargas a força eletrostática aumenta e ao distanciarmos elas a força eletrostática diminui Essa variação também interfere na intensidade do campo elétrico da mesma forma que na força Assim em cada ponto p do espaço ao redor da carga q existe um vetor campo elétrico Ep associado No exemplo do disco voador e da vaca tínhamos uma força constante Agora a força é uma variável dependente da distância entre as cargas Podemos contudo construir um campo vetorial também neste caso Vamos desenhar uma carga positiva no centro de um plano cartesiano XY e posicionar uma segunda carga negativa mas de módulo igual à primeira em um ponto P qualquer do plano Consideremos ambas as cargas como pontuais situação 1 Como temos conhecimento cargas de sinais opostos se atraem portanto num ponto P xp yp do plano ao lado a força que a carga q exerce sobre a carga q será tal qual o vetor Fp Se distanciarmos a carga q da carga q de modo que ela esteja posicionada em um segundo ponto Py teremos uma força menor que Fp tal como na situação 2 Assim podemos desenhar um mapa que relacione cada vetor força à posição da carga q no plano cartesiano Estimativa de como a força de atração entre as cargas q e q se comporta com a posição de q Esse mapa que construímos pode ser chamado de campo vetorial assim como aquele construído para a vaca e o disco voador Mesmo não sendo um campo vetorial desenhado de forma completa serve para analisar a ação do campo elétrico criado pela carga q no espaço ao seu redor Se a carga de prova q fosse traçada por uma carga q o sentido da força Fp em cada ponto seria oposto Caso precisemos de um campo vetorial mais descritivo para essa situação podemos definir uma função que descreva como a força eletrostática varia com a distância entre as cargas e consequentemente analisar o comportamento do campo elétrico A função que descreve o campo vetorial ao lado pode ser escrita como F 1r2 cos θ î 1r2 sen θ ĵ Considerando que a força eletrostática é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre as cargas envolvidas e que essas cargas são constantes Na função acima r é a distância entre as cargas e θ é o ângulo do vetor F em relação ao eixo x