Resolução de Trabalho

Trabalho sobre Equações de Maxwell e Magnetismo Realizar a solução da lista em uma folha separada e escrita a mão A lista deve ser escaneada em formato PDF e enviada no link do Moodle até dia 1608 às 2359 O trabalho é individual 1 Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 500 cm A carga no capacitor cresce a uma taxa de 100 Cs Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda a Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas distante 200 cm do eixo dos discos b E em um ponto ainda entre as placas distante 120 cm do eixo dos discos 2 Marque a afirmativa que completa a frase nas questões abaixo a Nos materiais paramagnéticos A O campo magnético induzido pode exceder o valor do campo aplicado dependendo da constante dielétrica do material B Existe um momento dipolar nos atomos do material mesmo na ausˆencia de um campo externo C A magnetização depende da temperatura conforme a lei de Curie D A e B e são corretos E B e C são corretos b Os materiais diamagnéticos A Possuem átomos com momento dipolar mesmo na ausência de um campo externo B Podem sofrer uma transição de fase e virar ferromagnéticos C Desenvolvem um campo magnético interno na mesma direção que o campo externo portanto o campo resultante tem sempre maior amplitude D Reagem a um campo externo criando momentos de dipolo nos seus átomos em sentido oposto ao campo externo E nenhuma das anteriores c A radiação eletromagnética A São ondas de natureza mecânica que se propagam à velocidade da luz B É a variação de campos elétrico e magnético que oscilam com qualquer fase entre eles C É formada exclusivamente por ondas planas polarizadas D Consiste de ondas eletromagnéticas onde a oscilação dos campos elétrico e magnético estão sincronizados E São ondas com o mesmo comprimento de onda da luz visível 3 Escreva todas as equações de Maxwell e descreva seu significado físico e ilustre diferentes aplicações 4 A Figura 1 abaixo mostra uma espira de área A que está girando em torno do eixo y com velocidade angular 𝜔 Sabendo que existe um campo magnético uniforme de módulo B na direção x e que a resistência da espira é R calcule qual é a corrente induzida na espira Figura 1 5 Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z a Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas b Dado o campo elétrico que foi assumido na questão utilize a lei de Faraday e determine como que uma mudança espacial no campo elétrico gera uma mudança temporal no campo magnético Ou seja que 1 c Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético ou seja que 2 d Faça uma derivada parcial em função de x dos dois lados da equação 1 e utilizando a equação 2 chegue na equação de onda para o campo elétrico 3 e Repita o mesmo procedimento para encontrar a equação de onda para o campo magnético 4 f Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais 3 e 4 Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais 0 0 g Sabendo que o vetor de onda da luz é onde 1 é comprimento de onda da luz e que a frequência angular da luz é 234 onde f é frequência da luz determine a velocidade da luz c em termos de e Consideramos a simetria do campo magnético na região circular a Para r 2 cm menor que o raio dos discos B 810⁴ 210² 1610⁵ T b Para um raio maior que o dos discos temos toda a corrente de deslocamento do capacitor i d 10 B 10 4 π 10⁷2 π r 20 10⁷012 167 10⁵ T 2 Marque a afirmativa que completa a frase nas questões abaixo a Nos materiais paramagnéticos A O campo magnético induzido pode exceder o valor do campo aplicado dependendo da constante dielétrica do material B Existe um momento dipolar nos átomos do material mesmo na ausência de um campo externo C A magnetização depende da temperatura conforme a lei de Curie D A e B são corretos E B e C são corretos b Os materiais diamagnéticos A Possuem átomos com momento dipolar mesmo na ausência de um campo externo B Podem sofrer uma transição de fase e virar ferromagnéticos C Desenvolvem um campo magnético interno na mesma direção que o campo externo portanto o campo resultante tem sempre maior amplitude D Reagem a um campo externo criando momentos de dipolo nos seus átomos em sentido oposto ao campo externo E nenhuma das anteriores Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 500 cm A carga no capacitor cresce a uma taxa de 100 Cs Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda a Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas distante 200 cm do eixo dos discos b E em um ponto ainda entre as placas distante 120 cm do eixo dos discos R 005 m Temos que em um capacitor de placas planos e paralelos o campo elétrico na região entre as placas é dado por E Qε0 A D Qπ R² dDdt Jd 400π dQdt 400π 10 Am² área das placas A orientação do campo é perpendicular às placas apontando para a placa negativa O mesmo vale para o vetor densidade de corrente de deslocamento Logo temos para um região circular de raio r i d J d π r² 4000 r² a integral se resume a isso porque J d é constante Logo pela lei de Curpire aplicada em um caminho circular entre as placas passará somente a corrente de deslocamento porque não há de fato corrente I entre as placas B dl μ0 i d B 2π r 4 π 10⁷ 4000 r² B 8 10⁴ r c A radiação eletromagnética A São ondas de natureza mecânica que se propagam à velocidade da luz B É a variação de campos elétrico e magnético que oscilam com qualquer fase entre eles C É formada exclusivamente por ondas planas polarizadas D Consiste de ondas eletromagnéticas onde a oscilação dos campos elétrico e magnético estão sincronizados E São ondas com o mesmo comprimento de onda da luz visível a O campo magnético induzido é sempre igual o campo aplicado nos materiais paramagnéticos Mesmo na ausência de um campo externo nos materiais paramagnéticos os moléculas possuem momentos magnéticos permanentes em função de elétrons desemparelhados A magnetização dos materiais paramagnéticos segue a lei de Curie alternativa E b Materiais diamagnéticos os átomos não possuem momento dipolar na ausência de campo externo Os materiais diamagnéticos e os ferromagnéticos são fundamentalmente diferentes em sua natureza uma transição de fase não altera isso O campo magnético interno nos materiais diamagnéticos é oposto ao campo externo alternativa D c Nos ondas eletromagnéticas há a ocação de um campo elétrico e um campo magnético sincronizados sem fase Alternativa D 3 Escreva todas as equações de Maxwell e descreva seu significado físico e ilustre diferentes aplicações A lei de Gauss descreve como os cargas elétricas criam um campo elétrico divergente do campo É possível determinar o campo elétrico entre os placos de um capacitor por meio dela D ρv A lei de Gauss para o campo magnético afirma que não existem monopolos magnéticos Com ela podese verificar a consistência dos campos magnéticos em ímãs e solenoides em dispositivos eletrônicos B 0 A lei de Faraday da indução relaciona a mudança no campo magnético ao longo do tempo com a geração de um campo elétrico É a base para o funcionamento de geradores e transformadores elétricos E B t A lei de Ampére relaciona a circulação do campo magnético B ao redor de um caminho fechado com a corrente elétrica que passa interna a esse caminho e com a variação do campo elétrico Descreve a relação entre os campos em um circuito AC B μ0 J μ0 ε0 E t 4 A Figura 1 abaixo mostra uma espira de área A que está girando em torno do eixo y com velocidade angular ω Sabendo que existe um campo magnético uniforme de módulo B na direção x e que a resistência da espira é R calcule qual é a corrente induzida na espira Vemf L n B dℓ Vamos tratar em coordenadas cilíndricas A velocidade de um ponto da espira é mudando o sistema imaginando que a espira gira um ângulo θ a partir da posição da figura W W k M Wp ρ B Bnmo ρ Bcosθ θ Logo M B Wp θ Bnmo ρ Bcosθ θ Wp Bnmo k Então M B dℓ Wp Bnmo dz Vemf L n B dℓ somente trajetos em z contribuição 2 12 12 Wp Bnmo dz WABnmo θ Wt θ0 Vemf WABnmo wt Loop i WABnmo wt R Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z a Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas b Dado o campo elétrico que foi assumido na questão utilize a lei de Faraday e determine como que uma mudança espacial no campo elétrico gera uma mudança temporal no campo magnético Ou seja que Ex Bt 1 c Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético ou seja que Bx μ0ε0 Et 2 d Faça uma derivada parcial em função de x dos dois lados da equação 1 e utilizando a equação 2 chegue na equação de onda para o campo elétrico ²Ex² μ0ε0 ²Et² 3 e Repita o mesmo procedimento para encontrar a equação de onda para o campo magnético ²Bx² μ0ε0 ²Bt² 4 f Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais 3 e 4 Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais Ext E0 coskx ωt Bxt B0 coskx ωt g Sabendo que o vetor de onda da luz é k 2πλ onde λ é comprimento de onda da luz e que a frequência angular da luz é ω 2πf onde f é frequência da luz determine a velocidade da luz c em termos de μ0 e ε0 Temos E 0 B 0 x E Bt x B μ0 ε0 Et Cplicando lei de Faraday x E Eyz x Eyx z Eyx z Eyx z Bt Ex Bzt Cplicando Lei de Ampire x B Bzx y Bzx μ0 ε0 Eyt Derivada parcial ²Eyx² x Bzt μ0 ε0 ²Eyt² ²Bzx² μ0 ε0 ²Eyt² 1μ0ε0 ²Bzt² As soluções para as equações de onda são ondas harmônicas que satisfazem Eyxt E0 coskx ωt φ Bzxt B0 coskx ωt φ Temos ²Eyx² μ0 ε0 ²Eyt² Equação de onda característica Logo v² 1μ0ε0 v 1ε0μ0