Lei de Gauss e Aplicações em Eletromagnetismo - Simetria Esférica e Cilíndrica

Fundamentos de Eletromagnetismo Segundo semestre 2024 Professor Paulo Sérgio Soares Guimarães Aula 05 Lei de Gauss 16 de outubro de 2024 quartafeira Turma M2 Na aula passada introduzimos a Lei de Gauss o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga contida dentro dessa superfície vezes Τ 1 𝜀0 Lei de Gauss A Lei de Gauss não é um novo postulado ela pode ser deduzida da lei de Coulomb e viceversa A lei de Gauss é uma das quatro equações de Maxwell que são os postulados do Eletromagnetismo ර 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝜺𝟎 ර 𝑆 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑞1 𝜀0 ර 𝑆 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑞2 𝑞3 𝜀0 ර 𝑆𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 0 𝐸 Fizemos alguns exemplos de aplicação da Lei de Gauss em situações com simetria esférica 𝑑 Ԧ𝑎 S Simetria esférica nada muda com ou com só com r 𝑬 𝑬 𝒓 𝒓 𝑬 𝒅𝒂 𝑬 𝒓 𝒓 𝒅𝒂 𝒓 𝑬 𝒓 𝒅𝒂 ׯ𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑬𝒓ׯ𝑺 𝒅𝒂 𝑬𝒓 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝒒 𝜺𝟎 Também mostramos que a lei de Gauss e a lei de Coulomb são equivalentes partimos da Lei de Gauss e obtivemos a lei de Coulomb ver aula passada r 𝝆 Calculamos o campo elétrico para algumas distribuições de carga com simetria esférica dentro e fora da esfera 𝜌 constante 𝜌 𝜌 𝑟 𝜌0𝑟 ර 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝜺𝟎 Lei de Gauss Outra situação em que a simetria do problema permite inferir a forma do campo elétrico permitindo escolher uma superfície gaussiana facilita o cálculo da integral na lei de Gauss é a simetria cilíndrica Exemplo Calcular o campo elétrico a distância r de um fio infinito carregado uniformemente com a densidade de carga linear λ λ Pela simetria do problema o campo elétrico tem de ser perpendicular ao fio o campo elétrico só pode depender da distância ao fio r 𝐸 Ԧ𝑠 𝐸 𝑠 Ƹ𝑠 Aplicar a lei de Gauss sobre uma superfície gaussiana que é um cilindro de altura L e raio r s L 𝑑 Ԧ𝑎 𝑑𝑎 Ƹ𝑠 𝐸 𝑠 2𝜋𝑠𝐿 𝑄𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜆𝐿 𝐸 𝑠 2𝜋𝑠𝐿 𝜆𝐿 𝐸 Ԧ𝑠 𝐸 𝑠 Ƹ𝑠 𝜆 2𝜋𝜀0 1 𝑠 Ƹ𝑠 𝑄𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜀0 𝑑 Ԧ𝑎 𝐸 𝐸 𝑠 ර 𝑆 𝑑𝑎 ර 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝜺𝟎 ර 𝑆 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 ර 𝑆 𝐸 𝑠 Ƹ𝑠 𝑑𝑎 Ƹ𝑠 Comparar com a questão do teste 3 fazendo L infinito Mais um exemplo plano infinito carregado com densidade superficial de carga uniforme σ 𝐸 𝐸 Superfície gaussiana cilindro σ Simetria nada muda em deslocamentos paralelos ao plano 𝑬 𝑬 𝒛 𝒛 onde Ƹ𝑧 é o vetor unitário normal ao plano 𝑬 𝒅𝒂 nas tampas do cilindro 𝑬 𝒅𝒂 𝑬 𝒛 𝒅𝒂 nas duas tampas න 𝑬 𝒅𝒂 𝑬 𝑨 em cada uma das tampas 𝑬 𝒅𝒂 sobre a superfície curva do cilindro gaussiano 𝑬 𝒅𝒂 𝟎 sobre a superfície curva න 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝟐𝑬𝑨 𝒒 𝜺𝟎 𝝈𝑨 𝜺𝟎 𝑬 𝝈 𝟐𝜺𝟎 𝒛 Campo constante 𝑥 𝑦 Ƹ𝑧 Exemplo que fizemos no quadro na aula passada calcular o campo elétrico dentro de esfera carregada com densidade de carga volumétrica nãouniforme 𝝆 𝒓 𝑪 𝒓 onde C é constante R ρ r Simetria continua esférica nada muda com ou com só com r 𝑬 𝑬 𝒓 𝒓 Aplicar lei de Gauss sobre casca esférica de raio r R 𝑬 𝒅𝒂 𝑬 𝒓 𝒓 𝒅𝒂 𝒓 𝑬 𝒓 𝒅𝒂 ׯ𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑬𝒓ׯ𝑺 𝒅𝒂 𝑬𝒓 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝒒 𝜺𝟎 𝒒 න 𝝆 𝒅𝑽 𝒅𝑽 𝟒𝝅𝒓𝟐𝒅𝒓 න 𝑪 𝒓 𝒅𝑽 𝑞 𝐶 න 0 𝑟 𝑟 4𝜋𝑟2 𝑑𝑟 𝐸 Ԧ𝑟 𝐸 𝑟 Ƹ𝑟 1 4𝜋𝑟2 1 𝜀0 𝜋𝐶 𝑟4 Ƹ𝑟 𝑬 𝒓 𝑪 𝟒𝜺𝟎 𝒓𝟐 𝒓 r dr 𝐶 4𝜋 න 0 𝑟 𝑟3𝑑𝑟 4𝜋𝐶 𝑟4 4 𝜋 𝐶 𝑟4