Eletromagnetismo - Lista de Exercícios Resolvidos: Fluxo, Lei de Gauss e Campo Elétrico

Fundamentos de Eletromagnetismo Segundo semestre 2024 Professor Paulo Sérgio Soares Guimarães Aula 04 Fluxo do campo elétrico Lei de Gauss 14 de outubro de 2024 segundafeira Turma M2 1 Considere um sistema de 3 cargas localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de lados iguais como mostrado na figura As cargas q1 e q3 tem o mesmo valor igual a 50 X 106 C enquanto q2 vale 2 x 106 C Os lados a do triângulo têm comprimento a 010 m e a hipotenusa naturalmente 2𝑎 Calcule a força resultante que atua em q3 TESTE 2 Questão 1 Solução A força resultante sobre q3 é Ԧ𝐹 𝐹1𝑥 𝐹2 𝑥 𝐹1𝑦 𝑦 Ԧ𝐹 𝐹1 cos 𝜃 𝐹2 𝑥 𝐹1sen 𝜃 𝑦 Ԧ𝐹1 Ԧ𝐹2 𝐹1𝑥 𝐹1𝑦 𝐹1 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞3 𝑎 2 2 899 109 50106 50106 2012 N 11 N 𝐹2 1 4𝜋𝜀0 𝑞2𝑞3 𝑎 2 899 109 20106 50106 012 N 90 N As forças que atuam em q3 estão mostradas na figura ao lado em vermelho 𝜃 45 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 2 𝑭 𝟕 𝟗 𝟗 𝟎 N𝒙 𝟕 𝟗 N𝒚 𝟏 𝟏 N𝒙 𝟕 𝟗 N𝒚 2 Considere quatro cargas iguais positivas de valor q situadas nos vértices de um quadrado de lado a O valor do campo elétrico no centro do quadrado é Solução Todas as cargas são iguais e estão à mesma distância do ponto central TESTE 2 Questão 2 a 0 b c d e f um valor diferente dos que estão nas outras opções fracq4 pi epsilon 0 frac sqrt2a 2 frac12 fracq4 pi epsilon 0 frac sqrt2a 2 4 fracq4 pi epsilon 0 frac sqrt2a 2 fracq4 pi epsilon 0 frac1a 2 q q q q 𝑬 𝑬 𝑬 𝑬 O campo elétrico total no centro é zero 3 Um anel circular de raio a está carregado uniformemente com carga total Q Calcule o campo elétrico devido a este anel em um ponto P localizado à distância x do centro do anel sobre o eixo central deste perpendicular ao plano do anel como mostra a figura Solução As componentes perpendiculares 𝑑𝐸do campo elétrico criado pelos elementos de carga 𝑑𝑞 no ponto P cancelamse entre si enquanto as componentes 𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸 cos 𝜃 se somam 𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸 cos 𝜃 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟2 cos 𝜃 Todos os elementos de carga do anel estão à mesma distância r do ponto P cos 𝜃 𝑥 𝑟 𝑟 𝑥2 𝑎2 𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝑥 𝑥2𝑎2 Τ 3 2 𝑑𝑞 𝑥 𝐸 𝑥 1 4𝜋𝜀0 𝑥 𝑥2𝑎2 Τ 3 2 𝑑𝑞 𝑬 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝒙 𝒙𝟐 𝒂𝟐 Τ 𝟑 𝟐 𝒙 TESTE 2 Questão 3 Representação do campo elétrico linhas de campo desenhar linhas paralelas ao campo elétrico em cada ponto do espaço Lembrar que o campo é contínuo Enquanto o número de linhas é discreto Número de linhas N que sai chega de carga q q é proporcional a q Número de linhas por unidade de área em casca esférica de raio r com centro na carga é 𝑵 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝑬 𝟏 𝒓𝟐 ou seja como previsto pela Lei de Coulomb o número de linhas por unidade de área através de uma superfície perpendicular às linhas é proporcional ao modulo do campo elétrico em cada ponto Fluxo de campo elétrico através de uma superfície é um número proporcional ao número de linhas de campo elétrico que atravessa aquela superfície 𝛷𝐸 𝑁 Como 𝐸 𝑁 𝐴 𝛷𝐸 𝐸 𝐴 Superfície de área A perpendicular a 𝐸 𝐸 𝛷𝐸 𝐸 𝐴 Superfície de área A com normal em ângulo 𝜃 com 𝐸 𝐸 𝛷𝐸 𝐸 𝐴 cos 𝜃 O fluxo do campo elétrico através de uma superfície é proporcional à componente do campo que é perpendicular à superfície ou seja proporcional a 𝐸 cos 𝜃 𝐸𝑖 fluxo em cada ponto é Φ𝐸 𝐸𝑖 𝐴𝑖 cos 𝜃 fazendo 𝐴𝑖 da 𝑑Φ𝐸 𝐸𝑖 𝑑𝑎 cos 𝜃 𝒅𝜱𝑬 𝑬 𝒅𝒂 O vetor 𝒅𝒂 tem módulo 𝒅𝒂 igual à área do elemento de área no local direção perpendicular à superfície no ponto e sentido para fora da superfície O fluxo de campo elétrico total através de uma superfície S é dado pela integral de 𝒅𝜱𝑬 sobre toda a superfície 𝜱𝑬 න 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 Em geral para superfície qualquer esta é uma integral tripla complicada Fluxo de campo elétrico uma medida do tanto que o campo elétrico atravessa uma superfície uma frase nada rigorosa mas que expressa a ideia porque só a componente de 𝐸 perpendicular à superfície atravessa a superfície Fluxo de campo elétrico através de um elemento de área pode ser positivo negativo ou nulo Φ1 0 Φ2 0 Φ3 0 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 pode ser positivo negativo ou nulo O valor do fluxo total depende da soma desses componentes infinitesimais ou seja é dado por 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 Na situação da figura o fluxo de campo elétrico total sobre a superfície tem qual valor 𝐸 𝐸 Casos de alta simetria tipo simetria esférica cálculo muito mais simples porque podemos inferir várias coisas sobre 𝑬 𝒒 r 𝑑 Ԧ𝑎 ර 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 S Simetria esférica nada muda com ou com só com r 𝑬 𝑬 𝒓 𝒓 r tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície 𝑬 𝒅𝒂 𝑬 𝒓 𝒓 𝒅𝒂 𝒓 𝑬 𝒓 𝒅𝒂 𝐸 𝑟 é uma constante na superfície ׯ𝑺 𝑬 𝒅𝒂 ׯ𝑺 𝑬 𝒓 𝒅𝒂 𝑬𝒓ׯ𝑺 𝒅𝒂 𝑬𝒓 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝑬 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒓 𝒓𝟐 fluxo do campo 𝒒 𝒒 Escolhendo a constante de proporcionalidade como 1 𝜀0 𝒒 R 𝑑 Ԧ𝑎 𝐸 Calculamos o fluxo do campo elétrico criado por uma carga pontual sobre uma superfície esférica centrada nessa carga 𝜱𝑬 ර 𝑬 𝒅𝒂 𝑞 𝜀0 O resultado seria o mesmo para qualquer superfície que envolva completamente a carga q Fluxo de campo elétrico através de uma superfície é um número proporcional ao número de linhas de campo elétrico que atravessa aquela superfície Se a carga q está localizada fora da superfície o fluxo de campo elétrico através dessa superfície é nulo Generalização a Lei de Gauss ර 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑄𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜀0 A Lei de Gauss não é um novo postulado ela pode ser deduzida da lei de Coulomb e viceversa A lei de Gauss é uma das quatro equações de Maxwell que são os postulados do Eletromagnetismo ර 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑄𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜀0 Lei de Gauss ර 𝑆 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑞1 𝜀0 ර 𝑆 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑞2 𝑞3 𝜀0 ර 𝑆𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 0 Podemos calcular 𝑬 nos casos mostrados acima usando a lei de Gauss Qual é o fluxo de campo elétrico através da superfície Superfície gaussiana superfície sobre a qual aplicamos a lei de Gauss Para calcular 𝑬 precisamos resolver a integral Mas a coisa a determinar 𝐸 está dentro da integral Casos em que a integral na lei de Gauss fica fácil casos de alta simetria Quando 𝐸 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 sobre toda a superfície S Quando 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 ou 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 em todos os pontos da superfície S Quando 𝐸 0 sobre toda a superfície S Casos de alta simetria Simetria esférica Simetria cilíndrica Simetria planar Para um caso geral não é possível calcular o campo elétrico analiticamente usando a lei de Gauss é impossível resolver analiticamente a integral de superfície da Lei de Gauss Temos então de recorrer a métodos numéricos Nesses casos a simetria do problema permite inferir a forma do campo elétrico e podemos então escolher uma superfície gaussiana conveniente que facilite o cálculo da integral 𝐸 Exemplo de alta simetria simetria esférica fizemos mais cedo nessa aula 𝒒 r 𝑑 Ԧ𝑎 ර 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝒒 𝜺𝟎 S Simetria esférica nada muda com ou com só com r 𝑬 𝑬 𝒓 𝒓 r tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície 𝑬 𝒅𝒂 𝑬 𝒓 𝒓 𝒅𝒂 𝒓 𝑬 𝒓 𝒅𝒂 𝐸 𝑟 é uma constante na superfície ׯ𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑬𝒓ׯ𝑺 𝒅𝒂 𝑬𝒓 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝒒 𝜺𝟎 Ou seja 𝑬 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒓 𝒓𝟐 Note que partimos da Lei de Gauss e obtivemos a lei de Coulomb Lei de Gauss Exemplo 2 Calcular o campo elétrico a distância r do centro de uma esfera sólida de raio R carregada uniformemente com a densidade de carga volumétrica ρ dentro e fora da esfera R ρ Simetria esférica nada muda com ou com só com r 𝑬 𝑬 𝒓 𝒓 Aplicar lei de Gauss sobre superfície esférica casca esférica de raio r r 𝑬 𝒅𝒂 𝑬 𝒓 𝒓 𝒅𝒂 𝒓 𝑬 𝒓 𝒅𝒂 ׯ𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑬𝒓ׯ𝑺 𝒅𝒂 𝑬𝒓 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝒒 𝜺𝟎 𝒒 𝒒 න 𝝆 𝒅𝑽 𝝆 න 𝒅𝑽 𝝆 𝟒 𝟑 𝝅𝑹𝟑 𝑬 𝒓 𝑬 𝒓 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝟏 𝜺𝟎 𝝆 𝟒 𝟑 𝝅𝑹𝟑 𝒓 𝑬 𝒓 𝝆 𝟑𝜺𝟎 𝑹𝟑 𝒓𝟐 𝒓 Para r 𝑹 fora da esfera S E para r 𝑹 dentro da esfera R ρ r Mesma simetria esférica nada muda com ou com só com r 𝑬 𝑬 𝒓 𝒓 Aplicar lei de Gauss sobre casca esférica de raio r R 𝑬 𝒅𝒂 𝑬 𝒓 𝒓 𝒅𝒂 𝒓 𝑬 𝒓 𝒅𝒂 ׯ𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑬𝒓ׯ𝑺 𝒅𝒂 𝑬𝒓 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝒒 𝜺𝟎 𝒒 𝒒 න 𝝆 𝒅𝑽 𝝆 න 𝒅𝑽 𝝆 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 𝑬 𝒓 𝑬 𝒓 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝟏 𝜺𝟎 𝝆 𝟒 𝟑 𝝅𝒓𝟑 𝒓 𝑬 𝒓 𝝆 𝟑𝜺𝟎 𝒓 𝒓