Prova 2 Vibrações Mecânicas

BEAM DESIGN FORMULAS WITH SHEAR AND MOMENT DIAGRAMS DESIGN AID No 6 American Forest Paper Association American Wood Council AMERICAN WOOD COUNCIL The American Wood Council AWC is part of the wood products group of the American Forest Paper Association AFPA AFPA is the national trade association of the forest paper and wood products industry representing member companies engaged in growing harvesting and processing wood and wood fiber manufacturing pulp paper and paperboard products from both virgin and recycled fiber and producing engineered and traditional wood products For more information see wwwafandpaorg While every effort has been made to insure the accuracy of the information presented and special effort has been made to assure that the information reflects the stateof theart neither the American Forest Paper Association nor its members assume any responsibility for any particular design prepared from this publication Those using this document assume all liability from its use Copyright 2007 American Forest Paper Association Inc American Wood Council 1111 19th St NW Suite 800 Washington DC 20036 2024634713 awcinfoafandpaorg wwwawcorg BEAM F BEAM F BEAM F BEAM F BEAM FORMULAS WITH ORMULAS WITH ORMULAS WITH ORMULAS WITH ORMULAS WITH SHEAR AND MOMENT SHEAR AND MOMENT SHEAR AND MOMENT SHEAR AND MOMENT SHEAR AND MOMENT DIA DIA DIA DIA DIAGRAMS GRAMS GRAMS GRAMS GRAMS AMERICAN FOREST PAPER ASSOCIATION Figures 1 through 32 provide a series of shear and moment diagrams with accompanying formulas for design of beams under various static loading conditions Shear and moment diagrams and formulas are excerpted from the Western Woods Use Book 4th edition and are provided herein as a courtesy of Western Wood Products Association Intr Intr Intr Intr Introduction oduction oduction oduction oduction Notations Relative to Shear and Moment Diagrams E modulus of elasticity psi I moment of inertia in4 L span length of the bending member ft R span length of the bending member in M maximum bending moment inlbs P total concentrated load lbs R reaction load at bearing point lbs V shear force lbs W total uniform load lbs w load per unit length lbsin Δ deflection or deformation in x horizontal distance from reaction to point on beam in List of Figur List of Figur List of Figur List of Figur List of Figures es es es es Figure 1 Simple Beam Uniformly Distributed Load 4 Figure 2 Simple Beam Uniform Load Partially Distributed 4 Figure 3 Simple Beam Uniform Load Partially Distributed at One End 5 Figure 4 Simple Beam Uniform Load Partially Distributed at Each End 5 Figure 5 Simple Beam Load Increasing Uniformly to One End 6 Figure 6 Simple Beam Load Increasing Uniformly to Center 6 Figure 7 Simple Beam Concentrated Load at Center 7 Figure 8 Simple Beam Concentrated Load at Any Point 7 Figure 9 Simple Beam Two Equal Concentrated Loads Symmetrically Placed 8 Figure 10 Simple Beam Two Equal Concentrated Loads Unsymmetrically Placed 8 Figure 11 Simple Beam Two Unequal Concentrated Loads Unsymmetrically Placed 9 Figure 12 Cantilever Beam Uniformly Distributed Load 9 Figure 13 Cantilever Beam Concentrated Load at Free End 10 Figure 14 Cantilever Beam Concentrated Load at Any Point 10 Figure 15 Beam Fixed at One End Supported at Other Uniformly Distributed Load 11 Figure 16 Beam Fixed at One End Supported at Other Concentrated Load at Center 11 Figure 17 Beam Fixed at One End Supported at Other Concentrated Load at Any Point 12 Figure 18 Beam Overhanging One Support Uniformly Distributed Load 12 Figure 19 Beam Overhanging One Support Uniformly Distributed Load on Overhang 13 Figure 20 Beam Overhanging One Support Concentrated Load at End of Overhang 13 Figure 21 Beam Overhanging One Support Concentrated Load at Any Point Between Supports 14 Figure 22 Beam Overhanging Both Supports Unequal Overhangs Uniformly Distributed Load 14 Figure 23 Beam Fixed at Both Ends Uniformly Distributed Load 15 Figure 24 Beam Fixed at Both Ends Concentrated Load at Center 15 Figure 25 Beam Fixed at Both Ends Concentrated Load at Any Point 16 Figure 26 Continuous Beam Two Equal Spans Uniform Load on One Span 16 Figure 27 Continuous Beam Two Equal Spans Concentrated Load at Center of One Span 17 Figure 28 Continuous Beam Two Equal Spans Concentrated Load at Any Point 17 Figure 29 Continuous Beam Two Equal Spans Uniformly Distributed Load 18 Figure 30 Continuous Beam Two Equal Spans Two Equal Concentrated Loads Symmetrically Placed 18 Figure 31 Continuous Beam Two Unequal Spans Uniformly Distributed Load 19 Figure 32 Continuous Beam Two Unequal Spans Concentrated Load on Each Span Symmetrically Placed 19 Figure 3 Simple Beam Uniform Load Partially Distributed at One End R1 V1 wa2ℓ 2ℓ a R2 V2 wa²2ℓ Vx when x a R1 wx Mmax at x R1w R1²2w Mx when x a R1x wx²2 Mx when x a R2ℓ x Δx when x a wx24 EIℓ a²2ℓ a² 2ax²2ℓ a ℓx³ Δx when x a wa²ℓ x24 EIℓ 4xℓ 2x² a² AMERICAN WOOD COUNCIL Figure 4 Simple Beam Uniform Load Partially Distributed at Each End R1 V1 w1a2ℓ a w2c²2ℓ R2 V2 w2c2ℓ c w1a²2ℓ Vx when x a R1 w1x Vx when x a and a b R1 w1a Vx when x a b R2 w2ℓ x Mmax at x R1w1 when R1 w1a R1²2w1 Mmax at x ℓ R2w2 when R2 w2c R2²2w2 Mx when x a R1x w1x²2 Mx when x a and a b R1x w1a2 2x a Mx when x a b R2ℓ x w2ℓ x²2 AMERICAN FOREST PAPER ASSOCIATION Figure 5 Simple Beam Load Increasing Uniformly to One End R1 V1 W3 R2 V2 2W3 Vx W3 Wx2ℓ2 Mmax at x ℓ3 5774ℓ 2Wℓ93 1283Wℓ Mx Wx3ℓ2ℓ2 x2 Δmax at x ℓ1 815 5193ℓ 01304 Wℓ3EI Δx Wx180EIℓ23x4 10ℓ2x2 7ℓ4 Figure 6 Simple Beam Load Increasing Uniformly to Center R V W2 Vx when x ℓ2 W2ℓ2ℓ2 4x2 Mmax at center Wℓ6 Mx when x ℓ2 Wx12 2x23ℓ2 Δmax at center Wℓ360EI Δx Wx480EIℓ25ℓ2 4x22 Figure 7 Simple Beam Concentrated Load at Center R V P2 Mmax at point of load Pℓ4 Mx when x ℓ2 Px2 Δmax at point of load Pℓ348EI Δx when x ℓ2 Px48EI3ℓ2 4x2 Figure 8 Simple Beam Concentrated Load at Any Point R1 V1 max when a b Pbℓ R2 V2 max when a b Paℓ Mmax at point of load Pabℓ Mx when x b Pbxℓ Δmax at x aa 2b3 when a b Paba 2b3aa 2b27EIℓ Δa at point of load Pa2b23EIℓ Δx when x a Pbx6EIℓℓ2 b2 x2 Δx when x a Paℓ x6EIℓ2ℓx x2 a2 Figure 11 Simple Beam Two Unequal Concentrated Loads Unsymmetrically Placed R1 V1 P1ℓ a P2 b ℓ R2 V2 P1 a P2 ℓ b ℓ Vx when x a and ℓ b R1 P1 M1 max when R1 P1 R1 a M2 max when R2 P2 R2 b Mx when x a R1 x Mx when x a and ℓ b R1 x P1 x a Figure 9 Simple Beam Two Equal Concentrated Loads Symmetrically Placed R V P Mmax between loads Pa Mx when x a Px Δmax at center Pa24EI3ℓ2 4a2 Δx when x a Px6EI3a 3a2 x2 Δx when x a and ℓ a Pa6EI3ℓ 3x2 a2 Figure 12 Cantilever Beam Uniformly Distributed Load R V wℓ Vx wx Mmax at fixed end wℓ2 2 Mx wx2 2 Δmax at free end wℓ4 8EI Δx w 24EI x4 4ℓ3 x 3ℓ4 Figure 10 Simple Beam Two Equal Concentrated Loads Unsymmetrically Placed R1 V1 max when a b Pℓ ℓ a b R2 V2 max when a b Pℓ ℓ b a Vx when x a and ℓ b Pℓ b a M1 max when a b R1a M2 max when a b R2b Mx when x a R1x Mx when x a and ℓ b R1x Px a Figure 13 Cantilever Beam Concentrated Load at Free End R V P Mmax at fixed end Pℓ Mx Px Δmax at free end Pℓ3 3EI Δx P 6EI 2ℓ3 3ℓ2 x x3 Figure 14 Cantilever Beam Concentrated Load at Any Point R V P Mmax at fixed end Pb Mx when x a Px a Δmax at free end Pb2 6EI 3ℓ b Δa at point of load Pb3 3EI Δx when x a Pb2 6EI 3ℓ 3x b Δx when x a Pℓ x2 6EI 3b ℓ x Figure 17 Beam Fixed at One End Supported at Other Concentrated Load at Any Point R1 V1 Pb22l3 a 2l R2 V2 Pa2l3 3l2 a2 M1 at point of load R1a M2 at fixed end Pab2l2 a l Mx when x a R1x Mx when x a R1x Px a Δmax when a 414l at x l l2 a23l2 a2 Pa3El l2 a23 3El 3l2 a22 Δmax when a 414l at x l a sqrt2l a Pab26El a sqrt2l a Δa at point of load Pa2b312El3 3l a Δx when x a Pb2 x12El3 3al2 2lx2 ax2 Δx when x a Pa12El3 l x2 3l2 x a2 x 2a2 l AMERICAN WOOD COUNCIL 12 Figure 18 Beam Overhanging One Support Uniformly Distributed Load R1 V1 w 2l l2 a2 R2 V2 V3 w 2l l a2 V2 wa V3 w 2l l2 a2 Vx between supports R1 w x Vx1 for overhang w a x1 M1 at x l2 1 a2 l2 w 8l2 l a2 l a2 M2 at R2 w a2 2 Mx between supports w x 2l l2 a2 x l Mx1 for overhang w 2 a x12 Δx between supports w x 24 E l l4 2 l2 x2 l x3 2 a2 l2 2 a2 x2 Δx1 for overhang w x1 24 E l 4 a2 l l3 6 a2 x1 4 a x12 x13 AMERICAN WOOD COUNCIL 13 Figure 19 Beam Overhanging One Support Uniformly Distributed Load on Overhang R1 V1 w a2 2 l R2 V1 V2 w a 2 l 2 l a V2 wa Vx1 for overhang w a x1 Mmax at R2 w a2 2 Mx between supports w a2 x 2 l Mx1 for overhang w 2 a x12 Δmax between supports at x l sqrt3 w a2 l2 18 sqrt3 E l 03208 w a2 l2 E l Δmax for overhang at x1 a w a3 24 E l 4 l 3 a Δx between supports w a2 x 12 E l l2 x2 Δx1 for overhang w x1 24 E l 4 a2 l 6 a2 x1 4 a x12 x13 Figure 20 Beam Overhanging One Support Concentrated Load at End of Overhang R1 V1 Pa l R2 V1 V2 P l l a V2 P Mmax at R2 P a Mx between supports P a x l Mx1 for overhang P a x1 Δmax between supports at x l sqrt3 Pa l2 9 sqrt3 E l 06415 Pa l2 E l Δmax for overhang at x1 a Pa2 3 E l l a Δx between supports P a x 6 E l l2 x2 Δx1 for overhang P x1 6 E l 2 a l 3 a x1 x12 AMERICAN FOREST PAPER ASSOCIATION Figure 21 Beam Overhanging One Support Concentrated Load at Any Point Between Supports R1 V1 max when a b P b l R2 V2 max when a b Pa l Mmax at point of load P ab l Mx when x a Pb x l Δmax at x sqrta a 2 b3 when a b P ab a 2 b sqrt3 a a 2 b 27 E l Δa at point of load Pa2 b2 3 E l Δx when x a Pb x 6 E l l2 b2 x2 Δx when x a Pa l x 6 E l 2 l x x2 a2 Δx1 P a b x1 6 E l l a Figure 22 Beam Overhanging Both Supports Unequal Overhangs Uniformly Distributed Load R1 w l l 2 c 2 b R2 w l l 2 a 2 b V1 wa V2 R1 V1 V3 R2 V4 V4 wc Vx1 V1 w x1 Vx when x l R1 w a x1 Vm when a c R2 wc M1 wa2 2 M2 wc2 2 M3 R1 R1 2 w a Mx max when x R1 w a R1 x w a x2 2 AMERICAN WOOD COUNCIL Figure 23 Beam Fixed at Both Ends Uniformly Distributed Load R V wℓ2 Vx w ℓ2 x Mmax at ends wℓ212 M1 at center wℓ224 Mx w12 6ℓx ℓ2 6x2 Δmax at center wℓ4384EI Δx wx224EI ℓ x2 Figure 24 Beam Fixed at Both Ends Concentrated Load at Center R V P2 Mmax at center and ends Pℓ8 Mx when x ℓ2 P8 4x ℓ Δmax at center Pℓ3192EI Δx when x ℓ2 Px248EI 3ℓ 4x Figure 25 Beam Fixed at Both Ends Concentrated Load at Any Point R1 V1 max when a b Pb2ℓ3 3a b R2 V2 max when a b Pa2ℓ3 a 3b M1 max when a b Pab2ℓ2 M2 max when a b Pa2bℓ2 Ma at point of load 2Pa2b2ℓ3 Mx when x a R1 x Pab2ℓ2 Δmax when a b at x 2aℓ3a b 2Pa3b23EI3a b2 Δa at point of load Pa3b33EIℓ3 Δx when x a Pb2x26EIℓ3 3aℓ 3ax bx Figure 31 Continuous Beam Two Unequal Spans Uniformly Distributed Load R₁ M₁l₁ wl₁2 R₂ wl₁ wl₂ R₁ R₃ R₃ V₄ M₁l₂ wl₂2 V₁ R₁ V₂ wl₁ R₁ V₃ wl₂ R₃ V₄ R₃ M₁ wl₂³ wl₁³8l₁ l₂ Mₓ₁ when x₁ R₁w R₁ x₁ w x₁²2 Mₓ₂ when x₂ R₃w R₃ x₂ w x₂²2 Figure 32 Continuous Beam Two Unequal Spans Concentrated Load on Each Span Symmetrically Placed R₁ M₁l₁ P₁2 R₂ P₁ P₂ R₁ R₃ R₃ M₁l₂ P₂2 V₁ R₁ V₂ P₁ R₁ V₃ P₂ R₃ V₄ R₃ M₁ 316P₁ l₁² P₂ l₂²l₁ l₂ Mₘ₁ R₁ a Mₘ₂ R₃ b AMERICAN FOREST PAPER ASSOCIATION Figure 26 Continuous Beam Two Equal Spans Uniform Load on One Span R1 V1 716 wℓ R2 V2 V3 58 wℓ R3 V3 116 wℓ V2 916 wℓ Mmax at x 716 ℓ 49512 wℓ2 M1 at support R2 116 wℓ2 Mx when x ℓ wx16 7ℓ 8x Na segunda prova prática são fornecidos os seguintes arquivos PurdueDA6BeamFormulaspdf é um arquivo com soluções de carregamento simples em vigas incluindo a linha elástica que permite cálculo da matriz de flexibilidade para inúmeras situações de apoio e carregamento Para carregamentos arbitrários o procedimento geral básico é o mesmo para sistemas excitados por carregamento harmônico Resolver em coordenadas principais e voltar ao sistema de coordenadas físico O arquivo P2Praticav1245MassasEXEMPLOpdf é um arquivo que mostra o procedimento geral mas não tente resolver o problema usando o máxima se você não tiver paciência A curva de aprendizado do máxima exige dedicação e tempo O exemplo acima é para carregamento impulso unitário os casos na prova são harmônicos e degrau unitário Uma vez obtido o sistema desacoplado em coordenadas principais recomendase usar um método numérico qualquer um dos que foram vistos para sistemas de 1GDL Obtida a solução temporal em coordenadas principais monte uma matriz de resposta no tempo para cada coordenada e passe para domínio de coordenadas físico empregando a matriz modal normalizada pela massa A entrega é dia 15 de Janeiro de 2025 mas não deixe para a última hora Não é possível resolver e entregar os problemas sem um certo tempo de dedicação Figure 27 Continuous Beam Two Equal Spans Concentrated Load at Center of One Span R1 V1 1332 P R2 V2 V3 1116 P R3 V3 332 P V2 1932 P Mmax at point of load 1364 Pℓ M1 at support R2 332 Pℓ A F P A American F American F American F American F American Forest P orest P orest P orest P orest Paper Association aper Association aper Association aper Association aper Association American W American W American W American W American Wood Council ood Council ood Council ood Council ood Council 1111 19th S 1111 19th S 1111 19th S 1111 19th S 1111 19th Stree tree tree tree treet NW t NW t NW t NW t NW Suit Suit Suit Suit Suite 800 e 800 e 800 e 800 e 800 W W W W Washingt ashingt ashingt ashingt ashington DC 20036 on DC 20036 on DC 20036 on DC 20036 on DC 20036 Phone 2024634 Phone 2024634 Phone 2024634 Phone 2024634 Phone 2024634777771111133333 FFFFFax 2024632 ax 2024632 ax 2024632 ax 2024632 ax 202463279 79 79 79 7911111 aaaaawwwwwcinf cinf cinf cinf cinfoafandpaorg oafandpaorg oafandpaorg oafandpaorg oafandpaorg www www www www wwwa aa aawwwwwcorg corg corg corg corg 1107 Figure 28 Continuous Beam Two Equal Spans Concentrated Load at Any Point R1 V1 Pb4ℓ3 4ℓ2 aℓ a R2 V2 V3 Pa2ℓ3 2ℓ2 bℓ a R3 V3 Pab4ℓ3 ℓ a V2 Pa4ℓ3 4ℓ2 bℓ a Mmax at point of load Pab4ℓ3 4ℓ2 aℓ a M1 at support R2 Pab4ℓ2 ℓ a Figure 29 Continuous Beam Two Equal Spans Uniformly Distributed Load R₁ V₁ R₃ V₃ 3wl8 R₂ 10wl8 V₂ Vₘₐₓ 5wl8 M₁ wl²8 M₂ at 3l8 9wl²128 Δₘₐₓ at 04215 l approx from R₁ and R₃ wl⁴185EI Figure 30 Continuous Beam Two Equal Spans Two Equal Concentrated Loads Symmetrically Placed R₁ V₁ R₃ V₃ 5P16 R₂ 2V₂ 11P8 V₂ P R₁ 11P16 Vₘₐₓ V₂ M₁ 3P l16 M₂ 5P l32 Mₓ when x a R₁x AMERICAN WOOD COUNCIL Parte Prática da 2ª Prova Na sequência os procedimentos para o caso da função de excitação ser uma função arbitrária Apenas um método não o mais simples existem outros M K e Matriz modal normalizada pela massa dos últimos exemplos numéricos enviados aos alunos matrizes a serem introduzidas na unha Cada linha sepa rada por seguida de virgula Os coeficientes dentro de uma linha devem ser separados por vírgula i1 Mmatrix 60 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 20 60 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 20 o1 Para executar um comando selecione shiftenter acionando enter apenas muda de linha na célula de comandos i2 k1e7 100000000 o2 i3 Kmatrix 4kk000k2kk00 0k3kk0 00k3kk000 k4k 40107 100000000 0 0 0 100000000 20107 100000000 0 0 0 100000000 30107 100000000 0 0 0 100000000 30107 100000000 0 0 0 100000000 40107 o3 Do scilab a Matriz Y ou matriz modal normalizada pela massa Na unha 1 i4 Ymatrix 00164628 00955126 00836241 00166549 00016179 00446632 0128517 01318098 01180637 0013256 00537029 00478075 01022436 01836128 00257492 00934066 00273954 00151232 00097803 00141541 0026157 00087942 00070628 00322006 0219435 00164628 00955126 00836241 00166549 00016179 00446632 0128517 01318098 01180637 0013256 00537029 00478075 01022436 01836128 00257492 00934066 00273954 00151232 00097803 00141541 0026157 00087942 00070628 00322006 0219435 o4 O procedimento de mudar de coordenadas premultiplicar por Y e pósmultiplicar por Y ao passar as matrizes de Massa amortecimento e rigidez para o sistema de coordenadas principais SEMPRE tem por resultado matrizes diagonais com termos diagonais conhecidos É uma propriedade decorrente da ortogonalidade das matrizes modais e o resultado é SEMPRE o mesmo os valores podem mudar com os coeficientes mas os parâmetros ωn ξn etc sempre serão encon trados no mesmo grau de liberdade n Para resolver o problema é necessário passar o vetor de forças para o sistema de coordenadas principais o vetor de forças é o único termo que realmente muda de um problema para outro i5 ftFodeltadiract ft Fo deltadiract o5 supondo a excitação pela função impulso unitário no 3o GDL Para executar dois comandos seguidos na mesma célula separe os comandos por ponto e virgula o enter muda de linha Para executar a célula de comandos acione simultaneamente shiftenter i7 Fcmatrix00100 FFoFcdeltadiract 0 0 1 0 0 o6 0 0 Fo deltadiract 0 0 o7 2 A força no sistema de coordenadas principais será i8 FcptransposeYF 00537029Fodeltadiract 00478075Fodeltadiract 01022436Fodeltadiract 01836128Fodeltadiract 00257492Fodeltadiract o8 Y é a matriz modal normalizada pela massa no maxima a transposta é transposeY e não Y A equação a ser resolvida por exemplo para o segundo grau de liberdade será i9 eq2diffqtt22ξ2ω2diffqttω2 2qt00478075Fodeltadiract qtω2²2 ddt qt ξ2ω2 d²dt² qt 00478075Fodeltadiract o9 esta é uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes A solução geral é conhecida i10 qteˆξωntFosinωnsqrt1ξ 2tmωnsqrt1ξ 2 qt Foet ξ ωn sin t1 ξ² ωn m1 ξ² ωn o10 No sistema de coordenadas principais a massa é unitária e para o segundo grau de liberdade a rigidez é ω2² i11 q2te ˆξ2ω2t00478075Fosinω2sqrt1ξ2 2tω2sqrt1ξ2 2 q2t 00478075Foet ξ2 ω2 sin t1 ξ2² ω2 1 ξ2² ω2 o11 Para simplificar a solução será usado o vetor de forças assim definido i12 GtransposeYFc 00537029 00478075 01022436 01836128 00257492 o12 Apenas para evitar erros vamos definir as funções qnt qGnξnωnt i17 ξ1008 ξ2001 ξ30007 ξ40002 ξ50001 008 o13 001 o14 0007 o15 0002 o16 0001 o17 i18 ksiξ1ξ2ξ3ξ4ξ5 008 001 0007 0002 0001 o18 Supondo já conhecidas as frequencias naturais para este problema ver exemplo numérico i19 w 21520794 25790265 31048965 36870871 37756728 21520794 25790265 31048965 36870871 37756728 o19 i20 qξωFteˆξωtFsinωsqrt1ξ2tωsqrt1ξ 2 qξωFt γeξωt F sin ω1 ξ² t ω1 ξ² o20 Nesse problema vamos considerar Fo1 para valores diferentes multiplique o vetor G por este valor GFo nos casos a seguir i21 q1tqksi1w1G11t q1t 0002503419649882092e172166352t sin 2145181691872129t o21 as aspas garantem que a função tenha os valores corretos dos parâmetros ksi w e G i22 q2tqksi2w2G21t q2t 0001853796017772328e025790265t sin 2578897545451056t o22 i23 q3tqksi3w3G31t q3t 0003293060012153749e0217342755t sin 310482042910387t o23 i24 q4tqksi4w4G41t q4t 0004979897741680734e0073741742t sin 3687079725818426t o24 i25 q5tqksi5w5G51t q5t 6819768088646255104e0037756728t sin 3775670912163128t o25 5 i26 wxplot2dq1tt03y00050005 tempo de 0 a 3 coordenada y 0005 t26 o26 A solução temporal será então o vetor xtYqntYQ Q é o vetor ou matriz coluna com as soluções temporais i27 Qmatrixq1tq2tq3tq4tq5t 0002503419649882092e172166352t sin 2145181691872129t 0001853796017772328e025790265t sin 2578897545451056t 0003293060012153749e0217342755t sin 310482042910387t 0004979897741680734e0073741742t sin 3687079725818426t 6819768088646255104e0037756728t sin 3775670912163128t o27 Xis é o vetor com a solução temporal em cada coordenada ou GDL que é influ enciado pelo comportamento em todos os outros GDL 6 i28 XisYQ 1103370279062077106e0037756728t sin 3775670912163128t 8293969889791846105e0073741742t sin 3687079725818426t 2753791797623463104e0217342755t sin 310482042910387t 1770608775270813104e025790265t sin 2578897545451056t 412132970120789105e172166352t sin 2145181691872129t 9040284578309477106e0037756728t sin 3775670912163128t 5879451530044716104e0073741742t sin 3687079725818426t 4340575815899832104e0217342755t sin 310482042910387t 2382443028160463104e025790265t sin 2578897545451056t 1118107325066138104e172166352t sin 2145181691872129t 1756035724681701105e0037756728t sin 3775670912163128t 9143729680636762104e0073741742t sin 3687079725818426t 3366943106586431104e0217342755t sin 310482042910387t 8862535311965061105e025790265t sin 2578897545451056t 1344408951156529104e172166352t sin 2145181691872129t 9652767950350796106e0037756728t sin 3775670912163128t 4870489388296008105e0073741742t sin 3687079725818426t 4980160517580358105e0217342755t sin 310482042910387t 5078548342528005105e025790265t sin 2578897545451056t 2338359178686766104e172166352t sin 2145181691872129t 1496495810532091104e0037756728t sin 3775670912163128t 1603556952207646104e0073741742t sin 3687079725818426t 232582242538395105e0217342755t sin 310482042910387t 1630265293949341105e025790265t sin 2578897545451056t 6548194778196589105e172166352t sin 2145181691872129t o28 i33 x1tXis11 primeira linha de Xis ou solução para a primeira coorde nada x2tXis21 segunda linha de Xis ou solução para a segunda coorde nada x3tXis31 solução para a terceira coordenada x4tXis41 para a quarta coordenada x5tXis51 quinta coordenada generalisada x1t 1103370279062077106e0037756728t sin 3775670912163128t8293969889791846105e0073741742t sin 3687079725818426t2753791797623463104e0217342755t sin 310482042910387t1770608775270813104e025790265t sin 2578897545451056t412132970120789105e172166352t sin 2145181691872129t o29 x2t 9040284578309477106e0037756728t sin 3775670912163128t5879451530044716104e0073741742t sin 3687079725818426t4340575815899832104e0217342755t sin 310482042910387t2382443028160463104e025790265t sin 2578897545451056t1118107325066138104e172166352t sin 2145181691872129t o30 x3t 1756035724681701105e0037756728t sin 3775670912163128t9143729680636762104e0073741742t sin 3687079725818426t3366943106586431104e0217342755t sin 310482042910387t8862535311965061105e025790265t sin 2578897545451056t1344408951156529104e172166352t sin 2145181691872129t o31 x4t 9652767950350796106e0037756728t sin 3775670912163128t4870489388296008105e0073741742t sin 3687079725818426t4980160517580358105e0217342755t sin 310482042910387t5078548342528005105e025790265t sin 2578897545451056t2338359178686766104e172166352t sin 2145181691872129t o32 x5t 1496495810532091104e0037756728t sin 3775670912163128t1603556952207646104e0073741742t sin 3687079725818426t232582242538395105e0217342755t sin 310482042910387t1630265293949341105e025790265t sin 2578897545451056t6548194778196589105e172166352t sin 2145181691872129t o33 Plotando os resultados para t de 0 a 50 e coordenada y de 002 a 002 a função ajusta a escala para valores menores e trunca para os valores superiores aos prescritos 7 i34 wxplot2dx1tx2tt050z002002nticks100 t34 8 i35 wxplot2dx3tx4t t050 z002002 nticks100 t35 9 i36 wxplot2dx5t t040 y0001500015 nticks100 t36 10 i37 wxplot2dx1tx2tx3tx4tx5t t040 y0001500015 nticks100 t37 11 2a Prova de Vibracoes Mecˆanicas EMA006 turma N Parte Pratica 19 Dezembro de 2024 Nome No Na questao a seguir responda a cada um dos itens usando um editor de texto Nao envie o documento de resposta manuscrito Coloque apenas a resposta solicitada usando preferencialmente graficos e ou tabelas nao e necessaria a deducao ou desenvolvimento da ex pressao apenas o resultado SOLICITADO No documento de respostas indique claramente cada item da questao Nas respostas use sempre 3 algarismos significativos em notacao ci entıfica ou exponencial base 10 exemplo escreva 305 104 em lugar de 000030523987 O documento de respostas indicando cada item da questao deve estar no formato pdf A data de entrega e dia 15 de Janeiro ate as 20 horas na area do Moodle aberta para a prova pratica Envie o documento de resposta na area apropriada do Moodle Nao serao aceitos ou considerados outras formas de envio 1a A Figura abaixo mostra a estrutura de uma asa cujo modelo simplificado e uma viga engastada livre A rigidez de flexao e EI34 106 Nm2 Montada na longarina ha o motor da aeronave e 4 outros pontos representam a distribuicao de massa da asa M1200 kg M220 kg M320 kg M415 kg e M510 kg espacadas como indicado sendo o comprimento total L10 metros Deter mine a as equacoes de movimento expressao simbolica b as equacoes matriciais equivalentes expressao simbolica c a matriz de massa expressao simbolica d a matriz de flexibilidade L1 L2 L3 L4 L5 L5 expressao simbolica e a matriz de rigidezdeve satisfazer os criterios para ser simetrica e positiva definida f as frequˆencias naturais nao amortecidas g os modos correspondentes as frequˆencias naturais nao amortecidas matriz modal h a matriz modal normalizada pela massa i a matriz de amortecimento desacoplada Cnmatriz diagonal se para a estrutura os amortecimentos modais foram experimentalmente ξ1 008 ξ2 001 ξ3 0007 ξ4 0002 e ξ5 0002 i as amplitudes de resposta X1 X2 X3 X4 e X5 x1t X1 cosωet x2t X2 cosωet x3t X3 cosωet x4t X4 cosωet x5t X5 cosωet para uma forca de excitacao f1t F1 cosωet f2t f3t f4t f5t 0 sendo a frequˆencia de excitacao ωe 200 rads e F1 1000 N6 pontos Figura 1 Desenho esquematico da Asa 2a Use a Figura 1 e os dados do problema anterior para a estrutura engastadalivre amorteci mento modal medida experimental diagonal da matrix de amortecimento desacoplada 2ξkωk para ξ1 008 ξ2 001 ξ3 0007 ξ4 0002 e ξ5 0002 Considere o carregamento f1t Fo Ut f2t f3t f4t f5t 0 sendo Ut a funcao degrau unitario e Fo1000 N Determine a o vetor de forcas em coordenadas principais Q XFo1 ponto b trace os graficos individuais de resposta no tempo de 0 a 10 segundos para coordenadas prin cipais q1t q2t q3t q4t e q5t indique o metodo numerico empregado 4 pontos c as respostas temporais xit Xqit nas coordenadas x1 x2 x3 x4 e x5 Tracar um unico grafico com o comportamento no tempo das variaveis xii 1 2 5 O grafico de deslocamen tos deve permitir a visualizacao de todas as curvas use cores diferentes faca uma legenda 5 pontos