Teste 05 Eletromagnetismo - Capacitores Dielétricos e Potencial Elétrico

Fundamentos de Eletromagnetismo Segundo semestre 2024 Professor Paulo Sérgio Soares Guimarães Aula 09 Capacitores Dielétricos 04 de novembro de 2024 segundafeira Turma M2 TESTE 05 Questão 1 Em uma região do espaço onde existe um campo elétrico uniforme constante uma carga elétrica q é deslocada do ponto A até o ponto B cada vez seguindo um caminho diferente 1 2 ou 3 como mostra a figura 𝑬 A B 1 2 3 A afirmativa correta é A variação de potencial elétrico da carga q 𝑉𝐵 𝑉𝐴 é a mesma para todos os 3 caminhos A diferença de potencial entre dois pontos só depende desses dois pontos não depende do caminho feito para ir de um ao outro 𝑉 𝐵 𝑉 𝐴 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 TESTE 05 Questão 2 Duas cargas pontuais positivas q1 e q2 estão separadas por uma distância d q1 q2 𝑑 A energia potencial elétrica armazenada neste arranjo é 𝑈 𝑞2𝑉𝑞1 𝑑 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞2 𝑑 TESTE 05 Questão 3 Uma barra de comprimento L tem carga Q distribuída uniformemente sobre toda sua extensão A barra está alinhada ao longo do eixo X como mostra a figura L P y X O potencial elétrico no ponto P localizado a uma distância y acima de uma das extremidades da barra é L P y X 𝑉 𝑃 න 0 𝐿 1 4𝜋𝜀0 1 𝑥2 𝑦2 𝑄 𝐿 𝑑𝑥 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 1 𝑟 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 1 𝑟 𝑄 𝐿 𝑑𝑥 1 4𝜋𝜀0 1 𝑥2 𝑦2 𝑄 𝐿 𝑑𝑥 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑉 𝑃 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝐿 න 0 𝐿 1 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝑳 𝒍𝒏 𝑳 𝑳𝟐 𝒚𝟐 𝒚 SOLUÇÃO 𝑑𝑞 𝑄 𝐿 𝑑𝑥 𝒅𝒒 Definimos capacitor um arranjo de dois condutores de qualquer formato carregados com cargas de mesmo modulo e sinais contrários é chamado de CAPACITOR 𝑬 Qualquer que seja o formato a geometria do arranjo sempre teremos que a diferença de potencial entre os condutores placas do capacitor será proporcional à magnitude da carga 𝑽 𝑸 A constante de proporcionalidade entre Q e C é a CAPACITÂNCIA C 𝑸 𝑪 𝑽 Calculamos a capacitância de um capacitor de placas paralelas Q Q d A A 𝑬 𝝈 𝜺𝟎 𝒏 𝑪 𝜺𝟎 𝑨 𝒅 𝒅 𝑨 Em todos os casos a capacitância não depende da carga ou diferença de potencial no capacitor depende apenas da geometriaconfiguração do arranjo Calculamos também a capacitância de um capacitor esférico 𝑪 𝑸 𝑽 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒂𝒃 𝒃 𝒂 Analisamos também combinações de capacitores ligados em paralelo capacitor equivalente 𝑪𝒆𝒒 𝑪𝒆𝒒 𝑉 𝑄 𝑉 𝑄1 𝑄2 𝐶1 𝐶2 𝑪𝒆𝒒 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝒆𝒒 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 𝑪𝟒 E associações de capacitores ligados em série 𝑪𝒆𝒒 𝑉 𝑄 𝑄 𝑄 𝑉 𝐶1 𝐶2 𝟏 𝑪𝒆𝒒 𝟏 𝑪𝟏 𝟏 𝑪𝟐 𝟏 𝑪𝒆𝒒 𝟏 𝑪𝟏 𝟏 𝑪𝟐 𝟏 𝑪𝟑 𝟏 𝑪𝟒 Capacitores ligados em série Energia armazenada em um capacitor carregado Para carregar o capacitor é preciso colocar cargas nas placas onde existe uma diferença de potencial trabalho deve ser realizado sobre as cargas energia é armazenada no capacitor Considere um capacitor de capacitância C em um instante onde a carga no capacitor é 𝒒 e a diferença de potencial entre as placas é 𝑽 𝒒 𝑪 O trabalho necessário para aumentar a carga de 𝒅𝒒 é 𝒅𝑾 𝒅𝒒 𝑽 𝑑𝑊 𝑑𝑞 𝑉 𝑑𝑞 𝑞 𝐶 Portanto o trabalho necessário para carregar o capacitor de 𝑞 0 até 𝑞 𝑄 é 𝑊 න 0 𝑄 𝑞 𝐶 𝑑𝑞 1 𝐶 1 2 𝑄2 Ou seja um capacitor carregado armazena energia elétrica 𝑼 𝟏 𝟐𝑪 𝑸𝟐 𝟏 𝟐 𝑪 𝑽 𝟐 Relação válida para qualquer capacitor independente da geometria Capacitor é um instrumento de armazenar energia elétrica Podemos considerar que a energia está armazenada no campo elétrico entre as placas Para um capacitor de placas paralelas 𝐶 𝜀0 𝐴 𝑑 e 𝑉 𝐸𝑑 Então 𝑈 1 2 𝐶 𝑉 2 1 2 𝜀0 𝐴 𝑑 𝐸2𝑑2 1 2 𝜀0𝐸2 𝐴𝑑 Como 𝑨𝒅 é o volume entre as placas do capacitor a energia elétrica por unidade de volume é 𝒖𝑬 𝟏 𝟐 𝜺𝟎𝑬𝟐 Esta relação que deduzimos para um capacitor de placas paralelas é válida para qualquer capacitor Na verdade é válida de um modo geral energia por unidade de volume armazenada em um campo elétrico é proporcional ao modulo ao quadrado do campo elétrico Dielétricos isolantes Até agora estamos considerando que na região entre as placas do capacitor temos vácuo Se colocarmos um material dielétrico entre as placas do capacitor o resultado experimental é que a capacitância aumenta por um fator 𝜿 a PERMITIVIDADE RELATIVA constante dielétrica 𝑪 𝜿 𝑪𝟎 onde 𝑪𝟎 é a capacitância com vácuo A carga no capacitor não muda quando inserimos o dielétrico é a diferença de potencial que diminui 𝑉 𝑉0 𝜅 𝐶 𝑄0 𝑉 𝑄0 𝑉0 𝜅 𝜅 𝑄0 𝑉0 𝜅𝐶0 A inserção de um dielétrico entre as placas do capacitor permite aumentar a capacitância e em geral também aumentar a diferença de potencial máxima que pode ser colocada entre as placas aumentar a energia armazenada Dielétrico 𝜿 Rigidez dielétrica Vácuo 100000 Ar 100059 3 106 𝑉 𝑚 Papel 37 16 106 𝑉 𝑚 vidro Pyrex 56 14 106 𝑉 𝑚 Borracha 7 12 106 𝑉 𝑚 Porcelana 6 12 106 𝑉 𝑚 Bakelite 49 24 106 𝑉 𝑚 Para todos os dielétricos 𝜅 1 Rigidez dielétrica campo elétrico máximo que o material suporta sem ionizar suas moléculas Porque acontece esse efeito de aumento da capacitância diminuição da diferença de potencial com a inserção de um dielétrico entre as placas do capacitor Explicação microscópica Em um dielétrico as cargas não são livres para se movimentar estão presas nas móleculas A aplicação de uma diferença de potencial um campo elétrico provoca dois efeitos 1 As moléculas são esticadas pelo campo elétrico que faz forças opostas sobre as cargas positivas e negativas das moléculas 𝐸 0 𝐸 0 𝐸𝑖𝑛𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜 2 Se existem moléculas polares no dielétrico elas sofrem um torque que tende a alinhar essas moléculas com o campo 𝐸 0 𝐸 0 Note que ambos os efeitos esticamento e alinhamento de dipolos internos produzem um campo interno oposto ao campo externo aplicado 𝑬𝒅𝒊𝒆𝒍é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐 𝑬𝒗á𝒄𝒖𝒐 𝜿 𝑉 𝑉0 𝜅 𝑪 𝜿 𝑪𝟎 𝐸𝑖𝑛𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜 Capacitor de placas paralelas com um dielétrico parcialmente preenchendo o espaço entre as placas separação entre as placas é d dielétrico tem permitividade relativa 𝜅 espessura do dielétrico é d3 capacitância no vácuo sem dielétrico é 𝐶0 Esse capacitor é equivalente a dois capacitores associados em série 𝐶1 𝜅 𝜀0 𝐴 𝑑3 1 𝐶𝑒𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 𝐶2 𝜀0 𝐴 2𝑑3 1 𝐶𝑒𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 𝑑 3𝜅 𝜀0 1 𝐴 2𝑑 3 𝜀0 1 𝐴 1 3𝜅 2 3 𝑑 𝜀0𝐴 1 𝐶 1 3𝜅 2 3 1 𝐶0 1 𝐶 1 2𝜅 3𝜅 1 𝐶0 𝑪 𝟑𝜿 𝟐𝜿𝟏 𝑪𝟎