Trablho sobre Equações de Maxwell e Magnetismo

Trabalho sobre Equações de Maxwell e Magnetismo Realizar a solução da lista em uma folha separada e escrita a mão A lista deve ser escaneada em formato PDF e enviada no link do Moodle até dia 1608 às 2359 O trabalho é individual 1 Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 500 cm A carga no capacitor cresce a uma taxa de 100 Cs Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda a Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas distante 200 cm do eixo dos discos b E em um ponto ainda entre as placas distante 120 cm do eixo dos discos 2 Marque a afirmativa que completa a frase nas questões abaixo a Nos materiais paramagnéticos A O campo magnético induzido pode exceder o valor do campo aplicado dependendo da constante dielétrica do material B Existe um momento dipolar nos atomos do material mesmo na ausˆencia de um campo externo C A magnetização depende da temperatura conforme a lei de Curie D A e B e são corretos E B e C são corretos b Os materiais diamagnéticos A Possuem átomos com momento dipolar mesmo na ausência de um campo externo B Podem sofrer uma transição de fase e virar ferromagnéticos C Desenvolvem um campo magnético interno na mesma direção que o campo externo portanto o campo resultante tem sempre maior amplitude D Reagem a um campo externo criando momentos de dipolo nos seus átomos em sentido oposto ao campo externo E nenhuma das anteriores c A radiação eletromagnética A São ondas de natureza mecânica que se propagam à velocidade da luz B É a variação de campos elétrico e magnético que oscilam com qualquer fase entre eles C É formada exclusivamente por ondas planas polarizadas D Consiste de ondas eletromagnéticas onde a oscilação dos campos elétrico e magnético estão sincronizados E São ondas com o mesmo comprimento de onda da luz visível 3 Escreva todas as equações de Maxwell e descreva seu significado físico e ilustre diferentes aplicações 4 A Figura 1 abaixo mostra uma espira de área A que está girando em torno do eixo y com velocidade angular 𝜔 Sabendo que existe um campo magnético uniforme de módulo B na direção x e que a resistência da espira é R calcule qual é a corrente induzida na espira Figura 1 5 Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z a Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas b Dado o campo elétrico que foi assumido na questão utilize a lei de Faraday e determine como que uma mudança espacial no campo elétrico gera uma mudança temporal no campo magnético Ou seja que 1 c Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético ou seja que 2 d Faça uma derivada parcial em função de x dos dois lados da equação 1 e utilizando a equação 2 chegue na equação de onda para o campo elétrico 3 e Repita o mesmo procedimento para encontrar a equação de onda para o campo magnético 4 f Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais 3 e 4 Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais 0 0 g Sabendo que o vetor de onda da luz é onde 1 é comprimento de onda da luz e que a frequência angular da luz é 234 onde f é frequência da luz determine a velocidade da luz c em termos de e 1 Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 500 cm A carga no capacitor cresce a uma taxa de 100 Cs Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda a Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas distante 200 cm do eixo dos discos b E em um ponto ainda entre as placas distante 120 cm do eixo dos discos 1 Flujo elétrico ϕE EA σε0 πr² Q πR² ε0πr² Q r² ε0 R² Lei de Ampère Maxwell B dl μ0 ε0 dϕEdt B2πr μ0 ε0 ddtQ r² ε0 R² BL B2πr B2πr μ0 ε0 ε0 r² R² ddtQ B μ0 r 2πR² dQdt r R Para r R σ Q πr² ϕE Q πr²ε0 ϕE Q ε0 B2πr μ0 ε0 ddtQ ε0 μ0 dQdt B μ0 2πr dQdt Somente C está correta Somente D está correta Somente D está correta Vamos usar a forma integral das equações de Maxwell Lei de Gauss para campos elétricos estáticos 𝑆 𝐸𝑛𝑑𝑠𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0 Significado físico o fluxo do campo elétrico 𝐸 através da superfície gaussiana 𝑆 é proporcional a carga total 𝑞𝑒𝑛𝑐 contida nessa superfície Aplicações i Projetar circuitos e dispositivos que envolvam armazenamento de carga elétrica a Lei de Gauss é usada para calcular a capacitância de condutores e sistemas dielétricos relacionando o fluxo elétrico através da superfície fechada à carga elétrica armazenada no capacitor ii Projetos de Antenas a Lei de Gauss elétrica é usada para determinar as distribuições de campo elétrico ao redor das antenas auxiliando na projeção de antenas eficientes ao maximizar a radiação e minimizar a interferência elétrica indesejada iii Projeto de acelerador de partículas ao usar a Lei de Gauss para moldar os eletrodos os cientistas podem tornar a aceleração de partículas mais precisa e eficaz Lei de Gauss para campos magnéticos estáticos 𝑆 𝐵𝑛 𝑑𝑠0 Significado físico O fluxo magnético total que passa por qualquer superfície fechada é igual a zero Isto implica na suposição de que não há monopolos magnéticos As linhas de fluxo magnético sempre se fecham sobre si mesmas Aplicações i Antenas assim como a Lei de Gauss para campos elétricos a lei de Gauss para campos magnéticos também auxilia na projeção de antenas minimizando interferências magnéticas ii Solenoides são bobinas de fio firmemente enroladas que produzem campos magnéticos fortes com fluxo de corrente A lei de Gauss ajuda a determinar sua intensidade de campo essencial para projetar dispositivos como máquinas de ressonância magnética e travas elétricas iii Desenvolvimento de geradores e motores elétricos a lei de Gauss permite que engenheiros calculem as intensidades do campo magnético e otimizem a eficiência desses dispositivos essenciais nos sistemas de geração e transporte de energia Lei de Faraday da indução 𝐶 𝐸𝑑𝑙 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐵𝑛𝑑𝑠 Significado físico A variação temporal do fluxo magnético através de uma superfície S lado direito da equação induz uma força eletromotriz EMF em qualquer caminho C que limita essa superfície lado direito da equação Isto significa que um campo magnético variante induz um campo elétrico circulante Aplicações todos os exemplos abaixo utilizam o princípio da indução eletromagnética i Transformadores ii Geradores elétricos iii Gravadores de áudio iv Leitores de cartão de créditodébito Lei de AmpèreMaxwell 𝐶 𝐵𝑑𝑙𝜇0𝐼𝑒𝑛𝑐𝜀0 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝐸𝑛𝑑𝑠 Significado físico uma corrente elétrica 𝐼𝑒𝑛𝑐 ou um fluxo elétrico variável através de uma superfície S lado direito da equação produz um campo magnético circulante em torno de qualquer caminho C que limite essa superfície lado esquerdo O segundo termo entre colchetes representa a corrente de deslocamento introduzida por Maxwell Aplicações o cálculo do campo magnético gerado por correntes é utilizado na construção de i eletroímãs ii motores iii geradores iv transformadores Força eletromotriz induzida 𝜀𝑁 𝑑 𝑑𝑡 𝐵𝐴sin 𝜔𝑡 𝑁𝐵𝐴𝜔cos 𝜔𝑡 Como N 1 𝜀𝐵𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 E a corrente é 𝐼 𝜀 𝑅 𝐵𝐴𝜔cos 𝜔𝑡 𝑅 5 Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z a Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas b Dado o campo elétrico que foi assumido na questão utilize a lei de Faraday e determine como que uma mudança espacial no campo elétrico gera uma mudança temporal no campo magnético Ou seja que Ex Bt 1 c Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético ou seja que Bx μ0 ε0 Et 2 d Faça uma derivada parcial em função de x dos dois lados da equação 1 e utilizando a equação 2 chegue na equação de onda para o campo elétrico ²Ex² μ0 ε0 ²Et² 3 e Repita o mesmo procedimento para encontrar a equação de onda para o campo magnético ²Bx² μ0 ε0 ²Bt² 4 f Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais 3 e 4 Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais Ext E0 coskx ωt Bxt B0 coskx ωt g Sabendo que o vetor de onda da luz é k 2πλ onde λ é comprimento de onda da luz e que a frequência angular da luz é ω 2πf onde f é frequência da luz determine a velocidade da luz c em termos de μ0 e ε0 a Na forma diferencial podemos escrever E 0 1 B 0 2 x E dBdt 3 x B μ0ε0 Et 4 b Ex t E0 senkx ωt ŷ Eyŷ Bx t B0 senkx ωt ẑ Bzẑ Vamos usar x E dBdt x E x Eyy Eyz ŷ Exz Ezx ẑ Eyx Exy Sabemos que E só tem a componente Ey assim x E x Eyz ẑ Eyx Eyt 0 porque Ey não depende de z Portanto x E ẑ Eyx ẑ Ex Ey E0 sinkx ωt Eyx E0 k coskx ωt Agora vamos trabalhar com o termo Bt Bzt ẑ ẑ t B0 sinkx ωt ẑ ω coskx ωt B0 ω B0 coskx ωt ẑ Igualando os dois resultados x E Bt ẑ Ex ẑ Bt E0 k coskx ωt ω B0 coskx ωt ω B0 coskx ωt E0 k ω B0 ωk E0B0 c c dBdx B0 k coskx ωt dEdt E0 ω cos kx ωt dBdx μ0 ε0 Et B0 k coskx ωt E0 ω μ0 ε0 coskx ωt B0 k E0 ω μ0 ε0 Sabemos que μ0ε0 1c² B0 k E0 ω c² B0 c E0 B0 k E0 ω c² B0 c ωk c ωk ddx Ex ddx Bt 2Ex2 ddx Bt ddt Bx Usando Bx μ0 ε0 Et 2Ex2 ddt μ0 ε0 Et μ0 ε0 2Et2 2Ex2 μ0 ε0 2Et2 e Vamos derivar 2 em relação à x ddx Bx ddx μ0 ε0 Et 2Bx2 μ0 ε0 ddx Et μ0 ε0 ddt Ex Usando 1 Ex Bt 2Bx2 μ0 ε0 ddt Bt μ0 ε0 2Bt2 2Bx2 μ0 ε0 2Bt2 f Provando 3 2E x2 μ0 ε0 2E t2 2E x2 ddx ddx E0 coskx ωt E0 k sinkx ωt E0 k2 coskx ωt 2E t2 ddt ddt E0 coskx ωt E0 ω sinkx ωt E0 ω sinkx ωt E0 ω2 coskx ωt Igualando 2E x2 μ0 ε0 2E t2 E0 k2 coskx ωt E0 ω2 μ0 ε0 coskx ωt k2 ω2 μ0 ε0 ω2 c2 c2 ω2 k2 f Provando 4 d2Bdx2 ddx ddx B0 coskx ωt B0 k2 coskx ωt d2Bdt2 B0 ω2 coskx ωt Igualando d2Bdx2 μ0 ε0 d2Bdt2 B0 k2 coskx ωt B0 ω2 μ0 ε0 coskx ωt k2 ω2 μ0 ε0 ω2 c2 ω2 k2 c2 9 Vamos usar o resultado da letra f k2 ω2μoεo k 2πλ e ω 2πf k2 ω2μoεo 4π2λ2 4π2 f2 μoεo 1λ2 f2μoεo 1λ2f2 1c2 μoεo c2 1μoεo c 1μoεo Sabemos que c λf 1 Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 500 cm A carga no capacitor cresce a uma taxa de 100 Cs Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda a Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas distante 200 cm do eixo dos discos b E em um ponto ainda entre as placas distante 120 cm do eixo dos discos 1 Fluxo elétrico ϕe EA σεoπr2 Qπεr2εoπr2 Qr2εoR2 Lei de Ampère Maxwell Bdl μoεo dϕedt B2πr μoεo ddtQr2εoR2 BL B2πr B2πr μoεo r2r2 ddtQ B μor2πR2 dQdt r R Para r R σ Qπr2 ϕe Qπε2εo ϕe Qεo B2πr μoεo ddtQεo μo dQdt B μo2πr dQdt a R 500 cm 005 m r 200 cm 002 m dQdt 100 Cs μo 4π107 Hm r R B 4π1070022π 0052 100 B 160 106 T B 160 μT b r 120 cm 012 m r R B 4π1072π 012 100 167 μT Somente C está correta Somente D está correta Somente D está correta Vamos usar a forma integral das equações de Maxwell Lei de Gauss para campos elétricos estáticos 𝐸 𝑛𝑑𝑠 𝑆 𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0 Significado físico o fluxo do campo elétrico 𝐸 através da superfície gaussiana 𝑆 é proporcional a carga total 𝑞𝑒𝑛𝑐 contida nessa superfície Aplicações i Projetar circuitos e dispositivos que envolvam armazenamento de carga elétrica a Lei de Gauss é usada para calcular a capacitância de condutores e sistemas dielétricos relacionando o fluxo elétrico através da superfície fechada à carga elétrica armazenada no capacitor ii Projetos de Antenas a Lei de Gauss elétrica é usada para determinar as distribuições de campo elétrico ao redor das antenas auxiliando na projeção de antenas eficientes ao maximizar a radiação e minimizar a interferência elétrica indesejada iii Projeto de acelerador de partículas ao usar a Lei de Gauss para moldar os eletrodos os cientistas podem tornar a aceleração de partículas mais precisa e eficaz Lei de Gauss para campos magnéticos estáticos 𝐵 𝑛𝑑𝑠 𝑆 0 Significado físico O fluxo magnético total que passa por qualquer superfície fechada é igual a zero Isto implica na suposição de que não há monopolos magnéticos As linhas de fluxo magnético sempre se fecham sobre si mesmas Aplicações i Antenas assim como a Lei de Gauss para campos elétricos a lei de Gauss para campos magnéticos também auxilia na projeção de antenas minimizando interferências magnéticas ii Solenoides são bobinas de fio firmemente enroladas que produzem campos magnéticos fortes com fluxo de corrente A lei de Gauss ajuda a determinar sua intensidade de campo essencial para projetar dispositivos como máquinas de ressonância magnética e travas elétricas iii Desenvolvimento de geradores e motores elétricos a lei de Gauss permite que engenheiros calculem as intensidades do campo magnético e otimizem a eficiência desses dispositivos essenciais nos sistemas de geração e transporte de energia Lei de Faraday da indução 𝐸 𝐶 𝑑𝑙 𝑑 𝑑𝑡 𝐵 𝑛𝑑𝑠 𝑆 Significado físico A variação temporal do fluxo magnético através de uma superfície S lado direito da equação induz uma força eletromotriz EMF em qualquer caminho C que limita essa superfície lado direito da equação Isto significa que um campo magnético variante induz um campo elétrico circulante Aplicações todos os exemplos abaixo utilizam o princípio da indução eletromagnética i Transformadores ii Geradores elétricos iii Gravadores de áudio iv Leitores de cartão de créditodébito Lei de AmpèreMaxwell 𝐵 𝐶 𝑑𝑙 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑐 𝜀0 𝑑 𝑑𝑡 𝐸 𝑛𝑑𝑠 𝑆 Significado físico uma corrente elétrica 𝐼𝑒𝑛𝑐 ou um fluxo elétrico variável através de uma superfície S lado direito da equação produz um campo magnético circulante em torno de qualquer caminho C que limite essa superfície lado esquerdo O segundo termo entre colchetes representa a corrente de deslocamento introduzida por Maxwell Aplicações o cálculo do campo magnético gerado por correntes é utilizado na construção de i eletroímãs ii motores iii geradores iv transformadores Força eletromotriz induzida 𝜀 𝑁 𝑑 𝑑𝑡 𝐵𝐴 sin𝜔𝑡 𝑁𝐵𝐴𝜔 cos𝜔𝑡 Como N 1 𝜀 𝐵𝐴𝜔 cos𝜔𝑡 E a corrente é 𝐼 𝜀 𝑅 𝐵𝐴𝜔 cos𝜔𝑡 𝑅 Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z a Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas b Dado o campo elétrico que foi assumido na questão utilize a lei de Faraday e determine como que uma mudança espacial no campo elétrico gera uma mudança temporal no campo magnético Ou seja que Et Bt 1 c Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético ou seja que Bx μ0ε0 Et 2 d Faça uma derivada parcial em função de x dos dois lados da equação 1 e utilizando a equação 2 chegue na equação de onda para o campo elétrico ²Ex² μ0ε0 ²Et² 3 e Repita o mesmo procedimento para encontrar a equação de onda para o campo magnético ²Bx² μ0ε0 ²Bt² 4 f Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais 3 e 4 Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais Ext E0 coskx ωt Bxt B0 coskx ωt g Sabendo que o vetor de onda da luz é k 2πλ onde λ é comprimento de onda da luz e que a frequência angular da luz é ω 2πf onde f é frequência da luz determine a velocidade da luz c em termos de μ0 e ε0 a Na forma diferencial podemos escrever E0 1 B0 2 E Bt 3 Bμ0ε0 Et 4 b Ext E0 sinkx ωt y Ey y Bxt B0 sinkx ωt z Bz z Vamos usar E Bt E x Eyy Ezt y Exz Ezx z Eyx Exy Sabemos que E só tem a componente Ey assim E x Eyt z Eyx Eyt 0 porque Ey não depende de z Portanto E z Eyx z Ex Ey E0 sinkx ωt Eyx E0 k coskx ωt Agora vamos trabalhar com o termo Bt Bzt z z t B0 sinkx ωt z ω coskx ωt B0 ω B0 coskx ωt z Igualando os dois resultados E Bt z Ex z Bt E0 k coskx ωt ω B0 coskx ωt ω B0 cos kx ωt E0 k ω B0 ωk E0B0 c c dBdx B0k coskx ωt dEdt E0ω coskx ωt dBdx μ0ε0 dEdt B0k coskx ωt E0 ω μ0 ε0 coskx ωt B0k E0 ω μ0 ε0 Sabemos que μ0 ε0 1c2 B0k E0 ωc2 B0c E0 B0k E0 ωc2 B0c ωc2 B0 ωc k ωc c ωk d ddx dEdx ddx dBdt d2Edx2 ddx dBdt ddt dBdx Usando dBdx μ0 ε0 dEdt d2Edx2 ddt μ0 ε0 dEdt μ0 ε0 d2Edt2 d2Edx2 μ0 ε0 d2Edt2 e Vamos derivar 2 em relação à x ddx dBdx ddx μ0 ε0 dEdt d2Bdx2 μ0 ε0 ddx dEdt μ0 ε0 ddt dEdx Usando 1 dEdx dBdt d2Bdx2 μ0 ε0 ddt dBdt μ0 ε0 d2Bdt2 d2Bdx2 μ0 ε0 d2Bdt2 f Provando 3 d2Edx2 μ0 ε0 d2Edt2 d2Edx2 ddx ddx E0 coskx ωt E0 k sinkx ωt E0 k2 coskx ωt d2Edt2 ddt ddt E0 coskx ωt E0 ω sinkx ωt E0 ω sinkx ωt E0 ω2 coskx ωt Igualando d2Edx2 μ0 ε0 d2Edt2 E0 k2 coskx ωt E0 ω2 μ0 ε0 coskx ωt k2 ω2 μ0 ε0 ω2c2 c2 ω2k2 f Provando 4 d²Bdx² ddx ddx Bo coskx ωt Bok² coskx ωt ²Bt² Boω² coskx ωt Igualando ²Bx² μ₀ε₀ ²Bt² Bok² coskx ωt Boω²μ₀ε₀ coskx ωt k² ω²μ₀ε₀ ω²c² ω²k² c² g Vamos usar o resultado da letra f k² ω² μ₀ ε₀ k 2πλ e ω 2πf k² ω² μ₀ ε₀ 4π²λ² 4π²f² μ₀ ε₀ 1λ² f² μ₀ ε₀ 1λ² f² 1c² μ₀ ε₀ c² 1μ₀ ε₀ c 1μ₀ ε₀ Sabemos que c λf