Exercícios Resolvidos - Estatística e Probabilidade - 2023-2

Exercícios Resolvidos 1) Considere ninhada de 4 filhotes de coelhos. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmeas é de 5/8: a. Sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X: X tem uma distribuição binomial   5 , 4, 8 X Bin n p X Bin       : : O Modelo Binomial é dado por   [ ] 1 n x x x P X x p p n           em que ! ( )! ! x n n n x x           0 4 0 0 4 4 5 5 4! 5 3 81 81 [ 0] 1 1 1 0,02 0 8 8 4 0 !0! 8 8 4096 4096 P X                                        1 4 1 4 5 5 5 27 540 [ 1] 1 4 0,13 1 8 8 8 512 4096 P X                          2 4 2 4 5 5 25 9 1350 [ 2] 1 6 0,33 2 8 8 64 64 4096 P X                          3 4 3 4 5 5 125 3 1500 [ 3] 1 4 0,37 3 8 8 512 8 4096 P X                          4 4 4 4 5 5 625 625 [ 4] 1 1 1 0,15 4 8 8 4096 4096 P X                          A distribuição de Probabilidade de X é dada por X 0 1 2 3 4   P X  x 0,02 0,13 0,33 0,37 0,15 b. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos por meio da distribuição binomial: i) Nascimento de exatamente duas fêmeas? [ 2] 0,33 P X   ii) Nascimento de pelos menos um macho? Se Y representa o número de machos, o evento 1 Y  equivale a 3 X  , pois  se houver 1 macho, implica em 3 fêmeas;  se houver 2 machos, implica em 2 fêmeas;  se houver 3 machos, implica em 1 fêmea.  se houver 4 machos, implica em 0 fêmea. Assim, a probabilidade do evento é                     1 1 2 3 4 1 3 2 1 0 0,37 0,33 0,13 0,02 0,84 P Y P Y P Y P Y P Y P Y P X P X P X P X                        iii) Nascimento de pelos menos duas fêmeas?         2 2 3 4 0,33 0,37 0,15 0,85 P X P X P X P X            iv) Nascimento de no máximo uma fêmea?       1 0 1 0,02 0,13 0,15 P X P X P X         c. Suponha que você faça uma amostragem de 500 ninhadas de 4 filhotes. Em quantos você espera encontrar exatamente 1 macho? O número esperado (NE) de ninhadas de 4 filhotes com exatamente 1 macho é dado pelo produto da probabilidade do evento     1 3 P Y P X    pelo número total de ninhadas, ou seja,   500 3 500 0,37 185 NE P X      Assim, das 500 esperamos que 185 sejam exatamente 1 macho. 2) Suponhamos que os navios cheguem a um porto a razão de 2 navios /hora, e que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo por um período de meia hora (t = 1/2), determine a probabilidade de: a) não chegar nenhum navio; b) chegarem 3 navios. Solução: n = 2 e p = t = 2 1 horas. Primeiro determine :  1 2 12       n t     1 a) ,0 368 0 )1( 0) ( ( ) ) ( 0 1          e P x x e x P x   b) ,0 061 3 )1( 3) ( ( ) ) ( 3 1          e P x x e x P x   3) Uma máquina produz 9 peças defeituosas a cada 1000 peças produzidas. Calcule a probabilidade de que em um lote que contém: a) 200 peças, sejam encontradas 8 peças defeituosas;     n p n = 200 peças p = 1000 9 = 0,009 8,1 ,0 009 200             n p ,0 00045 40320 ,216 18 8 ) 8,1( 8) ( ( ) ) ( 8 8,1           e P x x e x P x   b) 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa.     n p n = 500 peças p = 1000 9 = 0,009 5,4 ,0 009 500             n p ,0 0111 0 ( 5,4 ) 0) ( ( ) ) ( 0 5,4          e P x x e x P x   4) Seja uma v.a. X com função de probabilidade dada na tabela a seguir: x 1 2 3 4 5 pX(x) p² p² p p p² (a) Encontre o valor de p para que pX(x) seja, de fato, uma função de probabilidade. (b) Calcule P(X ≥ 4) e P(X < 3). (c) Calcule E(X) e Var(X). Solução: (a) Como ∑_x pX(x) = 1, temos que ter: 3p² + 2p = 1 ⟹ 3p² + 2p − 1 = 0 ⟹ p = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6} ⟹ p = -1 \text{ ou } \frac{1}{3} Como p é uma probabilidade, temos que ter p ≥ 0. Logo, o valor correto é p = \frac{1}{3}. (b) P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = p + p² = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}. Pr(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = 2p² = \frac{2}{9}. c) Temos que E(X) = 1 \times p² + 2 \times p² + 3 \times p + 4 \times p + 5 \times p² = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{4}{3} + \frac{5}{9} = \frac{29}{9} = 3,2222 E(X²) = 1² \times p² + 2² \times p² + 3² \times p + 4² \times p + 5² \times p² = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + 3 + \frac{16}{3} + \frac{25}{9} = \frac{105}{9} = \frac{35}{3} Var(X) = \frac{35}{3} - \left(\frac{29}{9}\right)² = \frac{14}{81}