Lista de Exercícios - Equações Diferenciais de Segunda Ordem Homogêneas

Problemas Nos problemas de 1 a 8 encontre a solução geral da equação diferencial dada 1 y2y 3y0 2 y3y 2y0 3 6 y y 0 4 2 y 3 y t 0 5 y5 y 0 6 4y 9y 0 7 y 9y 9y 0 8 y 2y 2y 0 Nos problemas de 9 a 16 encontre a solução do problema de valor inicial dado Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta 9 y y 2y0 y0 1 y0 1 10 y4y 3y0 y0 2 y0 1 11 6y 5y y 0 y0 4 y0 0 12 y 3y 0 y0 2 y0 3 13 y 5y 3y0 y0 1 y0 0 14 2y y 4y0 y0 0 y0 1 15 y 8y 9y0 y1 1 y1 0 16 4y y0 y2 1 y2 1 17 Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y c1 e2t c2 e3t 18 Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y c1 et2 c2 e2t 19 Encontre a solução do problema de valor inicial y y 0 y0 54 y0 34 Faça o gráfico da solução para 0 t 2 e determine seu valor mínimo 20 Encontre a solução do problema de valor inicial 2 y 3 y y 0 y0 2 y0 12 Depois determine o valor máximo da solução e encontre também o ponto onde a solução se anula 21 Resolva o problema de valor inicial y y 2 y 0 y0 a y0 2 Depois encontre α de modo que a solução tenda a zero quando t 22 Resolva o problema de valor inicial 4y y 0 y0 2 y0 β Depois encontre β de modo que a solução tenda a zero quando t Nos Problemas 23 e 24 determine os valores de α se existirem para os quais todas as soluções tendem a zero quando t determine também os valores de α se existirem para os quais todas as soluções nãonulas tornamse ilimitadas quando t 23 y 2α 1 y αα 1 y 0 24 y 3 α y 2α 1 y 0 25 Considere o problema de valor inicial 2 y 3 y 2 y 0 y0 1 y0 β onde β 0 a Resolva o problema de valor inicial b Faça o gráfico da solução quando β 1 Encontre as coordenadas t0 y0 do ponto de mínimo da solução nesse caso c Encontre o menor valor de β para o qual a solução não tem ponto de mínimo 26 Considere o problema de valor inicial veja o Exemplo 4 y 5 y 6 y 0 y0 2 y0 β onde β 0 a Resolva o problema de valor inicial b Determine as coordenadas tm e ym do ponto de máximo da solução como funções de β c Determine o menor valor de β para o qual ym 4 d Determine o comportamento de tm e ym quando β 27 Considere a equação a y b y c y d onde a b c e d são constantes a Encontre todas as soluções de equilíbrio ou soluções constantes dessa equação diferencial b Denote por ye uma solução de equilíbrio e seja Y y ye Logo Y é o desvio de uma solução y de uma solução de equilíbrio Encontre a equação diferencial satisfeita por Y 28 Considere a equação a y b y c y 0 onde a b e c são constantes com a 0 Encontre condições sobre a b e c para que as raízes da equação característica sejam a reais diferentes e negativas b reais com sinais opostos c reais diferentes e positivas 32 Soluções Fundamentais de Equações Lineares Homogêneas Na seção precedente mostramos como resolver algumas equações diferenciais da forma a y b y c y 0 onde a b e c são constantes A partir desses resultados vamos obter uma visão mais clara da estrutura das soluções de todas as equações lineares homogêneas de segunda ordem Essa compreensão irá nos auxiliar por sua vez a resolver outros problemas que encontraremos mais tarde Ao desenvolver a teoria das equações diferenciais lineares é conveniente usar a notação de operador diferencial Sejam p q funções contínuas em um intervalo aberto I isto é para α t β Os casos α eou β estão incluídos Então para qualquer função ϕ duas vezes diferenciável em I definimos o operador diferencial L pela fórmula Lϕ ϕ pϕ qϕ 1 Note que Lϕ é uma função em I O valor de Lϕ em um ponto t é Lϕt ϕt ptϕt qtϕt Por exemplo se pt t2 qt 1 t e ϕt sen 3t então Lϕt sen 3t t2 sen 3t 1 t sen 3t 9 sen 3t 3t2 cos 3t 1 t sen 3t O operador L é muitas vezes escrito na forma L D2 pD q onde D é o operador derivada Vamos estudar nesta seção a equação linear homogênea de segunda ordem Lϕt 0 Como é costume usar o símbolo y para denotar ϕt escreveremos normalmente essa equação na forma Ly y pt y qt y 0 2 Associamos à Eq 2 um conjunto de condições iniciais yt0 y0 yt0 y0 3 onde t0 é qualquer ponto no intervalo I e y0 e y0 são números reais dados Gostaríamos de saber se o problema de valor inicial 2 3 sempre tem solução e se pode ter mais de uma solução Gostaríamos também de saber se é possível dizer alguma coisa sobre a forma e a estrutura das soluções que possa ajudar a resolver problemas específicos As respostas a essas questões estão contidas nos teoremas desta seção onde c1 e c2 são constantes arbitrárias Se as condições iniciais são dadas em um ponto em α t β onde W 0 então c1 e c2 podem ser escolhidos de modo que as condições iniciais sejam satisfeitas Problemas Nos problemas de 1 a 6 encontre o wronskiano do par de funções dado 1 e2t e3t2 2 cos t sen t 3 e2t e2t 4 x x ex 5 et sen t et cos t 6 cos2 θ 1 cos 2θ Nos problemas de 7 a 12 determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável Não tente encontrar a solução 7 t y 3 y t y1 1 y1 2 8 t 1 y 3 t y 4 y sen t y2 2 y2 1 9 t t 4 y 3 t y 4 y 2 y3 0 y3 1 10 y cos t y 3 ln t y 0 y2 3 y2 1 11 x 3 y x y ln x y 0 y1 0 y1 1 12 x 2 y y x 2 tg x y 0 y3 1 y3 2 13 Verifique que y1t t2 et y2t t1 são duas soluções da equação diferencial t2 y 2 y 0 para t 0 Depois mostre que c1 t2 c2 t1 também é solução dessa equação quaisquer que sejam c1 e c2 14 Verifique que y1t 1 e y2t t12 são soluções da equação diferencial y y2 0 para t 0 Depois mostre que c1 c2 t12 não é em geral solução dessa equação Explique por que esse resultado não contradiz o Teorema 322 15 Mostre que se y ϕt é uma solução da equação diferencial y pt y qt y 0 onde qt não é identicamente nula então y c ϕt onde c é qualquer constante diferente de 1 não é solução Explique por que esse resultado não contradiz a observação após o Teorema 322 16 A função y sent2 pode ser solução de uma equação da forma y pt y qt y 0 com coeficientes constantes em um intervalo contendo t 0 Explique sua resposta 17 Se o wronskiano de f e g é 3 e4t e se ft e2t encontre gt 18 Se o wronskiano de f e g é t2 e se ft t encontre gt 19 Se Wf g é o wronskiano de f e g e se u 2 f g v f 2 g encontre o wronskiano Wu v de u e v em função de Wf g 20 Se o wronskiano de f e g é t cos t sen t e se u f 3 g v f g encontre o wronskiano de u e v Nos Problemas 21 e 22 encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 325 para a equação diferencial e os pontos iniciais dados 21 y y 2 y 0 t0 0 22 y 4 y 3 y 0 t0 1 Nos problemas de 23 a 26 verifique que as soluções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada Elas constituem um conjunto fundamental de soluções 23 y 4 y 0 y1t cos 2t y2t sen 2t 24 y 2 y y 0 y1t et y2t t et 25 x2 y xx 2 y x 2 y 0 x 0 y1x x y2x x ex 26 1 x cot x y x y y 0 0 x π y1x x y2x sen x 27 Considere a equação y y 2 y 0 a Mostre que y1t et e y2t e2t formam um conjunto fundamental de soluções b Sejam y3t 2 e2t y4t y1t 2 y2t e y5t 2 y1t 2 y3t y3t y4t e y5t também são soluções da equação diferencial c Determine se cada par a seguir forma um conjunto fundamental de soluções y1t y3t y2t y3t y4t y5t 28 Equações Exatas A equação Px y Qx y Rx y 0 é dita exata se puder ser escrita na forma Px y fx y 0 onde fx pode ser determinada em função de Px Qx e Rx Essa última equação pode ser integrada uma vez imediatamente resultando em uma equação de primeira ordem para y que pode ser resolvida como na Seção 21 Igualando os coeficientes das equações precedentes e eliminando fx mostre que uma condição necessária para que a equação seja exata é que Px Qx Rx 0 Podese mostrar que essa condição também é suficiente Nos problemas de 29 a 32 use o resultado do Problema 28 para determinar se a equação dada é exata Se for resolvaa 29 y x y y 0 30 y 3 x2 y x y 0 31 x y cos x y sen x y 0 x 0 32 x2 y x y y 0 x 0 33 A Equação Adjunta Se uma equação linear homogênea de segunda ordem não é exata pode ser tornada exata multiplicandose por um fator integrante apropriado μx Precisamos então que μx seja tal que μx Px y μx Qx y μx Rx y 0 pode ser escrita na forma μx Px y fx y 0 Igualando os coeficientes nessas duas equações e eliminando fx mostre que a função μ precisa satisfazer P μ 2 P Q μ P Q R μ 0 Essa equação é conhecida como a adjunta da equação original e é importante na teoria avançada de equações diferenciais Em geral o problema de resolver a equação diferencial adjunta é tão difícil quanto o de resolver a equação original de modo que só é possível encontrar um fator integrante para uma equação de segunda ordem ocasionalmente Nos problemas de 34 a 36 use o resultado do Problema 33 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada 34 x2 y x y x2 ν2 y0 equação de Bessel 35 1 x2 y 2 x y αα 1 y0 equação de Legendre 36 y x y0 equação de Airy 37 Para a equação linear de segunda ordem Px y Qx y Rx y 0 mostre que a adjunta da equação adjunta é a equação original 38 Uma equação linear de segunda ordem Px y Qx y Rx y 0 é dita autoadjunta se sua adjunta é igual à equação original Mostre que uma condição necessária para essa equação ser autoadjunta é que Px Qx Determine se cada uma das equações nos problemas de 34 a 36 é autoadjunta 33 Independência Linear e o Wronskiano Nesta seção vamos relacionar as ideias de uma solução geral e um conjunto fundamental de soluções de uma equação diferencial linear ao conceito de independência linear que é central ao estudo de álgebra linear Essa relação entre equações diferenciais 86 Equações Lineares de Segunda Ordem Uma versão mais forte do Teorema 331 pode ser estabelecida se as duas funções envolvidas forem soluções de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem Teorema 333 Seja y1 e y2 soluções da Eq 7 Ly y pt y qt y 0 onde p e q são contínuas em um intervalo aberto I Então y1 e y2 são linearmente dependentes em I se e somente se Wy1 y2t é zero para todo t em I De outro modo y1 e y2 são linearmente independentes em I se e somente se Wy1 y2t nunca se anula em I É claro que já sabemos pelo Teorema 332 que Wy1 y2t ou é identicamente nulo ou nunca se anula em I Ao provar o Teorema 333 observe em primeiro lugar que se y1 e y2 são linearmente dependentes então Wy1 y2t é zero para todo t em I pelo Teorema 331 Falta provar a recíproca isto é se Wy1 y2t é zero para todo t em I então y1 e y2 são linearmente independentes Seja t0 qualquer ponto em I então por hipótese Wy1 y2t0 0 Em consequência o sistema de equações c1 y1t0 c2 y2t0 0 c1 y1t0 c2 y2t0 0 16 para c1 e c2 tem uma solução nãotrivial Usando esses valores para c1 e c2 seja ϕt c1 y1t c2 y2t Então ϕ é uma solução da Eq 7 e pelas Eqs 16 ϕ também satisfaz as condições iniciais ϕt0 0 ϕt0 0 17 Portanto pela parte referente à unicidade no Teorema 321 ou pelo Exemplo 2 da Seção 32 ϕt 0 para todo t em I Como ϕt c1 y1t c2 y2t com uma das constantes c1 e c2 nãonula isso significa que y1 e y2 são linearmente dependentes A outra afirmação do teorema segue imediatamente Podemos ressumir agora os fatos sobre conjuntos fundamentais de soluções wronskianos e independência linear da seguinte maneira Sejam y1 e y2 soluções da Eq 7 y pt y qt y 0 onde p e q são contínuas em um intervalo aberto I Então as quatro afirmações a seguir são equivalentes no sentido que cada uma delas implica as outras três 1 As funções y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções em I 2 As funções y1 e y2 são linearmente independentes 3 Wy1 y2t0 0 para algum t0 em I 4 Wy1 y2t 0 para todo t em I É interessante observar a semelhança entre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e álgebra vetorial bidimensional Dois vetores a e b são ditos linearmente dependentes se existem escalares k1 e k2 um deles nãonulo tais que k1 a k2 b 0 caso contrário eles são ditos linearmente independentes Sejam i e j os vetores unitários com direções e sentidos dos eixos positivos de x e y respectivamente Como k1 i k2 j 0 apenas quando k1 k2 0 os vetores i e j são linearmente independentes Além disso sabemos que qualquer vetor a com componentes a1 e a2 pode ser escrito como a a1 i a2 j isto é como combinação linear dos dois vetores linearmente independentes i e j Não é difícil mostrar que qualquer vetor de dimensão dois pode ser expresso como combinação linear de dois vetores quaisquer de dimensão dois linearmente independentes veja o Problema 14 Esse par de vetores linearmente independentes forma uma base para o espaço vetorial dos vetores de dimensão dois A expressão espaço vetorial também é aplicada a outras coleções de objetos matemáticos que obedecem às mesmas leis de soma e multiplicação por escalar que os vetores geométricos Por exemplo podese mostrar que o conjunto de funções duas vezes diferenciável em um intervalo I forma um espaço vetorial Analogamente o conjunto de funções V satisfazendo a Eq 7 também forma um espaço vetorial Como todos os elementos de V podem ser expressos como uma combinação linear de dois elementos linearmente independentes y1 e y2 dizemos que esse par forma uma base para V Isso nos leva à conclusão de que V tem dimensão dois portanto é análogo em muitos aspectos ao espaço de vetores geométricos em um plano Veremos mais tarde que o conjunto de soluções de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n forma um espaço vetorial de dimensão n e que qualquer conjunto de n soluções linearmente independentes da equação diferencial forma uma base para o espaço Essa conexão entre equações diferenciais e vetores constitui uma boa razão para se estudar álgebra linear abstrata Problemas Nos problemas de 1 a 8 determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente 1 ft t2 5 t gt t2 5 t 2 fθ cos 2 θ 2 cos2 θ gθ cos 2 θ 2 sen2 θ 3 ft eλ t cos μ t gt eλ t sen μ t μ 0 4 fx e3x gx e3x1 5 ft 3 t 5 gt 9 t 15 6 ft t gt t1 7 ft 3 t gt t 8 fx x3 gx x3 9 O wronskiano de duas funções é Wt t sen2 t As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes Por quê 10 O wronskiano de duas funções é Wt t2 4 As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes Por quê 11 Se as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes de y pt y qt y 0 prove que c1 y1 e c2 y2 são também soluções linearmente independentes desde que nem c1 nem c2 sejam nulos 12 Se as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes de y pt y qt y 0 prove que y3 y1 y2 e y4 y1 y2 também formam um conjunto linearmente independente de soluções Reciprocamente se y3 e y4 são soluções linearmente independentes da equação diferencial mostre que y1 e y2 também o são 13 Se y1 e y2 são soluções linearmente independentes de y pt y qt y 0 determine sob que condições as funções y3 a1 y1 a2 y2 e y4 b1 y1 b2 y2 formam também um conjunto linearmente independente de soluções 14 a Prove que qualquer vetor de dimensão dois pode ser escrito como uma combinação linear de i j e i j b Prove que se os vetores x x1 i x2 j e y y1 i y2 j são linearmente independentes então qualquer vetor z z1 i z2 j pode ser escrito como uma combinação linear de x e y Note que se x e y são linearmente independentes então x1 y2 x2 y1 0 Por quê Nos problemas de 15 a 18 encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação 15 t2 y tt 2 y t 2 y 0 16 cos t y senty y t y 0 17 x2 y xy x2 ν2 y 0 equação de Bessel 18 1 x2 y 2x y αα 1 y 0 equação de Legendre 19 Mostre que se p é diferenciável e pt 0 então o wronskiano Wt de duas soluções de pt y qt y 0 é Wt c1 pt onde c é uma constante 20 Se y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes de t y 2 y te1y 0 e se Wy1 y21 2 encontre o valor de Wy1 y25 21 Se y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes de t2 y 2 y 3 t y 0 e se Wy1 y22 3 encontre o valor de Wy1 y24 22 Se o wronskiano de duas soluções quaisquer de y pt y qt y 0 é constante o que isso implica sobre os coeficientes p e q 23 Se f g e h são funções diferenciais mostre que Wfg fh f2 Wg h Nos problemas de 24 a 26 suponha que p e q são contínuas e que as funções y1 e y2 são soluções da equação diferencial y pt y qt y 0 em um intervalo aberto I 24 Prove que se y1 e y2 se anulam no mesmo ponto em I então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo 25 Prove que se y1 e y2 atingem máximo ou mínimo em um mesmo ponto em I então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo 26 Prove que se y1 e y2 têm um ponto de inflexão comum t0 em I então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo 27 Mostre que t e t2 são linearmente independentes em 1 t 1 de fato são linearmente independentes em qualquer intervalo Mostre também que Wt t2 é zero em t 0 O que você pode concluir sobre a possibilidade de t e t2 serem soluções de uma equação diferencial da forma y pt y qt y 0 Verifique que t e t2 são soluções da equação t2 y 2ty 2y 0 Isso contradiz sua conclusão O comportamento do wronskiano de t e t2 contradiz o Teorema 332 28 Mostre que as funções ft t2 t e gt t3 são linearmente dependentes em 0 t 1 e em 1 t 0 mas são linearmente independentes em 1 t 1 Embora f e g sejam linearmente independentes nesse intervalo mostre que Wf g é zero para todo t em 1 t 1 Logo f e g não podem ser soluções de uma equação do tipo y pt y qt y 0 com p e q contínuas em 1 t 1 34 Raízes Complexas da Equação Característica Vamos continuar nossa discussão da equação ay by cy 0 onde a b e c são números reais dados Vimos na Seção 31 que se procurarmos soluções da forma y er t então r tem que ser raiz da equação característica ar2 br c 0 Se as raízes r1 e r2 são reais e distintas o que ocorre sempre que o discriminante b2 4ac for positivo então a solução geral da Eq 1 é y c1 e r1 t c2 e r2 t Suponha agora que b2 4ac é negativo Então as raízes da Eq 2 são números complexos conjugados vamos denotálos por r1 λ i μ r2 λ i μ onde λ e μ são reais As expressões correspondentes para y são y1 t expλ i μ t y2 t expλ i μ t Nossa primeira tarefa é explorar o significado dessas expressões o que envolve o cálculo de uma função exponencial com expoente complexo Por exemplo se λ 1 μ 2 e t 3 então da Eq 5 y1 3 e36i O que significa elevar o número e a uma potência complexa A resposta é dada por uma relação importante conhecida como fórmula de Euler Fórmula de Euler Para atribuir significado às expressões nas Eqs 5 precisamos definir a função exponencial complexa É claro que queremos que a definição se reduza à função exponencial real habitual quando o expoente for real Existem várias maneiras de se obter essa extensão da função exponencial Vamos usar aqui um método baseado em séries infinitas um método alternativo é esquematizado no Problema 28 Lembrese do cálculo que a série de Taylor para et em torno de t 0 é et Σ tnn onde n 0 até t Se supusermos que podemos substituir t por it na Eq 7 teremos eti Σ itn n onde n 0 até Σ 1n t2n 2n i Σ 1n1 t2n1 2n 1 onde separamos a soma em suas partes real e imaginária usando o fato de que i2 1 i3 i i4 i e assim por diante A primeira série na Eq 8 é precisamente a série de Taylor para cos t em torno de t 0 e a segunda é a série de Taylor para sen t em t 0 Temos então e i t cos t i sent 4 Problemas Nos problemas de 1 a 6 use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma a ib 1 exp1 2i 2 exp2 3 i 3 e i π 4 e2 π2 i 5 2 1 i 6 π 1 2 i Nos problemas de 7 a 16 encontre a solução geral da equação diferencial dada 7 y 2 y 2 y 0 8 y 2 y 6 y 0 9 y 2 y 8 y 0 10 y 2 y 2 y 0 11 y 6 y 13 y 0 12 4y 9 y 0 13 y 2 y 125 y 0 14 9 y 9 y 4 y 0 15 y y 125 y 0 16 y 4 y 625 y 0 Nos problemas de 17 a 22 encontre a solução do problema de valor inicial dado Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t 17 y 4 y 0 y0 0 y0 1 18 y 4 y 5 y 0 y0 1 y0 0 19 y 2 y 5 y 0 yπ2 0 yπ2 2 20 y y 0 yπ3 2 yπ3 4 21 y y 125 y 0 y0 3 y0 1 22 y 2 y 2 y 0 yπ4 2 yπ4 2 23 Considere o problema de valor inicial 3 u u 2 u 0 u0 2 u0 0 a Encontre a solução ut desse problema b Encontre o primeiro instante no qual ut 10 24 Considere o problema de valor inicial 5 u 2 u 7 u 0 u0 2 u0 1 a Encontre a solução ut desse problema b Encontre o menor T para o qual ut 01 para todo t T 25 Considere o problema de valor inicial y 2 y 6 y 0 y0 2 y0 α 0 a Encontre a solução yt desse problema b Encontre α tal que y 0 quando t 1 c Encontre o menor valor positivo de t em função de α para o qual y 0 d Determine o limite da expressão encontrada no item c quando α 26 Considere o problema de valor inicial y 2 a y a2 1 y 0 y0 1 y0 0 a Encontre a solução yt desse problema b Para a 1 encontre o menor T para o qual yt 01 para t T c Repita o item b para a 14 12 e 2 d Usando os resultados dos itens b e c coloque em um gráfico os valores de T em função de a e descreva a relação entre T e a 27 Mostre que Weαt cos μ t eαt sen μ t μe2λt 28 Neste problema esquematizamos um modo diferente de obter a fórmula de Euler a Mostre que y1t cos t e y2t sen t formam um conjunto fundamental de soluções de y y 0 isto é mostre que são soluções e que seu wronskiano não se anula b Mostre formalmente que y e it também é solução de y y 0 Portanto e it c1 cos t c2 sent para constantes c1 e c2 apropriadas Por que isso é válido c Faça t 0 na Eq i para mostrar que c1 1 d Supondo que a Eq 14 é válida derive a Eq i e depois faça t 0 para mostrar que c2 i Use os valores de c1 e c2 na Eq i para chegar à fórmula de Euler 29 Usando a fórmula de Euler mostre que cos t e it e it 2 sent e it e it 2i 30 Se e rt é dado pela Eq 13 mostre que e rt r2t e r1 t e r2 t quaisquer que sejam os números complexos r1 e r2 31 Se e rt é dado pela Eq 13 mostre que d dt e rt re rt 32 para qualquer número complexo r Suponha que as funções reais p e q são contínuas em um intervalo aberto I e seja y φt ut ivt uma solução complexa de y pt y qt y 0 onde u e v são funções reais Mostre que u e v são também soluções da Eq i Sugestão Substitua y por φt na Eq i e separe em partes real e imaginária 33 Se as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes de y pt y qt y 0 mostre que entre dois zeros consecutivos de y1 existe um e apenas um zero de y2 Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções y1 cos t e y2 sen t da equação y y 0 Sugestão Suponha que t1 e t2 são dois zeros de y1 entre os quais não há zeros e y2 Aplique o teorema de Rolle a y1y2 para chegar a uma contradição Mudança de Variáveis Muitas vezes uma equação diferencial com coeficientes variáveis y pt y qt y 0 pode ser colocada de uma maneira mais adequada para resolvêla através de uma mudança das variáveis independente eou dependente Vamos explorar essas idéias nos problemas de 34 a 42 Em particular no Problema 34 determinamos condições sob as quais a Eq i pode ser transformada em uma equação diferencial com coeficientes constantes tornandose assim facilmente solúvel Os problemas de 35 a 42 fornecem aplicações específicas desse procedimento 34 Neste problema vamos determinar condições sobre p e q que permitam que a Eq i seja transformada em uma equação diferencial com coeficientes constantes através de uma mudança da variável independente Seja x ut a nova variável independente com a relação entre x e t a ser especificada mais tarde a Mostre que dydt dxdt dydx d2 y dt2 dxdt2 d2 y dx2 d2 x dt2 dydx b Mostre que a equação diferencial i tornase dxdt2 d2 y dx2 d2 x dt2 pt dxdt dydx qt y 0 ii c Para que a Eq ii tenha coeficientes constantes é preciso que os coeficientes de d2 ydx2 e de y sejam proporcionais Se 5 qt 0 então podemos escolher a constante de proporcionalidade como sendo 1 logo x ut qt12 dt iii d Com x escolhido como no item c mostre que o coeficiente de dydx na Eq ii também é constante desde que a expressão qt 2 pt qt 2 qt32 iv seja constante Assim a Eq i pode ser transformada em uma equação com coeficientes constantes através de uma mudança da variável independente desde que a função q 2pqq32 seja constante Como esse resultado pode ser modificado se qt 0 Nos problemas de 35 a 37 tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 34 Se isso for possível encontre a solução geral da equação dada 35 y t y et2 y 0 t 36 y 3 t y t2 y 0 t 37 ty t2 1 y t 3 y 0 0 t 38 Equações de Euler Uma equação da forma t2 y α t y β y 0 t 0 onde α e β são constantes reais é chamada uma equação de Euler Mostre que a substituição x ln t transforma uma equação de Euler em uma equação com coeficientes constantes Equações de Euler são discutidas em detalhe na Seção 55 Nos problemas de 39 a 42 use o resultado do Problema 38 para resolver a equação dada para t 0 39 t2 y t y y 0 40 t2 y 4 t y 2 y 0 41 t2 y 3 t y 125 y 0 42 t2 y 4 t y 6 y 0 35 Raízes Repetidas Redução de Ordem Em seções anteriores mostramos como resolver a equação ay by cy 0 quando as raízes da equação característica ar2 br c 0 são reais e distintas ou complexas conjugadas Vamos considerar agora a terceira possibilidade a saber quando as duas raízes r1 e r2 são iguais Esse caso corresponde à transição entre os outros dois e ocorre quando o discriminante b2 4ac é zero Então segue da fórmula para as soluções de uma equação do segundo grau que r1 r2 b2a A dificuldade é imediatamente aparente ambas as raízes geram a mesma solução y1t e bt2a da equação diferencial 1 e não é nada óbvio como encontrar uma segunda solução Exemplo 1 Resolva a equação diferencial y 4 y 4 y 0 A equação característica é r2 4 r 4 r 22 0 de modo que r1 r2 2 Portanto uma solução da Eq 5 é y1t e 2t Para encontrar a solução geral da Eq 5 precisamos de uma segunda solução que não seja múltiplo de y1 Essa segunda solução pode ser encontrada de diversas maneiras veja os problemas de 20 a 22 usaremos aqui um método descoberto por DAlembert no século XVIII Lembrese que como y1t é uma solução da Eq 1 cy1t também ó é para qualquer constante c A idéia básica é generalizar essa observação substituindose c por uma função vt e depois tentando determinar vt de modo que o produto vt y1t seja solução da Eq 1 Para seguir esse programa vamos substituir y vt y1t na Eq 1 e usar a equação resultante para encontrar vt Começando com y vt y1t vt e 2t temos y vt e 2t 2 vt e 2t y vt e 2t 4 vt e 2t 4 vt e 2t Substituindo as expressões nas Eqs 6 7 e 8 na Eq 5 e juntando os termos obtemos vt 4 vt 4 vt 4 vt e 2t 0 que pode ser simplificada para vt 0 Logo vt c1 e vt c1 t c2 onde c1 e c2 são constantes arbitrárias Finalmente substituindo vt na Eq 6 obtemos y c1 t e 2t c2 e 2t A segunda parcela na Eq 11 corresponde à solução original y1t exp2t mas a primeira parcela corresponde a uma segunda Problemas Nos problemas de 1 a 6 use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma a ib 1 exp1 2i 2 exp2 3 i 3 e i π 4 e2 π2 i 5 2 1 i 6 π 1 2 i Nos problemas de 7 a 16 encontre a solução geral da equação diferencial dada 7 y 2 y 2 y 0 8 y 2 y 6 y 0 9 y 2 y 8 y 0 10 y 2 y 2 y 0 11 y 6 y 13 y 0 12 4y 9 y 0 13 y 2 y 125 y 0 14 9 y 9 y 4 y 0 15 y y 125 y 0 16 y 4 y 625 y 0 Nos problemas de 17 a 22 encontre a solução do problema de valor inicial dado Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t 17 y 4 y 0 y0 0 y0 1 18 y 4 y 5 y 0 y0 1 y0 0 19 y 2 y 5 y 0 yπ2 0 yπ2 2 20 y y 0 yπ3 2 yπ3 4 21 y y 125 y 0 y0 3 y0 1 22 y 2 y 2 y 0 yπ4 2 yπ4 2 23 Considere o problema de valor inicial 3 u u 2 u 0 u0 2 u0 0 a Encontre a solução ut desse problema b Encontre o primeiro instante no qual ut 10 24 Considere o problema de valor inicial 5 u 2 u 7 u 0 u0 2 u0 1 a Encontre a solução ut desse problema b Encontre o menor T para o qual ut 01 para todo t T 25 Considere o problema de valor inicial y 2 y 6 y 0 y0 2 y0 α 0 a Encontre a solução yt desse problema b Encontre α tal que y 0 quando t 1 c Encontre o menor valor positivo de t em função de α para o qual y 0 d Determine o limite da expressão encontrada no item c quando α 26 Considere o problema de valor inicial y 2 a y a2 1 y 0 y0 1 y0 0 a Encontre a solução yt desse problema b Para a 1 encontre o menor T para o qual yt 01 para t T c Repita o item b para a 14 12 e 2 d Usando os resultados dos itens b e c coloque em um gráfico os valores de T em função de a e descreva a relação entre T e a 27 Mostre que Weαt cos μ t eαt sen μ t μe2λt 28 Neste problema esquematizamos um modo diferente de obter a fórmula de Euler a Mostre que y1t cos t e y2t sen t formam um conjunto fundamental de soluções de y y 0 isto é mostre que são soluções e que seu wronskiano não se anula b Mostre formalmente que y e it também é solução de y y 0 Portanto e it c1 cos t c2 sent para constantes c1 e c2 apropriadas Por que isso é válido c Faça t 0 na Eq i para mostrar que c1 1 d Supondo que a Eq 14 é válida derive a Eq i e depois faça t 0 para mostrar que c2 i Use os valores de c1 e c2 na Eq i para chegar à fórmula de Euler 29 Usando a fórmula de Euler mostre que cos t e it e it 2 sent e it e it 2i 30 Se e rt é dado pela Eq 13 mostre que e rt r2t e r1 t e r2 t quaisquer que sejam os números complexos r1 e r2 31 Se e rt é dado pela Eq 13 mostre que d dt e rt re rt 32 para qualquer número complexo r Suponha que as funções reais p e q são contínuas em um intervalo aberto I e seja y φt ut ivt uma solução complexa de y pt y qt y 0 onde u e v são funções reais Mostre que u e v são também soluções da Eq i Sugestão Substitua y por φt na Eq i e separe em partes real e imaginária 33 Se as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes de y pt y qt y 0 mostre que entre dois zeros consecutivos de y1 existe um e apenas um zero de y2 Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções y1 cos t e y2 sen t da equação y y 0 Sugestão Suponha que t1 e t2 são dois zeros de y1 entre os quais não há zeros e y2 Aplique o teorema de Rolle a y1y2 para chegar a uma contradição Mudança de Variáveis Muitas vezes uma equação diferencial com coeficientes variáveis y pt y qt y 0 pode ser colocada de uma maneira mais adequada para resolvêla através de uma mudança das variáveis independente eou dependente Vamos explorar essas idéias nos problemas de 34 a 42 Em particular no Problema 34 determinamos condições sob as quais a Eq i pode ser transformada em uma equação diferencial com coeficientes constantes tornandose assim facilmente solúvel Os problemas de 35 a 42 fornecem aplicações específicas desse procedimento 34 Neste problema vamos determinar condições sobre p e q que permitam que a Eq i seja transformada em uma equação diferencial com coeficientes constantes através de uma mudança da variável independente Seja x ut a nova variável independente com a relação entre x e t a ser especificada mais tarde a Mostre que dydt dxdt dydx d2 y dt2 dxdt2 d2 y dx2 d2 x dt2 dydx b Mostre que a equação diferencial i tornase dxdt2 d2 y dx2 d2 x dt2 pt dxdt dydx qt y 0 ii c Para que a Eq ii tenha coeficientes constantes é preciso que os coeficientes de d2 ydx2 e de y sejam proporcionais Se 5 qt 0 então podemos escolher a constante de proporcionalidade como sendo 1 logo x ut qt12 dt iii d Com x escolhido como no item c mostre que o coeficiente de dydx na Eq ii também é constante desde que a expressão qt 2 pt qt 2 qt32 iv seja constante Assim a Eq i pode ser transformada em uma equação com coeficientes constantes através de uma mudança da variável independente desde que a função q 2pqq32 seja constante Como esse resultado pode ser modificado se qt 0 Nos problemas de 35 a 37 tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 34 Se isso for possível encontre a solução geral da equação dada 35 y t y et2 y 0 t 36 y 3 t y t2 y 0 t 37 ty t2 1 y t 3 y 0 0 t 38 Equações de Euler Uma equação da forma t2 y α t y β y 0 t 0 onde α e β são constantes reais é chamada uma equação de Euler Mostre que a substituição x ln t transforma uma equação de Euler em uma equação com coeficientes constantes Equações de Euler são discutidas em detalhe na Seção 55 Nos problemas de 39 a 42 use o resultado do Problema 38 para resolver a equação dada para t 0 39 t2 y t y y 0 40 t2 y 4 t y 2 y 0 41 t2 y 3 t y 125 y 0 42 t2 y 4 t y 6 y 0 35 Raízes Repetidas Redução de Ordem Em seções anteriores mostramos como resolver a equação ay by cy 0 quando as raízes da equação característica ar2 br c 0 são reais e distintas ou complexas conjugadas Vamos considerar agora a terceira possibilidade a saber quando as duas raízes r1 e r2 são iguais Esse caso corresponde à transição entre os outros dois e ocorre quando o discriminante b2 4ac é zero Então segue da fórmula para as soluções de uma equação do segundo grau que r1 r2 b2a A dificuldade é imediatamente aparente ambas as raízes geram a mesma solução y1t e bt2a da equação diferencial 1 e não é nada óbvio como encontrar uma segunda solução Exemplo 1 Resolva a equação diferencial y 4 y 4 y 0 A equação característica é r2 4 r 4 r 22 0 de modo que r1 r2 2 Portanto uma solução da Eq 5 é y1t e 2t Para encontrar a solução geral da Eq 5 precisamos de uma segunda solução que não seja múltiplo de y1 Essa segunda solução pode ser encontrada de diversas maneiras veja os problemas de 20 a 22 usaremos aqui um método descoberto por DAlembert no século XVIII Lembrese que como y1t é uma solução da Eq 1 cy1t também ó é para qualquer constante c A idéia básica é generalizar essa observação substituindose c por uma função vt e depois tentando determinar vt de modo que o produto vt y1t seja solução da Eq 1 Para seguir esse programa vamos substituir y vt y1t na Eq 1 e usar a equação resultante para encontrar vt Começando com y vt y1t vt e 2t temos y vt e 2t 2 vt e 2t y vt e 2t 4 vt e 2t 4 vt e 2t Substituindo as expressões nas Eqs 6 7 e 8 na Eq 5 e juntando os termos obtemos vt 4 vt 4 vt 4 vt e 2t 0 que pode ser simplificada para vt 0 Logo vt c1 e vt c1 t c2 onde c1 e c2 são constantes arbitrárias Finalmente substituindo vt na Eq 6 obtemos y c1 t e 2t c2 e 2t onde c1 e c2 são números reais dados Vimos na Seção 31 que se procurarmos soluções da forma y er t então r tem que ser raiz da equação característica ar2 br c 0 Se as raízes r1 e r2 são reais e distintas o que ocorre sempre que o discriminante b2 4ac for positivo então a solução geral da Eq 1 é y c1 e r1 t c2 e r2 t Suponha agora que b2 4ac é negativo Então as raízes da Eq 2 são números complexos conjugados vamos denotálos por r1 λ i μ r2 λ i μ onde λ e μ são reais As expressões correspondentes para y são y1 t expλ i μ t y2 t expλ i μ t Nossa primeira tarefa é explorar o significado dessas expressões o que envolve o cálculo de uma função exponencial com expoente complexo Por exemplo se λ 1 μ 2 e t 3 então da Eq 5 y1 3 e36i O que significa elevar o número e a uma potência complexa A resposta é dada por uma relação importante conhecida como fórmula de Euler Fórmula de Euler Para atribuir significado às expressões nas Eqs 5 precisamos definir a função exponencial complexa É claro que queremos que a definição se reduza à função exponencial real habitual quando o expoente for real Existem várias maneiras de se obter essa extensão da função exponencial Vamos usar aqui um método baseado em séries infinitas um método alternativo é esquematizado no Problema 28 Lembrese do cálculo que a série de Taylor para et em torno de t 0 é et Σ tnn onde n 0 até t Se supusermos que podemos substituir t por it na Eq 7 teremos eti Σ itn n onde n 0 até Σ 1n t2n 2n i Σ 1n1 t2n1 2n 1 onde separamos a soma em suas partes real e imaginária usando o fato de que i2 1 i3 i i4 i e assim por diante A primeira série na Eq 8 é precisamente a série de Taylor para cos t em torno de t 0 e a segunda é a série de Taylor para sen t em t 0 Temos então e i t cos t i sent 5 qt 0 então podemos escolher a constante de proporcionalidade como sendo 1 logo x ut qt12 dt iii d Com x escolhido como no item c mostre que o coeficiente de dydx na Eq ii também é constante desde que a expressão qt 2 pt qt 2 qt32 iv seja constante Assim a Eq i pode ser transformada em uma equação com coeficientes constantes através de uma mudança da variável independente desde que a função q 2pqq32 seja constante Como esse resultado pode ser modificado se qt 0 Nos problemas de 35 a 37 tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 34 Se isso for possível encontre a solução geral da equação dada 35 y t y et2 y 0 t 36 y 3 t y t2 y 0 t 37 ty t2 1 y t 3 y 0 0 t 38 Equações de Euler Uma equação da forma t2 y α t y β y 0 t 0 onde α e β são constantes reais é chamada uma equação de Euler Mostre que a substituição x ln t transforma uma equação de Euler em uma equação com coeficientes constantes Equações de Euler são discutidas em detalhe na Seção 55 Nos problemas de 39 a 42 use o resultado do Problema 38 para resolver a equação dada para t 0 39 t2 y t y y 0 40 t2 y 4 t y 2 y 0 41 t2 y 3 t y 125 y 0 42 t2 y 4 t y 6 y 0 35 Raízes Repetidas Redução de Ordem Em seções anteriores mostramos como resolver a equação ay by cy 0 quando as raízes da equação característica ar2 br c 0 são reais e distintas ou complexas conjugadas Vamos considerar agora a terceira possibilidade a saber quando as duas raízes r1 e r2 são iguais Esse caso corresponde à transição entre os outros dois e ocorre quando o discriminante b2 4ac é zero Então segue da fórmula para as soluções de uma equação do segundo grau que r1 r2 b2a A dificuldade é imediatamente aparente ambas as raízes geram a mesma solução y1t e bt2a da equação diferencial 1 e não é nada óbvio como encontrar uma segunda solução Exemplo 1 Resolva a equação diferencial y 4 y 4 y 0 A equação característica é r2 4 r 4 r 22 0 de modo que r1 r2 2 Portanto uma solução da Eq 5 é y1t e 2t Para encontrar a solução geral da Eq 5 precisamos de uma segunda solução que não seja múltiplo de y1 Essa segunda solução pode ser encontrada de diversas maneiras veja os problemas de 20 a 22 usaremos aqui um método descoberto por DAlembert no século XVIII Lembrese que como y1t é uma solução da Eq 1 cy1t também ó é para qualquer constante c A idéia básica é generalizar essa observação substituindose c por uma função vt e depois tentando determinar vt de modo que o produto vt y1t seja solução da Eq 1 Para seguir esse programa vamos substituir y vt y1t na Eq 1 e usar a equação resultante para encontrar vt Começando com y vt y1t vt e 2t temos y vt e 2t 2 vt e 2t y vt e 2t 4 vt e 2t 4 vt e 2t Substituindo as expressões nas Eqs 6 7 e 8 na Eq 5 e juntando os termos obtemos vt 4 vt 4 vt 4 vt e 2t 0 que pode ser simplificada para vt 0 Logo vt c1 e vt c1 t c2 onde c1 e c2 são constantes arbitrárias Finalmente substituindo vt na Eq 6 obtemos y c1 t e 2t c2 e 2t A segunda parcela na Eq 11 corresponde à solução original y1t exp2t mas a primeira parcela corresponde a uma segunda 94 Equações Lineares de Segunda Ordem Exemplo 3 Dado que y1t t1 é uma solução de 2t2 y 3ty y 0 t 0 31 encontre uma segunda solução linearmente independente Vamos fazer y vtt1 então y vt1 vt2 y vt1 2vt2 2vt3 Substituindo y y e y na Eq 31 e juntando os termos obtemos 2t2vt1 2vt2 2vt3 3tvt1 vt2 vt1 2tv 4 3v 4t1 3t1 t1v 2tv v 0 32 Note que o coeficiente de v é nulo como deveria isso nos dá um ponto útil de verificação dos nossos cálculos Separando as variáveis na Eq 32 e resolvendo para vt encontramos vt ct12 então vt 23 ct32 k Segue que y 23 ct12 kt1 33 onde c e k são constantes arbitrárias A segunda parcela na Eq 33 é um múltiplo de y1 e pode ser retirada mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente Desprezando a constante multiplicativa temos y2 t12 Problemas Nos problemas de 1 a 10 encontre a solução geral da equação diferencial dada 1 y 2y y 0 2 9y 6y y 0 3 4y 4y 3y 0 4 4y 12y 9y 0 5 y 2y 10y 0 6 y 6y 9y 0 7 4y 17y 4y 0 8 16y 24y 9y 0 9 25y 20y 4y 0 10 2y 2y y 0 Nos problemas de 11 a 14 resolva o problema de valor inicial dado Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce 11 9y 12y 4y 0 y0 2 y0 1 12 y 6y 9y 0 y0 0 y0 2 13 9y 6y 82y 0 y0 1 y0 2 14 y 4y 4y 0 y1 2 y1 1 15 Considere o problema de valor inicial 4y 12y 9y 0 y0 1 y0 4 a Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico de sua solução para 0 t 5 b Determine onde a solução tem valor zero c Determine as coordenadas t0 y0 do ponto de mínimo d Mude a segunda condição inicial para y0 b e encontre a solução como função de b Depois encontre o valor crítico de b que separa as soluções que permanecem positivas das que acabam se tornando negativas 16 Considere a seguinte modificação do problema de valor inicial no Exemplo 2 y y 025 y 0 y0 2 y0 b Encontre a solução em função de b e depois determine o valor crítico de b que separa as soluções que crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo mas com valores negativos 17 Considere o problema de valor inicial 4y 4y y 0 y0 1 y0 2 a Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução b Determine as coordenadas tM yM do ponto de máximo c Mude a segunda condição inicial para y0 b 0 e encontre a solução em função de b d Encontre as coordenadas do ponto de máximo tM yM em função de b Descreva a dependência em b de tM e de yM quando b cresce 18 Considere o problema de valor inicial 9y 12y 4y 0 y0 a 0 y0 1 a Resolva o problema de valor inicial b Encontre o valor crítico de a que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas 19 Se as raízes da equação característica são reais mostre que uma solução de ay by cy 0 pode assumir o valor zero no máximo uma vez Os problemas de 20 a 22 indicam outras maneiras de se encontrar uma segunda solução quando a equação característica tem raízes repetidas 20 a Considere a equação y 2ay a2 y 0 Mostre que as raízes da equação característica são r1 r2 a de modo que uma solução da equação é eat b Use a fórmula de Abel Eq 8 da Seção 33 para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é Wt y1ty2t y1ty2t c1 e2at onde c1 é constante c Seja y2t eat e use o resultado do item b para obter uma equação diferencial satisfeita pela segunda solução y2t Resolvendo essa equação mostre que y2t teat 21 Suponha que r1 e r2 são raízes de ar2 br c 0 e que r1 r2 então expr1t e expr2t são soluções da equação diferencial ay by cy 0 Mostre que ϕt r1 r2 expr2t expr1tr2 r1 também é solução da equação para r2 r1 Depois fixe r1 e use a regra de LHôpital para calcular o limite de ϕt r1 r2 quando r2 r1 obtendo assim a segunda solução no caso de raízes repetidas 22 a Se ar2 br c 0 tem raízes iguais r1 mostre que Lert aert bert cert ar r12 ert i Como a última expressão à direita na Eq i é nula quando r r1 segue que expr1t é uma solução de Ly ay by cy 0 b Derive a Eq i em relação a r e mude as ordens das derivadas em relação a r e a t mostrando assim que r Lert Lr ert atertr r12 2aertr r1 ii Como a última expressão à direita na Eq ii é zero quando r r1 conclua que r ert também é solução de Ly 0 Nos problemas de 23 a 30 use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada 23 t2 y 4ty 6y 0 t 0 y1t t2 24 t2 y 2ty 2y 0 t 0 y1t t 25 t2 y 3ty y 0 t 0 y1t t1 26 t2 y tt 2y t 2y 0 t 0 y1t t 27 xy y 4x3 y 0 x 0 y1x sen x2 28 x 1y xy y 0 x 1 y1x ex 29 x2 y x 01875y 0 x 0 y1x x14 e2 sqrt x 30 x2 y xy x2 025y 0 x 0 y1x x12 sen x 31 A equação diferencial xy x Ny Ny 0 onde N é um inteiro nãonegativo foi discutida por diversos autores6 Uma razão para esse interesse é que tem uma solução exponencial e uma solução polinomial a Verifique que uma solução é y1x ex b Mostre que uma segunda solução tem a forma y2x cex xN ex dx Calcule y2x para N 1 e N 2 convençase de que com c 1N y2x 1 x1 x22 xN N Note que y2x é precisamente a soma das N 1 primeiras parcelas da série de Taylor para ex em torno de x 0 isto é da série de Taylor para y1x 32 A equação diferencial y δxy y 0 aparece no estudo da turbulência em um fluxo uniforme ao passar por um cilindro circular Verifique que y1x expδ x2 2 é uma solução e depois encontre a solução geral como uma integral 33 O método do Problema 20 pode ser estendido para equações de segunda ordem com coeficientes variáveis Se y1 é uma solução conhecida de y pxy qxy 0 que não se anula mostre que uma segunda solução y2 satisfaz y2y1 Wy0y1 e onde Wy1 y2 é o wronskiano de y1 e y2 Depois use a fórmula de Abel Eq 8 da Seção 33 para determinar y2 Nos problemas de 34 a 37 use o método do Problema 33 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada 34 t2 y 3ty y 0 t 0 y1t t1 35 ty y 4t3 y 0 t 0 y1t sent2 36 x 1y xy y 0 x 1 y1x ex 37 x2 y xy x2 025y 0 x 0 y1x x12 sen x T A Newton On Using a Differential Equation to Generate Polynomials American Mathematical Monthly 81 1974 pp 592601 Veja também as referências dadas aí Equações Lineares de Segunda Ordem 95 Comportamento de Soluções quando t Os problemas de 38 a 40 tratam do comportamento de soluções quando t 38 Se a b e c são constantes positivas mostre que todas as soluções de ay by cy 0 tendem a zero quando t 39 a Se a 0 e c 0 mas b 0 mostre que o resultado do Problema 38 não é mais válido mas que todas as soluções permanecem limitadas quando t b Se a 0 e b 0 mas c 0 mostre que o resultado do Problema 38 não é mais válido mas que todas as soluções tendem a uma constante que depende da condição inicial quando t Determinar esta constante para a condição inicial y0 y0 y0 y0 40 Mostre que y sen t é uma solução de y k sen2 ty 1 k cos t sen ty 0 para qualquer valor da constante k Se 0 k 2 mostre que 1 k cos t sen t 0 e k sen2 t 0 Observe então que embora os coeficientes dessa equação diferencial com coeficientes variáveis sejam nãonegativos e o coeficiente de y se anule apenas nos pontos t 0 π 2π ela tem uma solução que não tende a zero quando t Compare essa situação com o resultado do Problema 38 Observamos assim uma situação que não é incomum na teoria das equações diferenciais equações aparentemente bastante semelhantes podem ter propriedades muito diferentes Equações de Euler Use a substituição dada no Problema 38 da Seção 34 para resolver cada uma das equações nos Problemas 41 e 42 41 t2 y 3ty 4y 0 t 0 42 t2 y 2ty 025 y 0 t 0 36 Equações Nãohomogêneas Método dos Coeficientes Indeterminados Vamos retornar à equação nãohomogênea Ly y pty qty gt 1 onde p q e g são funções contínuas dadas em um intervalo aberto I A equação Ly y pty qty 0 2 onde gt 0 e p e q são as mesmas que na Eq 1 é chamada de equação homogênea associada à Eq 1 Os dois resultados a seguir descrevem a estrutura de soluções da equação nãohomogênea 1 e fornecem uma base para se construir sua solução geral Teorema 361 Se Y1 e Y2 são duas soluções da equação nãohomogênea 1 então sua diferença Y1 Y2 é uma solução da equação homogênea associada 2 Se além disso y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções para a Eq 2 então Y1t Y2t c1 y1t c2 y2t 3 onde c1 e c2 são constantes determinadas 100 Equações Lineares de Segunda Ordem Yt são omitidos já que nesse caso ambos são soluções da equação homogênea gt eαt Pnt O problema de determinar uma solução particular de ay by cy eαt Pnt 31 pode ser reduzido ao caso precedente através de uma substituição Seja Yt eαt ut então Yt eαtut αut e Yt eαtut 2αut α2 ut Substituindo na Eq 31 cancelando o fator eαt e juntando os termos semelhantes obtemos aut 2aα b ut aα2 bα c ut Pnt 32 A determinação de uma solução particular da Eq 32 é precisamente o mesmo problema exceto pelo nome das constantes que resolver a Eq 28 Portanto se aα2 bα c não for zero supomos que ut A0 tn A0 logo uma solução particular da Eq 31 tem a forma Yt eαtA0 tn A1 tn1 An 33 Por outro lado se aα2 bα c for zero mas 2aα b não o for precisamos tomar ut da forma tA0 tn A0 A forma correspondente para Yt é t vezes a expressão à direita do sinal de igualdade na Eq 33 Note que se aα2 bα c for zero então eαt é uma solução da equação homogênea Se ambos aα2 bα c e 2aα b forem nulos e isso implica que tanto eαt quanto teαt são soluções da equação homogênea então a forma correta para ut é t2 A0 tn A0 Portanto Yt é t2 vezes a expressão à direita do sinal de igualdade na Eq 33 gt eαt Pnt cos βt ou eαt Pnt sen βt Esses dois casos são semelhantes logo consideraremos apenas o último Podemos reduzir esse problema ao precedente notando que em consequência da fórmula de Euler sen βt eiβt eiβt2i Portanto gt é da forma gt Pnt eα iβt eα iβt 2i e devemos escolher Yt eα iβtA0 tn An eα iβtB0 tn Bn ou equivalentemente Yt eαtA0 tn An cos βt eαtB0 tn Bn sen βt Em geral preferese essa última forma Se α iβ satisfazem a equação característica correspondente à equação homogênea temos é claro que multiplicar cada um dos polinômios por t para aumentar o grau de um Se a função nãohomogênea envolve ambos cos βt e sen βt é conveniente em geral tratar esses termos em conjunto já que cada um individualmente pode gerar a mesma forma de solução particular Por exemplo se gt t sen t 2 cos t a forma de Yt seria Yt A0 t A1 sen t B0 t B1 cos t desde que sen t e cos t não fossem soluções da equação homogênea Problemas Nos problemas de 1 a 12 encontre a solução geral da equação diferencial dada 1 y 2y 3y 3e2t 2 y 2y 5y 3 sen 2t 3 y 2y 3y 3t et 4 y 2y 3 4 sen 2t 5 y 9y t2 e3t 6 6 y 2y y 2et 7 2y 3y y t2 3 sen t 8 y y 3 sen 2t t cos 2t 9 u ω₀2 u cos ωt ω2 ω₀2 10 u ω₀2 u cos ω₀ t 11 y y 4y 2 sen ht Sugestão sen ht et et2 12 y y 2y cosh 2t Sugestão cosh t et et2 Nos problemas de 13 a 18 encontre a solução do problema de valor inicial dado 13 y y 2y 2t y0 0 y0 1 14 y 4y t2 3et y0 0 y0 2 15 y 2y y tet 4 y0 1 y0 1 16 y 2y 3y 3te2t y0 1 y0 0 17 y 4y 3 sen 2t y0 2 y0 1 18 y 2y 5y 4et cos 2t y0 1 y0 0 Nos problemas de 19 a 26 a Determine uma forma adequada para Yt para se usar o método dos coeficientes indeterminados b Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada 19 y 3y 2t4 t2 e3t sen 3t 20 y y t 1 sen t 21 y 5y 6y et cos 2t e2t 3t 4 sen t 22 y 2y 2y 3et 2et cos t 4et t2 sen t 23 y 4y 4y 2t2 4te2t t sen 2t 24 y 4y t2 sen 2t 6t 7 cos 2t 25 y 3y 2y et t2 1 sen 2t 3et cos t 4et 26 y 2y 5y 3tet cos 2t 2te2t cos t 27 Considere a equação y 3y 4y 2et i do Exemplo 5 Lembrese de que y1t et e y2t e4t são soluções da equação homogênea associada Adaptando o método de redução de ordem Seção 35 procure uma solução da equação nãohomogênea da forma Yt vty1 t vt et onde vt deverá ser determinado Como no Exemplo 1 vamos igualar a zero a soma dos termos envolvendo u1t e u2t na Eq 20 isto é vamos supor que u1ty1tu2ty2t 0 21 Então da Eq 20 temos y u1ty1t u2ty2t 22 Derivando mais uma vez obtemos y u1ty1t u1ty1t u2ty2t u2ty2t 23 Agora vamos substituir y y e y na Eq 16 pelas expressões nas Eqs 19 22 e 23 respectivamente Após rearrumar os termos na equação resultante vemos que u1ty1t pty1t qty1t u2ty2t pty2t qty2t u1ty1t u2ty2t gt 24 Cada uma das expressões entre colchetes na Eq 24 é nula pois ambas as funções y1 e y2 são soluções da equação homogênea 18 Portanto a Eq 24 se reduz a u1ty1t u2ty2t gt 25 As Eqs 21 e 25 formam um sistema de duas equações lineares algébricas para as derivadas u1t e u2t das funções desconhecidas Elas correspondem exatamente às Eqs 6 e 9 no Exemplo 1 Resolvendo o sistema 21 25 obtemos u1t y2tgtWy1 y2t u2t y1tgtWy1 y2t 26 onde Wy1 y2 é o wronskiano de y1 e y2 Note que a divisão por W é permitida já que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções e portanto seu wronskiano não se anula Integrando a Eq 26 encontramos as funções desejadas u1q e u2t a saber u1t y2tgtWy1 y2t dt c1 u2t y1tgtWy1 y2t dt c2 27 Se as integrais nas Eqs 27 puderem ser calculadas em termos de funções elementares então substituímos os resultados na Eq 19 obtendo assim a solução geral da Eq 16 Mais geralmente a solução pode ser expressa em termos de integrais como enunciado no teorema a seguir Teorema 371 Se as funções p q e g são contínuas em um intervalo aberto I e se as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes da equação homogênea 18 associada à equação nãohomogênea 16 y pty qty gt então uma solução particular da Eq 16 é Yt y1t y2sgsWy1y2s ds y2t y1sgsWy1y2s ds 28 onde t0 é qualquer ponto em I escolhido convenientemente A solução geral é y c1 y1t c2 y2t Yt 29 como enunciado no Teorema 362 Examınando a expressão 28 e revendo o processo segundo o qual a deduzimos vemos que podem existir duas grandes dificuldades na utilização do método de variação dos parâmetros Como mencionamos anteriormente uma é a determinação de y1 e y2 ou seja a determinação de um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea 18 quando os coeficientes da equação não são constantes Uma outra possível dificuldade é o cálculo das integrais que aparecem na Eq 28 Isso depende inteiramente da natureza das funções y1 y2 e g Ao usar a Eq 28 certifiquese de que a equação diferencial é exatamente da forma 16 caso contrário o termo nãohomogêneo gt não será identificado corretamente Uma grande vantagem do método de variação dos parâmetros é que a Eq 28 fornece uma expressão para a solução particular Yt em termos de uma função nãohomogênea arbitrária gt Essa expressão é um bom ponto de partida se você quiser investigar o efeito de variações no termo nãohomogêneo ou se quiser analisar a resposta de um sistema sujeito a um número de forças externas diferentes Problemas Nos problemas de 1 a 4 use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação diferencial dada Depois verifique sua resposta usando o método dos coeficientes indeterminados 1 y 5y 6y 2et 2 y y 2y 2et 3 y 2y y 3et2 4 4y 4y y 16et2 Nos problemas de 5 a 12 encontre a solução geral da equação diferencial dada Nos Problemas 11 e 12 g é uma função contínua arbitrária 5 y y tg t 0 t π2 6 y 9y 9 sec2 3t 0 t π6 7 y 4y 4y t2 e2t t 0 8 y 4y 3 csc 2t 0 t π2 9 4y y 2 sect2 π t π 10 y 2y y et1 t2 11 y 5y 6y gt 12 y 4y gt Nos problemas de 13 a 20 verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada depois encontre uma solução particular da equação nãohomogênea dada Nos Problemas 19 e 20 g é uma função contínua arbitrária 13 t2 y 2y 3t2 1 t 0 y1t t2 y2t t1 14 t2 y tt2y t2y 2t3 t 0 y1tt y2tt et 15 ty 1ty y t2 e2t t 0 y1t 1 t y2t et 16 1ty ty y 2t12 et 0 t 1 y1t et y2t t 17 x2 y 3x y 4y x2 ln x x 0 y1x x2 y2x x2 ln x 18 x2 y xy x2 025y 3x32 sen x x 0 y1x x12 sen x y2x x12 cos x 19 1xy xy y gx 0 x 1 y1x ex y2x x 20 x2 y xy x2 025y gx x 0 y1x x12 sen x y2x x12 cos x 21 Mostre que a solução do problema de valor inicial Ly y pty qty gt yt0 y0 yt0y0 i pode ser escrita como y ut vt onde u e v são soluções dos dois problemas de valor inicial Lu 0 ut0 y0 ut0 y0 ii Lv gt vt0 0 vt0 0 iii respectivamente Em outras palavras as partes nãohomogêneas na equação diferencial e nas condições iniciais podem ser tratadas separadamente Note que u é fácil de achar se for conhecido um conjunto fundamental de soluções para Lu 0 22 Escolhendo o limite inferior de integração na Eq 28 no texto como o ponto inicial t0 mostre que Yt tornase Yt y1sy2t y1ty2sy1sy2s y1sy2s gs ds Mostre que Yt é uma solução do problema de valor inicial Ly gt yt0 0 yt0 0 Assim Y pode ser identificado com v no Problema 21 23 a Use o resultado do Problema 22 para mostrar que a solução do problema de valor inicial y y gt yt0 0 yt0 0 i é y sint sgs ds ii b Use o resultado do Problema 21 para encontrar a solução do problema de valor inicial y y gt y0 y0 y0 y0 24 Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial Ly D aD by gt yt0 0 yt0 0 onde a e b são números reais com a b 25 Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial Ly D2 2λD λ2 μ2y gt yt0 0 yt0 0 Note que as raízes da equação característica são λ iμ 26 Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial Ly D a2 y gt yt0 0 yt0 0 onde a é um número real arbitrário 27 Combinando os resultados dos problemas de 24 a 26 mostre que a solução do problema de valor inicial Ly aD2 bD cy gt yt0 0 yt0 0 onde a b e c são constantes tem a forma y ϕt Kt sgs ds i A função K depende apenas das soluções y1 e y2 da equação homogênea associada e é independente do termo nãohomogêneo Uma vez determinado K todos os problemas nãohomogêneos envolvendo o mesmo operador diferencial L ficam reduzidos ao cálculo de uma integral Note também que embora K dependa de t e s aparece apenas a combinação t s de modo que K é de fato uma função de uma única variável Quando pensamos em gt como sendo os dados de entrada input do problema e em ϕt como os dados de saída output segue da Eq i que os dados de saída dependem dos dados de entrada em todo o intervalo do ponto inicial t0 ao ponto atual t A integral na Eq i é a convolução de K e g e K é o núcleo O método de redução de ordem Seção 35 também pode ser usado para a equação nãohomogênea y pty qty gt i desde que se conheça uma solução y1 da equação homogênea associada Seja y vty1t e mostre que y satisfaz a Eq i se v for solução de y1tv 2y1t pty1tv gt ii A Eq ii é uma equação linear de primeira ordem em v Resolvendo essa equação integrando o resultado e depois multiplicando por y1t obtemos a solução geral da Eq i Nos problemas de 29 a 32 use o método esquematizado no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada 29 t2 y 2ty 2y 4t2 t 0 y1t t 30 t2 y 7ty 5y t t 0 y1t t1 31 ty 1ty y t2 e2t t 0 y1t 1 t veja o Problema 15 32 1ty ty y 2t12 et 0 t 1 y1t et veja o Problema 16 40 y c1 et c2 tet 41 c1 y c1 t ln 1 c1 t c2 se c1 0 y 12 t2 c2 se c1 0 também y c 42 y2 c1 t c2 43 y c1 sen t c2 k1 sen t k2 cos t 44 12 y 2c1 t c2 2t também y c 45 t c2 32 y 2c1y c112 46 y ln y y c1 y t c2 também y c 47 ex t c22 c1 48 y 14 t 12 14 49 y 21 t2 50 y 3 ln t 32 ln t2 1 5 arctg t 2 32 ln 2 14 π 51 y 12 t4 32 TULO 3 Seção 31 1 y c1 et c2 e3t 3 y c1 et2 c2 e13 5 y c1 c2 e5t 6 y c1 et2 c2 et 7 y c1 exp9 35t2 c2 exp9 35t2 8 y c1 exp1 3t c2 exp1 3t 9 y et y quando t 10 y 52 e1 52 e3t y 0 quando t 11 y 12 et3 8 et2 y quando t 12 y 1 e3t y 1 quando t 13 y 126 13 513 exp5 13t2 126 13 513 exp5 13t2 y 0 quando t 14 y 233 exp1 33t4 233 exp1 33t4 y quando t 15 y 110 e9t1 910 e1 y quando t 16 y 12 e1t2 32 e1t2 y quando t 17 y y 6y 0 18 2y 5y 2y 0 19 y 14 et e1 mínimo é y 1 em t ln 2 20 y et 3 et2 máximo é y 94 em t ln 94 y 0 em t ln 9 21 α 2 22 β 1 23 y 0 para α 0 y tornase ilimitado para α 1 24 y 0 para α 1 não existe α tal que todas as soluções nãonulas se tornam ilimitadas 25 a y 15 1 2βe2t 15 4 2β et2 b y 071548 quando t 25 ln 6 071670 c β 2 26 a y 6 β e2t 4 β e3t b tm ln12 3β12 2β ym 427 6 β34 β2 c β 61 3 163923 d tm ln32 ym 27 a y dc b a y b y c y 0 28 a b 0 e 0 c b24a b c 0 c b 0 e 0 c b24a Seção 32 1 12 et2 3 e4t 5 e2t 7 0 t 9 0 t 4 11 0 x 3 14 A equação é nãolinear 16 Não 18 te ct 2 1 4 x2 et 6 0 8 t 1 10 0 t 12 2 x 3π2 15 A equação é nãohomogênea 17 3t e2t cet 19 5W f g Seção 38 1 u 5cos2t δ δ arctg43 09273 2 u 2cost 2π3 3 u 25 cos3t δ δ arctg12 04636 4 u 13 cosπt δ δ π arctg32 41244 5 u ¼ cos 8t ft r em s ω 8 rads T π4 s R 14 ft 6 u ⅝ sen 14t cm r em s t π14 s 7 u 142 sen82t ½ cos82t ft r em s ω 82 rads T π42 s R 177288 01954 ft δ π arctg32 20113 8 Q 10⁶ cos 2000t coulombs r em s 9 u e⁰⁰⁰¹ 2cos46t 56 sen46t cm r em s μ 46 rads T π26 s TdT 726 14289 τ 04045 s 10 u 1831e²¹ sen231 ft r em s t π231 s τ 15927 s 11 u 0057198e⁰¹⁵ᶦ cos387008 t 050709 m t em s μ 387008 rads μω₀ 38700815 099925 12 Q 10⁶2e⁵⁰⁰t e¹⁰⁰⁰t coulombs t cm s 13 γ 2079 14907 16 r A² B² r cos θ B r sen θ A R r δ 0 4n 1π2 n 0 1 2 17 γ 8 lbsft 18 R 10³ ohms 20 v₀ γu₀2m 22 2π31 23 γ 5 lbsft 24 k 6 v 25 25 a t 41715 d γ₀ 173 min τ 487 e τ 2γ ln4004 γ² 26 a ut eγt2m u₀4km γ² cos μt 2mv₀ γu₀ sen μt 4km γ² b R² 4mku₀² γu₀v₀ mv₀² 4km γ² 27 ρu ρ₀gu 0 T 2π ρlρ₀g 28 a u 2 sen 2 t c sentido horário 29 a u 16127eγt8 sen127 t8 c sentido horário 30 b u a coskm t b mk senkm t 32 b u sen t A 1 T 2π c A 098 T 607 d ε 02 A 096 T 590 ε 03 A 094 T 574 f ε 01 A 103 T 655 ε 02 A 106 T 690 ε 03 A 111 T 741 Seção 39 1 2 sen 8t sen t 2 2 sent2 cos13t2 3 2 cos3π t2 cosπ t2 4 2 sen7t2 cost2 5 u 256u 16 cos 3t u0 ⅙ u0 0 u em pés t em s 6 u 10u 98u 2 sent2 u0 0 u0 003 u em m t em s 7 a u 151482 cos 16t 16247 cos 3t c ω 16 rads 8 a u 153281 160e⁵t cos73 t 3834437300 e⁵t sen73 t 160 cost2 3128 sent2 b Os dois primeiros termos são transientes d ω 43 rads 9 u 6445 cos 7t cos 8t 12845 sent2 sen15t2 ft em s 10 u cos 8t sen 8t 8t cos 8t4 ft t em s 18 π8 π4 3π8 s 11 a 8901 30 cos 2t sen 2t ft t em s b m 4 slugs 5836 kg 12 u 26 cos3t 3π4 m r em s 15 u F₀t sen t 0 t π F₀2π t 3 sen t π t 2π 4 F₀ sen t 2π t 16 Qt 10⁶ e⁴⁰⁰⁰t 4e¹⁰⁰⁰t 3 coulombs t em s Q0001 15468 10⁶ Q001 29998 10⁶ Qt 3 10⁶ quando t 17 a u 322 ω² cos ωt 8ω sen ωt64 63ω² 16ω⁴ b A 864 63ω² 16ω⁴ d ω 3148 14031 A 64127 56791 3 y c₁ eˣ c₂ cos t c₃ sen t ½ teˣ 4t 1 4 y c₁ c₂ eˣ c₃ eˣ cos t 5 y c₁ c₂ t c₃ e²ᵗ c₃ e²ᵗ ¹₃ eˣ ¹₄ t⁴ ¹₆ t² 6 y c₁ cos t c₂ sen t c₃ t cos t c₄ t sen t 3 ⅓ ⅕ cos 2t 7 y c₁ c₂ t c₃ t² c₄ et et¹² c₅ cos3 t2 c₆ sen3 t2 ¼ t⁴ 8 y c₁ c₂ t c₃ t² c₄ et 120 sen 2t 140 cos 2t 9 y ¹₆ 1 cos 2t ¹₈ t² 10 y t 4 cos t 32 4 sen t 3t 4 11 y 1 ¼ t² 3t teˣ 12 y ⅖ cos t ⁴₅ sen t ¹₂₀ eˣ ⁸¹₄₀ eˣ ⁷³₅₂₀ e³ᵗ ⁷⁷₆₅ cos 2t ⁴⁹₁₃₀ sen 2t 13 Yt tA₀ t³ A₁ t² A₂ t A₃ B t² eˣ 14 Yt tA₀ t A₁ eˣ B cos t C sen t 15 Yt At² eˣ B cos t C sen t 16 Yt At² B₀ t B₁ eˣ iC cos 2t D sen 2t 17 Yt tA₀ t² A₁ t A₂ B₀ t B₁ cos t C₀ t C₁ sen t 18 Yt Aeˣ B₀ t B₁ eˣ teˣ C cos t D sen t 19 k₀ a₀ kn a₀ αⁿ a₁ αⁿ¹ an1 α an Seção 44 1 y c₁ c₂ cos t c₃ sen t ln cos t sen t lns t tg t 2 y c₁ c₂ eˣ c₃ eˣ ½ t² 3 y c₁ eˣ c₂ eˣ c₃ e²ˣ 130 e⁴ˣ 4 y c₁ c₂ cos t c₃ sen t lns t tg t t cos t sen t ln cos t 5 y c₁ eˣ c₂ cos t c₃ sen t ¹₅ eˣ cos t 6 y c₁ cos t c₂ sen t c₃ t cos t c₄ t sen t ¹₈ t² sen t 7 y c₁ eˣ c₂ cos t c₃ sen t ½ cos t ln cos t ½ sen t ln cos t ½ t cos t ½ t sen t ½ eˣ ₀ᵗ eˣ cos s ds 8 y c₁ c₂ eˣ c₃ eˣ ln sen t lncos t 1 ½ eˣ ₀ᵗ eˣsen s ds ½ eˣ ₀ᵗ eˣsen s ds 9 c₁ 0 c₂ 2 c₃ 1 na resposta do Problema 4 10 c₁ 2 c₂ 78 c₃ 78 c₄ ½ na resposta do Problema 6 11 c₁ 32 c₂ 12 c₃ 52 t₀ 0 na resposta do Problema 7 12 c₁ 3 c₂ 0 c₃ eπ2 t₀ π2 na resposta do Problema 8 13 Yx x⁴15 14 Yt ½ ₀ᵗ e ts sent s cost sgs ds 15 Yt ½ ₀ᵗ senht s sent sgs ds 16 Yt ½ ₀ᵗ et st s² gs ds Yt teˣ ln t 17 Yx ½ ₓ₀ xτ² 2x²τ³ x³τ⁴gt dt 5 Seção 51 1 ρ 1 2 ρ 2 3 ρ 4 ρ ½ 5 ρ ½ 6 ρ 1 7 ρ 3 8 ρ e ₙ₀ 1ⁿ x²ⁿ¹2n 1 ρ 10 ₙ₀ xⁿn ρ 11 1 x 1 ρ 12 1 2x 1 x 1² ρ