Lista de Exercicios Resolucao de Equacoes Diferenciais Ordinarias-Series de Potencias

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 125 Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias Profª Fabiana Lopes Fernandes 6ª Lista de Exercícios Soluções em Séries de Potências Instruções A resolução de um exercício deve estar na forma de um texto organizado claro e objetivo os conceitos utilizados devem estar explicitados passo a passo Utilize preferencialmente os conceitos e fórmulas vistos em classe Bom estudo 1 Mostre que a solução em série de potências de x em torno da origem da equação diferencial y xy y 0 é dada por yx a0 n0 x2n2n a1 n0 x2n12n1 onde 2n 2462n e 2n1 3572n1 definimos 0 1 2 Em cada item obtenha a solução da equação diferencial ou do PVI em série de potências de x em torno de x0 0 seguindo o roteiro abaixo i obtenha a relação de recorrência entre os coeficientes ii escreva os quatro primeiros termos nãonulos de cada série que compõe a solução iii determine se possível o termo geral de cada série que compõe a solução geral iv escreva a solução geral da EDO na forma yx a0y1x a1y2x onde y1x e y2x são soluções fundamentais da EDO escritas em séries de potências de x v Se forem dadas condições iniciais utilizeas para determinar os valores das constantes a0 e a1 a y y 0 b y k²x²y 0 k constante c y xy 2y 0 y0 4 y0 1 d 1 x²y 4xy 6y 0 e 4 x²y 2y 0 f 3 x²y 3xy y 0 g 1 xy xy y 0 y0 3 y0 2 h 2y xy 3y 0 i 1 x²y 2xy 2y 0 Bom estudo RESPOSTAS 1 an2 an n2 n 0 2 a an2 an n2n1 n 0 y1x n0 x2n2n cosh x y2x n0 x2n12n1 sinh x b a2 a3 0 an4 k² an n4n3 n 2 y1x 1 n1 1n k2n x4n 34784n14n y2x x 1 n1 1n k2n x4n1 45894n4n1 c an2 an n1 n 0 yx 4 1 n1 1n x2n 2n1 n0 1n x2n1 2n d a2 3a0 a3 a13 an2 n2n3an n2n1 n 2 y1x 1 3x² y2x x x³3 e an2 n2 an 4n2 n 2 y1x 1 x²4 y2x x n1 x2n1 4n 2n12n1 f an2 n1 an 3n2 n 0 y1x 1 n1 2n1 x2n 3n 2n y2x n0 2n x2n1 3n 2n1 g an2 n1 n an1 n1 an n2n1 n 0 yx 3 1 n2 xn n 2x h an2 n3 an 2n1n2 n 0 y1x n0 1n 2n1 2n 2n x2n y2x n0 1n 2n2 2n1 2n1 x2n1 i an2 n1 an n1 n 0 yx a0 n0 x2n 2n1 a1 x