Lista de Exercícios - Transformada de Laplace - Equações Diferenciais Ordinárias

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 125 Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias Profª Fabiana Lopes Fernandes 7ª Lista de Exercícios Transformada de Laplace Instruções A resolução de um exercício deve estar na forma de um texto organizado claro e objetivo os conceitos utilizados devem estar explicitados passo a passo Utilize preferencialmente os conceitos e fórmulas vistos em classe Bom estudo 1 Dilatação Sejam c uma constante positiva e Fs Lfts s a 0 Mostre que para s ac Lfcts 1c Fsc Dica faça a mudança de variáveis u ct 2 Calcule a transformada de Laplace das funções a seguir a 6e³ᵗ t² 2t 8 b 5 e²ᵗ 6t² c t³ t eᵗ e⁴ᵗ cos t d t² 3t 2 eᵗ sen 3t e e³ᵗ sen 6t t³ eᵗ f t⁴ t² t sen 2t g t⁴ e⁵ᵗ eᵗ cos7t h e²ᵗ cos3t t² e²ᵗ i t² eᵗ sen 2t j 3t² e²ᵗ k eᵗ cos 3t e⁶ᵗ 1 l 3t⁴ 2t² 1 m 2t² eᵗ t cos 4t n e²ᵗ sen 2t e³ᵗ t² o t 1⁴ p 1 eᵗ² q sen 3t cos 3t r sen 2t s e⁷ᵗ sen 2t 3 Calcule a transformada inversa de Laplace das funções abaixo a 3 s² 4 b 4 s 1³ c 2 s² 3s 4 d 3s s² s 6 e 2s 2 s² 2s 5 f 2s 3 s² 4 g 2s 1 s² 2s 2 h 8s² 4s 12 ss² 4 i 1 2s s² 4s 5 j 2s 3 s² 2s 10 4 Utilize a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo a yʺ yʹ 6y 0 y0 1 yʹ0 1 b yʺ 3yʹ 2y 0 y0 1 yʹ0 0 1 c yʺ 2yʹ 2y 0 y0 0 yʹ0 1 d yʺ 4yʹ 4y 0 y0 1 yʹ0 1 e yʺ 2yʹ 4y 0 y0 2 yʹ0 0 f yʺ 2yʹ 5y 0 y0 2 yʹ0 1 g y⁴ 4y 6yʹʹ 4yʹ y 0 yʹ0 0 yʺʺ0 yʹ0 1 y0 h y⁴ y 0 y0 1 yʺʺ0 yʹ0 0 y0 i y⁴ 4y 0 y0 1 yʹ0 0 y0 0 yʺʺ0 2 j yʺ ω²y cos 2t y0 1 yʹ0 0 k yʺ 2yʹ 2y cos t y0 1 yʹ0 0 l yʺ 2yʹ 2y eᵗ y0 0 yʹ0 1 m yʺ 2yʹ y 4 eᵗ y0 2 yʹ0 1 n y yʺ yʹ y 0 y0 1 yʹ0 yʺ0 3 o y 4y yʹ 6y 12 y0 1 yʹ0 4 yʺ0 2 p y 3y 3yʹ y 0 y0 4 yʹ0 4 yʺ0 2 5 Em cada item esboce o gráfico da função dada no intervalo 0 e calcule sua transformada de Laplace a u₁t 2u₃t 6u₄t b u₂tt 3 u₃tt 2 c u₃tft 3 ft sen t d ft 0 t 2 t 2² t 2 e uπ ft π ft t² f ft 0 t 1 t² 2t 2 t 1 g ft 0 t π t π π t 2π 0 t 2π h u₂t ft 1 ft 2t i u₁tt 1 2u₂tt 2 u₃tt 3 6 Resolva os problemas de valor inicial a yʺ y ft y0 0 yʹ0 1 sendo ft 1 0 t π2 0 t π2 b yʺ 2 yʹ 2 y ht y0 0 yʹ0 1 sendo ht 1 π t 2π 0 0 t π e t 2π c yʺ 4 y sen t u2πt sen t 2π y0 0 yʹ0 0 d yʺ 4 y sen t uπt sen t π y0 0 yʹ0 0 e yʺ 3 yʹ 2 y ft y0 0 yʹ0 0 sendo ft 1 0 t 10 0 t 10 f yʹ 3 yʹ 2 y u₂t y0 0 yʹ0 1 g yʺ y u₃πt y0 1 yʹ0 0 2 h yʺ yʹ 54 y t uπ2t t π2 y0 0 yʹ0 0 i yʺ y gt y0 0 yʹ0 1 sendo gt t2 0 t 6 3 t 6 j yʺ yʹ 54 y gt y0 0 yʹ0 0 sendo gt sen t 0 t π 0 t π k yʺ 4 y uπt u3πt y0 0 yʹ0 0 l y⁴ y u₁t u₂t y0 yʹ0 yʺ0 y0 0 m y⁴ 5 yʺ 4 y 1 uπt y0 yʹ0 yʺ0 y0 0 7 Determine a transformada de Laplace das funções dadas a δt 1 δt 3 b 3δt 1 c t δt 1 d t³ δt 3 e δt π sen t f eᵗ δt 3 8 Avalie as integrais a seguir a t² 1δt dt b δt e³ᵗ dt c δt π2 sen 3t dt d δt 1 e²ᵗ dt e ₀ δt 1 e²ᵗ dt f ¹₁ δt cos 2t dt 9 Resolva os PVIs a seguir a yʺ 2 yʹ 2 y δt π y0 1 yʹ0 0 b yʺ 4 y δt π δt 2π y0 0 yʹ0 0 c yʺ 3 yʹ 2 y δt 5 u₁₀t y0 0 yʹ0 12 d yʺ 2 yʹ 3 y sen t δt 3π y0 0 yʹ0 0 e yʺ 4 y δt 4π y0 12 yʹ0 0 f yʺ y δt 2π cos t y0 0 yʹ0 1 g yʺ 4 y 2 δt π4 y0 0 yʹ0 0 h yʺ y uπ2t 3δt 3π2 u2πt y0 0 yʹ0 0 i 2 yʺ yʹ 4 y δt π6 sen t y0 0 yʹ0 0 j yʺ 2 yʹ 2 y cos t δt π2 y0 0 yʹ0 0 k y⁴ y δt 1 y0 0 yʹ0 0 10 Considere o problema de valor inicial yʺ γ yʹ y δt 1 y0 0 yʹ0 0 em que γ é o coeficiente de amortecimento ou resistência h yʺ yʹ 54 y t uπ2tt π2 y0 0 yʹ0 0 i yʺ y gt y0 0 yʹ0 1 sendo gt t2 0 t 6 3 t 6 j yʺ yʹ 54 y gt y0 0 yʹ0 0 sendo gt sen t 0 t π 0 t π k yʺ 4 y uπt u3πt y0 0 yʹ0 0 l y⁴ y u₁t u₂t y0 yʹ0 yʺ0 y0 0 m y⁴ 5 yʺ 4 y 1 uπt y0 yʹ0 yʺ0 y0 0 7 Determine a transformada de Laplace das funções dadas a δt 1 δt 3 b 3δt 1 c t δt 1 d t³ δt 3 e δt π sen t f eᵗ δt 3 8 Avalie as integrais a seguir a t² 1δt dt b δt e³ᵗ dt c δt π2 sen 3t dt d δt 1 e²ᵗ dt e ₀ δt 1 e²ᵗ dt f ¹₁ δt cos 2t dt 9 Resolva os PVIs a seguir a yʺ 2 yʹ 2 y δt π y0 1 yʹ0 0 b yʺ 4 y δt π δt 2π y0 0 yʹ0 0 c yʺ 3 yʹ 2 y δt 5 u₁₀t y0 0 yʹ0 12 d yʺ 2 yʹ 3 y sen t δt 3π y0 0 yʹ0 0 e yʺ 4 y δt 4π y0 12 yʹ0 0 f yʺ y δt 2π cos t y0 0 yʹ0 1 g yʺ 4 y 2 δt π4 y0 0 yʹ0 0 h yʺ y uπ2t 3δt 3π2 u2πt y0 0 yʹ0 0 i 2 yʺ yʹ 4 y δt π6 sen t y0 0 yʹ0 0 j yʺ 2 yʹ 2 y cos t δt π2 y0 0 yʹ0 0 k y⁴ y δt 1 y0 0 yʹ0 0 10 Considere o problema de valor inicial yʺ γ yʹ y δt 1 y0 0 yʹ0 0 em que γ é o coeficiente de amortecimento ou resistência a Faça γ 12 determine a solução do PVI o instante t1 no qual a solução atinge seu máximo e o valor máximo y1 da solução b Repita o item a para γ 14 c Determine como t1 e y1 variam quando γ diminui Quais são os valores de t1 e y1 quando γ 0 11 Considere o problema de valor inicial y γy y kδt 1 y0 0 y0 0 em que k é a magnitude de um impulso em t 1 e γ é o coeficiente de amortecimento ou resistência a Seja γ 12 Determine o valor de k para o qual a resposta tenha um valor máximo de 2 e chame esse valor de k1 b Repita o item a para γ 14 c Determine como k1 varia quando γ diminui Qual o valor de k1 quando γ 0 12 Determine as transformadas de Laplace das funções abaixo a ft ₀ᵗ t τ² cos 2τ dτ c ft ₀ᵗ t τ eτ dτ b ft ₀ᵗ etτ sen τ dτ d ft ₀ᵗ sen t τ cos τ dτ 13 Em cada item obtenha a transformada inversa de Laplace da função dada utilizando o Teorema da Convolução a Hs 1s⁴s² 1 c Hs 1s 1²s² 4 b Hs ss 1s² 4 d Hs Gss² 1 Gs Lgt 14 Seja gt uma função qualquer que tem transformada de Laplace e α uma constante Em cada item expresse a solução do problema valor inicial dado em função de uma integral de convolução a y ω²y gt y0 0 y0 1 e y 4y 4y gt y0 2 y0 3 b y 2y 2y sen αt y0 0 y0 0 f y 3y 2y cos αt y0 1 y0 0 c 4y 4y 17y gt y0 0 y0 0 g y⁴ y gt y0 y0 y0 y0 0 d y y 54y 1 uπt y0 1 y0 1 h y⁴ 5y 4y gt y0 1 y0 y0 y0 0 Bom estudo RESPOSTAS 2 a 6s³3 2s³ 2s² 8s s 0 b 5s7 1s2 12s³ s 2 c 6s1² s4s4²1 s 4 d 23 3s² 6s1²9 s 0 e 6s3²36 6s⁴ 1s1 s 3 f s2s2²3 2s2³ s 2 g 24s5² s1s1²7 s 5 h 6s³ 1s2 s 2 i 23 2s1²4 s 1 j 6s³ 1s2 s 2 k s1s1²9 1s6 1s s 6 l 96s⁵ 4s³ 1s s 0 m 4s1³ 1s² ss²16 s 0 n 2s2²4 2s3³ s 3 o 24s⁵ 24s⁴ 12s³ 4s² 1s s 0 p 1s 2s1 1s2 s 0 q 3s²36 s 0 r 12s s2s²4 s 0 s 12s7 s72s7²8 s 7 f e2t4 74 e2t g 2 et cos t 3 et sen t h 3 2 sen 2t 5 cos 2t i 2 e2t cos t 5 e2t sen t j 2 et cos 3t 53 et sen 3t 4 a y 15 e3t 4 e2t b y 2 et e2t c y et sen t d y e2t t e2t e y 1 33 e1 3t 1 33 e1 3t f y 2 et cos 2t 12 et sen 2t g y t et t² et 23 t³ et h y et et2 5 a e4s 2 es e3s 6s² b e3ss1 es s 1s² c e3ss² 1 d 2 e2ss³ e f ess² 2s³ g e2πsπs eπs 1s² h 2 e2ss 1s² i e3ses 1²s² 6 a y 1 cos t sen t uπ2 1 sen t b y et sen t 12 uπt 1 etπ cos t etπ sen t 12 u2πt 1 et2π cos t et2π sen t c y 16 1 u2πt2 sen t sen 2t d y 16 2 sen t sen 2t 16 uπt2 sen t sen 2t e y 12 12 e2t et u10t 12 12 e2t10 et10 f y et e2t u2t 12 et2 12 e2t2 g y cos t u3πt 1 cost 3π h y ht uπt h t π ht 425 4 5t 4 et2 cos t 3 et2 sen t i 12 sen t 12 t 12 u6t t 6 sen t 6 j y ht uπt ht π ht 417 4 cos t sen t 4 et2 cos t et2 sen t k y uπt 14 14 cos 2t 2π u3πt 14 14 cos 2t 6π l y u1t ht 1 u2t ht 2 ht 1 12 cos t et et m y ht uπt ht π ht 112 3 4 cos t cos 2t 7 a es e3s c es e 0 b d 8 a 1 c 1 e e2 b d 9 a y et cos t et sen t uπt etπ sen t π b y 12 uπt sen 2t π 12 u2πt sen 2t 2π c y 12 e2t 12 et u5t e2t5 et5 12 u10t 1 e2t10 et10 d y 14 sen t cos t et cos 2 t 12 u3πt et3π sen 2 t 3π e y 12 cos 2t u4πt sen 2t 4π f y sen t u2πt sen t 2π g y uπ4t sen 2t π4 h y uπ2t 1 cost π2 3 u3π2t sen t 3π2 u2πt 1 cost 2π i y 131 uπ6t e14 tπ6 sen 314 t π6 j y 15 cos t 2 sen t et cos t 3 et sen t uπ2t etπ2 sen t π2 k y 14 u1t et1 et1 2 sen t 1 10 a y 415 u1t et14 sen 154 t 1 b t1 23613 y1 071153 c y 8721 u1t et18 sen 378 t 1 t1 24569 y 083351 d t1 1 π2 y1 1 11 a k1 28108 b k1 23995 c k1 2 12 a Fs 2s² s² 4 c Fs 1s² s 1 b Fs 1s 1s² 1 d Fs ss² 1² 13 a ht 16 ₀ᵗ t τ³ sen τ dτ c ht 12 ₀ᵗ t τ etτ sen 2τ dτ b ht ₀ᵗ eτt cos 2τ dτ d ht ₀ᵗ sen t τ gτ dτ 14 a y 1ω sen ωt 1ω ₀ᵗ sen ωt τgτ dτ b y ₀ᵗ etτ sen t τ sen ατ dτ c y 18 ₀ᵗ etτ2 sen 2t τ gτ dτ d y et2 cos t 12 et2 sen t ₀ᵗ etτ2 sen t τ 1 uπτ dτ e yt 2 9t e2t ₀ᵗ t τ e2tτ gτ dτ f y 2 et e2t ₀ᵗ etτ e2tτ cos ατ dτ g y 14 ₀ᵗ etτ eτt 2 sen t τ gτ dτ h y 43 cos t 13 cos 2t 16 ₀ᵗ 2 sen t τ sen 2t τ gτ dτ