Dinâmica Mecânica para Engenharia - 10ª Edição de R.C. Hibbeler

DINÂMICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA 10ª edição R C Hibbeler PEARSON Prentice Hall SITE com material de apoio para professores e alunos DINÂMICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA 10ª edição DINÂMICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA 10ª edição R C Hibbeler Tradução Técnica Mário Alberto Tenan Doutor em ciências pelo Instituto de Física Gleb Wataghin da Universidade Estadual de Campinas Unicamp Professor adjunto da Universidade de Mogi das Cruzes UMC PEARSON Prentice Hall São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela 2005 by Pearson Education do Brasil Titulo original Engineering Mechanics Dynamics tenth edition 2004 by R C Hibbeler Pearson Education Inc sob o selo Prentice Hall Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Ao Estudante Com a esperança de que este trabalho estimule o interesse em mecânica para engenharia e sirva de guia para o entendimento deste assunto SUMÁRIO Dinâmica de um Ponto Material Impulso e Quantidade de Movimento 173 Cinemática do Movimento Plano de um Corpo Rígido 243 Prefácio O objetivo principal deste livro é fornecer ao estudante uma apresentação clara e completa da teoria de mecânica e aplicações à engenharia Para atingir esse objetivo o autor não tem trabalhado isoladamente em grande parte esta obra ao longo de suas 10 edições tem sido moldada pelos comentários e sugestões de centenas de professores que a revisaram bem como por muitos dos alunos do autor Desenvolvimento Alternativo Com o devido cuidado do professor é possível cobrir os capítulos 12 a 19 na seguinte ordem sem perda de continuidade capítulos 12 a 16 cinemática capítulos 13 e 17 equações de movimento 14 e 18 trabalho e energia e 15 e 19 impulso e quantidade de movimentomomento angular Características Especiais Organização e Abordagem O conteúdo de cada capítulo está organizado em seções bem definidas que contêm uma explicação de tópicos específicos exemplos problemas resolvidos e um conjunto de problemas propostos Os tópicos em cada seção estão colocados em subgrupos definidos por títulos em negrito O propósito dessa disposição é apresentar um método estruturado para a introdução de cada novo definição ou novo conceito tornando o livro adequado para futuras referências e recapitulações Conteúdo dos Capítulos Cada capítulo iniciase com uma ilustração demonstrando a ampla aplicabilidade do material nele contido Uma lista do conteúdo do capítulo é fornecida para dar uma visão geral do material a ser abordado Diagramas de Corpo Livre O primeiro passo na resolução da maioria dos problemas de mecânica exige a construção de um diagrama Com isso o aluno cria o hábito de organizar os dados necessários enquanto se centra nos aspectos físicos do problema e na sua geometria Se esse passo for dado corretamente a aplicação das equações relevantes se tornará bastante sistemática pois os dados podem ser tomados diretamente do diagrama construído Esse passo é particularmente importante quando se resolvem problemas de equilíbrio e por essa razão enfatizase fortemente ao longo do livro a construção de diagramas de corpo livre Em particular foram preparados esses especiais e exemplos para mostrar como se traçam diagramas de corpo livre e para se desenvolver essa prática foram incluídos em muitas seções problemas propostos Procedimento para Análise Encontrado no fim de muitos capítulos este recurso singular fornece ao estudante um método lógico e ordenado para a aplicação da teoria Seguese este método para resolver os problemas propostos com exemplos de modo que sua aplicação numérica seja esclarecida Entretanto devese entender que uma vez que tenham aprendido os princípios relevantes e tenha obtido a confiança suficiente o estudante pode então desenvolver seus próprios procedimentos para resolver os problemas Fotografias Utilizamse muitas fotos ao longo de todo o livro para explicar como os princípios de mecânica se aplicam a situações reais Em muitas seções usaramse fotografias para mostrar como os engenheiros devem propor inicialmente um modelo idealizado para a análise e passar então à construção de um diagrama de corpo livre para aplicar a teoria a esse modelo Pontos Importantes Este recurso fornece um resumo dos conceitos mais importantes apresentados na seção enfatizando os pontos mais significativos que devem ser entendidos ao se aplicar a teoria à solução de problemas Entendimento Conceitual Pelo uso de fotos distribuídas ao longo do livro aplicase a teoria de maneira simplificada para ilustrar algumas de suas características conceituais mais importantes e introduzir gradativamente o significado físico de muitos dos termos usados nas equações Essas aplicações simplificadas aumentam o interesse no assunto e ajudam o estudante a entender os exemplos e solucionar os problemas Exemplos Todos os problemas propostos como exemplos são apresentados de maneira concisa e num estilo de fácil compreensão Problemas Propostos Problemas de Análise Geral e Projetos A maioria dos problemas neste livro retrata situações realistas na prática de engenharia e alguns deles provêm das reais utilizados na indústria Esperase que esses problemas proporcionem ao estudante uma experiência direta com a aplicação da mecânica quanto fornece um meio de desenvolver a habilidade em reduzir qualquer problema nessa área a um modelo ou representação simbólica ao qual os princípios da mecânica possam ser aplicados Prefácio desenvolveu a habilidade em reduzir qualquer problema nessa área a um modelo ou representação simbólica ao qual os princípios da mecânica possam ser aplicados Procurouse manter um bom equilíbrio entre o uso de unidades do SI e do FPS Além disso tentouse apresentar os problemas em todos os conjuntos em ordem crescente de dificuldade Os problemas de revisão no fim de cada capítulo são apresentados aleatoriamente As respostas de três em cada quatro problemas propostos são dadas no final do livro Para alertar o leitor da falta de resposta utilizouse um asterisco antes do número do problema Problemas Computacionais Foram incluídos alguns problemas que podem ser resolvidos usandose procedimentos numéricos executáveis tanto em microcomputador quanto numa calculadora programável No Apêndice B estão apresentadas técnicas numéricas adequadas e respectivos programas de computador A intenção é ampliar a aptidão do estudante para usar outras formas de análise matemática sem sacrificar o tempo necessário ao entendimento da aplicação dos princípios de mecânica Problemas desse tipo que podem ou devem ser resolvidos por meio de procedimento numérico são identificados por um quadrado antes de seu número Projetos No fim de alguns capítulos foram incluídos estudos projetos Considerase que esse tipo de tarefa seja proposto somente após o estudante ter adquirido o conhecimento básico do assunto Esses projetos são dedicados à solução de problemas por meio da especificação da geometria de uma estrutura ou objeto mecânico necessário para uma tarefa específica Exigese uma análise cinemática e dinâmica e em muitos casos os resultados podem abranger questões de segurança e custos Revisão dos Capítulos Novas seções de revisão resumem frequentemente em listas os pontos importantes em cada capítulo Apêndices Os apêndices são uma fonte de fórmulas matemáticas e de análise numérica necessárias à solução dos problemas Material de Apoio No site do livro wwwprenhallcomhibbelerbr estão disponíveis recursos adicionais para professores e estudantes como as figuras do livro em PowerPoint exercícios adicionais em inglês e o Manual de Soluções também em inglês Agradecimentos O autor empenhouse em escrever este livro para atender o estudante e o professor Através dos anos muitas pessoas contribuíram para seu desenvolvimento e serei sempre grato pelas suas valiosas sugestões e comentários Particularmente desejo agradecer as seguintes pessoas pelos comentários que fizeram sobre este livro Paul Heyliger Colorado State University Kenneth Sawyers Lehigh University John Oyler University of Pittsburgh Glenn Beltz University of California Santa Barbara Johannes Gessler Colorado State University Wilfred Nixon Universidade de Iowa Jonathan Russell US Coast Guard Academy Robert Hinks Arizona State University Devo um agradecimento especial aos professores Will Liddell Jr e Henry Kuhlman por sua ajuda específica Devo também apresentar um agradecimento especial a Scott Hendricks da VPI e Karim Nohra da University of South California que diligentemente verificaram todo o texto e os problemas Gostaria de agradecer a revisão feita por minha esposa Conny Cornelie durante o tempo em que preparei o manuscrito para publicação Finalmente muitos agradecimentos são estendidos a todos os meus alunos e aos professores que espontaneamente gastaram seu tempo para me enviar sugestões e comentários Como uma lista com todos os nomes seria muito extensa espero que aqueles que me ajudaram dessa maneira aceitem meu reconhecimento anônimo Apreciaria muitíssimo receber a qualquer momento seus comentários sugestões ou problemas a respeito desta edição Russel Charles Hibbeler hibbelerbellsouthnet OBJETIVOS DO CAPÍTULO Introduzir os conceitos de posição deslocamento velocidade e aceleração Estudar o movimento de um ponto material ao longo de uma reta e representar graficamente esse movimento Investigar o movimento de um ponto material ao longo de uma trajetória curva usando diferentes sistemas de coordenadas Apresentar uma análise do movimento interdependente de dois pontos materiais Examinar os princípios do movimento relativo de dois pontos materiais usando eixos em translação Há muitos problemas em engenharia que exigem a aplicação dos princípios da dinâmica Normalmente o projeto estrutural de um veículo como um automóvel ou um avião exige que se leve em conta o movimento a que ele seja submetido Isso também se aplica a muitos dispositivos mecânicos como motores bombas ferramentas móveis manipuladores industriais e maquinaria Além disso previsões de movimento de satélites artificiais projetos e espaçonaves baseiamse na teoria da dinâmica Com os avanços tecnológicos tornase necessário saber cada vez mais como aplicar os princípios da dinâmica Posisição A trajetória retilínea de um ponto material será definida usandose um único eixo coordenados Figura 121a Tomase na trajetória um ponto fixo O considerado a origem do vetor de posição r que especificará a localização do ponto material P em cada instante Observamos que r estará sempre disposto ao longo do eixo x assim sua direção nunca se modifica Apenas o seu módulo e sentido podem variar Nos trabalhos analíticos tornase conveniente portanto representar r por um escalar s que representa a coordenada de posição do ponto material Figura 121a O valor absoluto de s e r é a distância de P a O usualmente medida em metros m ou pés Por outro lado o sinal algébrico s positivo ou negativo indica por convenção a posição de P em relação à origem O positivo P está à direita de O e quando é negativo ele está à esquerda Com essa convenção o sinal de s também indica o sentido de r Ocasionalmente usaremos o termo velocidade média de percurso A velocidade média de percurso é uma quantidade escalar positiva definida como a distância total percorrida pelo ponto material s dividida pelo tempo decorrido Δt isto é Por exemplo na Figura 121d o ponto material percorre a distância sT num tempo Δt logo sua velocidade média de percurso é vsp med sTΔt mas sua velocidade média é vmed ΔsΔt 0 Aceleração Se a velocidade de um ponto material varia num dado intervalo de tempo Δt sua aceleração média durante esse intervalo de tempo é definida como amed ΔvΔt Aqui Δv representa a diferença de velocidade durante o intervalo de tempo Δt isto é Δv v v A aceleração instantânea é obtida tomandose intervalos de tempo Δt cada vez menores aos quais correspondem valores de Δv também cada vez menores de modo que a lim Δt0 ΔvΔt ou usando escalares a dvdt Ao substituirmos a Equação 121 na Equação 122 também podemos escrever a d²sdt² Cap 12 CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL 7 8 DINÂMICA Cap 12 CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL 9 A raiz positiva foi escolhida porque a partícula se desloca para baixo isto é no sentido s A trajetória é mostrada na Figura 126a Logo a distância percorrida em 35 s é A aceleração de um foguete em movimento ascendente é dada por a 6 002s ms² onde s é dado em metros 1232 Quando dois carros A e B que se movem no mesmo sentido estão emparelhados suas velocidades são vA e vB respectivamente Seja B em movimento com velocidade constante e A comece a desacelerar com a distância d entre os carros no instante em que A para Dado o Gráfico st Construir o Gráfico vt Se a posição de um ponto material pode ser determinada experimentalmente durante um intervalo de tempo t o gráfico st para o ponto pode ser construído Figura 127a Para determinarmos a velocidade do ponto como função do tempo isto é o gráfico vt devemos fazer uso de v dsdt pois essa equação relaciona s v e t O gráfico da Figura 129 mostra a posição de uma bicicleta que se desloca em um trecho retilíneo de uma estrada Construa os gráficos vt e at para 0 t 30 s Δv a dt variação na velocidade área sob o gráfico at 0 s 10 s a 10 10 0 dv 10 0 10 dr v 10t a v dvds aceleração velocidade vezes inclinação do gráfico vs a dvds 02s 10 dds02s 10 004s 2 1237 Um avião parte do repouso deslocase 5000 pés ao longo da pista e após uma aceleração uniforme decola com uma velocidade de 162 mih Ele sobe então em linha reta com aceleração constante de 3 péss² até alcançar uma velocidade constante de 220 mih Desenhe os gráficos st vt e at que descrevem o movimento 1239 Um trem de carga parte do repouso e trafega com aceleração constante de 05 péss² Após um tempo t ele mantém uma velocidade constante Quando t 160 s o trem já se deslocou 2000 pés Determine o tempo t e construa o gráfico vt para o movimento A figura mostra o gráfico vs para um avião em movimento retilíneo na pista de decolagem Determine a aceleração do avião para s 100 m e s 150 m Desenhe o gráfico as Partindo do repouso em s 0 uma lancha deslocase em linha reta com a aceleração mostrada no gráfico as Determine a velocidade da lancha para s 40 90 e 200 pés Um carro de prova parte do repouso e é submetido a uma aceleração constante ac 15 péss² para 0 t PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Sistema de Coordenadas Na solução de muitos problemas é conveniente expressar os vetores que descrevem o movimento em termos de seus componentes cartesianos x y z Quantidades Cinemáticas Uma vez que o movimento retilíneo ocorre ao longo de cada eixo coordenado o movimento de cada componente pode ser encontrado usandose v dsdt e a dvdt em casos em que o movimento não é expresso como função do tempo podese usar a equação da s v du Uma vez determinados os componentes x y z de v e a os módulos desses vetores podem ser calculados usandose o teorema de Pitágoras Equação C3 Suas direções e sentidos por sua vez são determinados pelos componentes dos respectivos vetores unitários equações C4 e C5 EXEMPLO 129 Para cada instante a posição horizontal do balão meteorológico mostrado na Figura1218 é definida por x 8t pés onde t é dado em segundos Se a equação da trajetória é y x²10 determine a a distância do balão à estação em A em t 2 s b o módulo a direção e o sentido da velocidade em t 2 s e c o módulo a direção e o sentido da aceleração em t 2 s PONTOS IMPORTANTES No movimento curvilíneo podem ocorrer alterações de módulo direção e sentido dos vetores de posição velocidade e aceleração O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória De um modo geral o vetor aceleração não é tangente à trajetória mas é sempre tangente ao hodógrafo Se coordenadas cartesianas são utilizadas para a descrição do movimento então os componentes dos vetores ao longo de cada eixo coordenado obviamente não variam em direção Somente o módulo e o sentido sinal algébrico poderão variar vx x ddt8t 8 péss vy y ddtx²10 2x10 216810 256 péss Quando t 2 s o módulo da velocidade é portanto v 8² 256² 268 péss A direção é tangente à trajetória Figura 1218b com θe tg¹vyvx tg¹2568 726 Resposta Aceleração Os componentes da aceleração são determinados pela aplicação das equações 1214 e da regra da cadeia observandose que x d²xdt² 0 Temos então ax x 0 ay y ddt2xx10 2xx10 2xx10 28²10 216010 128 péss² Logo a 0² 128² 128 péss² A direção e o sentido da aceleração são especificados pela Figura 1218c com θa tg¹1280 90 Resposta Observação Também é possível obter v e a expressandose y ft 8t²10 64t² para em seguida calcular derivadas temporais sucessivas r 0499i 00354j 0150k m 052i 02k m Resposta A distância da caixa à origem O é r 0499² 00354² 0522² 0522 m A direção e o sentido da caixa são obtidos dos componentes do vetor unitário v drdt ddt05 sen2ti 05 cos2tj 02k 1 cos2ti 1 sen2tj 02k ms Logo quando t 075 s o módulo da velocidade é v x² y² z² 1 cos15 rad² 1 sen15 rad² 02² 102 ms A velocidade é tangente à trajetória como indicado na Figura 1219 Seus ângulos relativos aos eixos coordenados podem ser determinados a partir de uυ vv Aceleração Como é mostrado na Figura 1219 a aceleração a da caixa não é tangente à trajetória Mostre que a dυdt 2 sen2ti 2 cos2tj ms² Para t 075 s a 2 ms² Procedimento para Análise Continuação Equações cinemáticas Dependendo dos dados fornecidos e do que se deseja determinar devese fazer uma escolha de modo que três das quatro equações apresentadas a seguir devem ser aplicadas entre dois pontos da trajetória para obter a solução mais direta para o problema Movimento Horizontal A velocidade na direção horizontal x é constante isto é vxx e x x0 vox t Movimento Vertical Na direção vertical y somente duas das seguintes três equações podem usadas na solução vy voy ayt y y0 voy t 12ayt² v²y vo²y 2ay y0 Por exemplo se a velocidade final vy não for necessária então a primeira e a terceira dessas equações para y não serão úteis EXEMPLO 1211 Um saquinho sai de uma calha Figura 1221 com velocidade horizontal de 12 ms Se a saída da calha está a 6 m de altura determine o tempo necessário para o saquinho atingir o piso e o alcance R onde os saquinhos se empilham tAB 111 s Resposta Esse cálculo também nos informa que se um saquinho inicialmente em repouso fosse abandonado em A ele gastaria o mesmo tempo para atingir o piso em C Movimento horizontal Uma vez que o tempo de vôo já foi calculado R pode ser determinado como se segue R 0 12 ms 111 s R 133 m Resposta EXEMPLO 1212 Um triturador foi projetado para ejetar lascas a uma velocidade v0 25 péss como mostrado na Figura 1222 Se o tubo é inclinado de 30 em relação à horizontal determine a altura h da pilha onde as lascas se depositam A distância horizontal de A à saída do tubo em O é 20 pés Movimento Vertical Relacionando t0A às elevações inicial e final de uma lasca temos yA y0 vot0A 12aft0A h 4 pés 0 125 péss09238 s 12322 péss²09238 s² h 181 pés Resposta EXEMPLO 1213 Uma pista para competições foi preparada para que os pilotos sejam projetados a uma inclinação de 30 de uma altura de 1 m Durante uma corrida observouse que o piloto mostrado na Figura 1223a permaneceu no ar por 15 s Determine a velocidade com que ele deixou a rampa a distância horizontal percorrida até atingir o solo e a altura máxima alcançada Despreze as dimensões da motocicleta e do piloto vc² va² 2adscY sAY 0² 1338 sen 30² 2981h 1 0 h 328 m Mostre que uma motocicleta atingirá o solo em B com velocidade de componentes vbx 116 ms vby 802 ms Cap 12 CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL 37 129 O jogador de beisebol rebate a bola comunicandolhe velocidade de módulo vA 40 péss com um ângulo θA 60 com a horizontal Ao passar sobre o jogador B a bola inicia o seu movimento de descida Determine a velocidade constante do jogador B e a distância d necessária para que ele apanhe a bola à mesma altura do ponto de partida em A Aceleração A aceleração de um ponto material é à taxa de variação temporal da velocidade Logo Movimento Tridimensional Se o ponto se move ao longo de uma curva especial Figura 1226 então dado o eixo t e determinado univocamente todavia um número infinito de retas pode ser traçado em P perpendicularmente a esse eixo tangente Como no caso do movimento plano consideraremos o eixo normal n orientado positivamente de P para o centro de curvatura O Esse eixo é denominado normal principal a curva em P Com os eixos n e t assim definidos as equações 1215 a 1221 podem ser usadas para se determinar v e a Uma vez que u e un são sempre mutuamente perpendiculares e contidos no plano osculador para o movimento espacial utilizase um terceiro vetor unitário uw que define o eixo binormal b perpendicular aos vetores u e un Figura 1226 Podemos usar o produto vetorial para estabelecer a direção e o sentido de uw definido esse vetor como uw un u Figura 1226 É conveniente lembrar que un é sempre voltado para o lado côncavo da curva A velocidade do ponto material é sempre tangente à trajetória O módulo da velocidade v obtido pela derivada em relação ao tempo da função de posição s v s O componente tangencial da aceleração a é o resultado da taxa temporal de variação do módulo da velocidade Esse componente é sempre voltado para a direção do vetor velocidade e seu módulo e v esteje decrescendo Aceleracao Tangencial at ȳ at a ds v dν Quando o esquiador alcança o ponto A de sua trajetória parabólica Figura 1227a ele tem uma velocidade escalar de 6 ms que está aumentando a taxa de 2 ms² Determine a direção de sua velocidade e a aceleração a módulo direção e sentido no instante considerado Despreze o tamanho do esquiador O tempo necessário para o carro alcançar uma aceleração de 8 péss² é portanto t 487 s O módulo de sua aceleração quando ela chega ao ponto B O módulo de aB é portanto aB 1138² 5242² 536 ms² Um caminhão trafega com uma velocidade de 4 ms ao longo de um trecho circular da estrada Por uma pequena distância a partir de s 0 sua velocidade aumenta de acordo com v 005s ms² onde s é dado em metros Determine os módulos da velocidade e da aceleração do caminhão quando ele atinge a posição s 10 m O movimento de uma gôndola B é tal que sua velocidade aumenta a taxa vB 05θ² ms² onde t é dado em segundos Se a gôndola parte do repouso quando θ 0 determine os módulos da sua velocidade e aceleração quando o braço AB passa pela posição θ 30 Um menino que brinca num carrossel localizase a uma distância r 8 pés do eixo de rotação O carrossel está inicialmente em repouso e então é posto para girar de tal modo que a velocidade do menino aumenta a uma taxa de 2 péss² Determine o tempo necessário para que a aceleração da criança se torne igual a 4 péss² Determ ine para t 8 os ângulos diretores coordenados α β e γ que o eixo binormal ao plano osculador forma com os eixos cartesianos Resolva o problema para a velocidade v p e a aceleração a p do ponto material em função dos seus componentes cartesian os O eixo binormal é paralelo a v p a p Por quê 128 MOVIMENTO CURVILÍNEO COMPONENTES CILÍNDRICOS Em alguns problemas de engenharia é conveniente expressar a posição de um ponto material em termos de coordenadas cilíndricas r θ z Se o problema é restrito ao plano usamse as coordenadas polares r e θ Coordenadas Polares Podemos especificar a posição do ponto material P mostrado na Figura 1230a usando a coordenada radial r que se estende da origem O ao ponto P e a coordenada transversal θ que é o ângulo medido no sentido antihorário entre uma linha de referência fixa e o eixo r O ângulo é geralmente medido em radianos ou graus 1 rad corresponde a 180 embora nas equações apresentadas a seguir o ângulo seja expresso em radianos Os sentidos positivos das coordenadas r e θ são definidos pelos vetores unitários u r e u θ respectivamente O vetor u r ou o sentido positivo de r aponta no sentido de P para P O vetor u θ ou o sentido positivo de θ aponta no sentido de crescimento de θ Observamos que esses vetores são perpendiculares entre si Posição Em cada instante a posição do ponto Figura 1230a é definida pelo vetor de posição r ru 1222 Velocidade A velocidade instantânea v é dada pela derivada temporal do vetor de posição r Usando um ponto para representar derivadas temporais temos v ru r r u θ 1224 onde v r r v θ r θ 1225 Esses componentes podem ser vistos graficamente na Figura 1230c O componente radial v r é uma medida da taxa de aumento ou decrescimento do comprimento da coordenada radial r isto é r o componente transversal v θ por sua vez pode ser interpretado como a taxa de variação do movimento ao longo de uma circunferência de raio r Em particular o termo θ dθdt é denominado velocidade angular pois indica a taxa temporal de variação do ângulo θ Sua unidade é rads Uma vez que v r e v θ são mutuamente perpendiculares o módulo da velocidade é dado por v v r² r θ² 1226 e a direção de v é obviamente a tangente à trajetória em P Figura 1230c Aceleração Derivando a Equação 1224 em relação ao tempo e usando as equações 1225 obtemos a aceleração do ponto material a v ru r r u θ r u θ 1227 r² eω³ 2rɾ 18θ 2ɾɾ rɾ 182θθ θ²θ ɾ² rɾ 92θ θ² O movimento helicoidal desse menino pode ser descrito usandose coordenadas cilíndricas A sua coordenada radial ɾ é constante a coordenada transversal θ aumenta com o tempo conforme o menino gira em torno da vertical enquanto sua altitude z decrese A figura 1232a consiste numa cadeira que gira numa trajetória circular horizontal de raio r e pressa a um braço OB que possui velocidade angular θ e aceleração angular θ Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do passageiro Despreze o tamanho do passageiro Sistema de Coordenadas Como o movimento angular do braço é informado podemos usar coordenadas polares para solução do problema As equações 1225 e 1229 serão usadas na solução de modo que é necessário primeiro especificar as derivadas de primeira e segunda ordem de ɾ e θ A haste OA da Figura 1233a gira num plano horizontal de modo que θ r² rad Ao mesmo tempo o cursor B desliza de O para A tendo sua coordenada ɾ variando no tempo de acordo com 100 r² mm Considerando em ambos os casos t expresso em segundos determine a velocidade e a aceleração do cursor para t 1 s Como as equações paramétricas da trajetória são conhecidas em termos de tempo não é necessário relacionar ɾ com θ O módulo de a é portanto a 700² 1800² 1930 mms² Resposta φ tg¹1800700 687 180 φ 573 169 Resposta Como se vê na Figura 1234b v ru rθuθ 5657u 14144uθ 5657u 5657uθ ms v 5657² 5657² 800 ms Resposta Como se vê na Figura 1234c a i rθ²u r 2iθuθ 67882 14144²u 14144 25657θ 45255u 45255uθ ms² a a² aθ² 45255² 45255² 6400 ms² Resposta 12142 Um ponto material está se movendo numa trajetória circular de 400 mm de raio Sua posição como função do tempo é dada por θ 2t² rad onde t é dado em segundos Determine o módulo da aceleração do ponto para θ 30 O ponto material saiu do repouso em θ 0 12143 A posição de um ponto material que se move no plano x e y é dada por r 2i 4t² pés onde t é dado em segundos Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do ponto para t 2 s 12144 Um caminhão com velocidade escalar constante de 20 ms trafega numa curva circular horizontal de raio r 60 m Se a velocidade escalar do caminhão aumenta a uma taxa de 3 ms² determine os componentes radial e transversal de sua aceleração 12145 Um ponto material deslizase numa trajetória circular com 6 polegadas de raio Sua posição como função do tempo é dada por θ sen 3t onde θ é dado em radianos o argumento do seno é dado em graus e t em segundos Determine a aceleração do ponto em θ 30 O ponto parte do repouso em θ 0 12146 Como resultado da velocidade angular constante θ 3 rads o garfo movimenta o pino P ao longo da espiral r 04 m onde t é dado em segundos Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino no instante em que ω m3 rad 12147 Resolva o Problema 12147 considerando que o garfo tem uma aceleração angular α 8 rads² quando θ 3 rads e ω m3 rad 12148 O resultado da aceleração angular constante θ 3 rads α 6 rads o garfo movimenta o pino P ao longo da espiral r 4 cm Determine a velocidade e a aceleração da aruela em termos de seus componentes cilíndricos 12151 A pequena aruela escorrega descendo pelo fio OA Quando ela está no ponto médio de OA sua velocidade é de 200 mms e sua aceleração 10 mms² Expresse a velocidade e a aceleração da aruela em termos de seus componentes cilíndricos