Oscilações Mecânicas - Física Básica II

franciscovillelaufpeledubr FÍSICA BÁSICA II OSCILAÇÕES MECÂNICAS IFM DF a Movimento periódico movimento que se repete em intervalos regulares de tempo Ex MCU movimento de um pêndulo simples movimento de um pistão movimento da corda de um violão b Movimento oscilatório vibratório movimento de vai e vem na mesma trajetória Ex movimento do volante de um relógio movimento de um sistema massamola movimento das moléculas do ar atingidas por uma onda sonora c Movimento harmônico simples MHS movimento oscilatório e periódico expresso em função de seno e cosseno CLASSIFICAÇÃO DE MOVIMENTOS d Vibração livre produzida por uma perturbação inicial que não persiste durante o movimento vibratório e Vibração forçada provocada por uma ação externa que persiste durante o tempo de ocorrência do movimento vibratório f Vibração amortecida a energia total do sistema se dissipa no decorrer do tempo de forma que a amplitude do movimento diminui progressivamente g Vibração não amortecida a energia total do sistema não se dissipa no decorrer do tempo de forma que a amplitude do movimento permanece inalterada GRANDEZAS FÍSICAS NO MHS a Período T tempo decorrido entre duas passagens consecutivas pela mesma posição apresentando as mesmas características ou seja é o tempo dispendido na execução de uma oscilação completa b Frequência f número de oscilações completas ciclos executadas por unidade de tempo Unidade de frequência hertz Hz c Posição de equilíbrio posição de equilíbrio estável onde a energia potencial do sistema é mínima resultante das forças aplicadas é nula d Posição linear x e posição angular Θ estabelecem a posição da partícula em coordenadas lineares e angulares num determinado instante t e Amplitude A módulo do máximo afastamento xmáximo da posição de equilíbrio F 0 Uma partícula em MHS oscila num segmento de reta bem definido movimento limitado A posição linear a velocidade e a aceleração variam periodicamente em módulo e sentido mantendo a direção A força que atua numa partícula em MHS em qualquer posição pode ser obtida por menos a derivada da função energia potencial força conservativa F 𝐝𝐔 𝐝𝐱 F 𝐝𝟏 𝟐𝐊𝐱𝟐 𝐝𝐱 F 𝐊 𝐱 OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES O oscilador harmônico simples consiste em uma massa acoplada a uma mola ideal que obedece a Lei de Hooke As forças deformantes são proporcionais às deformações elásticas produzidas No MHS os limites de oscilação são simétricos em relação à posição de equilíbrio Uma partícula de massa m presa a uma mola ideal de constante elástica K e que pode se mover sobre uma superfície horizontal lisa é um exemplo de um oscilador harmônico simples Empregando a Segunda Lei de Newton obtémse a equação de movimento do sistema acoplado massamola 𝒎 𝐝𝟐𝐱 𝐝𝐭𝟐 K x Na posição de equilíbrio a mola não exerce força sobre a partícula Se a partícula for deslocada para a esquerda a força exercida pela mola estará orientada para a direita Ao deslocar a partícula para a direita a força aplicada estará orientada para a esquerda Sobre a partícula atua uma força restauradora A equação envolve derivadas portanto é uma equação diferencial Resolver a equação diferencial significa estabelecer a dependência entre a posição linear x e o tempo t A equação diferencial do MHS é uma relação entre uma função x t e a respectiva derivada segunda em relação ao tempo 𝐝𝟐𝒙 𝐝𝐭𝟐 𝐊 𝐦 x 0 𝐝𝟐𝐱 𝐝𝐭𝟐 𝐊 𝐦 x MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES MHS Assim x t é uma função cuja derivada segunda em relação ao tempo é igual à própria função com sinal oposto a menos de uma constante 𝐊 𝐦 As funções seno e cosseno possuem esta propriedade 𝒅 𝒅𝒕 cos t sen t 𝐝𝟐 𝐝𝐭𝟐 cos t 𝒅 𝒅𝒕 sen t cos t Uma possível solução x A cos w t Θ sendo A w e Θ constantes é possível escrever uma solução geral Diferenciando a equação duas vezes em relação ao tempo 𝐝𝐱 𝐝𝐭 w A sen w t Θ e 𝐝𝟐𝐱 𝐝𝐭𝟐 w𝟐A cos w t Θ Substituindo na equação obtémse w𝟐 A cos w t Θ 𝐊 𝐦 A cos w t Θ portanto w2 𝐊 𝐦 Uma equação diferencial de movimento não descreve um movimento mas uma família de movimentos possíveis sendo w comum a todos os movimentos e A e Θ podem diferir de um movimento para outro A grandeza wt Θ é denominada fase do movimento e Θ é a constante de fase ambas expressas em radianos e a frequência angular w é expressa em radianos por segundo 𝐝𝟐𝐱 𝐝𝐭𝟐 𝐊 𝐦 x Se o tempo t for aumentado de T 𝟐𝛑 𝒘 é possível escrever x A cos wt 2𝛑 Θ A cos wt Θ A função se repete após o intervalo de tempo T Sendo w 𝟐𝛑 𝐓 então o período será T 2𝛑 𝐦 𝐤 a frequência será f 𝟏 𝟐𝛑 𝒌 𝒎 A frequência do MHS não depende da amplitude do movimento A posição linear x a velocidade v e a aceleração a são funções do tempo e podem ser expressas pelas equações x A cos w t Θ v w A sen w t Θ a w𝟐 A cos w t Θ As Figuras a b e c mostram respectivamente as variações no tempo da posição linear da velocidade e da aceleração de uma partícula em MHS com uma constante de fase igual a zero O período T corresponde ao tempo necessário para a partícula executar uma oscilação completa A curva da velocidade está deslocada para a esquerda de um quarto do período em relação à curva da posição linear A curva da aceleração está deslocada também para a esquerda de um quarto do período em relação à curva da velocidade ENERGIA NO MHS A energia num oscilador harmônico simples é transformada periodicamente de energia cinética em energia potencial e viceversa de modo que a soma das duas energia mecânica E U K permanece constante A energia potencial U de um oscilador está associada à mola e o valor depende do alongamento ou encurtamento da mola U 𝟏 𝟐 𝐊𝐱𝟐 𝟏 𝟐 𝐊𝐀𝟐 cos2 wt Θ A energia cinética K está associada à massa e à velocidade da partícula K 𝟏 𝟐 𝐦𝐯𝟐 𝟏 𝟐 𝐊𝐀𝟐 sen2 wt Θ E U K E 𝟏 𝟐 𝐊𝐀𝟐 cos2 wt Θ 𝟏 𝟐 𝐊𝐀𝟐 sen2 wt Θ E 𝟏 𝟐 𝐊𝐀𝟐 cos2 wt Θ sen2 wt Θ E 𝟏 𝟐 𝐊𝐀𝟐 A energia mecânica no MHS é constante e independente do tempo Para uma constante de fase igual a zero a Figura mostra a resposta da energia potencial U t energia cinética K t e energia mecânica E em função do tempo no MHS Todas as energias são positivas e as energias potencial e cinética passam por dois máximos em cada período T A Figura mostra o comportamento das energias potencial cinética e mecânica em função da posição linear no MHS Para x 0 a energia total ou a energia mecânica é totalmente representada pela energia cinética e para x A é expressa somente pela energia potencial APLICAÇÕES 1 Um bloco de massa 1080 g preso a uma mola ideal de constante elástica 120 Nm1 executa um MHS O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância de 15 cm a partir da posição de equilíbrio e liberado do repouso Determinar a a frequência angular b a frequência e o período c a equação da posição linear d a velocidade máxima e a aceleração máxima 2 Num oscilador harmônico simples a mola é distendida 15 cm em relação à posição de equilíbrio sob a ação de uma força de 60 N Uma massa de 080 kg é presa à extremidade da mola afastada de 10 cm sobre uma superfície horizontal lisa e ao ser largada o sistema executa um MHS Determinar a a constante elástica da mola b a força exercida pela mola sobre a massa ao ser largada c o período de oscilação d a velocidade máxima da massa oscilante e a aceleração máxima da massa oscilante f a energia total do sistema 3 Uma partícula executa um MHS expresso em unidades do SI pela equação x 060 cos 3π t π3 Determinar a a posição linear a velocidade e a aceleração no instante t 20 s b a frequência angular a frequência e o período do movimento 4 Uma partícula executa um MHS de amplitude 30 cm No instante t 0 a velocidade era nula Se a frequência do movimento for 25 Hz Calcular a o período b a frequência angular c as equações da posição linear velocidade e aceleração d a posição linear e a velocidade para t 3 s 5 Um bloco de massa 200 kg oscila em MHS com frequência de 20 Hz e amplitude de 20 cm Determinar a a energia mecânica do sistema b a velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio 6 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 12 kg preso a uma mola de constante elástica 240 Nm O bloco desliza num plano horizontal liso com energia total de 40 J Calcular a a amplitude do movimento b o número de oscilações completas executadas em 10 s c a energia cinética máxima do bloco d a energia potencial máxima 7 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 12 kg preso a uma mola de constante elástica 240 Nm O bloco desliza num plano horizontal liso com energia total de 40 J Calcular a a amplitude do movimento b o número de oscilações completas executadas em 10 s c a energia cinética máxima do bloco d a energia potencial máxima 8 Um bloco de massa 200 kg oscila com uma frequência de 20 Hz e amplitude de 20 cm Calcular a a energia mecânica do sistema blocomola b a velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio