Prova de Algebra Linear - Segunda Chamada

Universidade Federal de Pernambuco\nSegunda chamada de Álgebra Linear 04/12/2017\nAluno: Turma:\nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\n\nQuestão 1\nConsidere os seguintes subespaços W1 e W2 do espaço vetorial R4:\nW1 = [(1, 1, 2, 1), (0, 2, 2, 1)]; e\nW2 = { (x, y, z) ∈ R4; x − 2x + 2l = 0 e y + 3z − 6t = 0 }.\na) (1,0) Determine uma base para o subespaço soma W1 + W2:\n\nb) (1,0) Determine uma base para o subespaço interseção W1 ∩ W2:\nd) (0.5) É possível afirmar que R4 = W1 ⊕ W2?\nd) (1,0) Considere em R4 o seguinte produto interno:\n< (x1, y1, z1, t1), (x2, y2, z2, t2) >= x1x2 + 2y1y2 + 3z1z2 + t1t2.\n\nDetermine uma base para o subespaço complemento ortogonal W1⊥.\n\nQuestão 2\nSeja T : M2x2(R) → M2x2(R). Seja T a transformação linear\nT ( a b ) = ( 2c−b 2d−2a )\n(c d) ( a−d b−2c )\na) (0.6) Encontre uma base para ker(T).\nb) (0.6) Encontre uma base para Im(T).\nc) (0.8) Determine, para α = {( 1 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( 0 1 0 )}\numa base canônica; a matriz [T]α.\nd) (0.5) T é isomorfismo?\n\nQuestão 3\n(1.0) Seja V espaço vetorial. E sejam T : V → V e S : V → V operadores lineares. Seja w autovetor de T associado a λ1, e também autovetor de S associado a λ2. Mostre que w é autovetor de R : V → V associado ao autovalor zero, onde R é definido por R(v) = S(T(v)) − T(S(v)), ∀v ∈ V. Questão 4\nConsidere em R3 o <, > usual. Observe a quadrática cuja equação na base canônica é:\nΩ : 4x2 + y2 + z2 + myz + mx + √2y + √2z - 2 = 0\na) (0.5) Determine m de forma que a quadrática Ω seja um cilindro elíptico ou paraboloide (Observação: não é preciso diagonalizar a parte quadrática).\nb) (2.5) Para m = 2, determine uma base β que diagonaliza a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quadrática em relação a esta base β.