Prova de Algebra Linear - Segunda Chamada

Universidade Federal de Pernambuco\nSegunda Chamada de Álgebra Linear\nAluno:\nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\n\nQuestão 1\nConsidere os seguintes subespaços W1 e W2 do espaço vetorial R4:\nW1 = [(1, 1, 2, 1), (0, 2, 2, 1)];\nW2 = {(x1, y1, z1, t1) ∈ R4 : -2x + 2t = 0 e y + 3z - 6t = 0}.\n\na) (1,0) Determine uma base para o subespaço soma W1 + W2:\n\nb) (1,0) Determine uma base para o subespaço interseção W1 ∩ W2:\n\nc) (0,5) É possível afirmar que R4 = W1 ⊕ W2?\n\nd) (1,0) Considere em R4 o seguinte produto interno:\n< (x1, y1, z1, t1), (x2, y2, z2, t2) > => x1x2 + 2y1y2 + 3z1z2 + t1t2.\n\nDetermine uma base para o subespaço complemento ortogonal W1⊥.\n\nQuestão 2\nSeja T : M2x2(R) → M2x2(R). Seja T a transformação linear\nT ( a b ) = ( 2c - b - 2a ) .\n ( c d ) ( a - d b - 2c )\n\na) (0,6) Encontre uma base para ker(T).\n\nb) (0,6) Encontre uma base para Im(T).\n\nc) (0,8) Determine, para α = { ( 1 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 1 ) }\n ( 0 0 -1 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 0 ) }\na base canônica, a matriz T|α.\n\nd) (0,5) T é isomorfismo?\n\nQuestão 3\na) (1,0) Seja V espaço vetorial. E sejam T : V → V e S : V → V operadores lineares. Seja u autovetor de T associado a λ1, e também autovetor de S associado a λ2. Mostre que u é autovetor de R : V → V associado ao autovalor zero, onde R é definido por R(v) = S(T(v)) - T(S(v)), ∀v ∈ V.\n\nb) (0,5) Mostre que se T é operador ortogonal e λ é autovalor real de T então λ = +1 ou λ = -1.\n\nQuestão 4\n(2,5) Considere em R3 o <, > usual. Observe a quadrática cuja equação na base canônica α é:\nΩ : 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2x + 6y/2 + 12 = 0.\n\nDetermine uma base β que diagonaliza a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quadrática em relação a esta base β. Identifique a quadrática.