Prova com Gabarito de Algebra Linear - 2 ee

Universidade Federal de Pernambuco\n2ª Avaliação de Álgebra Linear\n19 de maio de 2017\nAluno:\nTurma:\n\nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\n\nQuestão 1\nIdentifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa.\na) (0.6) Seja T : P1(R) → R2 dada por T(a+b x) = (a-b, a+b). Então T é linear.\nb) (0.6) Seja T : V → W uma transformação linear. Se dim V < dim W, então T não pode ser transformação injetora.\nc) (0.8) Sejam U um espaço vetorial, α = {v1, v2, v3} ∈ β = {w1, w2, w3} bases de V. Existe operador T : V → W linear que é isomorfismo tal que a matriz [T]βα = \n\\[\\begin{pmatrix}\n1 & 1 & -1 \n-1 & 0 & -1 \n0 & 0 & 1\n\\end{pmatrix}\\]\n\nQuestão 2\nSeja T : P1(R) → P1(R) uma transformação linear, sejam α = {z1, 1-x} e β = {2-x, 1+2x} bases de P1(R), e [T]βα = \n\\[\\begin{pmatrix}\n1 & 2\n3 & 4\n\\end{pmatrix}\\]\n\n(0.9) Para x = 3 + 2x calcule sua imagem Tv.\n\n(0.6) Determine a matriz mudança de base |I|α\n\n(1.0) Determine a matriz da transformação [T]βα.\n\nQuestão 3\nSeja T : R3 → M2x2(R) uma transformação linear tal que T(1,1) = \n\\[\\begin{pmatrix}\n0 & 2\n0 & 2\n\\end{pmatrix}\\], T(1,0,-1) = \n\\[\\begin{pmatrix}\n-1 & -2\n-1 & 0\n\\end{pmatrix}\\], T(0,1,0) = \n\\[\\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\n\\end{pmatrix}\\]\na) (1.5) Determine T(x,y,z).\n\nb) (0.7) T é injetora?\nc) (0.8) Encontre uma base para a imagem Im(T).\n\nQuestão 4\nConsidere a transformação linear T : R3 → R3 cuja matriz na base canônica α é dada por:\n[T]β = \n\\[\\begin{pmatrix}\n1 & 0 & 2\n0 & 1 & 1\n0 & 0 & 2\n\\end{pmatrix}\\]\na) (0.6) Determine o polinômio característico e calcule os autovalores λ de T.\nb) (1.3) Para cada autovalor λ de T determine o subespaço associado Vλ.\nc) (0.6) T é diagonalizável? Se sim, exiba uma base β de R3 e [T]β onde isso acontece. Algebra Linear - Gabinete\n2ª Avaliação\n2017.1\n\n1- Identifique se é verdadeira ou falsa:\na) T : P1 → R2; T(a + bx) = (a - b, a + b) \tT é linear.\n\nSendo v1, v2 ∈ V, ∀ λ ∈ R.\nT(v1 + v2) = T(a1 + b1x) + T(a2 + b2x) \n= T(a1 + a2 + b1 - b2) = T(v1 + v2)\n= (a1 - b1, a1 + b1) + (a2 - b2, a2 + b2) = T1x + T2x.\n\n\5 α ∈ P1, então T(λv) = λT(v) ∈ P1.\n\nVerdadeira: T é linear.\n\nb) T : V → W linear. Se dim V < dim W, então T não é injetora.\n\nPelo teorema do Núcleo e da Imagem:\ndim Ker(T) + dim Im(T) > dim W.\nSe dim V = dim Ker(T) = 0, dá 0 + dim Im(T) > dim W, um absurdo!\n\nA afirmação: Verdadeira.\n\nc) T : V → V, α = {v1, v2, v3}, β = {w1, w2, w3} bases de V.\n[T]β = \n\\[\\begin{pmatrix}\n-1 & 1 & -1\\\n0 & 0 & 1\\\n\\end{pmatrix}\\] Existe isomorfismo T análogo.\n\nFalso, pois det([T]βα) = 0 + 0 - 1 + 0 != 0, e portanto a matriz não é inversível ([T]β) = ([T]βα)^{-1}.\n\nSe T não é um isomorfismo então inverza T^{-1}.\nDe outro ponto: posto: [T]βα = 2 <=> dim Im(T) = 2.\nLogo T não é sobrejetora (dim Im(T) + dim V = 3, do contra-domínio). E para T ser isomórfico deve ser... \n\n2- T : P1 → P1, α = {x1, 1-x} e β = {2-x, 1+2x} bases de P1.\n\n[T]βα = \n\\[\\begin{pmatrix}\n1 & 2\n3 & 4\n\\end{pmatrix}\\]\na) r = 3 + 2x; Tvr = ? \n\n(3 + 2x) = α(x) + b(1-x)\n3 + 2x = b + (a - b)(1 - x)\n3 + 2x = b + a - ax - bx \n=> b = 3,\n a - b = 2 => a = 5\n\n[Tvr]α = [T]βα (4 2)\n3 5 \n4 27 => Tr = 11(x) + 27.(1-x)\nTr = 27 - 16x.\n\nb) (0.6)\n\n..c.. [T]βα = [T]βα [T]βα [T]α : \n\\[\\begin{pmatrix} \n1 & 2 \\\n2 & 3\\\n4 & 5\\\n\\end{pmatrix}\\]\n3.2 \n\\[\\begin{pmatrix}\n5\\end{pmatrix}\n\\] 2- T : P1 → P1, α = {x1, 1-x} e β = {2-x, 1+2x} bases de P1.\n[T]βα = \n\\[\\begin{pmatrix}\n1 & 2\n3 & 4\n\\end{pmatrix}\\]\na) v = 3 + 2x; Tvr = ?\n3 + 2x = α(x) + b(1-x)\n3 + 2x = b + (a - b)(1 - x)\n3 + 2x = b + a - ax - bx \n=> b = 3,\na - b = 2 => a = 5.\n\n[Tvr]α = [T]βα ...\n\nb) (0.6) Determine a matriz mudança de...| |α\n\nc) (1.0) Determine a matriz da transformação [T]βα.\n\n3- T : R3 → M2x2, T(1,1,1) = \n\\[\\begin{pmatrix}0 & 2\\0 & 2\\end{pmatrix}\\], T(1,0,-1) = \n\\[\\begin{pmatrix}-1 & -2\\-1 & 0\\end{pmatrix}\\]\na) (x,y,3); T(x,y,z) = ?\n\n(x,y,z) = a(1,1,1) + b(1,0,-1) + c(0,1,1)\n\n= (a+b, a+c, a-b)\n\na + b = x\na+c = y\nb = -a; b = a - z => b = a... T(x,y,z) = a.T(1,1,1) + b.T(1,0,-1) + c.T(0,1,0)\nT(x,y,3) = x^3 + x^2*2 + 2y - x^2*3\nT(x,1,y) = \\begin{pmatrix}\n y + x & 2 \\ \n y - x & x + y - y \end{pmatrix}\nT \\text{ é injetora?}\nKer(T) = {(x,x,0), 0 \\in R} = [(1,1,0)]\ndim Ker(T) = {1} \\neq 0 \\Rightarrow T \\text{ não é injetora.}\n\nT(x,y,z) = y(1 - 1) + x(1 + 1) + z(0,0,2)\ngeneradores da Im(T)\neliminando\\{i,j,k\\}\n\\cdots\\lambda\\text{ não injetora}.\n\n{E}[T]B = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\end{pmatrix}\n\n\\text{Autovalores:} \\lambda=1 \\text{ ou } \\lambda=2 para \\lambda = 1:\nT(v) = \\lambda v \\Rightarrow \\begin{pmatrix} T \\text{ is not injective}\\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix} 0 & 2 & \\lambda \\end{pmatrix}\nSi pedimos os bases, como são cat\\{I.N. (os conj. gerados),\n\\beta = {(1,0,0),(0,1,0),(2,1,1)}\\text{ formado por autovetores de T}\nE \\left[ \\frac{T}{{B}} \\right] = \\begin{pmatrix}\\cdots\\end{pmatrix}\\rightarrow \\text{diagonal}\n\nP(\\lambda) = \\det \\left( \\begin{pmatrix} 1 - \\lambda & 0 & 2 \\ 0 & 1 - \\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \\lambda \\end{pmatrix} \\right) = 0 \\Rightarrow (1 - \\lambda)^{2}(2 - \\lambda) + 0 + 0 - 0 - 0 = 0\\P(\\lambda) = (1 - \\lambda)^{2}(2 - \\lambda) = 0