Equilíbrio de Nash teoria dos Jogos teoria da Firma

1 Duas importantes emissoras estão concorrendo para obter índices de audiência no horário entre 20 e 21h e entre 21 e 22h em determinada noite da semana Cada uma preparandose para a disputa conta com dois programas para preencher esse horário Elas poderão veicular seu programa principal no primeiro horário ou então no segundo das 21 às 22 h As possíveis combinações de decisões levam aos seguintes resultados de pontos de audiência Emissora Emissora 2 Primeiro Segundo Emissora 1 Primeiro 20 30 18 18 Segundo 15 15 30 10 Forneça TODOS os equilíbrios de Nash inclusive com gráfico 2 Dois jovens adolescentes jogam o jogo do covarde que consiste em acelerar seu carro o um de frente para o outro em uma estrada de pista única O primeiro a se desviar é acusado de ser covarde enquanto quem segue em frente merece o reconhecimento do grupo de amigos Se nenhum deles desviar ambos morrerão no acidente que se seguiu Os payoffs do jogo são dados a seguir Jogador Jogador B Desvia Não Desvia Jogador A Desvia 2 2 1 3 Não desvia 3 1 0 0 Forneça TODOS os equilíbrios de Nash inclusive com gráfico 3 No caso do Dilema dos Prisioneiros abordado em sala de aula forneça TODOS os equilíbrios de Nash com gráfico 4 Considere duas empresas duopolistas A e B atuando num mercado com a curva de demanda P 100Y As curvas de custo total são Caya 100 45ya e Cbyb 50 yb² em que ya e yb são as quantidades produzidas pelas empresas A e B Seja o modelo de Stackelberg com a firma A sendo líder Determine a quantidade produzida por cada firma b preço e quantidade de mercado c lucro das firmas d explique qual o efeito dos custos marginais diferentes das duas firmas Qual a relação desse custo com a produção de cada firma 5 Suponha duas firmas duopolistas no mercado de água mineral As firmas 1 e 2 são idênticas com custo marginais nulos que se deparam com a curva de demanda do mercado dada por Y 120P onde Y é a quantidade total e P o preço a em um modelo de Cournot qual a quantidade de cada firma o preço lucros e a quantidade total que equilibram o mercado b considere agora que a firma 1 é a líder Encontre a quantidade ofertada por cada firma o preço os lucros e a quantidade total que equilibram o mercado Mostre a função de reação 6 Suponha que duas empresas concorrentes A e B produzam um bem homogêneo Ambas as empresas possuem custo marginal Cmg 50 Descreva o que aconteceria com a produção e o preço em cada uma das seguintes situações se as empresas estivessem em i equilíbrio de Cournot e ii equilíbrio de Bertrand a a Empresa A deve aumentar os salários e seu Cmg aumenta para 80 b o custo marginal de ambas as empresas aumenta c a curva de demanda se desloca para a direita 7 Considere uma indústria com 35 firmas todas com a mesma função de custo dada por cyi 2yi em que yi é a produção da firma i A demanda de mercado é pY 362 2Y onde Y é a quantidade total do mercado Supondo que as firmas se comportam à la Cournot e dado que elas são idênticas determine y quantidade ótima de cada firma Questão 1 1º Encontrando equilíbrios de Nash em estratégias puras Ponto de vista de 2 o Se 1 joga Primeiro então 2 joga Primeiro o Se 1 joga Segundo então 2 joga Primeiro Ponto de vista de 1 o Se 2 joga Primeiro então 2 joga Primeiro o Se 2 joga Segundo então 2 joga Segundo Portanto o único equilíbrio de Nash em estratégias puras é 2º Encontrando equilíbrios de Nash em estratégias mistas Suponha que 1 jogue Primeiro com probabilidade e 2 jogue Primeiro com probabilidade Então o valor esperado de 1 será O valor máximo de ocorre quando Por sua vez o valor esperado de 2 será O valor máximo de ocorre quando Como é impossível que então concluise que não existe estratégia mista para 2 pois o único o valor de que faria com que 2 ficasse indiferente entre jogar Primeiro e Segundo seria um valor impossível Assim o único equilíbrio de Nash deste jogo é Questão 2 1º Encontrando equilíbrios de Nash em estratégias puras Ponto de vista de B o Se A joga Desvia então B joga Não desvia o Se A joga Não desvia então B joga Desvia Ponto de vista de A o Se B joga Desvia então A joga Não desvia o Se B joga Não desvia então A joga Desvia Portanto os dois equilíbrios de Nash em estratégias puras são e 2º Encontrando equilíbrios de Nash em estratégias mistas Suponha que A jogue Desvia com probabilidade e B jogue Desvia com probabilidade 21º Encontrando O payoff esperado de B se ele escolher Desvia será Já o payoff esperado de B se ele escolher Não desvia será Portanto B é indiferente entre Desvia e Não desvia se 22º Encontrando O payoff esperado de A se ele escolher Desvia será Já o payoff esperado de A se ele escolher Não desvia será Portanto A é indiferente entre Desvia e Não desvia se Assim o equilíbrio de Nash em estratégias mistas é Portanto ao todo existem 3 equilíbrios de Nash dois em estratégias puras e um em estratégias mistas Eles são onde é a probabilidade de A jogar Desvia e é a probabilidade de B jogar Desvia Graficamente temos Questão 4 Item A 1º O lucro da seguidora é A CPO do problema é 2º O lucro da líder é Substituindo 1 na equação acima A CPO do problema é Substituindo 2 em 1 Item B 1º Quantidade de mercado 2º Preço Item C 1º Substituindo 2 na função lucro da firma A 2º Substituindo 2 e 3 na função lucro da firma B Item D 1º Custo marginal de A 2º Custo marginal de B O custo marginal de A é constante no valor de ao passo que o custo marginal de B é crescente No nível de produção ótimo para ambas as firmas o custo marginal de A é maior do que de B contra Isto explica o fato de que mesmo a firma A sendo a líder e tendo teoricamente vantagem sobre a B ela ainda possui lucro menor do que B contra Questão 5 Item A 1º O lucro de 1 é A CPO do problema é 2º Como a estrutura de custos de ambas as firmas é a mesma então suas funções de reação são simétricas Assim 3º Substituindo 2 em 1 4º Substituindo 3 em 2 5º Encontrando preço e quantidade total 6º Substituindo nas funções lucro Item B 1º O lucro de 2 é A CPO do problema é 2º O lucro de 1 é Substituindo 1 na equação acima A CPO do problema é 3º Substituindo 2 em 1 4º Encontrando preço e quantidade total 6º Substituindo 2 e 3 na função lucro da firma 2 7º Substituindo 2 na função lucro da firma 1 Questão 6 Item A i Equilíbrio de Cournot Produção da empresa A diminui pois o maior custo marginal reduz seu incentivo a produzir grandes quantidades Produção da empresa B aumenta para compensar a redução da produção de A Quantidade total de mercado diminui pois a produção da empresa A não é totalmente compensada pela empresa B Preço de equilíbrio aumenta pois a quantidade total no mercado cai ii Equilíbrio de Bertrand A empresa A não pode mais competir com a empresa B em preços pois seu é maior que o da empresa B Assim a empresa A sai do mercado e sua produção passa a ser de A produção da empresa B irá aumentar pois agora ela é uma monopolista no mercado O preço de mercado aumenta para um valor entre 50 e 80 por exemplo A quantidade total diminui devido ao aumento no preço Item B i Equilíbrio de Cournot Produção de ambas as empresas diminui pois o aumento do custo marginal reduz a rentabilidade de produzir grandes quantidades A quantidade total de mercado diminui já que ambas as empresas produzem menos O preço de equilíbrio aumenta pois a redução na quantidade total ofertada pressiona o preço para cima ii Equilíbrio de Bertrand Como o custo marginal aumenta para ambas as firmas então a quantidade produzida de cada uma diminui Logo a quantidade total produzida diminui Como ambas as empresas possuem o mesmo novo custo marginal por exemplo o novo preço de equilíbrio será Ou seja o preço irá aumentar Item C i Equilíbrio de Cournot O deslocamento da demanda para a direita significa que para qualquer preço os consumidores estão dispostos a comprar uma quantidade maior do bem Assim ambas as empresas aumentam suas quantidades produzidas pois a demanda maior torna a produção mais lucrativa Logo a quantidade total produzida no mercado aumenta O aumento na quantidade total ofertada no mercado pode levar a um aumento ou diminuição no preço dependendo da magnitude do deslocamento da demanda e da elasticidade da oferta ii Equilíbrio de Bertrand O preço não muda pois as empresas continuam precificando de acordo com o custo marginal Porém as quantidades produzidas por cada empresa aumentam pois há uma maior mais a esse preço fixo Logo a quantidade total de mercado aumenta Questão 7 O lucro de uma firma genérica é A CPO do problema é Como a estrutura de custos de todas as firmas é a mesma então suas funções de reação são simétricas Assim Substituindo isso na equação anterior temse