Resumo Física 2 - Prof Lúcio Acioli Ufpe - Cap14

Fluidos - Cap 14 Problemas sugeridos: 5, 10, 12, 16, 24, 27, 28, 35, 37, 45 48, 49, 55, 59, 63, 65, 67, 77, 79, 85 Aplicações da física dos fluidos: * Engenharia hidráulica - tubulação de resfriamento numa fábrica represa, gasodutos * Biologia - fluxo de sangue nas veias e artérias * Engenharia náutica - navios e barcos a vela e motor * Astrofísica - dinâmica dos gases densos no Sol ou Júpiter e muitas outras... O que define um fluido? Uma das propriedades mais importantes de um fluido é sua capacidade de escoar. Isto deve-se ao fato de que um fluido não resiste a tensões de cisalhamento. Enquanto a cola não solidificar ela não resistirá a tensão de cisalhamento devido ao peso do bloco. A cola ainda encontra-se fluida. Note-se que durante a secagem a viscosidade da cola varia! Outra característica importante dos fluidos é a falta de ordem molecular. Isto é parcialmente correto: existem correla- ções entre as posições dos átomos e moléculas, embora não seja óbvia. Lembrar que uma grande fração do nosso corpo é feito de um fluido: água. Trata-se de um fluido bastante particular, e suas propriedades podem ser vistas em: www.lsbu.ac.uk/water onde são listadas quase todas as propriedades conhecidas da água. Vale a pena conhecer. Vídeo de gota de água que "pula". * Massa específica e pressão Para estudar a dinâmica de um corpo sólido aplicamos uma força ao corpo de massa conhecida. No caso de um fluido as grandezas correspondentes são a pressão e a massa específica ou densidade. * Massa específica: [imagem] Δm, ΔV [imagem] ρ = Δm/ΔV Exemplos de massas específicas: Substância ρ (Kg/m³) espaço interestelar 10⁻²⁰ Ar 20°C/1atm 1,21 Ar 20°C/50 atm 60,5 Gelo 0,917x10³ Água 20°C/1atm 0,998x10³ Água 20°C/500atm 1,000x10³ Sangue 1,060x10³ Mercúrio (metal) 13,6x10³ Sol 1,4x10³ (média) Da tabela anterior podemos ver que: a) água é cerca de 1000 vezes mais densa que o ar. b) ar é muito mais compressível que a água. Gases são muito compressíveis, líquidos não! Pressão: p = ΔF/ΔA Não é um vetor! Unidade de pressão (MKS): Pascal 1 Pa = 1 N/m² Outras unidades: torr, atm, bar, lb/in²: 1 atm = 1,01 x 10⁵ Pa = 1,01 bar = 760 torr = 14,7 lb/in² = psi (1 torr = 1 mm Hg) Física Geral 2 2014.02 62 / 77 04/10/14 Algumas pressões típicas Centro do Sol Centro da Terra Fossa oceânica Salto agulha Pneu de automóvel Pressão arterial sistólica melhor vácuo laboratorial Pressão (Pa) 2 x 10⁶ 4 x 10¹¹ 1,1 x 10⁸ 10⁶ 2 x 10⁵ 1,6 x 10⁴ 10⁻¹² Fluidos em repouso Equilíbrio => 𝐹̅𝑅 = 0 Mergulhador sabe que pressão hidrostática aumenta com a profundidade. Vamos estudar este problema supondo que o fluido encontra-se em repouso. Isolamos imaginariamente uma fatia deste fluido, como na figura abaixo e analisamos as forças que atuam sobre o sistema: Forças laterais se cancelam Vertical: 𝐹₁ = p₁·A ; 𝐹₂ = p₂·A m = ρ·A·(y₁-y₂) F₂ = F₁ + mg :: p₂ = p₁ + m·g A = p₁ + ρg∙(y₁-y₂) Física Geral 2 2014.02 63 / 77 04/10/14 p₂ = p₁ + mg∙(y₂−y₁) Supondo: y₁ = 0, y₂ = −h, p₁ = p₀ onde p₀ é a pressão na superfície = pressão atmosférica. p = p₀ + ρgh onde h é a profundidade a partir da superfície. A profundidade necessária para obter uma pressão que seja o dobro da atmosférica é: p = 2p₀ = p₀ + ρgh :: ρgh = p₀ ρ = 1000 kg/m³ ; g = 10 m/s² ; p₀ ≈ 10⁵ N/m² =>h = 10 m P -> pressão absoluta p−p₀ -> pressão manométrica -> “desconta” pressão atmosférica da pressão absoluta. * Mergulhador com tubo de comprimido inala ar a 10m de profundidade prendendo o ar. Ao chegar a superfície a pressão interna é muito maior que a externa e pulmões pode ser rompido! * Exemplo 14.3: 𝜌_óleo = ? 𝜌_água = 998 kg/m³ [óleo] interface [água] Física Geral 2 2014.02 64 / 77 04/10/14 p_{int} = p_0 + \rho_{leo} \cdot g \cdot (d + \ell) \quad p_{int} = p_0 + \rho_{agua} \cdot g \cdot \ell \rho_{leo} = \rho_{agua} \dfrac{\ell}{\ell + d} < \rho_{agua} • Medindo a pressão Barômetro de mercúrio: p = 0 + \rho_{Hg} \cdot g \cdot h = p_0 p_0 = \rho_{Hg} \cdot g \cdot h Pressão = altura da coluna em mm, se a temperatura do mercúrio é T = 0°C. (\rho_{Hg} = 13,55 \times 10^3 \dfrac{kg}{m^3}) Manômetro de tubo aberto: mede pressão manométrica (descontando a pressão atmosférica). p_m = p_0 + \rho \cdot g \cdot h p_m - p_0 = \rho \cdot g \cdot h • Princípio de Pascal: Uma variação de pressão aplicada a um fluído incompressível em um recipiente é transmitida a todos os pontos do fluído e as paredes do recipiente. Física Geral 2 2014.02 65 / 77 04/10/14 • Demonstração do princípio de Pascal: p = p_{ext} + \rho \cdot g \cdot h \Delta p = \Delta p_{ext} \rightarrow \text{não depende de h!} Aumento da pressão externa é transmitida a todos os pontos do fluído. • Macaco hidráulico: "multiplica" a força aplicada \Delta p = \dfrac{F_e}{A_e} = \dfrac{F_s}{A_s} \rightarrow F_s = F_e \cdot \dfrac{A_s}{A_e} \rightarrow A_s \gg A_e Como o fluído é incompressível o volume deslocado no êmbolo esquerdo é igual ao do lado direito: \Delta V = A_e \cdot de = A_s \cdot ds \Rightarrow ds = \dfrac{A_e \cdot de}{A_s} \rightarrow \dfrac{A_e \cdot de}{A_s} Trabalho realizado: W = F_s \cdot ds = F_e \dfrac{A_s}{A_e} \cdot \dfrac{A_e \cdot de}{A_s} = F_e \cdot de Trabalho realizado é igual mas força necessária é menor! Física Geral 2 2014.02 66 / 77 04/10/14 • Princípio de Arquimedes: saco plástico de massa desprezível forças exercidas pela água "externa" \Sigma \vec{F_i} + m \vec{g} = 0 \Rightarrow \Sigma F_i = -m \vec{g} \quad (\text{para cima}) Empuxo Podemos colocar uma pedra no lugar do saco de lixo. Neste caso, a força exercida pela água não muda, mas a pedra tem uma massa maior que a da água e, portanto, afunda. \Sigma F_i - m_p \vec{g} = -m_agua \cdot \vec{g} + m_pedra \cdot \vec{g} \neq 0 Princípio de Arquimedes: Um corpo total ou parcialmente submerso em um fluído sofre uma força total para cima, exercida pelo líquido. Esta é a força de empuxo e seu módulo é igual ao peso da água deslocada pelo corpo. F_E = m_f \cdot g m_f = massa do fluido deslocado • Flutuação \displaystyle \begin{array}{c}\uparrow F_E = m_g \overrightarrow{m_agua} {}^\rightarrow m_g \end{array} m_g = F_E m_o \text{ massa do objeto} Física Geral 2 2014.02 67 / 77 04/10/14 m = \rho AH_{obj} \quad \vec{F}_E = \rho_{agua} A \cdot h \quad \rightarrow \quad h = \frac{\rho_{obj}}{\rho_{agua}} \cdot H \frac{}{} Se \quad \rho_{obj} > \rho_{agua} \Rightarrow \text{objeto afunda} Barco: \text{água deslocada} \cdot\text{Peso aparente em um fluido:} \quad \text{Peso aparente} = \text{peso real} - \text{empuxo} \quad P_{aparente} = P_{real} - F_E \text{\\\\} \cdot\cdot\cdot \text{Fluidos ideais em movimento} \cdot\cdot\cdot \text{Um fluido real pode ter um comportamento muito complicado} de descrever matematicamente. Vamos nos limitar ao estudo do movimento de um }{fluido ideal}. Requisitos quanto ao escoamento: 1) \text{Escoamento laminar: velocidade não varia com o tempo} \text{(módulo e direção constante). Contrapõe-se ao escoamento} \text{turbulento que pode ser na fumaça de um cigarro, que} \text{muda de laminar p/ turbulento.} 2) \text{Escoamento incompressível: fluido não muda densidade} \text{que tem valor uniforme e constante.} 3) \text{Escoamento não viscoso: a viscosidade de um fluido} \text{mede a resistência que ele opõe às forças de cisalhamen} \text{tamento. Se não houver dissociação dizemos que a viscosida} \text{de é nula. A viscosidade da água, por exemplo, é res} \text{ponsável pelo frenamento de um barco, ou a força de} \text{arrasto sobre o mesmo. Em um }{fluido ideal} \text{as} \text{hélices de um barco } {não funcionariam} \text{!} 3) \text{Escoamento irrotacional: (a rigor não é necessário que} \text{fluidos ideais sejam irrotacionais). Para compreender} \text{o significado de escoamento irrotacional, imagine que} \text{colocamos uma pequena partícula em um fluido irroto} \text{acional: ela não gira em torno de seu centro de massa} \text{e isto vale p/ q.q. ponto onde coloquemos a partícula.} \text{Linhas de fluxo: trajetória seguida por partículas} \text{lançadas no fluido. Velocidade é} \text{tangente às linhas de fluxo. Maior} \text{densidade indica velocidades maiores} \cdot\text{Equação de continuidade} \text{Como o fluido ideal é incompressível, o volume de} \text{uma fração do fluido pode ser deformado mas não pode} \text{mudar.} \text{Consideremos um tubo afilado, cujo diâmetro diminui.} \text{Em um intervalo de tempo }\Delta t \text{ o volume que atravessa uma estação} \text{reta de área } A \text{ é } \Delta V = A \Delta x = A v \Delta t, \text{ conforme a} \text{figura:} \Delta V_1 = A_1 v_1 \Delta t \quad \text{ } \Delta V_2 = A_2 v_2 \Delta t \Delta V_1=\Delta V_2 a_1v_1=a_2v_2} \text{Relação entre área e velocidade é a equação de conti} \text{nuida. O produto da área pela velocidade é a vazão:} \quad R_v = A \cdot v \quad \rightarrow \quad \frac{m^3}{s} = m^3/s. \text{Se multiplicarmos a vazão pela densidade do fluido obte} \text{mos a vazão de massa:} R_m=\rho\cdot Rv\quad \text{\rightarrow \quad \frac{kg}{m^3}\cdot \frac{m^3}{s} = kg/s.} • Equação de Bernoulli: (Daniel Bernoulli - 1738) A eq. de Bernoulli relaciona a pressão, altura e velocidade de um fluido ideal e está diretamente relacionada ao teorema do trabalho-energia cinética. Ela tem a forma: P1 + 1/2 ρv1^2 + ρgy1 = P2 + 1/2 ρv2^2 + ρgy2 Equação de Bernoulli Casos particulares: • Fluido em repouso: v1 = v2 = 0 P2 = P1 + ρg (y1 - y2) • Altura constante: y2 = y1 P1 + 1/2 ρv1^2 = P2 + 1/2 ρv2^2 Se a velocidade de um fluido movendo-se na horizontal aumenta a pressão diminui e vice-versa. Física Geral 2 2014.02 71 / 77 05/10/14 O termo 1/2 ρv^2 é denominado energia cinética específica. Dado um volume ΔV em movimento, sua energia cinética é ΔK = 1/2 ρΔV.v^2 = 1/2 m.v^2 Demonstração da Eq. de Bernoulli: Teorema do trabalho-energia cinética: W = ΔK , aplicando ao elemento de fluido que inicia no ponto mais baixo e que termina na parte superior do tubo na figura acima. ΔK = 1/2 Δm v2^2 - 1/2 Δm v1^2 = 1/2 ρΔV (v2^2 - v1^2) • Trabalho da força gravitacional: Wg = - Δm . g (y2 - y1) = - ρΔV . g (y2 - y1) • Trabalho da força externa (extremidades direita e esquerda do tubo): W = F.Δx = p.A.Δx = pΔV W = -P2 ΔV + P1 ΔV = - (P2 - P1) . ΔV Física Geral 2 2014.02 72 / 77 05/10/14 Juntando todos os termos, tem-se: 1/2 ρ ΔV(v2^2 - v1^2) = - (P2 - P1).ΔV - ρg ΔV(y2 - y1) Separando os termos referentes aos pontos 1 e 2: P1 + ρg y1 + 1/2 ρv1^2 = P2 + ρg y2 + 1/2 ρv2^2 = const. • Exemplos (Bernoulli): Exemplo 14.7: Cano horizontal de calibre variável com A1 = 1,20 x 10^-3 m^2 , A2 = A1/2 , conduz etanol ρE = 789 kg/m^3 Diferença de pressão no cano Δp = 4120 Pa. Qual a vazão do etanol, RΦ? RΦ = A1 v1 = A2 v2 -> v1 = RΦ/A1 ; v2 = RΦ/A2 P1 + ρg y1 + 1/2 ρv1^2 = P2 + ρg y2 + 1/2 ρv2^2 P1 - P2 = Δp = 1/2 ρ (v2^2 - v1^2) = 1/2 ρ (RΦ/A2 - RΦ/A1) = 1/2 ρ RΦ^2/A1^2 [ 4 - 1 ] RΦ = A1 • √(( 2 (P1 - P2)/3 )) ≈ 2,24x10^-3 m^3/s = 2,24 litros/s. Física Geral 2 2014.02 73 / 77 05/10/14 • Exemplo 14.8: caixa d'água com furo a altura h abaixo da superfície da água, com furo pequeno a << A (figura!) \left(\begin{array}{c} \text{pressao } p_0 \end{array}\right) \begin{array}{c} A \rightarrow \\ v \rightarrow a \end{array} ah \\ v \rightarrow \text{pressao } p_0 Hipotese: a) Como A >> a , velocidade é nula no topo da caixa b) Pressão é p_0 tanto no topo quanto na saída da água. Bernoulli: p_0 + \frac{1}{2}\rho v_0^2 + \rho gh = p_0 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 - \rho g .0\\ v = \sqrt{2gh} • Exemplo 14.9: “Downforce” em um carro de corrida Perfil inferior do carro v_0 = 27,25 m/s ; A_0 = 0,0330 m^2 ; A_1 = 0,0310 m^2 a) Qual a pressão p_1 sob o carro? b) A_d = 4,86 m^2 \Rightarrow \text{Qual a força resultante na vertical?} a) Bernoulli: p_0 + \frac{1}{2} \rho v_0^2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho v_z^2 p_1 = p_0 -\frac{1}{2} \rho (v_0^2 - v_z^2) p_1 = p_0 -\frac{1}{2} \rho v_0^2 \left(\frac{A_2^2}{A_1^2} - 1\right) A_1v_1 = A_1v_0 \cdots v_1 = v_0 \frac{A_0}{A_1} \rho = p_{ar} = 1,21 \frac{Kg}{m^3} p_1 = p_0 - 59,832Pa \approx p_0 - 59,8 Pa b) \begin{array}{c} \downarrow \, p_0 \\ \longrightarrow \\ \downarrow \, p_1 \end{array} F_r = (p_0 - p_1)A_d \text{onde } A_d \text{ é a área horizontal do carro.} F_r = 59,832Pa, \,4,86m^2 = 291N Nota que v_0 = 27,25m/s \approx 98,1 km/h \text{ e que esta força escala com } v_0^2. \text{ Se } v_0 = 200km/h \approx 55,5m/s \text{ esta força é multiplicada por } \approx 4! • Forças atuando em um fluido A esta altura é interessante empreendedor melhor as forças que atuam num fluido. Isolamos mentalmente um “pedaço” de um fluido, sabendo que isto é uma construção mental: as moléculas não respeitam esta fronteira, passando de um lado para outro. Na média a massa no interior permanece constante mas apresenta flutuações, que serão ignoradas em nosso tratamento. Nº de moléculas no interior é tão grande que a natureza “granular” da matéria é desprezada e o fluido é tratado como um contínuo. • Forças volumétricas Forças que atuam no volume de forma que \vec{F} = \tilde{f} \Delta V, \text{onde } \tilde{f} \text{ é a densidade de força atuando no volume } \Delta V. \text{ Para um volume suficientemente pequeno esta força é uniforme no volume. Exemplo: força gravitacional, força magnética (se partícula do fluido forem magnéticas e houver um campo magnético externo), força elétrica (se moléculas são carregadas e houver um campo elétrico externo)} • Forças superficiais ou tensão As forças superficiais foram estudadas no capítulo anterior, mas que lembraremos aqui, no caso do fluido: Cisalhamento Δ𝐴 → Δ𝐹 → | → T = |Δ𝐹| / Δ𝐴 Pressão hidrostática Δ𝐴 → ↓ Δ𝐹n p = |Δ𝐹n| / Δ𝐴 → → Em um fluido real a viscosidade está relacionada à força entre duas camadas vizinhas que movem-se com velocidades diferentes, como na figura abaixo: Δ𝐹₁ Δ𝐹₂ v v+dv ① ② Em um fluido ideal, que estudaremos em breve, a viscosidade é nula, significando que não há forças entre as camadas. Física Geral 2 2014.02 77 / 77 05/10/14