Slide Equilíbrio e Elasticidade-2021 2

Equilíbrio e Elasticidade Caruaru, setembro de 2021 Equilíbrio • Moais da Ilha de Páscoa [1] Disco sobre a mesa de air hockey [2] Equilíbrio (cont..) • Para um engenheiro, projetar uma estrutura é levar em consideração principalmente: • todas as forças a que esta está submetida; • o material utilizado. [5] Estável Tende a voltar ao equilíbrio espontaneamente Instável Se tirado do estado inicial tende a aumentar o desequilíbrio Indiferente Não retorna e nem se afasta do estado inicial Equilíbrio (cont..) Condições básicas para o equilíbrio: Pela 2ª Lei de Newton para translação e rotação, respectivamente: \[ \vec{F}_{res} = \frac{d\vec{P}}{dt} \quad e \quad \vec{\tau}_{res} = \frac{d\vec{L}}{dt} \] Se o corpo está em equilíbrio translacional, \( \, \vec{F}_{res} = 0 \, \) e logo \( \, \vec{P} = constante \); Se o corpo está em equilíbrio rotacional, \( \, \vec{\tau}_{res} = 0 \, \) e logo \( \, \vec{L} = constante \). Enfim, no equilíbrio \[ \sum_{i=1}^{N} \vec{F}_i = 0 \quad e \quad \sum_{i=1}^{N} \vec{\tau}_i = 0 \] Obs: \( \, \vec{F}_i \, \) e \( \, \vec{\tau}_i \, \) são respectivamente a i-ésima força externa e torque externo que atua sobre o corpo. Equilíbrio (cont..) O O´ Obs: Se um corpo está em equilíbrio com relação às forças aplicadas a ele e também em equilíbrio com relação ao torque total calculado a partir de um determinado ponto do espaço, o corpo está em equilíbrio para qualquer outro ponto do espaço. Demonstração: =0 F1 F2 F3 Fi F4 Centro de Gravidade • x y Xi mi y x XCG Se então Se gi = g para todo i, então Equilíbrio(cont..) • Exercício 1: • Calcule a leitura nas balanças, se a viga é uniforme, de comprimento L e massa m. Suponha que o bloco acima da viga tenha massa M. B1 B2 M L/4 L m (1) Diagrama de corpo livre y o x (2) Da equação 2 tem-se que Substituindo a equação 3 na equação 1 tem-se que (3) L/4 Elasticidade – Estruturas indeterminadas Todo corpo rígido é, na verdade, ligeiramente elástico. As deformações dos corpos rígidos podem ser catalogadas em três formas: Tração (a) ou compressão (b) (tensão trativa) [6] Cisalhamento [7] Tensão hidrostática Elasticidade – Estruturas indeterminadas (cont..) • Em um teste-padrão de propriedades elásticas, obtêm-se a curva abaixo (para tensão trativa): Faixa de deformação permanente No regime linear, tensão = módulo X deformação Assim, para a tensão e compressão Para o cisalhamento Para a tensão hidrostática [8] Módulo de Young Módulo de Cisalhamento Módulo de elasticidade volumétrica Elasticidade – Estruturas indeterminadas (cont..) • Exercício 2: • (Qs39(7ª),45(8ª),49(9ª,10ª)) Na figura, um tronco uniforme de 103kg está pendurado por dois fios de aço, A e B, cujo raio é 1,20mm. Inicialmente, o fio A tinha 2,50m de comprimento e era 2,00 mm mais curto que o fio B. O tronco está agora na horizontal. Qual é o módulo da força exercida sobre o tronco (a) pelo fio A e (b) pelo fio B? (c) Qual é o valor da razão dA/dB? y x dA dB CM (1) (2) [9] Elasticidade – Estruturas indeterminadas (cont..) • Exercícios Qs 36,32 (8ª , 9ª e 10ª edição) A motorista de um carro que se move em uma estrada horizontal faz uma parada de emergência aplicando os freios de tal forma que as quatro rodas ficam bloqueadas e derrapam na pista. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a pista é 0,40. A distância entre os eixos dianteiro e traseiro é L = 4,2m e o centro de massa está a uma distância d = 1,8m atrás do eixo dianteiro e a uma altura h = 0,75m acima da pista. O carro pesa 11kN. Determine: (a) o módulo da aceleração do carro durante a frenagem; (b) as forças normais que as rodas dianteiras e traseiras são submetidas; (c) as forças de frenagem nas rodas. v CM d h fatt fatd Nd Nt Diagrama de corpo livre x y L [9] Fg • v CM d L h fatt fatd Nd Nt Mg Diagrama de corpo livre x y Fg Exercícios (cont..) Qs. 51 (8ª, 9ª e 10ª edição) A figura abaixo é uma vista superior de uma barra rígida que gira em torno de um eixo vertical até que dois calços de borracha exatamente iguais, A e B, situados a rA = 7,0 cm e rB = 4,0 cm de distância do eixo sejam empurrados contra paredes rígidas. Inicialmente, os calços tocam as paredes sem sofrer compressão. Em seguida, uma força F de módulo 220N é aplicada perpendicularmente à barra a uma distância R = 5,0 cm do eixo. Determine o módulo da força que comprime (a) o calço A e (b) o calço B. Diagrama de corpo livre y x Figuras (1) https://aventurasnahistoria.uol.com.br/noticias/reportagem/historia-ilha-de-pascoa-rapa- nui.phtml (2) https://br.freepik.com/fotos-premium/mesa-de-air-hockey-com-iluminacao-para-janelas-e- taco-de-hoquei-em-brinquedo-vermelho_6474768.htm (3) http://1.bp.blogspot.com/_qKVSQJPy7jg/SXdHzmiRDII/AAAAAAAAAf8/2Bu20_Zd- iU/s400/1.bmp (4) https://www.aeroflap.com.br/_tiposdesasa_diedro/ (5) http://www-civ.eng.cam.ac.uk/civils.html (6) https://www.researchgate.net/figure/Figura-38-Esforcos-de-tracao-e-compressao-adaptado- de-SOUZA-1982_fig17_317869743 (7) https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Cisalhamento.PNG (8) https://www.researchgate.net/figure/Figura-15-Curva-tensao-deformacao-de-um-aco-de-alta- resistencia-17_fig7_276288572 (9) Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, Vol. 2, 9ª Edição, Editora LTC Fluidos • Def. Do latim fluere (“fluir, escorrer”), um fluido é uma substância que pode escoar. Ele assume o formato do recipiente que o contém e distingue-se dos sólidos por não possuírem arranjo ordenado de longo alcance. Não possui forma específica ➡️ melhor definir massa específica, pressão • Massa específica (≠densidade) ρ = limΔV→0 Δm/ΔV. Se o fluido possui massa específica uniforme, ρ = m/V. Algumas Massas Específicas Substância ou Objeto Espaço interestelar 10^-20, Melhor vácuo em laboratório 10^-17, Ar: 20°C e 1 atm de pressão 1,2 20°C e 50 atm 50 Isopor 7-30 Gelo 917, Água: 20°C e 1 atm 1,0x10^3, 20°C e 50 atm 1x10^3, Água do mar: 20°C e 1 atm 1,03x10^3 Sangue 1,06x10^3 Ferro 7,9x10^3 Mercúrio (o metal, não o planeta) 13,6x10^3 Terra: média núcleo 5,5x10^3 crosta 2,8x10^3 Sol: média núcleo 1,4x10^5 Anã branca (núcleo) 1,6x10^9 Buraco negro 3x10^17 Fluidos (cont..) • • Pressão p Considere um pequeno sensor de pressão suspenso em um recipiente cheio de fluido. p = limΔA→0 ΔF/ΔA e se F é uniforme sobre ΔA, p = F/A *OBS: 1. Se o fluido está em repouso, p independe da orientação do êmbolo; 2. p é uma grandeza escalar; 3. No SI, [p] = N/m^2 = 1 Pascal = 1Pa. Algumas Pressões Centro do Sol 2x10^16 Centro da Terra 4x10^11 Maior pressão constante em laboratório 1,5x10^10 Maior fossa oceânica (no fundo) 1,1x10^8 Salto de agulha em uma pista de dança 1x10^6 Pneu de automóvel 2x10^5 Atmosfera ao nível do mar 1,0x10^5 Pressão arterial sistólica normal 1,6x10^4 Melhor vácuo obtido em laboratório 10^-12 Fluidos (cont..) • • Pressão p (cont..) 4. 1Pa = 1/(1,01x10^5) atm = 760/(1,01x10^5) torr = 14,7/(1,01x10^5) lb/in^2 Mm Hg libras/polegadas^2 = psi 1libra força = 4,448N 1 polegada = 2,54 cm Ex. 1. Pressão arterial comum – “12 por 8” : 120 mmHg (pressão sistólica de contração do ventrículo) por 80 mmHg (pressão diastólica de relaxamento do ventrículo recebendo sangue). Ex. 2. Calibração de Pneus típica 30 psi ∼2,04 atm∼2,07 . 10^5 Pascal Ex. 3. Se um ambiente possui dimensões 15m x 8m x 3m qual é o peso do ar se a pressão é de 1 atm? P = mg = ρVg = 1,21 kg/m^3 . (15 . 8 . 3)m^3 . 9,8m/s^2 = 4,3kN. (peso de aprox. 20 garrafões de água de 20l!!!!!) Qual é a força sobre nossas cabeças? F = pA = 1atm . (1,01 . 10^5 Pa/atm) . 0,02m^2 = 2,02kN!!!!! Hidrostática (fluidos uniformes em repouso) Ar Água y O y1, p1 y2, p2 Diagrama de corpo livre da amostra de água Pressão total Pressão atmosférica na superfície Pressão manométrica Hidrostática (cont..) • Ex: Suponha um mergulhador subindo rapidamente à superfície, partindo inicialmente de uma profundidade L=1m, com os pulmões inflados, e não podendo exalar o ar durante a subida. Qual a variação de pressão que o seu pulmão sofre? Δp=ρLg=998\frac{kg}{m^3}·1m·9,8\frac{m}{s^2}=9780,4Pa\sim0,1atm Obs. Perceba que a cada 10m, Δp=1atm. Instrumentos de medição de pressão: o barômetro de mercúrio (Torricelli, 1643) [1] *Para valores de g e ρ diferentes, correções devem ser feitas. [3] Instrumentos de medição de pressão: o manômetro de tubo aberto (Varignon, 1705) • y Nível 1 Nível 2 O [4] O princípio de Pascal (1646) Uma variação de pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitido integralmente a todas as partes deste fluido, e as paredes do recipiente. 0 Aplicação: o macaco hidráulico (R. Dudgeon, 1851) [1] [1] O princípio de Arquimedes (287-212 A.C.) Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido, uma força de empuxo FE exercida pelo fluido age sob o corpo. A força é dirigida para cima e tem módulo igual ao peso mfg do fluido deslocado pelo corpo. FE [5] [6] Hidrodinâmica em fluidos ideais • [7] [7] [8] Equação da continuidade (Euler, 1757) [1] Equação de Bernoulli (D. Bernoulli, 1738) [1] A F Equação de Bernoulli (D. Bernoulli, 1738) • [9] Aplicação da Eq. de Bernoulli *Velocidade atingida por V. Bottas em 2016. Ah Fdown 1400 Pa Fup * [1] -5600 N Exercícios Qs 42, 36 (8ª, 9ª e 10ª) Exercícios Qs 65, 71 (8ª, 9ª e 10ª edição) Ar Água y O H h Nível 1 Nível 2 Exercícios Qs 65, 71 (cont..) (b) x_1 = x_2 = 2 \sqrt{h_1(H-h_1)} = 2 \sqrt{h_2(H-h_2)} h_1H - h_1^2 = h_2H - h_2^2, h_2^2 - Hh_2 + h_1(H-h_1) = 0 e logo h_2 = \frac{H \pm \sqrt{H^2 - 4·1·(H-h_1)}}{2} h_2 = 10cm ou 30cm (c) \frac{dx}{dh} = 0 \frac{dx}{dh} = 2 · \frac{1}{2} (h(H-h))^{-\frac{1}{2}} · (H-2h) = 0 \frac{H-2h}{\sqrt{h(H-h)}} = 0 h = \frac{H}{2} = 20cm. Referências • [1] Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, Vol. 2, 9ª Edição, Editora LTC; • [2] http://sportadventureutad.blogspot.com/2009/12/mergulho-em-apneia-quem-gosta-de- agua.html; • [3] https://www.wikiwand.com/en/Torricelli%27s_experimente; • [4] https://www.liberaldictionary.com/manometer/; • [5] http://www.bertolo.pro.br/Biofisica/Fluidos/pbuoy.htm • [6] https://dicasdeciencias.com/2009/07/28/eureka-arquimedes/ • [7] https://ppt-online.org/247813 • [8] https://www.researchgate.net/figure/Streamlines-around-an-airfoil-in-an-incompressible- flow_fig6_242112537 • [9] http://hydrogen.physik.uni-wuppertal.de/hyperphysics/hyperphysics/hbase/pber.html • [10] https://pt.dreamstime.com/ilustra%C3%A7%C3%A3o-stock-carro-de-compet%C3%AAncia- r%C3%A1pido-vermelho-da-f%C3%B3rmula-no-t%C3%BAnel-de-vento-image90901988 GRAVITAÇÃO setembro/outubro de 2021 [1] Gravitação - Introdução Terra – Sistema Solar – Via Látea (Galáxia) – Grupo Local de Galáxias (Via Láctea, Andrômeda, galáxias anãs como Grande Nuvem de Magalhães) – Superaglomerado Local de Galáxias (Galáxias do Grupo Local + etc..) [2] Sistema Solar = 8 planetas + 5 planetas anões + satélites naturais + corpos menores (asteróides e cometas) [3] Gravitação - Introdução • Planeta – corpo que orbita uma estrela. É grande o suficiente para que sua própria gravidade o deixe com formato aproximadamente “redondo” e tenha “limpado” sua vizinhança de objetos menores em sua órbita. Diâmetro d ≥ 4000km. • Plutão possui diâmetro d = (2306 ± 20)km. Deixou em 2006 de ser visto com um planeta e hoje é conhecido como sendo um planeta anão; • A distância comóvel da Terra ao limite do Universo visível (horizonte cósmico de luz) é de cerca de 14 bilhões de Parsec = 46 bilhões de anos-luz \sim10^{26}m (lembre que o Universo está em expansão a uma taxa de 74 km/s por megaParsec*); • Quantidades úteis: • Massa da Terra – 5,48 * 10^{24}kg; • Raio médio da Terra – 6,37 * 10^6m; • Distância média Terra-Sol – 1,5 * 10^{11}m (1 Unidade Astronômica -1 U.A.); • Distância Terra-Lua – 3,82 * 10^8m; • Massa do Sol – 1,99 * 10^{30}kg (99,86% da massa do sistema solar, 332.900m_{Terra},1,3 * 10^6 V_{Terra}). • Unidades de comprimento úteis: • 1 ano-luz \sim 9,5 * 10^{12} km=vel. da luz no vácuo* 1ano = 3 * \frac{10^8 m}{s} * 365dias * \frac{24horas}{dia} * \frac{60min}{hora} * \frac{60s}{min}; • 1 Parsec \sim3,1 * 10^{13}km=distância de um objeto cuja paralaxe anual média vale 1” de arco; • 1 Paralaxe = diferença na posição de um objeto visto por um observador em locais distintos; Gravitação • Def. Tendência dos corpos de se atraírem mutuamente. Em 1687, Newton formulou uma lei, a chamada lei da gravitação universal, que diz que toda partícula de massa (m_1) do Universo atrai todas as outras partículas (cada uma m_2) através da força gravitacional dada, em módulo, por F = G m_1 m_2 / r^2 onde m_1 e m_2 são as massas das partículas, r é a distância entre elas, G é a constante gravitacional dada por 6,67 * 10^-11 Nm^2/kg^2 = 6,67 * 10^-11 m^3/kgs^2 Força Gravitacional F_12 = -F_21 = Gm_1m_2 (r_2 - r_1) / |r_2 - r_1|^3 Observações: 1. As duas forças F_12 e F_21 formam um par cujo valor independe da presença de outros corpos, mesmo estando entre os mesmos m_1 e m_2; 2. A força gravitacional é uma força central; 3. F depende de G; 4. A lei de gravitação pode ser aplicada a corpos maciços. Basta que as dimensões dos corpos sejam desprezíveis com relação à distância entre eles. Ex: r_Terra = 6.371km, r_Lua = 1.737km, d_Terra–Lua = 384.405km e logo d_Terra–Lua/ r_Terra = 60,34 e d_Terra–Lua/ r_Lua = 221,25; 5. A força gravitacional obedece o princípio da superposição; 6. A força gravitacional obedece o teorema das cascas; 7. A força gravitacional é uma força conservativa. Força Gravitacional • Terra maçã Princípio da Superposição • 1 2 3 4 5 6 N-1 N Teorema das cascas “Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da casca como se toda a massa da casca estivesse concentrada no seu centro”. Prova: Cada elemento de força é dado por . Por simetria, apenas a componente Fr sobrevivi. Logo, e . Note que o elemento de área da calota esférica dA é dado por e para uma distribuição de massa homogênea . [6] Teorema das cascas (cont..) Logo, dM = M/4πR^2 dA = 1/2 M sinθ dθ. Substituindo na expressão da força temos que F = Gm ∫ (1/s^2) (1/2 M sinθ dθ) cosϕ e então F = GmM/2 ∫ (sinθ cosϕ / s^2) dθ. Pela lei dos cossenos temos que R^2 = r^2 + s^2 - 2rs cosϕ ou cosϕ = (r^2+s^2−R^2) / 2rs. Da mesma forma, s^2 = R^2 + r^2 - 2Rr cosθ ou cosθ = (R^2+r^2−s^2) / 2Rr de modo que d(cosθ) = d((R^2+r^2−s^2)/2Rr) e Teorema das cascas (cont..) • -\sin \theta \, d\theta = \frac{-2S}{2Rr} \frac{ds}{S} = -\frac{s}{Rr} ds. \text{ Substituindo na expressão da força} F = \frac{GmM}{2} \int \frac{\cos \phi}{S^2} \frac{S}{Rr} ds = \frac{GmM}{2Rr} \int \frac{\cos \phi}{S} ds F = \frac{GmM}{2rR} \int \frac{1}{S} \left( r^2 + S^2 - R^2 \right) \frac{ds}{2rS} F = \frac{GmM}{4r^2R} \int \left[ 1 + \frac{r^2 - R^2}{S^2} \right] ds Teorema das cascas (cont..) • [6] [6] Energia potencial gravitacional U • A energia potencial U é uma propriedade do sistema e não de uma partícula isoladamente. Entretanto, se, por exemplo, num sistema de suas partículas m e M, M>>m, pode-se falar em energia potencial do objeto M (Terra-objeto, por exemplo). Energia potencial gravitacional U • 0 Note que W só depende da informação no inicio e no final da trajetória. O produto vetorial dá “peso zero” a deslocamentos perpendiculares. Logo, o trabalho independe da trajetória e a força é conservativa. Velocidade de escape • Define-se a velocidade de escape a menor velocidade de um corpo sem propulsão que consegue vencer o campo gravitacional e ir a distâncias infinitas, sempre em movimento ascendente. Se na superfície da Terra, a energia mecânica do sistema objeto (massa M)-Terra é dado por E_{mec} = K + U = \frac{1}{2} mv^2 - G \frac{mM}{R}, no infinito U \rightarrow 0 e K \rightarrow 0 (condição mínima) e E_{mec}^i = \frac{1}{2} mv^2 - G \frac{mM}{R} = E_{mec}^f = 0 \text{(conservação de energia mecânica)}. Logo, v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}. Se supormos que a Terra é uma esfera uniformemente distribuída, \rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} e logo v_{esc} = \sqrt{\frac{2G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{8G \rho \pi}{3}} R. v_{esc} \propto R ! Velocidade de escape Corpo celeste Diâmetro Equatorial (km) Vesc (km/s) Lua 1.740 2,4 Mercúrio 4.880 4,3 Marte 6.790 5,0 Venus 12.100 10,3 Terra 12.800 11,2 Urano 51.800 21,2 Netuno 49.500 23,6 Saturno 120.000 35,6 Júpiter 143.000 59,5 Sol 696.000 617,5 Gravitação nas proximidades da superfície da Terra • ag (m/s2) r 9,83 Raio da Terra (RTerra) 9,80 Rterra+Altura do Everest (8.800m) 8,70 Rórbita do ônibus espacial (RTerra+400km) 0,225 Rsatélite de comunicações (RTerra+35700km) Gravitação nas proximidades da superfície da Terra (cont..) • ag não possui o mesmo valor em qualquer lugar da superfície da Terra, pois: (a) A massa da Terra não é uniformemente distribuída; (b) A Terra não é uma esfera perfeita; (c) A Terra está girando. [7] [8] Formato real da Terra – Uma geóide [9] [10] [11] A Terra está girando A Terra gira em torno de si, através de um eixo que passa pelos polos Norte e Sul. Logo, um objeto localizado em qualquer lugar da superfície da Terra, exceto nos polos, descreve uma circunferência em torno do eixo de rotação e, consequentemente, possui aceleração centrípeta associada ac. [7] Gravitação no interior da Terra • Pelo teorema das cascas, uma casca uniforme de matéria não exerce força gravitacional resultante sobre uma partícula localizada no seu interior. Desse modo, uma partícula que se move no interior da Terra tem a força gravitacional: • reduzida, pois à medida que se move em direção ao centro menos massa permanece dentro da casca; • acrescida, pois F_g \propto r^{-2}. Qual fator prevalece? Se a Terra fosse realmente uniforme, o 1º fator prevaleceria! Exemplo 13-4: Supondo a Terra uniforme, como a força gravitacional varia com a distância ao centro da Terra? Pelo Teorema das cascas, F = Gm \frac{M_{int}}{r^2}. Mas \rho = \frac{M}{V} = \frac{M_{int}}{V_{int}} = \frac{M_{int}}{\frac{4}{3} \pi r^3} e logo F = Gm \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \rho}{r^2} = \frac{4}{3} \pi \rho Gmr. \text{Na verdade,} \vec{F} = -k\vec{r}, \text{onde } k = \frac{4}{3} \pi \rho Gm. No caso real, onde a Terra é não-uniforme, a força aumenta, atinge um máximo e depois cai. Leis de Kepler • 1. Lei das Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos. b m [12] [13] Leis de Kepler • 2. Lei das Áreas: A reta que une um planeta ao Sol varre áreas iguais, no plano da orbita do planeta, em intervalos de tempo iguais, ou seja, a taxa de variação \( \frac{dA}{dt} = \text{constante} \rightarrow L \text{ constante!} \) Área do triângulo = \( A_T = \frac{1}{2} r^2 \Delta \theta \) Área da cunha = \( \lim_{\Delta \theta \to 0} A_T = \frac{1}{2} r^2 d \theta \) \( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d \theta}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega \) \[ \overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p} \text{ induz } L = rp_\perp = r(mv_\perp) = r(m \omega r) = m \omega r^2 \] \[ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega = \frac{L}{2m} = \text{constante!} \] \[ (\overrightarrow{\tau}_{res} = \overrightarrow{\tau}_{res,ext} = \frac{d \overrightarrow{L}}{dt} = 0) \] Leis de Kepler • 3. Lei dos períodos: O quadrado do período de revolução de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior \( a \) de sua órbita. Suponha uma órbita circular, ou elipsoidal de baixa excentricidade. \( F = ma_c = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r = F_G = G\frac{Mm}{r^2} \) \( \omega^2 r = G\frac{M}{r^2} \text{ e como } \omega = \frac{2 \pi}{T}, 4 \pi^2 r^3 = G M \text{ e} \) \(|T^2 = \left(\frac{4 \pi^2}{G M}\right)r^3\) A equação também é válida para órbitas elípticas, desde que \( r \) seja substituído por \( a \), o semi-eixo maior da elipse. Logo, \( \frac{T^2}{a^3} = \text{constante para toda e qualquer órbita planetária em torno de um corpo de grande massa. No sistema solar, por exemplo, } \frac{T^2}{a^3} \sim 3 \times 10^{-34} anos^2 / m^3 \) A Lei de Kepler na forma anterior é uma aproximação válida quando o corpo no foco possui massa \( M \gg m \), o planeta que orbita. Porém, a forma mais rigorosa para luas ou estrelas binárias é dado por \( T^2 = \left(\frac{4 \pi^2}{G (m + M)}\right)a^3 \) Satélites: Órbitas e Energias • [7] Exercícios • Qs59 (8ª, 9ª e 10ª edição) – Três estrelas iguais de massa \( M \) formam um triângulo equilátero que gira em torno do centro enquanto as estrelas se movem ao longo de uma mesma circunferência. O lado do triângulo possui um comprimento \( L \). Qual é a velocidade das estrelas? \[ F_R = M a_c = M \frac{v^2}{R} = 2 F_{MM} \cos \theta, \text{ onde } F_{MM} = G \frac{M^2}{L^2}. \] Mas \( L^2 = b^2 + H^2 \), onde \( b = \frac{L}{2} \) e então \( L^2 = \frac{L^2}{4} + H^2 \therefore H = \frac{L \sqrt{3}}{2}. \) Note também que \( \cos \theta = \frac{H}{L} \) e que pela lei dos cossenos \( L^2 = R^2 + R^2 - 2RR \cos \phi. \) Como \( \phi = 120° \), \( \cos 120° = -1/2 \) e \( L^2 = 2R^2 + R^2 e L = R \sqrt{3}. \) Substituindo toda a informação na força temos enfim que \( F_R = 2 \left(G \frac{M^2}{L^2}\right) \frac{\sqrt{3}}{2} = M \frac{v^2}{R} = M \frac{v^2}{L} \sqrt{3} \therefore v = \sqrt{\frac{GM}{L}} \). Exercícios 8 Qs 65 (8ª, 9ª e 10ª edição) – Um satélite está em órbita circular de raio r em torno da Terra. A área A delimitada pela órbita é proporcional a r², já que A = πr². Determine a forma da variação com r das seguintes propriedades do satélite: (a) o período, (b) a energia cinética, (c) o momentum angular e (d) a velocidade escalar. (a) F_G = ma_C = G\frac{Mm}{r²} = m\frac{v²}{r} = m\frac{m}{r}ω²r² = mω²r = m\left(\frac{2π}{T}\right)²r Logo, G\frac{Mm}{r²} = m\left(\frac{2π}{T}\right)²r e T = \frac{2π}{\sqrt{GM}}r^{\frac{3}{2}} ∴ T ∼ r^{\frac{3}{2}} (b) K = \frac{1}{2}mv² = \frac{1}{2}\left(\frac{GMm}{r}\right) ∴ K ∼ r^{-1} (c) L = rp_⊥ = rmv_⊥ = rmωr = mωr² = m\left(\frac{2π}{T}\right)r² = m\sqrt{GMr^{\frac{1}{2}}} ∴ L ∼ r^{\frac{1}{2}} (d) v_⊥ = ωr = \frac{2π}{T}r = \sqrt{GMr^{-\frac{1}{2}}} ∴ v_⊥ ∼ r^{-\frac{1}{2}} Referências • [1] https://www.youtube.com/watch?v=17jymDn0W6U&feature=related • [2] http://www.asmaravilhasdoceuestrelado.com.br/2014/11/conheca-nosso-endereco-cosmico.html • [3] https://www.elo7.com.br/banner-sistema-solar-90x60cm-ilhos/dp/D92EBC • [4] https://pt.wikipedia.org/wiki/Parsec • [5] http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/universitario/cap09/cap09_32.htm • [6] https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_das_cascas_esf%C3%A9ricas • [7] Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e J. Walker, vol. 2, 8ª edição, editora LTC; • [8] https://cursoenemgratuito.com.br/simulado-de-camadas-da-terra/ • [9] https://www.youtube.com/watch?v=tjx0KcDH7pQ&feature=emb_logo • [10] https://www.youtube.com/watch?v=qu-o75pe5GY&feature=emb_logo • [11] https://targetagrimensura.com.br/2019/07/17/altitude-ortometrica-e-altitude-geometrica-voce-sabe-a- diferenca-entre-elas/ • [12] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kepler.html • [13] http://press.exoss.org/asteroide-a2017-u1-pdoe-ser-um-visitante-interestelar/