Slide Oscilações Parte I-2021 2

Se x_p(t) = x_p^0 \sin(\omega t + \delta_2) (6), a equação (4) fica -\omega^2 x_p^0 \sin(\omega t + \delta_2) + \omega^2 x_p^0 \sin(\omega t + \delta_2) = A \sin \omega t x_p^0 (\omega_0^2 - \omega^2) \sin(\omega t + \delta_2) = A \sin \omega t x_p^0 (\omega_0^2 - \omega^2) [\sin \omega t \cos \delta_2 + \cos \omega t \sin \delta_2] = A \sin \omega t [x_p^0 (\omega_0^2 - \omega^2) \cos \delta_2 - A] \sin \omega t + x_p^0 (\omega_0^2 - \omega^2) \sin \delta_2 \cos \omega t = 0. \delta_2 = 0, e x_p^0 = \frac{A}{\omega_0^2 - \omega^2}. x(t) = x_c(t) + x_p(t) = x_c^0 \cos(\omega_0 t + \delta_1) + \frac{A}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin \omega t. Mas x(0) = 0 = x_c^0 \cos(\delta_1) e logo \delta_1 = \pm \frac{\pi}{2}. x(t) = \pm x_c^0 \sin \omega_0 t + \frac{A}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin \omega t. Também \dot{x}(0) = 0. Logo, \pm \omega_0 x_c^0 + \omega \frac{A}{\omega_0^2 - \omega^2} = 0 e x_c^0 = \frac{A \omega / \omega_0}{\omega_0^2 - \omega^2}. Enfim, x(t) = -\frac{A \omega / \omega_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin \omega_0 t + \frac{A}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin \omega t e x(t) = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)} \left[ \sin \omega t - \frac{\omega}{\omega_0} \sin \omega_0 t \right]. Exercício 2. • Qs 87, cap. 14 Tipler (vol1. 6ª edição) Um corpo de 2,00kg oscila preso a uma mola que tem constante de força igual a 400N/m. A constante de amortecimento linear vale b = 2,00 kg/s. O sistema é excitado por uma força senoidal de valor máximo igual a 10,0N e frequência angular \omega = 10,0 rad/s. (a) Qual a amplitude das oscilações? (b) Se a frequência de excitação varia, em que frequência ocorrerá ressonância? (c) Qual é a amplitude de oscilação na ressonância? (d) Qual é a largura da curva de ressonância \Delta \omega? Resolução: \omega_0^2 = \frac{k}{m} = \frac{400 \text{ N/m}}{2 \text{ kg}} = 200 \text{ rad}^2 \text{ s}^{-2}, \beta = \frac{b}{2m} = \frac{2 \text{ kg/s}}{2*2 \text{ kg}} = 0,5 \text{ s}^{-1}, A = \frac{F_0}{m} = \frac{10 \text{ N}}{2 \text{ kg}} \frac{5 \text{ m/s}^2} (a) D = \frac{A}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \beta^2 \omega^2}} = \frac{5 \text{ m/s}^2}{\sqrt{(200 \text{s}^{-2} - 100 \text{s}^{-2})^2 + 4*0,25^2*100 \text{s}^{-2}}} = \frac{5 \text{ m/s}^2}{\sqrt{10100 \text{s}^{-2}}} = 4,98 * 10^{-2} \text{ m}. (b) \omega_R = \sqrt{\omega_0^2 - 2 \beta^2} = \sqrt{200 \text{s}^{-2} - 2 * 0,25 \text{s}^{-2}} = 14,1 \text{ rad/s} (c) D(\omega_R) = \frac{A}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega_R^2)^2 + 4 \beta^2 \omega_R^2}} = \frac{A}{4 \beta^2 \omega_0^2 - 8 \beta^4} = \frac{A}{2 \beta \omega_0^2 - \beta^2} = \frac{5 \text{ m/s}^2}{2*0,5 \text{s}^{-1}*200 - 0,25 \text{s}^{-2}} = 35,4 * 10^{-2} \text{ m}. (d) A largura \Delta \omega é medida pela separação das frequências que impõe a amplitude ser \frac{1}{\sqrt{2}} D_{max}, onde D(\omega_R) = D_{max} = \frac{A}{2 \beta \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}. Se \omega \to \omega_0, |\omega_0 - \omega| << \omega_0, e \omega_0^2 - \omega^2 = (\omega_0 - \omega)(\omega_0 + \omega) \approx 2 \omega_0 (\omega_0 - \omega) e D = \frac{A}{2 \omega_0 \sqrt{(\omega_0 - \omega)^2 + \beta^2}}. • Logo, D = \frac{A}{2 \omega_0 \sqrt{(\omega_0 - \omega)^2 + \beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} D_{max} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{A}{2 \beta \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}} \right). \beta \sqrt{2(\omega_0^2 - \beta^2)} = \omega_0 \sqrt{(\omega_0 - \omega)^2 + \beta^2} 2 \beta^2 \omega_0^2 - 2 \beta^4 = \omega_0^2(\omega_0 - \omega)^2 + \omega_0^2 \beta^2 \omega_0 - \omega = \frac{\pm \beta}{\omega_0} \sqrt{\omega_0^2 - 2 \beta^2} \omega = \omega_0 \pm \frac{\beta}{\omega_0} \sqrt{\omega_0^2 - 2 \beta^2} e \Delta \omega = \frac{2 \beta}{\omega_0} \sqrt{\omega_0^2 - 2 \beta^2} \approx 2 \beta. \Delta \omega = 2 \beta = 1,00 \frac{\text{rad}}{\text{s}}. Movimento Harmônico Simples (MHS) [5] Movimento Harmônico Simples (MHS) • [5] [9] Qs 24 (cont...) μₛmg - kxₘ = Maₘ (6). Em geral x = xₘ cos(ωt + φ) e como em t = 0, x = xₘ, φ = 0 e logo x = xₘ cos ωt. Neste caso, ẍ = -ω²xₘ cos ωt e em t = 0, a = ẍ = -ω²xₘ. Substituindo na eq. (6) μₛmg - kxₘ = M(-ω²xₘ) e isolando xₘ: xₘ = ₘᵤₛmg/(k-Mω²) (7). Mas ω = √(k/(M+m)) (8). Substituindo a eq. (8) na eq. (7) temos finalmente que xₘ = ₘᵤₛg/k (M + m) A lei do MHS • Pela 2ª Lei de Newton, 𝐹⃗ = 𝑑𝑑𝑡𝑝⃗ = m𝑑𝑑𝑡𝑣⃗ = m𝑑²𝑑𝑡²𝑥(t)x̂ = mẍx̂, onde ẍ ≡ 𝑑²𝑑𝑡²x. Logo, 𝐹 = mẍ = m(-ω²xₘ cos(ωt + φ)) = -mω²x(t) = -kx (força restauradora proporcional ao deslocamento), onde k = mω². Se ω = 2π/T então T = 2π√(m/k). Enfim, 𝐹 = -kx = mẍ e mẍ + mω²x = 0. Ou melhor ẍ + ω²x = 0. O MHS é então o movimento executado por uma partícula sujeita a uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento. Exemplo mais simples: o sistema massa-mola (oscilador harmônico simples linear) ω = √(k(constante elástica)/m(massa do bloco)) Se ω = 2π/T, então T = 2π√(m/k) (Se m↓ e/ou k↑, T↓. Se m↑ e/ou k↓, T↑). [5] Sistemas físicos executando MHS Pêndulo de torção Pêndulo simples x y Pêndulo físico x y [5] [5] [5] [5] Movimento Harmônico Simples (MHS) e Movimento Circular Uniforme (MCU) O MHS pode ser entendido como a projeção do MCU no diâmetro da circunferência ao longo do qual acontece o movimento circular. [5] [8] Exercícios • Qs 24 (26) da 8ª (9ª) edição m Diagrama de corpo livre de m x y M x y Diagrama de corpo livre de M [5] mg FmM FN Mg FMm A energia do MHS • Em um MHS, o sistema não apresenta forças dissipativas e, logo, a energia mecânica se conserva. Se 𝐹 = -kx, o trabalho realizado pela força elástica 𝑊 = ∫Fdx = -k ∫xdx = -k x²/2 |ₓₜₑₓ ₓᵢ = -k/2 (xᵣ² - xᵢ²). Supondo xᵢ = x e xᵣ = 0, 𝑊 = 1/2 kx². Como 𝑊 = -ΔU = -(Uᵢ - Uᵢ) = Uᵢ, então a energia potencial torna-se U(x) = 1/2 kx². Lembrando que x(t) = xₘ cos(ωt + φ), então 𝑈(x) = 1/2 kxₘ²cos²(ωt + φ) (energia associada à mola). A energia cinética é dada por K = 1/2 mv² = 1/2 mω²xₘ²sin²(ωt + φ). Mas ω²m = k, e logo K = 1/2 kxₘ²sin²(ωt + φ). A energia mecânica é dada por 𝐸ₘₑc = K + U = 1/2 kxₘ² = cte! [5] Exercícios •Qs 37 (todas as edições) Diagrama de corpo livre da massa m: y [5] Fg fel Qs. 37 (cont..) • (a) \( \omega = 2 \pi f = \sqrt{\frac{k}{m}} \) (12). Se o sistema fosse amortecido, a massa iria parar de modo que \( f_{el} = ky'_\text{eq} = mg = F_g \) (13). Da eq.(13) \( \frac{k}{m} = \frac{g}{y'_\text{eq}} \). Mas \( y'_\text{eq} = 0,05 m \) e logo \( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{0,05}} = 2,2 \text{Hz} \). (b) \( y' = 0,08 = \frac{mg}{k}\left[ 1 - \cos \sqrt{\frac{k}{m}}t \right] = 0,05 \left[ 1 - \cos \sqrt{\frac{g}{y'_\text{eq}}}t \right] \). Isolando \( t \), \( t = \sqrt{\frac{y'_\text{eq}}{g}} \cos^{-1}(-0,6) \) (14). Mas da eq.(11), \( v = \frac{dy'}{dt} = g \sqrt{\frac{m}{k}} \sin \sqrt{\frac{k}{m}}t \) (15). Substituindo eq.(14) na eq.(15) \( v' = g \sqrt{\frac{y'_\text{eq}}{g}} \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}} \frac{y'_\text{eq}}{g} \cos^{-1}(-0,6) \right) = 0,8 \sqrt{g y'_\text{eq}} = 0,56 \text{m/s} \). (c) Se \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \) no momento inicial, agora \( \omega' = \sqrt{\frac{k}{m+0,3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} \). Logo, \( m = 0,1 \text{kg} \). (d) A nova posição de equilíbrio é tal que \( ky'_\text{n_eq} = (m+0,3)g \) e logo \( y'_\text{n_eq} = \frac{(m+0,3)g}{k} \). Note que \( \omega'^{-2} = 4\left( \frac{m}{k} \right) = 4 \frac{y'_\text{eq}}{g} \) e enfim, \( y'_\text{n_eq} = 4 y'_\text{eq} = 0,2m \). Referências • [1] https://cnx.org/contents/5yJmm774@1.2:_9ngt7Ks@7/Damped-Oscillations; • [2] https://br.freepik.com/vetores-premium/ilustracao-de-silhueta-de-uma-crianca-em-um-balanco_2228260.htm; • [3] https://fellrnr.com/wiki/Vertical_Oscillation; • [4] https://technologystudent.com/forcmom/motion1.html; • [5] Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e J. Walker, vol. 2, 8ª edição, editora LTC; • [6] https://www.youtube.com/watch?v=ieiOJLMrCts; • [7] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html; • [8] University Physics, Samuel J. Ling, Jeff Sanny and Moebs William, vol. 1, editora Openstax. • [9] https://pt.wikipedia.org/wiki/Movimento_harm%C3%B4nico_simples Oscilações – parte II Caruaru, outubro de 2021 Movimento Harmônico Amortecido Suponha uma força dissipativa \( F_a = -bv \). \( b \equiv \text{constante de amortecimento} \). No SI, \([b] = \frac{N}{m/s} = \frac{kg m/s^2}{m/s} = kg/s \). Pela 2ª Lei de Newton, \( m\ddot{x} = -kx - bv \) e logo \( \ddot{x} + \frac{b}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = 0 \). Se \( \omega_0^2 = \frac{k}{m} \) e \( \beta = \frac{b}{2m} = \text{parâmetro de amortecimento} \), \( \ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \). Como resolver? Suponha \( x = e^{rt} \). Então \( \dot{x} = re^{rt}, \ddot{x} = r^2 e^{rt} \) e \( r^2 e^{rt} + 2\beta r e^{rt} + \omega_0^2 e^{rt} = 0 \) \( (r^2 + 2\beta r + \omega_0^2)e^{rt} = 0 \) \( r^2 + 2\beta r + \omega_0^2 = 0 \). \[ r = \frac{-2\beta \pm \sqrt{4\beta^2 - 4\omega_0^2}}{2} \] \[ x(t) = Ae^{(-\beta + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} + Be^{(-\beta - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} \] \[ x(t) = e^{-\beta t} \left( Ae^{\sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}t} + Be^{-\sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}t} \right) \]. Defina \( \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \). Então, \[ x(t) = e^{-\beta t} \left( A e^{i\omega_1 t} + B e^{-i\omega_1 t} \right). \] Existen três regiões de interesse: 1. Movimento subamortecido \( \omega_1^2 > 0 \); 2. Movimento de amortecimento crítico \( \omega_1 = 0 \); 3. Movimento sobreamortecido \( \omega_1^2 < 0 \); Movimento Subamortecido • Bloco subamortecido [2] [1] Movimento criticamente amortecido • Movimento sobreamortecido Movimento Harmônico Amortecido The underdamped response of the oscillator is described by the equation: \[ x = e^{-\gamma t} a \cos(\omega_1 t - \alpha) \] Oscillator with resonant frequency 10 rad/s started from rest. After Barger & Olsson Oscilações Forçadas amortecidas • 0 [4] Oscilações Forçadas (cont..) cos ωt [−Dω² cos δ + 2βDω sin δ + ω₀²D cos δ − A] + sin ωt [−Dω² sin δ − 2βDω cos δ + ω₀²D sin δ] = 0 Como sin ωt e cos ωt são linearmente independentes, os dois termos acima em colchetes são nulos e logo do primeiro fator Do segundo fator Do valor do tan acima, encontra-se que sin δ = ω₀²−ω²/√((ω₀²−ω²)²+4β²ω²) e cos δ = 2βω/√((ω₀²−ω²)²+4β²ω²) e D fica D = A/√(ω₀²−ω²)²+4β²ω² Enfim, x(t) = x_c(t) + x_p(t), onde x_c(t) = e^−βt [A₁e^√(β²−ω₀²)t + A₂e^−√(β²−ω₀²)t] e x_p(t) = A/√((ω₀²−ω²)²+4β²ω²) cos(ωt−δ) (δ = tan⁻¹(2ωβ/(ω₀²−ω²))) δ = diferença de fase entre a força externa (drive) e a resposta do sistema. Note que quando t ≫ 1/β, x_c ≈ 0 e x ≈ x_p. Logo, x_c é uma resposta transiente. Ressonância O sistema é dito estar em ressonância quando a amplitude de oscilação é máxima. Logo, dD/dω|ω=ω_R = 0 ω_R = √(ω₀²−2β²). Obs. 1. Note que ω_R ↓ quando β ↑. Se ω₀² < 2β², ω_R é imaginário e não ocorre ressonância; 2. Para MHS livre de amortecimento ω₀ = √(k/m). Para MH amortecido, ω₁ = √(ω₀²−β²) e para MH com amortecimento de força de drive, ω_R = √(ω₀²−2β²). Logo, ω_R < ω₁ < ω₀; 3. O grau de amortecimento de um sistema oscilatório pode ser dado pelo fator de qualidade Q definido por Q = ω_R/2β = √(ω₀²−2β²)/2β. Ressonância (cont..) Amplitude do movimento D x frequência de oscilação ω Ângulo de fase δ x frequência de oscilação ω [5] [5] Caso Especial: sistemas oscilatórios forçados sem forças dissipativas. • Caso Especial: sistemas oscilatórios forçados sem forças dissipativas (cont..) • [6] Exercícios Qs 7 cap 4 (Nussenzveig) Um oscilador não amortecido de massa m e frequência própria ω₀ move-se sob a ação de uma força externa F = F₀ sin ωt, partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. Ache o deslocamento x(t). Resolução: A equação de movimento é dada por mẍ = −kx + F₀ sin ωt. (1) Logo, ẍ + ω₀²x = A sin ωt (2), onde ω₀ = √(k/m) e A = F₀/m. Suponha uma solução x(t) = x_c(t) + x_p(t) (3), onde x_c é a solução característica da equação homogênea e x_p a solução particular. Logo, (ẍ_c + ω₀²x_c) + (ẍ_p + ω₀²x_p) = A sin ωt. (4) ẍ_c + ω₀²x_c = 0 ⇒ x_c(t) = x₀₀ cos(ω₀t + δ₁) (5) e Exercício 3 • Qs 98 (104) da 8ª (9ª e 10ª edição). [1] Referências • [0] http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806- 11172016000300413 • [1] Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e J. Walker, vol. 2, 8ª edição, editora LTC; • [2] https://www.youtube.com/watch?v=HRcjtVa1LfM; • [3] http://hydrogen.physik.uni- wuppertal.de/hyperphysics/hyperphysics/hbase/oscda.html; • [4] https://www.quora.com/What-are-the-differences-between-damped- and-undamped-oscillators-What-are-applications-for-both; • [5] Classical Dynamics of particles and systems, Marion e Thorton, 4ª edição, Saunders College Publishing; • [6] Curso de Física Básica, vol. 2, 4ª edição, Editora Blucher.