Lista de Exercícios 09 - Cálculo Diferencial e Integral II

Universidade Federal de Roraima Centro de Ciências e Tecnologia Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II Professor José Luís A Montero LISTA DE EXERCÍCIOS 09 1 Mostre que o vetor gradiente de f no ponto x₀ y₀ é perpendicular à curva de nível de f que contém o ponto x₀ y₀ 2 Encontre o gradiente da função no ponto determinado Em seguida esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto a fx y x² 2 y² 2 2 1 b fx y lnx² y² 1 1 c fx y x² 3y 1 2 3 Calcule fy x₀ y₀ sendo a fx y x² 3y² x₀ y₀ 1 2 e u é o vetor de 2i j b fx y ex²y² x₀ y₀ 1 1 e u é o vetor de 3 4 c fx y arctg xy x₀ y₀ 3 3 e u 12 12 4 Em que direção e sentido a função cresce mais rapidamente no ponto dado E em que direção e sentido decresce mais rapidamente a fx y x² xy y² em 1 1 b fx y lnx y em 1 1 c fx y 4 x² 2y² em 1 12 5 Seja fx y diferenciável e sejam u e v dois vetores de R² unitários e ortogonais Prove fx y fu x y u fv x y v 6 Seja gr θ fx y com x r cos θ e y r sen θ onde fx y é diferenciável Sejam u cos θ sen θ e v sen θ cos θ Mostre que a gr r θ fu x y 1 gθ r θ fv x y b fx y fu x y u fv x y v c fx y² gr r θ² 1r² gθ r θ² 7 Suponha que A x y R² 5 x² 4y² 0 Suponha que o gráfico de z 5 x² 4y² x y A representa a superfície de um monte Adote 0 km como unidade de medida Um alpinista que se encontrava na posição 1 1 0 pretende escalarlo Determine a trajetória a ser descrita pelo alpinista admitindo que ele busque sempre a direção de maior alclive Universidade Federal de Roraima Centro de Ciências e Tecnologia Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II Professor José Luis A Montero 8 Suponha que Tx y 40 x2 2y2 represente uma distribuição de temperatura no plano xy Admita que x e y sejam dados em km e a temperatura em oC Um individuo encontrase na posição 3 2 e pretende dar um passeio a Descreva o lugar geométrico dos pontos que ele deverá percorrer se for seu desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto 3 2 b Qual a direção e sentido que deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura c De quando a temperatura se elevará aproximadamente caso caminhe 0 01km na direção encontrada no item b d De quanto a decrescerá aproximadamente a temperatura caso caminhe na direção j 2 2 Universidade Federal de Roraima Centro de Ciências e Tecnologia Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II Professor José Luís A Montero LISTA DE EXERCÍCIOS 08 1 Determine as derivadas parciais de cada função a fx y x² ln1 x² y² e fx y xy b fx y cosx² y² f hx y xy ey c fx y arctg xy g fx y x² y² 3 d fx y x² y²² h fx y 4xy 3y³ 5x²y 2 Sejam φ R R uma função de uma variável real diferenciável e tal que φ1 4 e seja gx y φ xy a Calcule gx 1 1 e gy 1 1 b Verifique gx x y gy y 0 para todo x y R² com y 0 3 Seja fx y y² y² et² dt Calcule fx x y e fy x y 4 Seja fx y yx² et² dt Calcule fx x y e fy x y 5 Determine fx x y e fy x y sendo fx y xx²y² if x y 0 0 0 se x y 0 0 6 A função f é diferenciável em 0 0 Justifique a fx y x²x²y² se x y 0 0 0 se x y 0 0 b fx y x²x²y se x y 0 0 0 se x y 0 0 c fx y xyx²y² se x y 0 0 0 se x y 0 0 d fx y x²x²y² se x y 0 0 0 se x y 0 0 7 Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto dado a fx y x² y² em 1 1 f1 1 b fx y ex² y² em 2 2 f2 2 c fx y x³ xy em 1 1 f1 1 d fx y arctgx 2y em 2 12 f2 12 8 Use a regra da cadeia para calcular dzdt a z senxy x 3t e y t² b z x² 3y² z sint e y cost c z ln1 x³ y² x sin3t e y cos3t d z et cost x t³ y t² e z xy x et y lnt Universidade Federal de Roraima Centro de Ciências e Tecnologia Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II Professor José Luis A Montero 9 Mostre que a função u fx at y bt a e b constantes é solução da equação u t au x bu y 10 Suponha que fx y diferenciável e que para todo x f3t 1 3t 1 4 verique f x3t 1 3t 1 f y 3t 1 3t 1 11 Seja Fr θ fx y onde x r cos θ e y rsenθ sendo fx y uma função diferenciável Verique que f y x y cos θ r F θ r θ senθF r r θ 12 Usar a regra da cadeia para para determinar as derivadas parciais z x e z y a z r2 s s r 1 x s x y b z uv2 v ln u u 2x y v 2x y c z l2 m2 l cos xy m senxy d z uv u2 u xy v x2 y2 ln xy 2 2