Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Áreas, Trabalho, e Volumes

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DMAT CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II MAT05 Semestre 20222 Prof Me Adjairon Coelho LISTA II 1 Ache por integração as áreas dos triângulos cujos vértices são a 1 5 1 2 e 0 1 b 2 2 1 1 e 5 2 c 3 4 2 0 e 0 1 2 Ache o conjunto de todos os pontos 𝑥 𝑦 tais que a x2 1 y 0 b 0 y 4 x2 c 0 y sen 𝑥 com 0 𝑥 2𝜋 d x3 x y x2 5𝑥 com 𝑥 0 e x y x2 com 𝑥 0 f 1 x2 y 5 4x2 3 Considere uma mola com uma das extremidades fixa Suponha que a origem 𝑥 0 coincida com a extremidade livre da mola quando esta se encontra em seu estado normal Se a mola for distendida ou comprimida até que sua extremidade livre se desloque à posição x a mola exercerá sobre o agente que a deforme uma força cujo valor em boa aproximação será 𝐹𝑥 𝑘𝑥𝑖 Lei de Hooke no qual k é uma constante denominada constante elástica da mola Suponha agora que a mola seja distendida e presa na sua extremidade livre uma partícula Suponha 𝑘 5 calcule o trabalho realizado pela mola quando a partícula se desloca da posição a 𝑥 022 a 𝑥 0 b 𝑥 022 a 𝑥 022 O que ocorreu nesse caso 4 Uma mola tem um comprimento natural de 6 𝑐𝑚 Uma força de 1200 dinas a comprime para 5 1 2 𝑐𝑚 Ache o trabalho realizado ao comprimir a mola de 6 para 4 1 2 𝑐𝑚 5 Um tranque cilíndrico circular reto com uma profundidade de 10 𝑚 e um raio de 5 𝑚 está cheio de água até a metade Ache o trabalho necessário para que a água seja bombeada até a borda do tanque 6 Um balde de 20 𝑘𝑔 contém 60𝑘𝑔 de areia e é pendurado no extremo de uma corrente com 100 𝑚 e com 10 𝑘𝑔 que está pendurado à beira de um poço profundo Ache o trabalho realizado ao levantar o balde até a beira do poço 7 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de todos os pares ordenados x y tais que a x2 y x b 0 y x e x2 y2 2 c 0 x 1 e x y 3 d x2 y 22 1 2 8 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑦 do conjunto de todos os pares ordenados x y tais que b 0 x 𝜋 e 0 y sen 𝑥 b 0 x 𝑒 e 0 y ln 𝑥 c x y x 6 com 𝑥 0 d y2 x y 9 Ache o volume do sólido de revolução gerado pela região limitada pela curva y x pelo eixo x e pela reta x 4 e que pela rotação em torno a do eixo x b do eixo y c da reta x 4 d da reta y 2 10 Ache o volume do sólido de revolução gerado pela região limitada pela curva y sen x2 pelo eixo x e pelas retas x π 2 e x π em torno do eixo y 11 Ache o comprimento dos arcos a x23 y23 1 no primeiro quadrante do ponto x 1 8 ao ponto x 1 b da curva seno da origem ao ponto π 0 c da curva y 𝑒𝑥 do ponto 0 1 ao ponto 2 𝑒2 12 Ache a equação polar dadas as equações cartesianas a x2 y2 16 b y2 4x 4 c x y 1 d y 2x 1 1x2 13 Ache a equação cartesiana dadas as equações polares a r cos θ 1 0 b r2 4 sen 2θ c r2 cos 2θ 10 d r 2 sen 3θ 14 Ache a área da região limitada pela curva a r2 4 sen 2θ b r2 cos θ c r cos 2θ d r 1 cos θ 15 Numa armação de óculos o tamanho das lentes é dado pela região limitada pelo gráfico da equação r2 4 cos 2θ Quanto de material é necessário para cobrir a região 16 Encontre a área da região limitada pelas curvas a r 3 sen 2θ e r 3 cos 2θ b r 2 e r 3 2 cos θ c r 2 cos θ e r 1 cos θ d r2 sen θ e r2 cos θ 17 Ache a área da região limitada pelo gráfico 𝑟 𝑒𝜃 e pelas retas 𝜃 0 e 𝜃 1 REFERÊNCIAS GUIRORIZZI H Um curso de cálculo vol 1 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 LEITHOLD L O Cálculo com Geometria Analítica vol 1 3 ed São Paulo HARBRA 1994