Curvas Polares - Definição e Representação em Matemática

Curvas Polares Prof Patricio Perez Licenciatura em Matematica DMAT February 13 2021 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 1 Introducao Ja aprendemos como definir as Coordenadas Polares e definimos o Plano Polar Agora vamos aplicar estas coordenadas estudando as chamadas Curvas Polares Para isto comecaremos estudando as Curvas Cartesianas mais conhecidas Isto e as Retas e as Circunferˆencias Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 2 Retas Em geral a representacao de uma Reta na forma polar nao e simples Porem as retas que passam pela origem ou as retas paralelas aos eixos sao de facil representacao 1 As retas que passam pela origem tem por equacao θ C onde C e uma constante Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 3 Os pontos que satisfazem esta equacao sao da forma r C Portanto e uma reta que passa pela origem cujo ˆangulo com o eixo polar e θ C radianos Observemos que esta reta tambem tem a equacao θ C k π k Z Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 4 2 Para as retas paralelas aos eixos consideremos as equacoes i r Senθ b observemos que e qualquer reta paralela ao eixo polar pois e da forma y b Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 5 ii r Cosθ a observemos que e qualquer reta paralela ao eixo π 2 pois e da forma x a Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 6 Circunferˆencias Em geral a representacao de uma Circunferˆencia na forma polar nao e simples Porem as circunferˆencias centradas na origem ou centradas no ponto a b e que sao tangentes a origem sao de facil representacao 1 As circunferˆencias centradas na origem tem por equacao r C ou r C Onde C e uma constante E uma circunferˆencia centrada na origem de raio C pois seus pontos sao da forma C θ sendo 0 θ 2π Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 7 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 8 2 Para as circunferências centradas no ponto ab e que são tangentes à origem temos neste caso que o raio é dado por r a 0² b 0² a² b² r a² b² Logo a equação da circunferência é dada por x a² y b² a² b² Assim temos que x² 2ax a² y² 2by b² a² b² x² y² 2ax 2by 0 Em coordenadas polares temos que r2 2a r Cosθ 2b r Senθ 0 Logo temos que r 0 ou r 2a Cosθ 2b Senθ 0 Como r 0 e a origem entao a circunferˆencia considereda e representada pela segunda equacao Isto e r 2a Cosθ 2b Senθ 0 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 10 i Se b 0 entao obtemos a equacao r 2a Cosθ Que e uma circunferˆencia centrada em a 0 de raio a Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 11 ii Se a 0 entao obtemos a equacao r 2b Senθ Que e uma circunferˆencia centrada em 0 b de raio b Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 12 Observacao Para estudar outras curvas polares que nao sao de facil representacao em Coordenadas Cartesianas vamos introduzir dois conceitos que auxiliaram no entendimento destas curvas Estes conceitos sao a Simetria e as Assıntotas de uma curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 13 Simetria I Se uma equacao polar nao mudar quando r θ for trocado por r θ ou por r π θ entao a curva sera Simetrica em relacao ao eixo polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 14 II Se uma equacao polar nao mudar quando r θ for trocado por r θ ou por r π θ entao a curva sera Simetrica em relacao ao eixo π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 15 III Se uma equacao polar nao mudar quando r θ for trocado por r θ ou por r π θ entao a curva sera Simetrica em relacao ao polo Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 16 Assıntotas E importante saber se a origem pertence a curva Para isto fazemos a substituicao de r por 0 Se a equacao tiver solucao entao este ˆangulo sera uma assıntota a curva Observacao Agora veremos algumas Curvas Polares que em coordenadas cartesianas nao tem facil representacao Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 17 Limacom Consideremos a curva polar cuja equacao e dada por r a b Cosθ ou r a b Senθ Entao dependendo dos valores de a b R podemos ter a Se 0 a b 1 sera chamado Limacon com Laco b Se a b 1 sera chamado Cardioide c Se 1 a b 2 sera chamado Limacon com Dente d Se 2 a b sera chamado Limacon Convexa Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 18 Exemplo 1 Faca um estudo da curva isto e Simetria e Assintotas Para a curva polar r 1 2 Cosθ Tambem faca o grafico correspondente Observemos que neste caso a 1 e b 2 Portanto 0 1 2 1 De acordo com a relacao anterior no item a temos que a curva e um Limacon com Laco Faremos agora o estudo da curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 19 Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 1 2 Cosθ r 1 2 Cosθ r 1 2 Cosθ Pois Cosθ e par Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo polar II Eixo π 2 Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 1 2 Cosθ r 1 2 Cosθ r 1 2 Cosθ Cosθ e par Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r 1 2 Cosθ r 1 2 Cosπ θ r 1 2Cosπ Cosθ Senπ Senθ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 20 r 1 2 Cosθ Como obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao eixo π 2 III Polo Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 1 2 Cosθ r 1 2 Cosθ r 1 2 Cosθ Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r 1 2 Cosθ r 1 2 Cosπ θ r 1 2Cosπ Cosθ Senπ Senθ r 1 2 Cosθ Como obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao polo Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 21 Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 1 2 Cosθ Cosθ 1 2 θ 2 π 3 ou θ 4 π 3 Logo temos simetria no eixo polar e uma assıntota em θ 2 π 3 ou θ 4 π 3 Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera 0 θ π Ja que a simetria em relacao ao eixo polar significa que a parte da curva do primeiro e segundo quadrantes se repete de forma identica no terceiro e quarto quadrantes Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 22 θ r 1 2 Cosθ 0 r 1 21 1 2 3 π6 r 1 232 1 3 273 π4 r 1 222 1 2 241 π3 r 1 212 1 1 2 π2 r 1 20 1 2π3 r 1 212 1 1 0 3π4 r 1 222 1 2 041 5π6 r 1 232 1 3 073 π r 1 21 1 2 1 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 24 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 25 Agora completamos a curva atraves da simetria Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 26 Exemplo 2 Faca um estudo da curva isto e Simetria e Assintotas Para a curva polar r 2 2 Senθ Tambem faca o grafico correspondente Observemos que neste caso a 2 e b 2 portanto 2 2 1 e de acordo com a relacao anterior temos que a curva e um Cardioide Faremos agora o estudo da curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 27 Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 2 2 Senθ r 1 2 Senθ r 1 2 Senθ Pois Senθ e ımpar Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r 2 2 Senθ r 2 2 Senπ θ r 2 2Senπ Cosθ Senθ Cosπ r 2 20 Cosθ Senθ 1 r 2 2 Senθ r 2 2 Senθ Como novamente obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao eixo polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 28 II Eixo π 2 Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 2 2 Senθ r 2 2 Senπ θ r 2 2Senπ Cosθ Senθ Cosπ r 2 20 Cosθ Senθ 1 r 2 2 Senθ Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo π 2 III Polo Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 2 2 Senθ r 2 2 Senθ r 2 2 Senθ Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 29 r 2 2 Senθ r 2 2 Senπ θ r 2 2Senπ Cosθ Senθ Cosπ r 2 20 Cosθ Senθ 1 r 2 2 Senθ Como novamente obtivemos uma equacao diferente da original nao temos simetria em relacao ao polo Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 2 2 Senθ Senθ 2 2 1 θ 3 π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 30 Logo temos simetria no eixo π 2 e uma assıntota em θ 3 π 2 Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera π 2 θ π 2 Ja que a simetria em relacao ao eixo π 2 significa que a parte da curva do primeiro e quarto quadrantes se repete de forma identica no segundo e terceiro quadrantes Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 31 θ r 2 2 Senθ 3π2 r 2 21 2 2 0 5π3 r 2 232 2 3 026 7π4 r 2 222 2 2 058 11π6 r 2 212 2 1 1 0 r 2 20 2 π6 r 2 212 2 1 3 π4 r 2 222 2 2 341 π3 r 2 232 2 3 373 π2 r 2 21 4 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 33 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 34 Agora completamos a curva atraves da simetria Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 35 Rosacea Consideremos a curva polar cuja equacao e dada por r a Cosn θ ou r a Senn θ Entao dependendo do valor de n Z podemos ter a Uma Rosacea de n folhas se n for ımpar b Uma Rosacea de 2n folhas se n for par Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 36 Exemplo 3 Faca um estudo da curva Simetria e Assintotas Para a curva polar r 4 Cos2 θ Tambem faca o seu grafico Neste caso n 2 portanto temos uma Rosacea de 4 folhas Faremos agora o estudo da curva Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 4 Cos2 θ r 4 Cos2 θ r 4 Cos2 θ Cosθ e par Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 37 II Eixo π 2 Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 4 Cos2 θ r 4 Cos2 π θ r 4 Cos2π 2 θ r 4Cos2π Cos2 θ Sen2π Sen2 θ r 41 Cos2 θ 0 Sen2 θ r 4 Cos2 θ Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo π 2 III Polo Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 4 Cos2 θ r 4 Cos2 π θ r 4 Cos2π 2 θ r 4Cos2π Cos2 θ Sen2π Sen2 θ r 41 Cos2 θ 0 Sen2 θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 38 r 4 Cos2 θ Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao polo Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 4 Cos2 θ Cos2 θ 0 2 θ π 2 θ π 4 Logo temos simetria no eixo polar no eixo π 2 e no polo e uma assıntota em θ π 4 Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera 0 θ π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 39 Ja que temos simetria em relacao ao eixo polo ao eixo π 2 e ao polo significa que a parte da curva do primeiro quadrante se repete de forma identica no segundo no terceiro e no quarto quadrantes Agora como o ˆangulo θ esta multiplicado pelo fator 2 entao para ter uma figura mais precisa vamos considerar na tabela ˆangulos menores que sejam divisıveis por 2 Sendo assim vamos considerar ˆangulos m ultiplos de π 8 ou seja a metade do ˆangulo π 4 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 40 θ r 4 Cos2 θ 0 r 4 1 4 π8 r 4 22 2 2 282 π6 r 4 12 2 π4 r 4 0 0 π3 r 4 12 2 3π8 r 4 22 2 2 282 π2 r 4 1 4 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 42 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 43 Agora utilizamos a simetria no eixo polar e eixo π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 44 Agora utilizamos a simetria no polo Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 45 Lemniscata Consideremos a curva polar cuja equacao e dada por r2 a2 Cos2 θ ou r2 a2 Sen2 θ E uma curva que passa pela origem e dependendo do valor de a corta o eixo polar o eixo π 2 a reta π 4 ou a reta 3π 4 no ponto a Exemplo 4 Faca um estudo da curva isto e Simetria e Assintotas Para a curva polar r2 16 Sen2 θ Tambem faca o grafico correspondente Neste caso temos que a 4 Faremos agora o estudo da curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 46 Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r2 16 Sen2 θ r2 16 Sen2 θ r2 16 Sen2 θ Senθ e ımpar Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r2 16 Sen2 θ r2 16 Sen2π θ r2 16 Sen2π 2 θ r2 16Sen2π Cos2 θ Sen2 θ Cos2π r2 160 Cos2 θ Sen2 θ 1 r2 16 Sen2 θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 47 Como tambem e diferente da equacao original nao temos simetria no eixo polar II Eixo π 2 Trocar r θ por r θ ou por r π θ r2 16 Sen2 θ r2 16 Sen2 π θ r2 16 Sen2π 2 θ r2 16Sen2π Cos2 θ Sen2 θ Cos2π r2 160 Cos2 θ Sen2 θ 1 r2 16 Sen2 θ Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 48 r2 16 Sen2 θ r2 16 Sen2 θ r2 16 Sen2 θ Senθ e ımpar Como tambem obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetra em relacao ao eixo π 2 III Polo Trocar r θ por r θ ou por r π θ r2 16 Sen2 θ r2 16 Sen2 π θ r2 16 Sen2π 2 θ r2 16Sen2π Cos2 θ Sen2 θ Cos2π r2 160 Cos2 θ Sen2 θ 1 r2 16 Sen2 θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 49 Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao polo Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 16 Sen2 θ Sen2 θ 0 2 θ 0 ou π θ 0 ou π 2 Logo temos simetria em relacao ao polo e uma assıntota em θ 0 ou θ π 2 Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera 0 θ π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 50 Ja que temos simetria em relacao ao polo significa que a parte da curva do primeiro quadrante se repete de forma identica no terceiro quadrante e a parte da curva do segundo quadrante se repete de forma identica no quarto quadrante Agora como o ˆangulo θ esta multiplicado pelo fator 2 entao para ter uma figura mais precisa vamos considerar na tabela ˆangulos menores que sejam divisıveis por 2 Sendo assim vamos considerar ˆangulos m ultiplos de π 8 e m ultiplos de π 12 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 51 θ r2 16 Sen2 θ 0 r2 16 0 0 r 0 π12 r2 16 12 8 r 8 282 π8 r2 16 22 8 2 r 8 2 336 π6 r2 16 32 8 3 r 8 3 372 π4 r2 16 1 16 r 4 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 53 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 54 Agora utilizamos a simetria no polo Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 55 Assim concluimos o estudos das Curvas Polares Agora veremos uma outra aplicacao das Coordenadas Polares Aprenderemos a calcular a Area dentro de uma Curva Polar Este sera o assunto da nossa proxima aula QUE JESUS ILUMINE SUA VIDA Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Curvas Polares 56