Area de Regiao Polar - Calculo em Coordenadas Polares

Area de uma Regiao Polar Prof Patricio Perez Licenciatura em Matematica DMAT February 13 2021 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 1 Introducao Uma interessante aplicacao das Coordenadas Polares e calcular a Area contida dentro de uma Curva Polar chamada Regiao Polar Evidentemente que existem muitas outras aplicacoes que por razoes de tempo nao estudaremos Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 2 Area de um Setor Circular Para encontrar uma forma de calcular a area contida dentro de uma curva polar vamos lembrar como se calcula a Area de um Setor Circular Ja que usaremos este conceito para encontrar a formula para as regioes polares Entao a Area de um Setor Circular R e dada por AR 1 2 r2 θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 3 Neste caso r representa o raio da circunferˆencia e θ e o ˆangulo central como vemos na figura a seguir Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 4 Regiao Polar Consideramos agora uma Regiao Polar R determinada pela curva polar r f θ e os raios polares ou ˆangulos θ a e θ b onde f e contınua e positiva no intervalo a b sendo 0 b a 2π Como vemos na figura a seguir Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 5 Entao para encontrar a area da regiao polar dividimos o intervalo a b em n subintervalos iguais de largura θ ba n obtendo assim os ˆangulos θ0 θ1 θ2 θn Estes ˆangulos determinam as subregioes Ri cujo ˆangulo central e θ θi θi1 Escolhemos θ i θi1 θi Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 6 Logo a área da iésima subregião Ri é dada aproximadamente por ΔAi 12 fθi2 Δθ Já que neste caso ri fθi Portanto a área total da região R é dada aproximadamente pela Soma de Riemann AR 12 Σ i1 até n fθi2 Δθ O erro na aproximação se reduz a zero quando n Área contida numa Curva Polar Logo obtemos a fórmula para calcular a área contida dentro da curva polar r fθ e é dada por AR lim n 12 Σ i1 até n fθi2 Δθ 12 a até b fθ2 dθ Exemplo 1 Calcule a área contida dentro da curva polar r 2 2 Cosθ Primeiramente faremos um estudo da curva isto é Simetria e Assíntotas Também faremos o gráfico correspondente Neste caso a curva e um Limacon onde a 2 e b 2 entao temos um Cardioide Faremos agora o estudo da curva Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 2 2 Cosθ r 2 2 Cosθ r 2 2 Cosθ Cosθ e par Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo polar II Eixo π 2 Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 2 2 Cosθ r 2 2 Cosθ r 2 2 Cosθ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 9 r 2 2 Cosθ Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r 2 2 Cosθ r 2 2 Cosπ θ r 2 2Cosπ Cosθ Senπ Senθ r 2 21 Cosθ 0 Senθ r 2 2 Cosθ Como novamente obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao eixo π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 10 III Polo Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 2 2 Cosθ r 2 2 Cosθ r 2 2 Cosθ Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r 2 2 Cosθ r 2 2 Cosπ θ r 2 2Cosπ Cosθ Senπ Senθ r 2 21 Cosθ 0 Senθ r 2 2 Cosθ Como novamente obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao polo Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 11 Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 2 2 Cosθ Cosθ 2 2 1 θ 0 Logo temos simetria no eixo polar e uma assıntota em θ 0 Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera 0 θ π Ja que a simetria em relacao ao eixo polar significa que a parte da curva do primeiro e segundo quadrantes se repete de forma identica no terceiro e quarto quadrantes Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 12 θ r 2 2 Cosθ 0 r 2 2 1 2 2 0 π6 r 2 2 32 2 3 026 π4 r 2 2 22 2 2 058 π3 r 2 2 12 2 1 1 π2 r 2 2 0 2 2π3 r 2 2 12 2 1 3 3π4 r 2 2 22 2 2 341 5π6 r 2 2 32 2 3 373 π r 2 2 1 2 2 4 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 14 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 15 Agora completamos a curva atraves da simetria Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 16 Para calcular a area contida como e simetrica em relacao ao eixo polar vamos considerar duas vezes a parte superior Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 17 Logo a área contida é dada por AR 12 fθ² dθ 2 12 2 2 Cosθ² dθ 4 8 Cosθ 4 Cos²θ dθ 4 dθ 8 Cosθ dθ 4 Cos²θ dθ 4 θ 8 Senθ 4 1 Cos2 θ2 dθ 4 π 0 8 Sen π Sen 0 1 Cos2 θ2 dθ 4π 8 0 12 1 Cos2 θ dθ 4π 12 dθ Cos2 θ dθ 4 π 12 θ Sen2 θ2 4 π 12 π Sen2 π2 0 Sen2 02 4 π π2 9 π2 AR 9 π2 2 Calcule a área contida dentro da curva polar r 5 Sen3 θ Neste caso n 3 portanto temos uma Rosácea de 3 folhas Faremos agora o estudo da curva Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 θ Senθ e ımpar Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 π θ r 5 Sen3π 3 θ r 5Sen3π Cos3 θ Sen3 θ Cos3π r 50 Cos3 θ Sen3 θ 1 r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 20 Como novamente obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria no eixo polar II Eixo π 2 Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 θ Senθ e ımpar r 5 Sen3 θ Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo π 2 III Polo Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 21 Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r 5 Sen3 θ r 5 Sen3 π θ r 5 Sen3 π 3 θ r 5Sen3 π Cos3 θ Sen3 θ Cos3 π r 50 Cos3 θ Sen3 θ 1 r 5 Sen3 θ Como novamente obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao polo Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 5 Sen3 θ Sen3 θ 0 3 θ 0 ou π Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 22 θ 0 ou π 3 Logo temos simetria em relacao ao eixo π 2 e assıntotas em θ 0 ou θ π 3 Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera 3 π 2 θ π 2 Ja que a simetria em relacao ao eixo π 2 significa que a parte da curva do primeiro e quarto quadrantes se repete de forma identica no segundo e terceiro quadrantes Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 23 Agora como o ˆangulo θ esta multiplicado pelo fator 3 entao para ter uma figura mais precisa vamos considerar na tabela ˆangulos menores que sejam divisıveis por 3 Sendo assim vamos considerar ˆangulos m ultiplos de π 12 ou seja a metade do ˆangulo π 6 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 24 θ r 5 Sen3 θ 3π2 r 5 1 5 19π12 r 5 22 353 5π3 r 5 0 0 7π4 r 5 22 353 11π6 r 5 1 5 23π12 r 5 22 353 0 r 5 0 0 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 26 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 27 Agora completamos a curva atraves da simetria Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 28 Para calcular a area contida utilizando a simetria vamos considerar trˆes vezes a parte contida numa folha Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 29 Logo a área contida é dada por AR 12 ab fθ² dθ 3 12 0π2 5 Sen3 θ² dθ 32 0π2 25 Sen²3 θ dθ 752 0π2 Sen²3 θ dθ 752 0π2 1 Cos6 θ2 dθ 754 0π2 1 Cos6 θ dθ 754 θ Sen6 θ60π2 754 π2 Sen3 π6 75 π8 Assim temos que AR 75 π8 Assim concluimos o estudos do Calculo da Area contida dentro de uma Regiao Polar Agora veremos uma outra aplicacao das Coordenadas Polares Aprenderemos a calcular a Area entre Curvas Polares Este sera o assunto da nossa proxima aula QUE JESUS ILUMINE SUA VIDA Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area de uma Regiao Polar 31