Aula 3 Estruturas em Concreto Armado - Flexão NBR 6118

Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Engenharia Civil e Engenharia Agrícola ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO AULA 3 Flexão 1 INTRODUÇÃO 085 𝑓𝑐𝑑 085𝜂𝑐𝑓𝑐𝑑 NBR 6118 2014 NBR 6118 2023 Item 82101 a Antes da deformação b Após a deformação 1 INTRODUÇÃO Material altamente deformável submetido a um momento fletor 1 INTRODUÇÃO Uma parte da seção transversal está comprimida e uma parte tracionada 1 INTRODUÇÃO CA 60 CA 50 1 INTRODUÇÃO Figura 84 1 INTRODUÇÃO Figura 82 1 INTRODUÇÃO Até C50 1 INTRODUÇÃO a armadura transversal somente estribos armadura transversal estribos e barras dobradas b tração compressão c fissura de flexão estádio I estádio II estádio I d Seção aa estádio I εc σc εc Ec εs σt σctf Seção bb estádio II εc σc εs σs e fissura por força cortante fissura de flexão fissura de flexão e força cortante estádio II f Seção bb εc σc fc εs σs fy Figura 51 Comportamento resistente de uma viga biapoiada a armação da viga e diagramas de M e trajetórias das tensões principais de tração e compressão na viga não fissurada c surgimento das primeiras fissuras de flexão d tensões e deformações nos Estádios I e II e estado de fissuração préruptura f deformações e tensões na ruptura9 1 INTRODUÇÃO Figura 171 Domínios de estado limite último de uma seção transversal Até C50 1 INTRODUÇÃO 35 d23 35 10 d23 d x23 x23 0259 d 10 35 d34 35 εyd d x34 x34 35 d εyd 35 Eyd 1 INTRODUÇÃO A ruina da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado limiteúltimo é caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço que atingem uma delas ou ambas os valores últimos máximos das deformações específicas desses materiais Carvalho fls 110 ou NB6118 seção 1722 g O maior momento resistente da seção é obtido com a maior profundidade da linha neutra permitida que é 045 d Com relação ao domínio 2 devese ler a seção 1722 e e Figura 82 diagrama simplificado Com relação ao domínio 3 devese ler a seção 14643 a e b profundidade máxima da linha neutraleitura indicada José Milton vol 1 fl 122 4ª ed a PEÇAS SUBARMADAS Possuem taxa de armadura muito pequena e rompem no domínio 2 Neste caso a ruptura ocorre por deformação excessiva da armadura sem haver o esmagamento do concreto ruptura dúctil com intensa fissuração do concreto b PEÇAS NORMALMENTE ARMADAS A ruptura ocorre no domínio 3 com esmagamento do concreto e com escoamento da armadura ruptura semelhante ao das peças subarmadas c PEÇAS SUPERARMADAS A ruptura ocorre no domínio 4 Em virtude do excesso de armação o aço não chega a escoar e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto ruptura frágil Para evitar este tipo de situação empregase a armadura dupla uma tracionada e uma comprimida 1 INTRODUÇÃO DIMENSIONAMENTO PRECISO 1 INTRODUÇÃO DIMENSIONAMENTO APROXIMADO 1 INTRODUÇÃO Diagramas tensãodeformação do concreto para análise no estado limite último Estádio III 1 INTRODUÇÃO SEÇÃO 8210 E SEÇÃO 1722 085 zonas comprimidas de largura constante ou crecentes no sentido da fibra mais comprimida a partir da LN 080 zonas comprimidas de largura decrescente no sentido da fibra mais comprimida a partir da LN 1 INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO Diagrama Retangular 085fcd ou 080fcd Y08X Rcc Md Z Rst Y2 1 INTRODUÇÃO Fx 0 Rcc Rst 0 Rcc Rst Ment Mint Md Rcc z z d 04 x Md 085 fcd 08x bw d 04x Md 068 xd 0272 x² bw fcd Diagrama Retangular 085fcd ou 080fcd Y08X Rcc Md Z Rst Y2 1 INTRODUÇÃO Diagrama Retangular 085fcd ou 080fcd Y2 Md Z Rst Y08X Rcc F x 0 Rcc Rst 0 Rcc Rst Mext Mlint Md Rst Md As fs As Md fs Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal formulação das fls 116 à 118 Exemplo 1 Exercício 3 2 DIMENSIONAMENTO 𝒙𝟏𝟐 𝟎 𝒙𝟐𝟑 𝟎 𝟐𝟓𝟗 𝒅 𝒙𝟑𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟓 𝒅 𝜺𝒚𝒅 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟓 𝒙𝟒 𝟒𝒂 𝟏 𝒛 𝒅 𝟎 𝟒 𝒙 𝑴𝒅 𝟎 𝟔𝟖 𝒙 𝒅 𝟎 𝟐𝟕𝟐 𝒙𝟐 𝒃𝒘 𝒇𝒄𝒅 𝑓𝑠 𝜀𝑠 𝜀𝑦𝑑 𝑓𝑦𝑑 2 DIMENSIONAMENTO 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝒛 𝒇𝒔 𝑓𝑠 𝑓𝑦𝑑 𝑓𝑠 𝐸 𝜀𝑠 Nos domínios 2 ou 3 No domínio 4 ou 𝐸 210 000 Mpa item 835 Aço CA 25 CA 50 CA 60 𝜀𝑦𝑑 0104 0207 0248 2 DIMENSIONAMENTO 14643 Limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites a xd 045 para concretos com fck 50 MPa b xd 035 para concretos com 50 MPa fck 90 MPa Alongamento Encurtamento 2 35 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 1 Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤012m e d029m sob a ação de um momento fletor Mk122 kNm determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária 𝐴𝑠 Dados 𝑓𝑐𝑘20 MPa aço CA50 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 1 bw LN d As d h X Diagrama Retangular 085fcd ou 080fcd Y2 Md Z Rst Y08X Rcc SOLUÇÃO Md 068 xd 0272 x² bw fcd 14 x 122 x 103 068 x 027 0272 x² 012 2044 x₁ 06 05 m e x₂ 00545 m 045 d 013 m x 045 d OK z d 04 x z 029 04 x 00545 027 m As Md z fyd As 14 x 122 x 103 027 500115 As 145 x 104 m² As 145 cm² 2 DIMENSIONAMENTO Cálculo do máximo momento resistente da seção Como calcular o maior momento que uma viga resiste Para encontrar um máximo de 𝑀𝑑 derivamos 𝑀𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥2 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 com relação a 𝑥 e obtemos 𝑑𝑀𝑑 𝑑𝑥 068 𝑑 054 𝑥 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 2 DIMENSIONAMENTO Cálculo do máximo momento resistente da seção Igualando 068 𝑑 054 𝑥 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 a zero obtemos 𝑥 125 𝑑 que corresponde a uma linha neutra passando fora da seção Situação impossível na flexão simples Então o máximo momento resistente corresponde ao maior valor de 𝑥 que podemos utilizar 𝑥 045 𝑑 EXEMPLO 3 Para uma viga de seção retangular de concreto armado com largura 𝑏𝑤012m e altura útil d1765 cm determinar o momento resistente da seção considerando a profundidade máxima da linha neutra permitida na NB e o valor da área de aço necessária correspondente a esse momento Considerar 𝑓𝑐𝑘20 MPa e aço CA50 2 DIMENSIONAMENTO SOLUÇÃO x 045 d x 045 x 01765 x 00794 m Md 068 xd 0272 x² bw fcd Md 068 x 00794 x 01765 0272 x 00794² 012 20 44 Md 0013 MNm ou 1340 kNm Md 14 Mk Mk Md 14 Mk 1340 14 Mk 957 kNm As Md z fyd As 001340 01447 500 115 z d 04 x z 01765 04 x 00794 01447 m As 0000213 m² ou 213 cm² 2 DIMENSIONAMENTO Cálculo do máximo momento resistente da seção quando conhecemos a armadura longitudinal Quando 𝐴𝑠 é dado qual profundidade da linha neutra 𝑥 trará o equilíbrio Para encontrar fazemos 𝑅𝑠𝑡 𝑅𝑐𝑐 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 085 𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08 𝑥 e obtemos 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 068 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 2 DIMENSIONAMENTO Cálculo do máximo momento resistente da seção quando conhecemos a armadura longitudinal com 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 068 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 obtemos 𝑀𝑑 máximo 𝑀𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥2 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 EXEMPLO 4 Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado com largura 𝑏𝑤12 cm e altura útil d1765 cm para as seguintes situações a 𝐴𝑠 05cm² b 𝐴𝑠 20cm² Dados aço CA50 𝑓𝑐𝑘20 MPa 2 DIMENSIONAMENTO SOLUÇÃO a Rst Rcc As fyd 085 fcd bw 08 x x As fyd 068 bw fcd x 045 d x 05 x 104 500 115 068 x 012 x 2044 00186 m x 045 d OK 045 d 00794 m Md 068 x d 0272 x 2 bw fcd Md 068 x 00186 x 01765 0272 x 001862 012 2014 Md 000366 MNm ou 367 KNm MK Md14 MK 36714 MK 262 KNm 2 DIMENSIONAMENTO Altura útil mínima de uma seção com armadura simples 𝑑𝑚𝑖𝑛 é o menor valor de 𝑑 que satisfaz a desigualdade 𝑥 045 𝑑 𝑑𝑚𝑖𝑛 2 𝑀𝑑 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 2 DIMENSIONAMENTO Altura útil mínima Substituindo 𝜉 𝑥 𝑑 em 𝑀𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥2 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 obtemos 𝑀𝑑 068 𝜉𝑑2 0272 𝜉2𝑑2𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 isolando 𝑑 𝑑 𝑀𝑑 068 𝜉0272 𝜉2 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 Para diminuir 𝑑 e manter a igualdade precisamos aumentar denominador por meio do aumento de 𝜉 O maior valor que 𝜉 pode assumir é 045 então para esse valor temos a menor altura útil 𝑑𝑚𝑖𝑛 2 𝑀𝑑 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 5 Para a seção retangular de concreto armado do exemplo 1 determinar a altura mínima e a quantidade de armadura longitudinal necessária 𝐴𝑠 Dados aço CA50 𝑓𝑐𝑘20MPa Mk122 kNm SOLUÇÃO dmin 2 Mdbw fcd dmin 2 122x103 x 14012 x 2014 dmin 01996 m dmin 1996 cm x 045 d x 045 01996m x 00898 m z d 04 x z 01996 04 00898 m As Md z fyd As 122 x 103 x 14 01637 500115 As 000024 m2 ou 24 cm2 ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO Recorremos à armadura dupla ou à viga T quando 𝑥 045 𝑑 ou 𝑑 𝑑𝑚𝑖𝑛 Também usamos viga T por razões econômicas ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO 𝑨𝒔𝟏 𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 𝒛𝒍𝒊𝒎 𝒇𝒚𝒅 𝑨𝒔 𝑨𝒔𝟏 𝑨𝒔𝟐 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅 𝟐 𝒅 𝒅 𝒇𝒚𝒅 ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 𝒛𝒍𝒊𝒎𝒇𝒚𝒅 𝑴𝒅 𝟐 𝒅𝒅𝒇𝒚𝒅 𝑴𝒅 𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 𝑴𝒅 𝟐 𝒛𝒍𝒊𝒎 𝒅 𝟎 𝟒𝟎𝒙𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟒𝟓𝒅 ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝟐 𝒅𝒅𝒇𝒔 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟓 𝒙𝒍𝒊𝒎 𝜺𝒔 𝒙𝒍𝒊𝒎𝒅 𝜺𝒔 𝜺𝒚𝒅 𝒇𝒔 𝒇𝒚𝒅 𝜺𝒔 𝜺𝒚𝒅 𝒇𝒔 E 𝜺𝒔 ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 7 Para um momento Mk45kNm calcular a armadura necessária de uma seção retangular com largura 𝑏𝑤012m e d029m com aço CA50 e 𝑓𝑐𝑘20 MPa Considerar estribos de 𝑡 6mm e barras longitudinais comprimidas ou tracionadas de 10mm e cobrimento de 25cm de acordo com Tabela 72 da ABNT NBR 61182014 para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I AR dmin 2 14 45 x 103 012 20 44 038 m d 029 m d dmin armadura dupla em viga T xlim 045 d xlim 045 029 013 m zlim d 04 xlim zlim 029 04 013 024 m AR Mdlim 068 xlim d 0272 xlim2 bw fcd Mdlim 003618 MNm Md Mdlim Md2 Md2 14 45 x 103 003618 Md2 002682 MNm d cnom ϕt ϕ2 d 25 06 12 36 cm ou 0036 m As Mdlim zlim fyd Md2 d d fyd ARMAD As 003618 024 500 115 002682 029 0036 500 115 As 000059 m2 ou 59 cm2 εyd 000207 PARA CA50 εsd 000035 xlim xlim d εsd 000035 013 013 0036 εsd 00002534 ou 25 εsd εyd fsd fyd 2 DIMENSIONAMENTO ARMADURA DUPLA A𝛿 Md𝑧 ddf𝛿 A𝛿 002682 0290036 500415 A𝛿 0000243 m² ou 243 cm² ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO Exercícios propostos página 161 Calcular para a seção dada o máximo momento de cálculo resistido e o valor da armadura comprimida 𝐴𝑆 de maneira que se tenha um valor econômico para armadura e se empreguem as hipóteses de armadura dupla Considerar concreto com 𝑓𝑐𝑘20MPa aço CA50 e 𝐴𝑠6 cm² 2 DIMENSIONAMENTO ARMADURA DUPLA 2 cm 31 cm 12 cm 2 DIMENSIONAMENTO AR SOLUÇÃO xlim 045d xlim 045 031 01395 m zlim d 04 xlim zlim 02542 m Mdlim 068 dlim d 0272 xlim² bw fcd Mdlim 068 01395 031 0272 01395² 012 2044 Mdlim 0041337 MNm 2 DIMENSIONAMENTO ARMADURA DUPLA As Mdom 3 dlim fyd Md Mdom d d fyd 6 x 104 0041337 02542 x 500 115 Md 0041337 031 002 500 115 Md 0069829 MNm or 6983 kNm As 2 DIMENSIONAMENTO ARMADURA DUPLA Es 00035 dlim dlim d Es 00035 01395 01395 002 Es 000299 Eyd 000207 Es Eyd fs fyd As Md2 d d fs Md2 d d fyd As 002682 029 0036 500 415 As 0000243 m2 or 243 cm2 ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO Exercício Seja uma viga de concreto armado com seção retangular com as seguintes características bw 015 m d 029 m h033 m com aço CA 50 e fck 25 MPa 𝜀𝑦𝑑 000207 para CA 50 Para um momento de cálculo 35 superior ao momento máximo de cálculo Md que essa viga pode resistir com armadura simples encontre as armaduras tracionada e comprimida necessárias ao equilíbrio da viga Viga T 2 DIMENSIONAMENTO Recorremos à armadura dupla ou à viga T quando 𝑥 045 𝑑 ou 𝑑 𝑑𝑚𝑖𝑛 2 DIMENSIONAMENTO Viga T a seção T mesa comprimida b seção retangular mesa tracionada 2 DIMENSIONAMENTO Viga T Viga T 2 DIMENSIONAMENTO a é a distância entre pontos de momento nulo simplificadamente 2 DIMENSIONAMENTO Viga T seção T LN passa pela alma seção retangular LN passa pela mesa Viga T 2 DIMENSIONAMENTO Recorremos à armadura dupla ou à viga T quando ao tentar dimensionar para o momento 𝑀𝑑 obtemos 𝑥 045 𝑑 ou 𝑑 𝑑𝑚𝑖𝑛 Também usamos viga T por razões econômicas Dim para 𝑀𝑑 e seção ret X dentro da mesa ok Abaixo então Dimensionamento para o momento 𝑀𝑑 usando viga T σ 𝐹𝑥 0 para o primeiro problema 𝐹𝑠1 𝐹𝑐1 0 𝐹𝑠1 𝐹𝑐1 𝐴𝑠1 𝑓𝑦𝑑 𝑏𝑓 𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝐴𝑠1 𝑏𝑓 𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO σ 𝐹𝑥 0 para o segundo problema 𝐹𝑠2 𝐹𝑐2 0 𝐹𝑠2 𝐹𝑐2 𝐴𝑠2 𝑓𝑦𝑑 𝑏𝑤 08 𝑥 085 𝑓𝑐𝑑 𝐴𝑠2 𝑏𝑤 08 𝑥 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO 𝐴𝑠 𝐴𝑠1 𝐴𝑠2 𝐴𝑠 𝑏𝑓𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 𝑏𝑤 08 𝑥 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 𝑥 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO Roteiro testamos seção ret com largura bf e se x ficar dentro da mesa ok se ficar abaixo então 𝑀𝑑 𝑀𝑑1 𝑀𝑑2 𝑀𝑑1 𝑏𝑓 𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝑑 ℎ𝑓 2 𝑀𝑑2 𝑀𝑑 𝑀𝑑1 𝑀𝑑2 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑥 045 𝑑 Com o valor de 𝑥obtido resolvese o problema 𝐴𝑠 𝑏𝑓𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 𝑏𝑤 08 𝑥 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 8 Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual 30m cuja seção é a da figura 327 e está submetida a um momento 𝑀𝑑6770 kNm Considerar aço CA50 e 𝑓𝑐𝑘30 Mpa 2 DIMENSIONAMENTO Viga T SOLUÇÃO viga biapoiada l 30m a 30m b3 470 0182 076m 910 x 30 3m b3 076m LINHA NEUTRA DENTRO DA MESA Md 068 x d 0272 x d bw fcd 6770 x 103 068 x 475 0272 x2 470 3014 x 41220m 01625m x hf CALCULAMOS COMO VIGA SEÇÃO RETANGULAR COM LARGURA bf 045 d 045 x 175 07875 cm x 045 d OK z d 04x z 175 04 x 016246 z 16850 m As Md 3 fyyd As 6770 x 103 16850 500115 0009241 m2 ou 9241 cm2 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 9 Calcular a armadura necessária para a seção do exemplo 8 supondo 𝑀𝑑10000 kNm com aço CA50 e 𝑓𝑐𝑘30 Mpa SOLUÇÃO LINHA NEUTRA DENTRO DA MESA Md 0168 xd 0272 x2 bw fcd 10000 x 103 0168 x 175 0272 x2 170 30 14 x 413 m crossed out x 02442 m x hf LINHA NEUTRA ABAIXO DA MESA Md1 bf bw hf 085 fc d d hf 2 Md1 170 018 020 085 30 14 175 020 2 Md1 913629 MPa Md2 Md Md1 Md2 10 913629 Md2 086371 MPa 2 DIMENSIONAMENTO Viga T Md2 068 x d 0272 x² bw fcd 086371 068 x 175 0272 x² 018 3014 x 417 crossed out 01970 m 045 d 045 175 07875 m x 045 d OK 2 DIMENSIONAMENTO Viga T As bf bw ht 085 fcd fyd bw 08 x 085 fcd fyd As 170 018 020 085 3014 500415 018 08 01970 085 3014 500115 As 001273 0001188 As 0013918 m² ou 13918 cm² Exercícios 2 DIMENSIONAMENTO Determine o momento resistente Mk e o valor da área de aço correspondente à este momento considerando a profundidade da linha neutra x igual a x23 para uma seção retangular com bw 15 cm h 30 cm d 4 cm fck 25 MPa e CA 50 Para determinar Mk há necessidade de verificar se x045d Justifique Exercícios 2 DIMENSIONAMENTO Seja uma viga de concreto armado com seção retangular com as seguintes características bw 015 m d 029 m h033 m com aço CA 50 e fck 25 MPa 𝜀𝑦𝑑 000207 para CA 50 Para um momento de cálculo 35 superior ao momento máximo de cálculo Md que essa viga pode resistir com armadura simples encontre as armaduras tracionada e comprimida necessárias ao equilíbrio da viga Exercícios 2 DIMENSIONAMENTO Seja a viga V1 cuja seção transversal retangular mede 25X62 Dimensione esta viga para um momento fletor de cálculo 600 kNm Considere aço CA50 concreto C35 e d 80 cm Tente dimensionar usando armadura simples Se não for possível profundidade da linha neutra não atende ao recomendado em 14643 da ABNT NBR 61182014 use o modelo viga T No caso de precisar usar o modelo viga T use bf 85 cm e hf 8 cm Considere que este valor de bf atende ao recomendado em 14622 da ABNT NBR 61182014 Tendo em vista o objetivo de obter a maior altura útil possível d detalhe a armadura longitudinal usando Cnom para CAA l e Δ c10 mm Φt5 mm dimensão máxima característica do agregado graúdo igual a 16 mm A armadura longitudinal de tração deve ser constituída por barras 25 mm apenas Demonstre que o arranjo escolhido verifica a recomendação da ABNT NBR 61182014 contida no item 17241 e as relativas a Asmin e Asmax Faça um esboço da seção transversal indicando todos os detalhes